Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

Prueba del Teorema 4.1.–
El teorema consta de dos afirmaciones, la parte existencial, que requiere mostrar que existen k
y r en las condiciones del teorema, y luego la unicidad: mostrar que no puede haber dos pares
distintos de cociente y resto para a y d dados.
Existencia: Vamos a probar primero en detalle el caso a ≥ 0, d > 0 , ya que, como nos sugieren los
ejemplos, los otros casos se reducen a ese.
• Caso a ≥ 0, d > 0 :
Aquí, |d| = d . La idea intuitiva es considerar los elementos a , a − d , a − 2d , a − 3d , ...
hasta que caigamos en algun elemento menor que d pero aún mayor o igual que cero. Este
será el resto. Formalizamos esta idea de la manera siguiente:
Sea A el subconjunto de N0 := N ∪ {0} formado por los números de la forma a − j d para
algún j ∈ Z , es decir:
A = { a − j d, j ∈ Z} ∩ N0.
Claramente A es un subconjunto de N0 que no es vacío ya que a = a − 0 · d pertenece a A
(estamos considerando el caso a ≥ 0 ).
Luego, por el principio de buena ordenación, el conjunto A tiene un mínimo. Llamemos r
a ese mínimo. Se tiene que r ∈ A por un lado, y por otro lado r es menor que todos los
demás elementos de A .
Como r ∈ A , existe un elemento natural o cero, llamémoslo k , que verifica que r = a − k d ,
luego a = k d + r .
Falta probar que 0 ≤ r < d (ya que |d| = d en el caso que estamos considerando):
Claramente r ≥ 0 ya que pertenece a A que es un subconjunto de N0 .
Si r fuese mayor o igual que d , entonces r − d ≥ 0 aún. Luego se tendría que el elemento
r − d = a − k d − d = a − (k + 1) d está también en el conjunto A pero es menor que r !
Eso contradice que r sea el mínimo. Así, se concluye r < d .
• Caso a ≥ 0, d < 0 :
En este caso, −d > 0 (y por lo tanto |d| = −d ) y se tiene que por el caso anterior, existen
k ′ , r ′ tal que a = k ′ (−d) + r ′ con 0 ≤ r ′ < |d| . Se obtiene directamente a = (−k ′ ) d + r ′ ,
luego k = −k ′ , r = r ′ .
• Caso a < 0 :
En este caso, tenemos −a > 0 , y de los casos anteriores existen k ′ , r ′ tal que −a = k ′ d + r ′
con 0 ≤ r ′ < |d| . Luego a = (−k ′ ) d − r ′ .
Si r ′ = 0 , r ′ cumple la condición de resto y se obtiene k = −k ′ , r = r ′ = 0 .
Pero si r ′ = 0 , hay que corregirlo restando y sumando |d| a la expresión:
a = (−k ′ ) d − r ′ = ((−k ′ ) d − |d|) + (|d| − r ′ ).
Así, si se define k := −k ′ ± 1 según si d < 0 o d > 0 , y r := |d| − r ′ , se tiene a = k d + r
con 0 < r < |d| , ya que
0 < r ′ < |d| =⇒ −|d| < −r ′ < 0 =⇒ |d| − |d| < |d| − r ′ < |d| − 0 =⇒ 0 < r < |d|.
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