Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

Se concluye entonces
7 | 3 a 98 − 5 a 50 + 287 ⇐⇒ a ≡ 0 (mod 7), y en ese caso 7 2 ∤ 3 a 98 − 5 a 50 + 287.
Se concluye aplicando el TCR:
⎧
⎨
⎩
a ≡ 1 (mod 2)
a ≡ 0 (mod 7)
a ≡ 0 ó 1 ó 4 (mod 5)
14 Apéndice: El Teorema de Euler
⇐⇒ a ≡ 35 ó 21 ó 49 (mod 70).
La demostración del Pequeño Teorema de Fermat presentada fue dada por Euler, quien en forma
natural la generalizó para números n ∈ N , n ≥ 2 , cualesquiera. Se dio cuenta que la misma
demostración funcionaba si la función Φ estaba definida en el conjunto de los números naturales
i ≤ n coprimos con n (está claro que si p es primo, el conjunto {1, 2, . . . , p − 1} coincide con el
conjunto de los números menores o iguales que p coprimos con p , y que p − 1 es el cardinal de ese
conjunto). Así, para n ∈ N dado, se definen dos objetos, el conjunto Un de los números naturales
menores o iguales que n coprimos con él, y la cantidad ϕ(n) , que es el cardinal de ese conjunto,
es decir ϕ(n) cuenta la cantidad de números naturales menores o iguales que n que son coprimos
con él:
Definición 14.1 Sea n ∈ N dado, se define
Un := { i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n : i ⊥ n } y ϕ(n) := # Un.
Por ejemplo, U1 = {1} y ϕ(1) = 1 , U6 = { 1, 5 } y ϕ(6) = 2 , U8 = { 1, 3, 5, 7 } y ϕ(8) = 4 ,
U15 = { 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 } y ϕ(15) = 8 . Además si p es primo, Up = { 1, 2, . . . , p − 1 } y
ϕ(p) = p − 1 .
La asignación ϕ : N → N define una función, la función ϕ de Euler, que tiene una gran importancia
en Teoría de Números, no sólo desde el punta de vista teórico sino también desde el punto de vista
de la dificultad de su cálculo. Nos referimos a ella con más detalle después.
Teorema 14.2 (Teorema de Euler)
Sean a ∈ Z y n ∈ N , n ≥ 2 . Entonces
Prueba.–
a ⊥ n =⇒ a ϕ(n) ≡ 1 (mod n)
Vamos a imitar paso por paso la demostración hecha del pequeño teorema de Fermat.
Sea a ∈ Z tal que a ⊥ n . Definimos la función:
Φ : Un −→ Un
i ↦−→ rn(i a)
(Observemos en particular que Φ(i) = rn(i a) ≡ i a (mod n) .)
Veamos primero que esta función está bien definida (es decir que la imagen Im(Φ) de la función
Φ realmente está incluída en el codominio) y luego que es biyectiva.
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