Introducción a Visión Computacional

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28 PROC. DE IMÁGENES Y VISIÓN. Si consideramos una imagen digital, entonces se requiere lo que se conoce como la transformada discreta de Fourier. Para esto se supone que se ha discretizado la función f(x) tomando N muestras separadas ∆x unidades. Entonces la transformada discreta de Fourier se define como: N−1 F (u) = (1/N) f(x)e [−j2πux/N] x=0 Para u = 1, 2, ..., N − 1. La transformada inversa es: Para x = 1, 2, ..., N − 1. f(x) = N−1 u=0 F (u)e [j2πux/N] En el caso de dos dimensiones se tienen las siguientes expresiones: F (u, v) = 1 [−j2π(ux/M+vy/N)] f(x, y)e MN f(x, y) = F (u, v)e [j2π(ux/M+vy/N)] (2.26) (2.27) (2.28) (2.29) Algunas propiedades de la transformada de Fourier importantes para visión son las siguientes: • Separabilidad: Se puede separar la transformada en cada dimensión, de forma que se puede calcular en renglones y luego columnas de la imagen. • Traslación: Multiplicación por un exponencial corresponde a traslación en frecuencia (y viceversa). Se hace uso de esta propiedad para desplazar F al centro de la imagen: e [j2π(Nx/2+Ny/2)/N] = e [j2π(x+y)] = (−1) (x+y) • Rotación: Rotando f por un ángulo se produce el mismo rotamiento en F (y viceversa). (2.30) • Periodicidad y simetría: La transformada de Fourier y su inversa son simétricas respecto al origen y periódica con un periodo = N. • Convolución: Convolución en el dominio espacial corresponde a multiplicación en el dominio espacial (y viceversa). En la figura 2.21 se ilustran en forma gráfica algunas de las propiedades de la transformada de Fourier. 2.6.2 Filtrado en frecuencia El filtrado en el dominio de la frecuencia consiste en obtener la transformada de Fourier, aplicar (multiplicando) el filtro deseado, y calcular la transforma da inversa para regresar al dominio espacial (ver figura 2.22). Existen muchas clases de filtros que se pueden aplicar en el dominio de la frecuencia. Dos de los filtros más comunes son el llamado filtro ideal y el filtro Butterworth. Ambos tipos de filtros pueden ser pasa-altos y pasa-bajos.
c○L.E. SUCAR Y G. GÓMEZ 29 Figura 2.21: Algunas propiedades de la transformada de Fourier. Figura 2.22: Filtrado en el dominio de la frecuencia. El filtro ideal pasa–bajos tiene una función de transferencia H(u, v) que es igual a 1 para todas las frecuencias menores a cierto valor (D0) y cero para las demás frecuencias. Un filtro ideal pasa–altos tiene la función de transferencia opuesta, es decir es cero para todas las frecuencias menores a cierto valor y uno para las demás frecuencias. En la figura 2.23 se muestra la función de transferencia de un filtro ideal pasa–bajos. Figura 2.23: Función de transferencia de un filtro ideal pasa–bajos: (a) función en una dimensión (W ), (b) función en dos dimensiones (U, V ). El filtro Butterworth tiene una función de transferencia más “suave” que generalmente da mejores resultados. Por ejemplo, la función de transferencia de un filtro Butterworth pasa-bajo de orden n y distancia D al origen se define como: H(u, v) = 1 + 1 √ 2n u2 +v2 Esta función de transferencia se ilustra gráficamente en la figura 2.24. D0 (2.31) Existe una manera más eficiente de hacer las transformada discreta de Fourier denominada transformada rápida de Fourier (FFT). De cualquier forma el procesamiento es generalmente más costoso y tienden a utilizarse más en la práctica los filtros en el dominio espacial. Sin embargo, se logra mayor precisión y flexibilidad en el dominio de la frecuencia y en ciertos casos vale la pena
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