Introducción a la teoría de Funciones Radiales - UNAM

Sección 1: Interpolación Multivariada con RBF 12
Podemos ahora, reformular el problema I de la siguiente forma:
Problema I Encontrar una función σ ∈ H que cumpla las siguientes condiciones:
1. σ ∈ XI donde XI = {u|u(xi) = ui, i = 1, ..., N}, donde ui son datos.
2. σ = infu∈XI uH
Asumiremos ahora que el espacio de Hilbert H tiene un kernel reproductor
K. Entonces no es difícil ver que:
XI = {u| ≪ u|Kti ≫H= ui, i = 1, ..., N}
es una variedad lineal o coset del espacio lineal dado por :
X 0 I = {u| ≪ u|Kti ≫H= 0, i = 1, ..., N}
Ahora conforme el Teorema (7), σ ∈ H es la nica función que satisface
⊥
, donde:
XI ∩ X 0 I
X 0⊥ I = {v ∈ H|v =
N
λiK(t, ti)}
es el espacio ortogonal a X0 I . Para ver que X0 ⊥ 0
I es el espacio ortogonal a XI ,
notemos que:
Spline Cúbico
i=1
u ∈ X 0 I y v ∈ X 0⊥ I ⇐⇒ ≪ u|v ≫H= 0
Sea H 2 (0, 1) el espacio estándar de Sobolev
dotado con el producto interior:
H 2 (0, 1) = {u ∈ L 2 (0, 1)|u, u ′ , u ′′ ∈ L 2 (0, 1)
≪ u|v ≫ H 2 (0,1)= u(0)v(0) + u(1)v(1)+ < u ′′ |v ′′ > L 2 (0,1)
Integrando por partes, notamos que:
d4 f(x, t) = δ(x − t)
dx4