Introducción a la teoría de Funciones Radiales - UNAM

Sección 3: Solución Númerica de PDE con RBF 26
Teorema 16 Sea u ∈ H 2 (Ω), donde Ω ⊂ R 2 es un conjunto abierto acotado
con frontera poligonal ∂Ω. Entonces para toda t ∈ Ω
donde
y
F (u, ρt(E)) =
ρt(u) = F (u, ρt(E)) + F ∂Ω (ρt(E), u) (31)
F ∂Ω
(ρt(E), u) =
k
{∂xu ∂xρt(E) + ∂yu ∂yρt(E)} dxdy.
∂Ω
∂nu(s)ρt(E(·, s))dγ(s)
En el Teorema anterior E es la solución fundamental de el operador de
Laplace y
1
ρt(u) =
u(s)ds
area(ωt) ωt
(32)
Entonces,
Definición 13 Diremos que Qhu es un quasi interpolante discreto relativo
para F Ω , ecuación (30), si este se define por la siguiente relación
Qhu(t) = F Ω h (u, ρt(E)). (33)
Definición 14 Diremos que Qh(u) es un quasi interpolante, semi discreto si
este es una discretización de la ecuación (31), dada por
Notemos que:
=
Vhu = Fh(u, ρt(E)) − F ∂Ω
h (ρt(E), u) (34)
ρt(E(·, s)) = 1
πd2
E(t − s) ds
ωt
1 log|t − s| if |t − s| > d
2π
1
4πd2 {|t − s| 2 − d2 } + 1 log(|d|) if |t − s| ≤ d.
2π
3. Solución Númerica de PDE con RBF
(35)
En esta sección estudiaremos dos métodos de colocación para la solución de
EDP, llamados: método asimétrico y simétrico. Adicionalmente, revisaremos
el método de cuadratura diferencial.