Introducción a la teoría de Funciones Radiales - UNAM

Sección 1: Interpolación Multivariada con RBF 13
donde f(x, t) = (x − t) 3 −, es la solución fundamental del operador d4
dx 4 . A
partir de este resultado es posible determinar que el kernel reproductor esta
dado por:
K(x, t) = 1
6 ((x − t)3 + + (t − 1)x 3 + (t 3 − 3t 2 + 2t)x)
+xt + (1 − x)(1 − t)
Tenemos así que, el spline cúbico esta dado por:
σ(t) =
N
λiK(t, ti)
i=1
No es difícil verificar que σ, es un polinomio cúbico por piezas, tal que σ ∈
C 0 , σ ′ ∈ C 0 , σ ′′ ∈ C 0 y que σ(0) = u ′′ (0) = 0 y σ(1) = u ′′ (1) = 0.
Spline de Capa Delgada
El spline de capa delgada fue construido, apartir de un problema de minimación
en el espacio Beppo Levi
V m (R d ) = {u|D α u ∈ L 2 (R), |α| = m}
donde α denota el multi indice (α1, ..., αm) y D α =
ducto interior V m (R d ) esta dado por:
Se puede probar que :
≪ v|u ≫ m,R d=
< v|u > m,R d=
0≤|α|≤m−1
|α|=m
∂α ∂x α1 1 ...∂xα d
1
. El semi pro-
Rd D α uD α v (11)
li(u)li(v)+ < v|u > m,R d (12)
es un producto interno en V m (R d ). Integrando por partes la ecuación (12),
obtenemos que:
≪ v|u ≫m,Rd= R d
(∆ 2m u)v +
0≤|α|≤m−1
li(u)li(v) (13)