Introducción a la teoría de Funciones Radiales - UNAM

Sección 1: Interpolación Multivariada con RBF 9
1.3. Un Enfoque Hilbertiano
Definición 6 Sea H un espacio de Hilbert, de funciones f : Ω → R. Una
función K : Ω × Ω → R es llamada kernel reproductor de H si:
1. K(x, ·) ∈ H para toda x ∈ Ω,
2. f(x) = 〈f, k(·, x))〉H para toda F ∈ H y toda x ∈ Ω
Teorema 4 Supongamos que H es un espacio de Hilbert de funciones f :
Ω → R con kernel reproductor K y H ∗ es su espacio dual, i.e., el espacio de
funcionales lineales en H. Tenemos entonces que:
1. K(x, y) = 〈K(x, ·), K(·, y)〉H para x, y ∈ Ω.
2. K(x, y) = K(y, x) para x, y ∈ Ω.
3. H es continuamente encajable en C 0 (Ω).
Primero notemos que la Definición 6 implica que H contiene todas las funciónes
de la forma:
N
f = cjK(xj, ·)
j=1
siempre que xj ∈ Ω. El Teorema (4) implica que:
fH = 〈f, f〉H = 〈
=
N
j=1 k=1
=
N
cjK(xj, ·),
j=1
N
ckK(·, xk)〉H
k=1
N
cjck〈K(xj, ·), K(·, xk)〉H
N
j=1 k=1
Por lo tanto, definimos el espacio:
N
cjckK(xj, xk).
Hk(Ω) = span{K(·, y) : y ∈ Ω}