Introducción a la teoría de Funciones Radiales - UNAM

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Sección 1: Interpolación Multivariada con RBF 8 3. El spline de capa delgada Φ(x) = (−1) k+1 x 2k log x, k ∈ N es estrictamente condicional definido positivamente de orden m ≥ k +1 y es radial en R d para toda d. Para ver esto observamos que : por lo tanto, tenemos que: y así: 2Φ(r) = (−1) k+1 x 2k log x 2 , k ∈ N φ(r) = (−1) k+1 r 2k log r, k ∈ N φ (l) = (−1) k+1 k(k − 1)...(k − l + 1)r k−l log r + pl(r), 1 ≤ l ≤ k con pl un polinomio de grado k − l. Así, y φ (k) (r) = (−1) k+1 k! log r + C φ (k+1) (r) = (−1) k+1 k! r son completamente monótonas en (0, ∞).
Sección 1: Interpolación Multivariada con RBF 9 1.3. Un Enfoque Hilbertiano Definición 6 Sea H un espacio de Hilbert, de funciones f : Ω → R. Una función K : Ω × Ω → R es llamada kernel reproductor de H si: 1. K(x, ·) ∈ H para toda x ∈ Ω, 2. f(x) = 〈f, k(·, x))〉H para toda F ∈ H y toda x ∈ Ω Teorema 4 Supongamos que H es un espacio de Hilbert de funciones f : Ω → R con kernel reproductor K y H ∗ es su espacio dual, i.e., el espacio de funcionales lineales en H. Tenemos entonces que: 1. K(x, y) = 〈K(x, ·), K(·, y)〉H para x, y ∈ Ω. 2. K(x, y) = K(y, x) para x, y ∈ Ω. 3. H es continuamente encajable en C 0 (Ω). Primero notemos que la Definición 6 implica que H contiene todas las funciónes de la forma: N f = cjK(xj, ·) j=1 siempre que xj ∈ Ω. El Teorema (4) implica que: fH = 〈f, f〉H = 〈 = N j=1 k=1 = N cjK(xj, ·), j=1 N ckK(·, xk)〉H k=1 N cjck〈K(xj, ·), K(·, xk)〉H N j=1 k=1 Por lo tanto, definimos el espacio: N cjckK(xj, xk). Hk(Ω) = span{K(·, y) : y ∈ Ω}
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