Introducción a la teoría de Funciones Radiales - UNAM

Sección 1: Interpolación Multivariada con RBF 17
Entonces puede probarse, que si ω satisface las condiciones del Teorema (9),
el espacio dado por:
con el semi-producto interior:
Hω,m = {u|(û)m ∈ L 2 (ω −1 )}
(v, u)ω,m
Rd (û)m(v)m
es un semi espacio de Hilbert. Notemos que:
v ∈ Hω,m, (v, u)ω,m = 0 si y solo si v ∈ P m−1
Para resolver el problema variacional en Hω,m, es necesario garantizar la
existencia de un semi-kernel reproductor. Este resultado esta dado por el
siguiente Teorema:
Teorema 10 Sea Φ ∈ C(R d ) una función radial tal que se cumplen (18) y
(19). Entonces Φ es condicionalmente definida positiva de orden m en R d .
Además, la función h : R d × R d → R, definida por h(x, y) = Φ(x − y), es el
semi-kernel reproductor de Hω,m.
Podemos usar el spline de capa delgada para ilustrar este punto. Primero
recordemos el siguiente resultado.
Teorema 11 Sea q una distribución temperada, entonces para toda α ∈ Z
D α
x = (iξ) α ˆq
y
D α x ˆq =
(−ix) α
q
Usando la identidad de Parseval tenemos:
u¯vdx =
R d
R d
û ¯ ˆvdx
notemos que los elementos de V m (R d ) son distribuciones temperadas, ten-
emos que:
< v|u > m,R d=
|α|=m
R d
D α u D α vdx