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Es evidente que la matriz Q es simétrica. Si tanto P
como Q son matrices definidas positivas (autovalores
.
positivos , V será una matriz definida positiva, y V
.
definida negativa), entonces el sistema x = A x , será
asintóticamente estable en el punto x=0. Si Q es definida
positiva, y la matriz P es definida negativa o indefinida,
V tomará valores negativos en un entorno del origen, por lo
que el sistema será inestable.
TEOREMA V.- Una matriz A real es estable si y sólo si
para cualquier matriz simétrica definida positiva, Q , la
solución, P , de la ecuación A t P + P A = - Q , es también
definida positiva.
Mediante procesos de linealización, se puede aplicar la
Teoría de Liapunov para estudiar la estabilidad de modelos no
lineales . Así, suponiendo que f(x) se pueda desarrollar
por Taylor en el punto x=0, se obtendría
.
x = f(x) = A' x + g(x)
donde A' es una matriz constante cuadrada de orden n,
siendo sus elementos (∂ fi / ∂ xj)x=0 , g(0) = 0, y g(x) es
una función que admite derivadas parciales de segundo orden,
por lo menos.
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