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para el funcional (2.2.1) que ⌠ T . . . δJ(x * ,T) = ⎮[fx(x,x,t) δx + fx . (x,x,t) δx] dt = 0 (2.2.6) ⌡0 donde fx es ∂f/ ∂x , y fx es ∂f/ ∂x , y δx es una función arbitraria continua, que cumple que δx(0)= 0 = δx(T). Siendo δx(t) = x(t) - x * (t). Integrando por partes ⌠ T ─┐ T ⌠ T ⌠ T ⎮δx& fx& dt = δx fx& │ - ⎮(d x f & /dt) δx dt = 0 - ⎮(d x ⌡0 ─┘0 ⌡0 ⌡0 f & /dt)δx dt 45 (2.2.7) Se han omitido los argumentos de las funciones para abreviar la notación. Sustituyendo en (2.2.6) ⌠ T ┌─ ─┐ f& /dt) ) δx │ dt = 0 (2.2.8) ⌡ └─ ─┘ δJ = ⎮ │( fx - (d x A partir de (2.2.8) se obtiene la ecuación de Euler 4 d fx - ─── fx& = 0 (2.2.9) dt 4 Ver obtención de la ecuaciones de Euler en TU, P.N.V. (1981) páginas 11-14.
La solución, x * (t), a esta ecuación es el extremo del funcional J(x,T), si existe. Las ecuaciones de Euler proporcionan solamente las condiciones necesarias en el C.V.. El estudio de las condiciones de segundo orden o condiciones suficientes para C.O. se explica brevemente en el epígrafe 2.2.3 . 2.2.2.- Solución del problema de C.O. . La Teoría del Control Optimo (C.O.) tuvo sus orígenes como tal a finales de los años 50. PONTRYAGIN estableció el llamado Principio del Máximo 5 , que se constituyó en la base teórica fundamental para posteriores desarrollos de la Teoría del C.O.. El Cálculo de Variaciones puede considerarse como un caso particular dentro de la Tª del C.O., pero aún así, esta última ha sido desarrollada por algunos autores a partir del Cálculo de Variaciones (C.V.). Este último tiene en su aplicación serias limitaciones que la Tª del C.O. ha resuelto satisfactoriamente, como son los casos de existencia de restricciones de desigualdad o de pertenencia de las 5 Ver PONTRYAGIN (1962). Para el caso de modelos dinámicos en tiempo discreto no es aplicable el principio de Pontryagin. No existe un principio como éste para este caso, a menos que se hagan supuestos acerca de la convexidad del conjunto de variables de estado. Ver epígrafe 5.2 del capítulo 5 acerca de control de modelos en tiempo discreto. 46
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