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1. Nociones de geometria proyectiva
Producto de
transformaciones.
Transformación
involutiva
Congruencia. Igualdad
e isomería
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Definiciones:
• La transformación de una forma f en otra f´, en la que a cada elemento
A de f le corresponde uno A´de f´, se llama univoca. Si también
se verifica que cada elemento A´de f´ es el transformado de uno
solo A de f, se llama biunívoca. La transformación de f´en f se llama
inversa o reciproca y los puntos, rectas , etc., de f y f´ que se corresponden,
homólogos. La traslación, el giro, la simetría son transformaciones
biunívocas.
• Si una forma se transforma en ella misma y si los elementos transformados
tienen el mismo sentido u orientación que los primitivos, la
transformación se llama acorde. Si tiene distinto sentido u orientación
que los primitivos se llama discorde. La traslación, el giro y la simetría
central son transformaciones acordes. La simetría axial, discorde.
• El elemento que coincide con su transformado se llama doble. En la
simetría central, el punto O es punto doble y en la simetría axial son
dobles los puntos del eje e.
• Si todos los puntos son dobles se dice que la transformación es una
identidad. El giro de 360º es una identidad.
Si por medio de una transformación de elementos homólogos A y A´
una forma f se convierte en otra f´ y si por medio de una segunda transformación
geométrica de elementos homólogos A´ y A´´, f´ se convierte
en otra f´´, la transformación de elementos homólogos A y A´´ que
convierte f en f´´ se llama producto de ambas transformaciones.
Si al aplicar sucesivamente dos transformaciones iguales se obtiene una
figura idéntica a la primera, la transformación producto se llama involutiva.
En la simetría central de la figura 10 al aplicar dos simetrías respecto
del centro O, en la primera, el punto A se convierte en A´ y en la
segunda el punto A´se convierte en A´´ coincidente con A por lo que
es involutiva.
A
A’’
1
2
fig. 10
O A’
Se dice que dos figuras rígidas son congruentes si al superponerse
mediante un movimiento coinciden.
Dos figuras congruentes son iguales pero dos figuras iguales pueden no
ser congruentes si no existe ningún movimiento en el plano o en el
espacio que las haga coincidir.
La simetría axial es un ejemplo de figuras iguales pero no congruentes
en el plano. Otro tanto ocurre con las manos. Son iguales pero no son
congruentes. Teniendo en cuenta la palma y el revés de la mano, no
existe ningún movimiento que las haga coincidir.
Si en una transformación las distancias entre puntos homólogos se mantiene,
es decir se verifica la igualdad de segmentos AB=A´B´ la transformación
se llama isomería. Si además conserva el sentido, se llama
isomería acorde y si no discorde.