CÁLCULO DIFERENCIAL

CÁLCULO DIFERENCIAL
Amaury Camargo y Favián Arenas A.
Universidad de Córdoba
Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías
Departamento de Matemáticas

UNIDAD 1
2. Funciones y modelos
2.1. Relaciones y funciones
Cálculo Diferencial
Los pares ordenados de números reales desempeñan un papel importante en el estudio que se
va a realizar.
De nición .1 Si a y b son dos elementos de un conjunto, el par ordenado con primera componente
a y segunda componente b se simboliza por (a; b) y es por de nición ffag ; fa; bgg : Esto
es, (a; b) = ffag ; fa; bgg :
Nota .1 Nótese que los pares ordenados (a; b) y (c; d) son iguales si y sólo si a = c y c = d
De nición .2 El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se nota A B, es el conjunto
de todos los pares ordenados (a; b) con a 2 A y b 2 B; esto es,
A B = f(a; b) : a 2 A y b 2 Bg
De nición .3 Sean X y Y dos conjuntos. R es una relación de X a Y ó de X en Y sí y sólo sí
R X Y . Si la pareja (x; y) está en R se escribe (x; y) 2 R, y se dice que x está relación
por R o según R, con y.
De nición .4 El dominio de R, que se denota DR, es el conjunto de elementos de X que estan
relacionados por R con algún elemento de Y , esto es,
DR = fx 2 X : existe algún y 2 Y tal que (x; y) 2 R g
De nición .5 El recorrido de R, que se denota RR, es el conjunto de elementos de Y que
están relacionados por R con algún elemento de X, es decir,
RR = fy 2 Y : existe algún x 2 X tal que (x; y) 2 R g
De nición .6 Si X y Y son conjuntos de números reales, la gra ca de una relación R de X a
Y es el conjunto de todos los puntos (x; y) del plano coordenado para los cuales (x; y) 2 R.
2.2. Funciones
De nición .7 Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función f de A en B es una relación de
A en B que satisface la siguiente condición: Para todo elemento x de A existe un único elemento
y en B tal que (x; y) 2 f:
Esto signi ca que:
i). Todo elemento x de A es la primera componente de alguna pareja de f:
ii). Si (x; y1) 2 f; y (x; y2) 2 f; entonces y1 = y2; es decir, en f no hay dos parejas distintas
con la primera componente igual.
Arenas A. 6 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Prueba de la recta vertical: Una curva en el plano xy es la grá ca de una función de x
si y sólo si ninguna recta vertical se interseca con la curva más de una vez.
Función No es función Función
2.2.1. Funciones seccionalmente continuas
La función del ejemplo siguiente está de nida por fórmulas diferentes en diferentes partes de
sus dominios.
Ejemplo .1 Una función f se de ne por
8
<
:
x 2 1 if x 1
1 x 2 if 1 < x 1
2x 2 + 1 if 1 < x
Evalúe f( 5); f(0); f(5) y trace la grá ca.
Solución: Para esta función en particular, la regla es: primero se considera el valor de la entrada
x: Si sucede que x 1; entonces f(x) = x 2 1: Por otra parte, si x > 1; entonces f(x) =
2x 2 + 1:
Como 5 1; se tiene que f( 5) = ( 5) 2
1 = 24
Como 1 < 0 1; se tiene que f(0) = 1 (0) 2 = 1
Como 5 > 1; se tiene que f(5) = 2(5) 2 + 1 = 51
Figura 1
Arenas A. 7 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
2.2.2. Simetría
Si una función f satisface f( x) = f(x); para todo número x en su dominio, entonces f se
denomina función par. Por ejemplo, la función f(x) = x 2 1 es par porque
f( x) = ( x) 2
1 = x 2
1 = f(x)
Si una función f satisface f( x) = f(x); para todo número x en su dominio, entonces f se
denomina función impar. Por ejemplo, la función f(x) = x 3 x es impar porque
f( x) = ( x) 3
( x) = x 3 + x = x 3
x = f(x)
El signi cado geométrico de una función par es que su grá ca es simétrica con respecto al eje
y: (ver gura 2a), mientras que el signi cado geométrico de una función impar es que su grá ca
es simétrica con respecto origen de coordenadas (ver gura 2b)
Figura 2a Figura 2b
2.2.3. Funciones nuevas a partir de funciones antiguas:
Al resolver problemas de cálculo, encontrará que resulta útil familiarizarse con las grá cas de
algunas funciones cuya presencia es frecuente. En esta sección clasi caremos varios tipos
de funciones y, enseguida , mostraremos cómo se les transforma por el desplazamiento, el
alargamiento y la re exión de sus grá cas. También mostraremos cómo combinar pares de
funciones por medio de operaciones aritméticas estandar o por composición.
2.2.4. Tipos de funciones:
Funciones constantes: La función constante f (x) = c tiene el dominio R y su rango el
único valor c. Su grá ca es una recta horizontal.
Funciones potencia: Una función de la forma f (x) = x a , donde a es una constante, se
llama función potencia. Considaremos varios casos.
a = n, un entero positivo:
Arenas A. 8 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
En la gura que sigue, se muestran las grá cas de f (x) = x n , para n = 1; 2; 3; 4 y 5. Ya
conocemos la forma de las grá cas de y = x (una recta que pasa por el origen con pendiente 1
y y = x 2 una parábola.).
La forma general de la grá ca f (x) = x n depende de si n es par o impar. Si n es par,entonces
f (x) = x n es una función par y su grá ca es similar a la parábola y = x 2 . Si n es impar,
entoces f (x) = x n es una función impar y su grá ca es similar a la de y = x 3 . Sin embargo,
observe la gura y advierta que, conforme n crece, la gra ca de y = x n se vuelve más plana
cerca de 0 y más empinada cuando jxj 1. Si x es pequeña, entonces x 2 es más pequeña, x 3
incluso es más pequeña, x 4 todavía es más pequeña y así sucesivamente.
y = x y = x 2 y = x 3 y = x 4 y = x 5
a = 1:
En la gura siguiente se muestra la grá ca de la función reciproca f (x) = x 1 = 1.
Su grá ca
x
tiene la ecuación y = 1
, o bien, xy = 1. Es una hipérbola equilátera con los ejes de coordenadas
x
como asíntotas.
a = 1
, n un entero positivo:
n
La función f (x) = x 1
n = np x es una función raíz. Para n = 2, es la función raíz cuadrada
f (x) = p x, cuyo dominio es [0; 1) y cuya gra ca es la mitad superior de la parábola x =
y 2 [ver g]. Para otros valores pares de n, la grá ca de y = np x es similar a la de y = p x. Para
n = 3, tenemos la función raíz cubica f (x) = 3p x, cuyo dominio es R (recuérdese que todo
número real tiene una raíz cubica y cuya grá ca se muestra a continuación. La grá ca de y =
np x para n es impar (n > 3) es similar a la de y = 3 p x.
Arenas A. 9 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
y = p x y = 3p x
Polinomios: Una función P recibe el nombre de polinomio si
P (x) = axx n + an 1x n 1 + + a2x 2 + a1x + a0
donde n es un cociente es un entero no negativop y los números a0;a1;a2; ::::::; an son constantes
llamadas coe cientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es R = ( 1; 1). Si
el primer coe ciente an 6= 0, entonces el grado del polinomio es n. Por ejemplo, la función
P (x) = 2x 6
x 4 + 2
5 x3 + p 2
es un plinomio de grado 6 (o sexto grado).
Un polinomio de primer grado es de la forma P (x) = ax + b y se llama función lineal porque
su grá ca es la recta y = ax + b (pendiente a, ordenada al origen b). Un rasgo característico de
las funciones lineales es que crecen con una razón constante. Por ejemplo, en la gura siguiente
se muestra una grá ca de la función lineal f (x) = 2x + 1 y una tabla de valores muestras. Note
que, siempre que x se incrementa en 1, el valor de y = f (x) aumenta en 2. Por tanto, f (x)
crece dos veces más rapido que x. De este modo, la pendiente de la grá ca y = 2x + 1, a saber,
2, se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto a x:
x -2 -1 0 1 2
y = f(x) -3 -1 1 3 5
Un polinomio de segundo grado es de al forma P (x) = ax 2 + bc + c y se llama función
cuadrática. La grá ca de P siempre es la parábola que se obtiene desplazando la parábola
y = ax 2 . Un polinomio de la forma
P (x) = ax 2 + bc + cx + d
Arenas A. 10 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
se llama función cúbica. A continuación se muestra la grá ca de una función cúbica, en la parte
a, y las grá cas de polinomios de cuarto y quinto grado en las partes b y c.
y = x 3 (a) y = x 4 (b) y = x 5 (c)
Comúnmente, los polinomios se usan para modelar diversas cantidades que se presentan en
las ciencias naturales y sociales. Más adelante, explicaremos por qué los economistas usan a
menudo un polinomio P (x) para representar el costo de producir x unidades de un artículo.
Funciones racionales: Una Funcion racional f es una razón de dos polinomios.
f (x) =
P (x)
Q (x)
donde P y Q son polinomios. El dominio consta de todos los valores de x tales que Q (x) 6= 0.
Por ejemplo, la función
f (x) = 2x x2 + 1
x 2 4
y = f(x)
es una función racional con dominio fx j x 6= 2g. En la gura anterior se muestra su gra ca.
Funciones algebraicas: Una función f recibe el nombre de Función algebraica sí puede
construirse usando operaciones algebraicas (adición, sustracción, multiplicación, división
Arenas A. 11 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
y extracción de raíz) a partir de polinomios. Automáticamente, cualquier función racional
es una función algebraica. Aquí se tienen dos ejemplos más:
f (x) = p x 2 + 1
g (x) = x4 16x 2
x p x + (x 2) 3p x + 1
Cuando tracemos las grá cas de las funciones algebraicas, veremos que esas grá cas pueden
tomar diversas formas.
Funciones trigonométricas:En cálculo, la convención es usar la medida radián (excepto
cuando se indica lo contrario). Por ejemplo, cuando utilizamos la función f (x) = sin x,
se entiende que sin x signi ca el seno del ángulo cuya madida en radianes es x. De este
modo, las grá cas de las funciones seno y coseno son como las que muestran en la gura
Siguiente.
Sen(x) Cos(x)
Nota .2 Nótese que tanto para la función seno como para la coseno, el dominio es ( 1; 1) y
el rango es el intervalo cerrado[ 1; 1]. Por tanto, para todos los valores de x, tenemos
1 sin x 1 1 cos x 1
Asímismo, los ceros de la función senose tienen en los multiplos enteros de , es decir,
sin(x) = 0 cuando x = n n un entero
Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son periodicas y tienen un
periodo 2 . Esto signi ca que, para todos los valores de x,
sin (x + 2 ) = sin x cos (x + 2 ) = cos x
La naturaleza periódica de estas funciones las hace apropiadas para modelar fenómenos repetitivos,
como mareas, resortes vibrantes y las ondas sonoras. La función tangente esta relacionada
con las funciones seno y coseno por la ecuación
Arenas A. 12 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
tan x =
sin x
cos x
y su grá ca no está de nida cuando cos x = 0, es decir, cuando x = 2 ;
( 1; 1).
y = tan x
3
2
; :::Su rango es
Note que la función tangente tiene período .
Las tres funciones trigonometricas restantes(cosecante, secante y cotangente) son las recíprocas
de las funciones seno, coseno y tangente.
Funciones exponenciales: Son las funciones de la forma f (x) = a x , donde la base a es
una constante positiva. En la gura que sigue se presentan las grá cas de y = 2 x ; y =
2 x y y = 2 x . En los dos casos, el dominio es ( 1; 1) y el rango es (0; 1).
2 x 2 x 2 x
Funciones logarítmicas: Son las funciones f (x) = log a x, donde la base a es una constante
positiva. Son las funciones inversas de las funciones exponenciales y se estudiaran
en la otra sección En la gura siguiente se encuentran las grá cas de cuatro funciones
logarítmicas con diversas bases. En cada caso, el dominio es (0; 1), y el rango ( 1; 1)
Arenas A. 13 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
y la función crece con lentitud cuando x > 1.
Funciones trascendentes: Se trata de las funciones que no son algebraicas. El conjunto
de las funciones trascendentes incluye las trigonométricas, las trigonométricas inversas,
las exponenciales y las logarítmicas., así como un vasto número de otras funciones que
nunca han sido nombradas.
2.2.5. Transformación de funciones:
Al aplicar ciertas transformaciones a la gra ca de una función dada podemos obtener las gra cas
de ciertas funciones relacionadas y, de este modo, reducir el trabajo al trazar esas gra cas. En
primer lugar, consideraremos las traslaciones. Si c es un número positivo, entonces la gra ca
de y = f (x) + c es precisamente la de y = f (x) desplazada hacia arriba una distancia de c
unidades(debido a que cada coordenada y se incrementa el mismo número c). Del mismo modo
, si g (x) = f (x c), donde c > 0, entonces el valor de g en x es el mismo que el valor de f en
x c(c unidades a la izquierda de x). Por lo tanto, la gra ca de y = f (x c) es precisamente
la de y = f (x) desplazada c unidades a la derecha(véase la g. 14)
Desplazamientos verticales y horizontales: Supóngase que c > 0. Para obtener la gra ca
de
1. y = f(x)+c, se desplaza la gra ca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia arriba.
2. y = f(x) c, se desplaza la gra ca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia abajo.
3. y = f (x c), se desplaza la gra ca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia la
derecha.
4. y = f (x + c), se desplaza la gra ca de y = f (x) una distancia de unidades c hacia la
izquierda.
Arenas A. 14 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
y = p x y = p x 2 y = p x 2 y = p x y = p x
Consideremos ahora las transformaciones de alargamiento y re exión. Si c > 1, entonces la
gra ca de y = cf (x) es la de y = f (x) alargada al factor de c en la dirección vertical(porque
cada coordenadad y se multiplica por el mismo número c ). La gra ca de y = f (x) es la de
y = f (x) re ejada respecto al eje x, porque el punto (x; y) remplaza al punto (x; y). (Véase
la lista y la gura a continuación, donde también se dan los resultados de otras transformaciones
de alargamiento, comprensión y re exión).
Alargamientos y re exiones verticales y horizontales: Supóngase que c > 1. Para obtener
la gra ca de
1. y = cf(x), alárguese la gra ca de y = f (x) verticalmente en un factor de c.
2. y = 1
c
f(x), comprímase la gra ca de y = f (x) verticalmente en un factor de c
3. y = f (cx), comprímase la gra ca de y = f (x) horizontalmente en un factor de c.
4. y = f x
c
, alárguese la gra ca de y = f (x) horizontalmente en un factor de c.
5. y = f (x), re éjese la gra ca de y = f (x) respecto al eje x.
6. y = f ( x), re éjese la gra ca de y = f (x) respecto al eje y.
Arenas A. 15 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Funciones exponenciales
La función f (x) = 2 x se llama función exponencial porque la variable, x, es el exponente.
No debe confundirse con la función ppotencia g (x) = x 2 , en la cual la variable es la base. En
general, una función exponencial es una función de la forma
f (x) = a x
donde a es una constante positiva. Recordemos qué signi ca esto. Si x = n, un entero positivo,
entonces
a n a a a
=
n factores
Si x = 0, entonces a0 = 1 y, si x = n, donde n es un entero positivo, entonces
a n = 1
a n
Si x es un número racional, x = p
, donde p y q son enteros y q > 0, entonces
q
a d = a p
q = qp a p
En la gura 3 se presentan las gra cas de los miembros de la familia de funciones y = a x para
varios valores de la base a. Note que todas estas gra cas pasan por el mismo punto (0;1) porque
a 0 = 1 para a 6= 0. Note también que a medida que la base a se vuelve más grande, la función
exponencial crece con mayor rapidez (para x > 0)
Leyes de los exponentes:
Si a y b son números positivos y x y y son cualesquieras números reales, entonces
1. a x+y = a x + a y
2. a x y = ax
a y
3. (a x ) y = a xy
4. (ab) x = a x b x
Ejemplo .2 Gra que la funcion y = 3 2 x y determine su dominio y su rango.
Solución: En primer lugar, re ejamos la grá ca de y = 2 x ( g. a) respecto al eje x, para obtener
la grá ca de y = 2 x gura b. Luego, desplacemos la gura de y = 2 x tres unidades hacia
arriba para obtener la gra ca de y = 3 2 x gura c. El dominio es R y el rango es ( 1; 3).
Arenas A. 16 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Fig. (a) Fig. (b) Fig. (c)
Ejemplo .3 La vida maedia del estroncio 90, 90 Sr, es de 25 años. Esto signi ca que la mitad
de cualquier cantidad dada de 90 Sr se desintegrará en 25 años.
Si una muestra de 90 Sr tiene una masa de 24 mg, encuentre una expresión para la masa
m(t) que queda despues de t años.
Encuentre la masa restante después de 40 años, correcta hasta el miligramo más cercano.
Use un gra cador para trazar la gra ca de m(t) y utilice está última a n de estimar el
tiempo requerido para que la masa se reduzca hasta 5 mg.
Solución: En un inicio la masa de 24 mg y se reduce a la mitad durante cada 25 años, por tanto
m (0) = 24
m (25) = 1
2 (24)
m (50) = 1
2
m (75) = 1
2
m (100) = 1
2
1 1
(24) = (24)
2 22 1 1
(24) = (24)
22 23 1 1
(24) = (24)
23 24 Con la base en este patrón, parece que la masa restante despues de t años es:
m (t) = 1
2 t
25
(24) = 24 2 t
25
Esto es una función exponencial con base a = 2 1
25 = 1
La masa que queda después de los 40 años es
2 1 25
m (40) = 24 2 40
25 7;9mg
Arenas A. 17 Camargo B.
:

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Usamos una calculadora gra cadora o una computadora para trazar la grá ca de la fun-
ción m (t) = 24 2 t
25 . También trazamos la grá ca de la recta m = 5 y utilizamos el
cursor para estimar que m(t) = 5 cuando t 57. Por tanto, la masa de la muestra de
reducirá hasta 5mg después de alrededor de 57 años.
El número e
m(t) = 24(2 t
25 )
De todas las bases posibles para una función exponencial existe una que es la más conveniente
para los nes del cálculo, se trata del número irracional e = 2;71828::.
Ejemplo .4 Gra que la función y = 1
2 e x 1 y dé el dominio y el rango.
y = e x y = 1
2 e x y = 1
2 e x 1
Solución: Partimos de la grá ca de y = e x , y la re ejamos respecto al eje y para obtener la
gra ca de y = e x , (Nótese que la grá ca cruza el eje y con una pendiente m = 1 ) Luego,
comprimimos, verticalmente la grá ca, un factor de 2 para obtener la gra ca de y = 1
2 e x . Por
último, la desplazamos hacia abajo una unidad para lograr la grá ca deseada; el dominio es R
y el rango es ( 1; 1).
Funciones inversas y logarítmicas
De nición .8 Se dice que una función f es una función uno a uno si nunca toma el mismo
valor dos veces; es decir,
Arenas A. 18 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
f (x1) 6= f (x2) siempre que x1 6= x2
Prueba de la recta horizontal: Una función es uno a uno si sólo si ninguna recta horizontal
interseca su gra ca más de una vez.
No es 1-1 Es 1-1 No es 1-1
De nición .9 : Sea f una función uno a uno, con dominio A y rango B. Entonces su función
inversa f 1 tiene dominio B y rango A y la de ne
f 1 (y) = x () f (x) = y (1)
para cualquier y en B.
Esta de nición expresa que si f mapea x en y, entonces f 1 mapea y de regreso a x. (Si f no
fuera uno a uno, entonces f 1 no estaría de nida de manera única). Note que
dominio de f 1 = rango de f
rango de f = dominio de f 1
Tradicionalmente, la letra x se usa la como variable independiente, de modo que cuando nos
concentramos en f 1 , en lugar de f,solemos invertir los papeles de x y y en la ecuación (1) y
escribimos
f 1 (x) = y () f (y) = x (2)
Si en la misma ecuación (1) se sustituye y, así como en (2), se obtienen las siguientes ecuaciones
de cancelación:
f 1 (f (x)) = x para toda x en A
f(f 1 (x)) = x para toda x en B
Cómo hallar la función inversa de una función f uno a uno
Arenas A. 19 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Paso 1: Escribimos y = f (x)
Paso 2: Resolvemos esta ecuación para x en terminos de y (si es posible)
Paso 3: Para expresar f 1 como función de x, intercambiamos x y y. La ecuación resultante es
y = f 1 (x)
Ejemplo .5 Encuentre la función inversa de f (x) = x 3 + 2.
Solución: Primero escribimos
Luego resolvemos esta ecuación para x:
Por último, intercambiamos x y y:
Por lo tanto, la función inversa es:
y = x 3 + 2:
x 3 = y 2
x = 3p y 2
y = 3p x 2
f 1 (x) = 3p x 2
f(x) = x 3 + 2 f 1 (x) = 3p x 2 f(x) y f 1 (x)
El principio de intercambiar x y y a n de hallar la función inversa también nos proporciona
el método para obtener la grá ca de f 1 , a partir de la de f. Dado que f (a) = b si sólo si
f (b) = a, el punto (a; b) está en la grá ca de f 1 . Pero obtenemos el punto (a; b) por re exión
respecto de la recta y = x ( g. 8).
Por lo tanto, como se ilustra en la gura siguiente:
Se obtiene la gra ca de f 1 al re ejar la gra ca de f respecto a la recta y = x.
Ejemplo .6 Trace la gra ca de f (x) = p 1 x y de su función inversa, usando los mismos
ejes de coordenadas.
Arenas A. 20 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
Solución: Primeo gra camos la curva y = p 1 x (La mitad superior de la parábola y 2 =
1 x, o bien, x = y 2 1) y luego la re ejamos respecto a la recta y = x para lograr la
grá ca de f 1 ( g. 10). Como comprobación de la gra ca, note que la expresión para f 1 es
f 1 (x) = x 2 1; x > 0. De modo que la gra ca de f 1 es la mitad derecha de la parábola
y = x 2 1 y, a partir de la gura , esto parece razonable.
f(x) = p 1 x f 1 (x) = x 2 1 f(x) y f 1 (x)
Funciones logarítmicas
Si a > 0 y a 6= 1, la función exponencial f (x) = a x está creciendo o decreciendo y, por tanto,
es uno a uno. Por consiguiente, tiene una función inversa f 1 , la cual se conoce como función
logaritmica con base a y se denota con log a. Si usamos la formulación de función inversa que
da ,
f 1 (x) = y () f (y) = x
entonces tenemos
log a x = y () a y = x
Por tanto, si a > 0, entonces log a x es el exponente al que debe elvarse la base para a para dar
x. Por ejemplo, log 10 0;001 = 3, porque 10 3 = 0;001. Cuando las ecuaciones de cancelación
se aplican a f (x) = a x y f 1 (x) = log a x, quedan como
log a(x) = x para toda x 2 R
a log a = x para toda x > 0
La función logarítmica log a tiene dominio (0; 1) y rango R. Su gra ca es la re exión de la
gra ca de y = a x respècto a la recta y = x.
En la gura se muestra el caso en dondea > 1(Las funciones logarítimicas más importantes
tienen base a > 1). El hecho de que y = a x sea una función que aumenta con mucha rapidez
para x > 0 se re eja en que y = log a x es una función que aumenta con mucha lentitud para
x > 1.
Leyes de los logaritmos: Si x y y son números positivos, entonces:
Arenas A. 21 Camargo B.

2.2 Funciones Cálculo Diferencial
1. log a (xy) = log a x + log a y
2. log a
x
y = loga x loga y
3. log a (x r ) = r log a x (en donde r es cualquier número real)
Logaritmos naturales
De todas las bases a para los logaritmos, veremos que la elección más conveniente de una base
es el número e, el cual ya se de nió anteriormente. El logaritmo con base e se conoce como
logaritmo natural y tiene una notación especial:
log e x = ln x
Si en las ecuaciones anteriores ponemos a = e y log e = ln, entonces las propiedades de
de nición de la función logaritmo natural quedan
En particular, si se hace x = 1, obtenemos
ln x = y () e y = x
ln (e x ) = x x 2 R
e ln x = x x > 0
ln e = 1
Arenas A. 22 Camargo B.