¿Qué es una lógica?

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$Nota Bene-- D:\A\TRADUC~1\KOCKEL~1\SINOPSIS.NBW Job 1$

2.- Debilitamiento (Monotonía) 3.- Corte (Transitividad) Γ⇒∆ Γ⇒∆ Γ⇒A, ∆ Γ,A⇒∆ Γ⇒∆,A A, Γ’⇒∆’ Γ, Γ’ ⇒ ∆, ∆’ El segundo punto es el que corresponde a la categoría Sign, que es la categoría de las signaturas. El papel que juega esta categoría, es el permitir que diferentes presentaciones de una misma lógica puedan ser tomadas como representando justamente, a una misma lógica. Sign tiene como clase de objetos todas las signaturas, como morfismos, morfismos de signaturas que nos permiten cambiar o “traducir” una lógica de signatura S en una de signatura S’. Por ejemplo para la lógica proposicional clásica, una signatura es un par S=(F,P) donde F={Fa1, ......, Fin} donde cada Fji es un símbolo de función de índice o número de argumentos i, y P={Pa0, ...., Pi0} donde cada Pj0 es un símbolo de predicado de índice cero ya que no hay individuos. Los morfismos de signaturas en este caso son funciones que preservan el índice entre símbolos de predicados y funciones. Estas observaciones son suficientes para que sea más natural entender lo que es una π-institución de manera formal. Entonces, una π-institución (ver Fiadeiro 1988) es una terna (Sign, SEN, ⊢), donde Sign es la categoría de las signaturas, SEN es un funtor 3 SEN: Sign → Set que toma una signatura y nos 3 Recordemos que Set es la categoría que tiene como clase de objetos a todos los conjuntos, como morfismos, funciones entre conjuntos, como identidad la función identidad y cuya multiplicación es la composición usual de funciones. 6
devuelve el conjunto de fórmulas bajo esa signatura. Este funtor es suma importancia ya que queremos que bajo la traducción que induce preserve la relación ⊢. Finalmentem la relación ⊢ que depende de una signatura dada S, y que es un subconjunto de ℘(SEN(S))X SEN(S) satisface las siguientes propiedades: 1.- Reflexividad: Para toda s є SEN(S), {s}⊢ s 2.- Monotonía: Si Γ ⊢ s y Γ ⊆ Γ’, entonces Γ’⊢ s 3.- Transitividad: Si Γ ⊢ si para i є I un conjunto de índices, y Γ∪{si}iєI ⊢ s’ entonces Γ ⊢ s’ 4.- ⊢-traducibilidad: Si Γ⊢ s entonces para cualquier H є Mor(Sign), H:S →S’ se tiene que: donde ⊢ depende de S’. Logicas subestructurales SEN(H)(Γ) ⊢ SEN(H)(s) Ahora bien, el primer contraejemplo que surge cuando se da esta formalización son las lógicas subestrucutrales. Es curioso ya que la primer formalización que dio Fiadeiro fue un tanto inocente (ver Fiadeiro 1988) en tanto que pidió que la relación ⊢ cumpliera los axiomas de Tarski tal cual Tarski los había estipulado en Tarski 1928. Como Fiadeiro mismo hizo notar en su artículo,esto dejaba fuera muchas lógica clásicas. La versión que presentamos aquí tiene el cuidado de generalizar estas propiedades en el sentido ya 7
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