3. Normativa. El Hormigón - UNED

HORMIGÓN PRETENSADO
TEMA
3.1.
3
Tema 3. Normativa. El Hormigón
55
NORMATIVA. EL
HORMIGÓN
Introducción
Comportamiento mecánico
del hormigón
Comportamiento diferido del
hormigón: Retracción y fluencia
Coeficiente de dilatación térmica
Aplicación de los parámetros
de cálculo del hormigón
INTRODUCCIÓN
3.1.1. Normativa
Tradicionalmente, en la normativa española se ha dado un trato
diferenciado a las estructuras de hormigón armado respecto a las de
hormigón pretensado. De este modo, antes de la publicación de la
Instrucción de Hormigón Estructural EHE, el hormigón armado se ha
regido por la EH 91, mientras que el mundo del pretensado se articulaba
en torno a la EP 93.
La primera instrucción relativa al hormigón en España fue aprobada el 3
de febrero de 1939. Esta instrucción recogía únicamente el empleo del

56
Alfonso Cobo Escamilla Luis Felipe Rodríguez Martín
hormigón en masa y armado. No fue hasta 1977 cuando apareció la
primera instrucción de hormigón pretensado. A partir de esta fecha las
sucesivas instrucciones relativas al hormigón armado y al pretensado se
han ido revisando y modificando por separado.
En el año 1998 la Instrucción EHE (vigente en el momento de la
redacción de este texto) ha unificado el tratamiento de ambos temas, de
forma que el hormigón armado y el pretensado han pasado a estudiarse
de forma conjunta bajo la denominación de hormigón estructural.
Han sido varias las razones que han aconsejado este cambio, entre las
más significativas cabe señalar:
- Ambas instrucciones coincidían en algunos puntos de su contenido.
- En numerosas estructuras existen simultáneamente elementos de
hormigón armado y de hormigón pretensado.
- Tanto en la Normativa técnica internacional como en los comités de
expertos, se tiende a la unificación.
La Instrucción EHE se ha redactado con el esquema general de las
instrucciones anteriores. Se han actualizado Anejos que ya existían y se
han incorporados otros nuevos, como el relativo a Hormigones de Alta
Resistencia, que actualmente figura con carácter de recomendación,
pero con la intención de incorporarlo en futuras versiones al articulado
de la Instrucción.
3.1.2. Notación
Generalmente en este texto se empleará la notación de la Instrucción
EHE, que se supone conocida del estudio del hormigón armado. La
única variación importante es la introducción del subíndice p que se
aplica a lo que es específico del hormigón pretensado.
A p = Sección total de las armaduras activas.
I
p
A = Sección total de las armaduras activas en zona de
compresión.
Escuela de la Edificación

HORMIGÓN PRETENSADO
E p = Módulo de deformación longitudinal de la armadura activa.
P = Fuerza del pretensado, carga de rotura.
P k = Valor característico de la fuerza de pretensado .
P ki = Valor característico inicial de la fuerza de pretensado.
P kf = Valor característico final de la fuerza de pretensado.
P o = Fuerza de tesado.
V pd = Valor de cálculo de la componente de la fuerza de
pretensado paralela a la sección en estudio.
f max, k = Carga unitaria de rotura del acero de las armaduras activas.
f pd = Resistencia de cálculo de las armaduras activas.
f pk = Límite elástico característico de las armaduras activas.
f py = Límite elástico aparente de las armaduras activas.
f yp,
d = Resistencia de cálculo de la armadura A p
γ p = Coeficiente parcial de seguridad de la acción de pretensado.
ε cp = Deformación del hormigón bajo la acción del pretensado
total.
ε p = Deformación de las armaduras activas.
ε p0
= Deformación de la armadura activa adherente bajo la acción
del pretensado total.
ε rf = Valor final de la retracción del hormigón a partir de la
introducción del pretensado.
ρ = Cuantía geométrica ρ = A s / A c . Relajación del acero.
ρ f = Valor final de la relajación del acero.
σ p = Tensión en las armaduras activas.
σ pi = Tensión inicial en las armaduras activas.
σ p,
PO = Tensión de la armadura activa debida al valor característico
del pretensado en el momento en que se realiza la
comprobación del tirante.
Tema 3. Normativa. El Hormigón
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σ sp = Tensión de cálculo de armaduras activas.
∆Ρ i = Pérdidas instantáneas de fuerza.
∆Ρ dif = Pérdidas diferidas de fuerza.
∆ σ pd = Incremento de tensión debido a las cargas exteriores.
∆ σ pr = Pérdida por relajación a longitud constante.
∆Ρ 1 = Pérdidas de fuerza por rozamiento.
∆Ρ 2 = Pérdidas de fuerza por penetración de cuñas.
∆Ρ 3 = Pérdidas de fuerza por acortamiento elástico del hormigón.
∆Ρ 4f
= Pérdidas finales por retracción del hormigón.
∆Ρ 5f
= Pérdidas finales por fluencia del hormigón.
∆Ρ 6f
= Pérdidas finales por relajación del acero.
En el Anejo I de la Instrucción EHE se puede consultar la notación
correspondiente a los símbolos más frecuentemente utilizados en la
Instrucción.
3.2.
COMPORTAMIENTO
MECÁNICO DEL
HORMIGÓN
3.2.1. Resistencia a compresión
La resistencia de materiales clásica estudia sólidos elásticos, aquellos
que gozan de las propiedades de continuidad, homogeneidad e
isotropía. Estrictamente, ningún material de la naturaleza posee esas
propiedades. Los materiales que constituyen nuestras estructuras, se
asemejan en grados distintos al comportamiento de los sólidos
elásticos.
Escuela de la Edificación

HORMIGÓN PRETENSADO
Así, por ejemplo, en el caso del acero debemos descender a una escala
microscópica para que no se den las tres propiedades anteriores. Sin
embargo, para el caso del hormigón, a una escala macroscópica, a
simple vista, ya observamos la falta de homogeneidad. La coexistencia
de grava, áridos y pasta, cada uno de estos componentes con
propiedades mecánicas distintas hacen del hormigón un material
complejo. Además, la formación de poros, junto a la microfisuración que
aparece en la interfase árido – pasta de cemento, contribuyen en buena
medida a incrementar la complejidad anterior.
Por esta razón, a pesar de que tanto la pasta de cemento como los
áridos poseen un comportamiento muy aproximadamente elástico y
lineal, el material hormigón posee un diagrama tensión deformación que
solo puede suponerse lineal hasta aproximadamente el 33% de su
carga de rotura.
En este texto, el comportamiento del material hormigón se supone ya
conocido del estudio del hormigón armado y únicamente se hará
hincapié en los puntos que se consideran más significativos para el
análisis del hormigón pretensado.
La característica mecánica más importante del hormigón es su
resistencia a compresión simple.
La resistencia a compresión, al igual que la resistencia de cualquier tipo
de material, varía de forma estadística según una determinada
distribución de frecuencia. Al no conocerse esa distribución, lo usual es
utilizar algún parámetro de la misma.
Los dos parámetros más utilizados por la Instrucción EHE son la
resistencia característica ( f ck ) y la resistencia media ( f cm ) . En el punto
3.2.5. se indica la relación entre ambos valores.
La resistencia característica de proyecto f ck es el valor que se adopta
en el proyecto para la resistencia a compresión, como base de los
cálculos. Se denomina también resistencia característica especificada o
resistencia de proyecto.
La resistencia real real
ck
f , de obra es el valor que corresponde al cuantil
del 5 por 100 en la distribución de resistencia a compresión del
hormigón colocado en obra. El control en sus modalidades trata de
verificar que este valor es superior a la resistencia característica de
proyecto.
Tema 3. Normativa. El Hormigón
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La resistencia característica estimada f c est es el valor que estima o
cuantifica la resistencia característica real de obra a partir de un número
finito de resultados de ensayos normalizados de resistencia a
compresión realizados con probetas tomadas en obra. Esta magnitud es
la que utiliza el control de calidad para estimar si en un porcentaje
suficiente de las amasadas f c real > f ck .
La Instrucción EHE recomienda que se seleccione el valor o valores de
la resistencia característica de proyecto de entre los de la siguiente
serie:
20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
que son valores en N/ mm 2 de la resistencia característica a compresión
de proyecto del hormigón a la edad de 28 días. No obstante en
edificación es habitual no sobrepasar los 30 N/ mm 2 . En 2.4.3. se señala
que la resistencia mínima para hormigón armado es, en cualquier caso,
de 25 N/ mm 2 , y para hormigón en masa de 20 N/ mm 2 . Además los
requisitos de la Instrucción EHE no son directamente aplicables a
hormigones de más de 50 N/ mm 2 . En todo caso, se deben respetar los
requisitos de durabilidad, que pueden ser más exigentes que los
mecánicos.
La Tabla 3.1. indica la resistencia de proyecto mínima f ck que exige la
Instrucción EHE en función del tipo de hormigón de que se trate:
Tipo de hormigón
Escuela de la Edificación
f ck mínima
(N/mm 2 )
En masa 20
Armado o pretensado 25
Hormigón de limpieza* -
* El hormigón de limpieza se considera no estructural, lo
mismo que el de elementos como bordillos o aceras, y,
por tanto, la Instrucción EHE no establece para ellos un
valor mínimo de f ck .
Tabla 3.1. Resistencia característica mínima del hormigón.

HORMIGÓN PRETENSADO
Hasta el momento de aparición de la Instrucción EHE, en España el
hormigón más utilizado para edificación tenía una resistencia de 175
kp/cm 2 . La Instrucción EHE exige para un hormigón armado una
resistencia mínima de 250 kp/cm 2 , no por exigencias resistentes, sino
de durabilidad.
3.2.2. Resistencia a tracción
Experimentalmente, se ha comprobado que la resistencia del hormigón
a tracción es de 10 a 20 veces menor que la resistencia a compresión.
Además la resistencia a tracción tiene una fluctuación mayor que la
resistencia a compresión.
En función del cálculo que se esté realizando, como resistencia a
tracción del hormigón, puede interesar adoptar cualquiera de los tres
valores siguientes:
- Resistencia media del hormigón a tracción f ct,
m
- Resistencia característica inferior f ct,
k
- Resistencia característica superior f ct,
k;
0,
95
Cuando no se disponga de resultados experimentales, para edades
teóricas no inferiores a 7 días y en condiciones normales de curado, la
Instrucción EHE ofrece las siguientes expresiones para obtener los
valores correspondientes de resistencia a tracción, en función de la
resistencia característica de proyecto a compresión f ck
a) Resistencia media a tracción del hormigón:
f =
ct,
m
0,
30
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3
f
2
ck
b) Resistencia característica inferior a tracción del hormigón:
f =
ct,
k
0,
21
3 2
f ck
c) Resistencia característica superior a tracción del hormigón:
f =
ct,
k;
0,
95
0,
39
3
f
2
ck
61

62
Alfonso Cobo Escamilla Luis Felipe Rodríguez Martín
En las tres expresiones anteriores, tanto la resistencia característica a
compresión como la resistencia característica a tracción, deben ir
expresadas en N/mm 2 .
3.2.3. Resistencias de cálculo
La resistencia de cálculo del hormigón en compresión f cd o en tracción
f ct,
d se calcula dividiendo el correspondiente valor característico de
proyecto por un coeficiente de seguridad parcial γ c′ que se indica en la
Tabla 3.2., en función del tipo de Estado Límite y de la Situación
considerada.
La Instrucción EHE establece dos excepciones respecto a lo anterior:
a) Los valores de γ c de la Tabla 3.2. no son de aplicación en la
comprobación del Estado Límite Último de Fatiga.
b) Cuando se especifica el control a nivel reducido para el hormigón,
los valores mínimos de la resistencia característica especificada
siguen siendo los establecidos con carácter general, pero se
penaliza el valor de la resistencia de cálculo a compresión que no
2
puede ser superior a 10 N / mm .
Estado límite Valores de γ c
Último Persistente y transitoria 1,50
Accidental 1,30
De servicio 1,00
Tabla 3.2. Coeficientes de minoración de la resistencia del hormigón.
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HORMIGÓN PRETENSADO
3.2.4.
Diagramas tensión –
deformación de cálculo
Para dimensionar secciones sometidas a solicitaciones normales, en
los Estados Límite Últimos, se adopta uno de los diagramas siguientes:
a) Diagrama parábola rectángulo, formado por una parábola de
segundo grado y un segmento rectilíneo. El vértice de la parábola se
corresponde con la deformación de rotura en compresión simple del
hormigón (2,0 ‰) y el extremo del segmento rectilíneo con la
deformación de rotura del hormigón en flexión (3,5 ‰), siendo la
ordenada máxima igual al 85 por 100 de la resistencia de cálculo
f del hormigón a compresión.
cd
Figura 3.3. Diagrama parábola – rectángulo.
b) Diagrama rectangular. Es una aproximación al anterior, en el que el
bloque de compresiones es un rectángulo equivalente con una
tensión máxima 0 , 85 f y con una profundidad y (figura 3.4.).
cd
Tema 3. Normativa. El Hormigón
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64
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Figura 3.4. Diagrama rectangular simplificado.
c) La Instrucción EHE permite el empleo de otros diagrmas de cálculo;
como los parabólicos, birrectilíneos, trapezoidales, etc., siempre que
los resultados con ellos obtenidos concuerden, de una manera
satisfactoria, con los correspondientes a los de la parábola
rectángulo o queden del lado de la seguridad.
3.2.5.
La Instrucción EHE propone los dos siguientes:
Módulo de deformación
longitudinal
a) Módulo de deformación longitudinal inicial E oj : corresponde a la
pendiente de la tangente en el origen a la curva tensión –
deformación real a la edad de j días (Figura 3.5.). Puede tomarse
igual a:
E =
10000
oj
Escuela de la Edificación
3
f
cm,
j

HORMIGÓN PRETENSADO
Siendo f cm,
j la resistencia media del hormigón a compresión a la
edad de j días. Si las condiciones de fabricación son buenas, la
resistencia media a compresión f cm a 28 días puede estimarse con
la fórmula:
f = f + 8 N / mm
cm
ck,
28
b) Módulo instantáneo de deformación longitudinal secante Ej: es la
pendiente de la secante al diagrama σ c − εc
real para
σ c ≤ 0,
45 fcj
en servicio, con f cj la resistencia característica a
compresión a la edad de j días (figura 3.5.):
E = 8500 ⋅
j
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3
f
cm,
j
En las expresiones anteriores todos los valores deben ir expresados en
N/mm 2 .
Figura 3.5. Diagrama tensión – deformación real del hormigón
Corrección en función de la naturaleza del árido
El módulo de deformación longitudinal del hormigón depende de
diversas variables, entre las que se encuentra la naturaleza
mineralógica del árido. Las expresiones propuestas se pueden corregir,
multiplicando el resultado obtenido por el valor del coeficiente a de la
Tabla 3.6.
2
65

66
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Árido Valor de α
Cuarcita 1
Arenisca 0,7
Caliza
Ofita, basalto y rocas volcánicas
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Normal 0,9
Densa 1,2
Poroso 0,9
Normal 1,2
Granito y otras rocas plutónicas 1,1
Diabasas 1,3
Tabla 3.6. Corrección en función de la naturaleza del árido.
Corrección en función de la edad del hormigón
Las propiedades mecánicas del hormigón varían con el paso del tiempo,
fundamentalmente en el primer año de edad. La resistencia a
compresión aumenta y el módulo de deformación también, pero el
crecimiento del módulo de deformación es mayor que el de la
resistencia a compresión por lo que la Instrucción EHE propone un
procedimiento de evaluación más preciso, en función de la edad,
multiplicando el módulo obtenido a la edad de 28 días por el valor del
coeficiente β deducido de la Tabla 3.7.
Edad del hormigón 3 7 28 90 365
Hormigón de endurecimiento normal 0,63 0,80 1,00 1,09 1,16
Hormigón de endurecimiento rápido 0,74 0,87 1,00 1,07 1,09
Tabla 3.7. Corrección en función de la edad del hormigón.

HORMIGÓN PRETENSADO
3.2.6. Coeficiente de Poisson
La Instrucción EHE fija como coeficiente de Poisson para el hormigón el
valor de 0,20, aclarando que se trata de un valor que únicamente puede
usarse bajo deformaciones elásticas.
3.3.
3.3.1.
COMPORTAMIENTO
DIFERIDO DEL HORMIGÓN:
RETRACCIÓN Y FLUENCIA
Comportamiento diferido
del hormigón
La naturaleza del hormigón implica la aparición de deformaciones en el
mismo con el paso del tiempo.
Los dos fenómenos más importantes que provocan estas
deformaciones son la retracción y la fluencia.
La Instrucción EHE ofrece métodos para evaluar las deformaciones
producidas por la retracción y la fluencia, bien a través de expresiones
analíticas o de tablas. Los métodos de la Instrucción no son aplicables
cuando el hormigón está tratado térmicamente o sometido a
temperaturas extremas.
3.3.2. Retracción
Se define como retracción a la deformación que experimenta el
hormigón a lo largo del tiempo cuando sobre él no se aplica ninguna
tensión.
Para poder colocar un hormigón en obra es necesario amasarlo con una
cantidad de agua que supera a la que se necesita para que se produzca
químicamente su fraguado. Ese exceso de agua se evapora a la
Tema 3. Normativa. El Hormigón
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68
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atmósfera por un proceso de difusión, mayor cuanto menor sea la
humedad relativa del ambiente, como consecuencia se produce una
disminución de volumen en el hormigón. A este proceso se le conoce
como retracción. Si el hormigón se encuentra sumergido, se produce un
incremento de volumen, lo que se conoce como entumecimiento.
Se trata de un fenómeno muy complejo que depende de numerosos
factores. La Instrucción EHE ofrece una formulación simplificada en la
cual se tienen en cuenta las siguientes variables:
- El grado de humedad ambiente.
- El espesor o menor dimensión de la pieza.
- La composición del hormigón.
- El tiempo transcurrido desde la ejecución, que marca la duración del
fenómeno.
La Instrucción EHE ofrece la siguiente formulación para obtener la
deformación que experimenta el hormigón debido a la retracción o al
entumecimiento del hormigón:
Donde:
ε
cs
( t, t ) = ε β ( t − t )
s
cs0
t = Edad del hormigón en el instante de evaluación, en
días.
t s = Edad del hormigón al comienzo de la retracción, en
días.
εcs 0 = Coeficiente básico de retracción.
ε
cs0
s
=
ε
s
β
HR
−6
( 570 − 5 f ) 10
ε =
, con f ck en
ck
Escuela de la Edificación
s
2
N
/ mm
s

HORMIGÓN PRETENSADO
Para estructuras al aire ( HR p 100 %)
βHR
=
⎛
3 ⎞
⎜ ⎛ HR ⎞
−1
, 55 1 − ⎟
⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎝ 100⎠
⎠
Para estructuras sumergidas:
HR 0,
25 = β
HR Humedad relativa en tanto por ciento
( t − t )
β s s Coeficiente que define la evolución temporal de la
retracción
β
e
s
( t − t )
2A
c
e =
u
A c
s
=
0,
035e
t − t
2
+
s
( t − t )
Espesor medio en milímetros
Área de la sección transversal.
u Perímetro en contacto con la atmósfera.
s
Para distintos valores de las variables involucradas, el valor de la
deformación de retracción, a distintas edades, tomando como origen el
final del curado, de acuerdo con el modelo propuesto y para
hormigones de peso normal, puede obtenerse de la tabla 3.8.
Este modelo permite la utilización de coeficientes correctores para
considerar la influencia del tipo de cemento y temperatura de curado.
Para ello debe consultarse la bibliografía especializada. El Eurocódigo 2
(EC2) ofrece un modelo muy similar al de la Instrucción EHE, pero en el
que se puede tener en cuenta el tipo de cemento.
Tema 3. Normativa. El Hormigón
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70
t −
ts
días
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Humedad relativa (%)
50 60 70 80
Espesor medio (mm)
50 150 600 50 150 600 50 150 600 50 150 600
14 -193 -69 -17 -173 -61 -15 -145 -51 -13 -107 -38 -10
30 -262 -99 -25 -235 -89 -23 -197 -75 -19 -146 -55 -14
90 -369 -166 -44 -331 -149 -39 -277 -125 -33 -206 -93 -24
365 -466 -292 -87 -417 -262 -78 -350 -219 -65 -260 -163 -49
1825 -507 -434 -185 -454 -388 -165 -381 -326 -139 -283 -242 -103
10000 -517 -499 -345 -463 -448 -309 -388 -375 -259 -288 -279 -192
6
Tabla 3.8. Valores de la retracción del hormigón [ 10 ] −
3.3.3. Fluencia
Se define como fluencia la deformación que experimenta una muestra
de hormigón a lo largo del tiempo como consecuencia de una tensión
constante.
Supongamos que en una probeta de hormigón se aplica una historia de
cargas semejante a la de la figura 3.9. Las deformaciones producidas se
muestran en la figura 3.10.
En un instante t se carga originando una tensión de valor σ 0 . Como
consecuencia se produce una deformación instantánea ε 0 . Si se
mantiene la tensión aplicada hasta el instante de tiempo t 1 , la
deformación sigue creciendo hasta el valor ε 0 + εd
. Esta deformación
es la fluencia. Si ahora se descarga la probeta, se comprueba que la
deformación instantánea se recupera de forma inmediata, y con el
transcurso del tiempo se recupera sólo parte de la deformación de
fluencia, quedando una deformación remanente. De modo que la
deformación de fluencia se podría dividir en una deformación elástica (la
que se recupera - εde -) y una deformación plástica (la remanente - εdp -).
Escuela de la Edificación

HORMIGÓN PRETENSADO
Figura 3.9. Historia de cargas
Figura 3.10. Historia de deformaciones
Para que se produzca la fluencia es indispensable que en el hormigón
exista agua no combinada. En muestras previamente desecadas no se
produce la fluencia bajo carga.
La deformación por fluencia es aproximadamente proporcional a la
deformación instantánea cuando la tensión aplicada es inferior al 40 %
de la resistencia característica del hormigón. Para mayores valores de
tensión, se pierde la linealidad, aumentando la deformación con mayor
rapidez que la tensión. Este efecto, de escasas connotaciones en la
práctica, no se tiene en cuenta en la normativa.
Tema 3. Normativa. El Hormigón
71

72
Alfonso Cobo Escamilla Luis Felipe Rodríguez Martín
La Instrucción EHE ofrece la siguiente formulación, obtenida
experimentalmente, para obtener la deformación dependiente de la
tensión, en el instante t , para una tensión constante σ ( t0
) , menor
que 0 , 45 fcm
, aplicada en t 0 :
εcσ ( t,
t ) = σ ( t )
donde t 0 y t se expresan en días
0
0
⎡ 1 ϕ
⎢ +
⎢⎣
E0,
t E
0
Escuela de la Edificación
( t,
t )
0,
28
El primer sumando del paréntesis representa la deformación
instantánea para una tensión unidad, y el segundo la de fluencia,
siendo:
E 0,
28
Módulo de deformación longitudinal inicial del
hormigón a los 28 días de edad.
E 0,
t
Módulo de deformación longitudinal inicial del
0
hormigón en el instante t 0 de aplicación de la carga.
( t,
t )
ϕ Coeficiente de fluencia.
0
El coeficiente de fluencia puede obtenerse mediante la siguiente
formulación:
ϕ
( t, t ) = ϕ β ( t − t )
0
0
c
0
ϕ 0 = Coeficiente básico de fluencia, dado por la expresión:
ϕ
ϕ
0
HR
=
=
ϕ
HR
1
β
+
( f ) β ( t )
cm
100
9,
9
ck
e
−
0
HR
1 / 3
16,
8
β ( fcm
) =
fck
en
f + 8
2
N
/ mm
0
⎤
⎥
⎥⎦

HORMIGÓN PRETENSADO
β
1
( t0
) =
0,
2
0,
1 +
( t − t )
t
0
β Función que describe el desarrollo de la fluencia con
c 0
el tiempo
β
c
( − t )
( t − to
)
+ ( t − t )
0,
3
⎡
⎤
t 0 = ⎢
⎥
βH
0 ⎦
⎣
16
[ 1 + ( 0,
012 HR)
] + 250
β = 1,
5 e
⊁1500
H
En las expresiones anteriores e , es el espesor medio expresado en
mm.
La formulación anterior tiene una base experimental y su calibración se
ha realizado a partir de ensayos de laboratorio sobre probetas de
hormigón sometidas a compresión.
Con esta formulación se pueden utilizar coeficientes correctores para
considerar la influencia de los siguientes factores:
- Tipo de cemento y temperatura de curado, que pueden tenerse en
cuenta modificando la edad de puesta en carga del hormigón t 0 .
- Tensiones situadas en el rango 0 , 45 fcm,
t < σ
0 c < 0 , 6 fcm,
t . La
0
no linealidad de la fluencia en este caso se evalúa multiplicando el
coeficiente básico de fluencia ϕ 0 por una expresión que depende
de la relación tensión aplicada / resistencia y para ello debe
consultarse la bibliografía especializada.
El EC2 propone la misma formulación para calcular la fluencia, con dos
factores adicionales de corrección: uno debido al tipo de cemento y otro
por el efecto del curado a una temperatura distinta a 20ºC.
Para distintos valores de las variables involucradas, el valor del
coeficiente de fluencia a 10000 días, de acuerdo con el modelo
propuesto, puede obtenerse de la tabla 3.11.
Tema 3. Normativa. El Hormigón
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74
Alfonso Cobo Escamilla Luis Felipe Rodríguez Martín
Edad de
Humedad relativa (%)
puesta
en carga
50 60 70 80
t 0
Espesor medio (mm)
días 50 150 600 50 150 600 50 150 600 50 150 600
1 5,4 4,4 3,6 4,8 4,0 3,3 4,1 3,6 3,0 3,5 3,1 2,7
7 3,8 3,1 2,5 3,3 2,8 2,3 2,9 2,5 2,1 2,5 2,2 1,9
14 3,3 2,7 2,2 2,9 2,4 2,0 2,5 2,2 1,8 2,2 1,9 1,7
28 2,9 2,4 1,9 2,6 2,1 1,8 2,2 1,9 1,6 1,9 1,7 1,5
60 2,5 2,1 1,6 2,2 1,9 1,5 1,9 1,7 1,4 1,6 1,4 1,3
90 2,3 1,9 1,5 2,0 1,7 1,4 1,8 1,5 1,3 1,5 1,3 1,2
365 1,8 1,4 1,2 1,6 1,3 1,1 1,4 1,2 1,0 1,2 1,0 0,9
1800 1,3 1,1 0,8 1,1 1,0 0,8 1,0 0,9 0,7 0,8 0,7 0,7
3.3.4.
Tabla 3.11. Valores de coeficiente de fluencia
Edad corregida del
hormigón: madurez
El comportamiento diferido del hormigón depende también de la
temperatura a la que está sometido en servicio. El concepto de madurez
del hormigón tiene en cuenta este fenómeno, corrigiendo la edad del
hormigón en función de la temperatura. El Código Modelo CEB – FIP
1990 ofrece la siguiente expresión para su evaluación analítica:
t T =
n
∑
i=
1
⎛
4000
∆ti
⋅ e ⎜
13,
65
⎝ 273 + T
( ∆ti)
t T = Edad del hormigón con el ajuste por temperatura.
∆ ti = Tiempo (en días) en los que se produce la temperatura
∆
ti
Escuela de la Edificación
⎞
⎟
⎠

HORMIGÓN PRETENSADO
( ti)
T ∆ = Temperatura en grados centígrados durante el período de
tiempo ∆ ti.
El valor t t así obtenido se puede introducir en las expresiones
reológicas del hormigón en lugar del tiempo natural.
3.3.5.
Consideraciones respecto
a la retracción y a la
fluencia
En este punto se va a señalar la diferencia de comportamiento frente a
la retracción y a la fluencia entre el hormigón armado y el hormigón
pretensado.
En el hormigón armado, los acortamientos por retracción y fluencia se
ven coartados debido a la armadura pasiva. Cuando el hormigón quiere
acortar, realiza un trabajo contra el acero pasivo, que por adherencia se
lo impide. El hormigón queda sometido a tracción y el acero a
compresión. Los acortamientos por retracción y fluencia se ven
disminuidos por la armadura pasiva en función de la cuantía de la
misma y de la relación entre el módulo de elasticidad del acero y el
módulo de deformación del hormigón.
En el hormigón pretensado la situación es la inversa. Es el acero el que,
una vez liberado de su coacción, trata de acortarse y realiza trabajo
contra el hormigón. El acero queda traccionado y el hormigón
comprimido, de modo que el acero no se opone a los acortamientos de
retracción y fluencia. En el hormigón pretensado, los acortamientos de
retracción y fluencia deben ser considerados con sus valores totales,
sólo pueden ser reducidos cuando en la zona considerada exista una
cuantía importante de armadura pasiva.
Tema 3. Normativa. El Hormigón
75

76
Alfonso Cobo Escamilla Luis Felipe Rodríguez Martín
3.4.
COEFICIENTE DE
DILATACIÓN TÉRMICA
El coeficiente de dilatación térmica del hormigón se tomará igual a
5
10 − .
Los ensayos han demostrado que este coeficiente puede variar en una
proporción relativamente elevada (del orden de ± 30 por 100). Dicho
coeficiente depende de la naturaleza del cemento, de la de los áridos,
de la dosificación, de la higrometría y de las dimensiones de las
secciones. Por lo que respecta a los áridos, los valores más bajos se
obtienen con áridos calizos y los más elevados con áridos silíceos.
3.5.
APLICACIÓN DE LOS
PARÁMETROS DE CÁLCULO
DEL HORMIGÓN
En la Tabla 3.12. se resumen los ámbitos de aplicación de los
principales parámetros del hormigón.
Escuela de la Edificación

HORMIGÓN PRETENSADO
Parámetros Símbolo Aplicaciones EHE
Definición a partir de la
resistencia media a compresión.
Art. 39.6
Cálculo de fluencia. Art. 39.8
Módulo de deformación
longitudinal inicial
E0j,
Ec
Definición del diagrama de
tensión - deformación en
hormigones de alta resistencia.
Anejo 11.
Cap. 5
Modelos de comportamiento de
los materiales. Análisis no lineal.
Art. 21.3.3
Cálculo de flechas instantáneas. Art. 50.2.2.2.
Definición a partir de la
resistencia media a compresión.
Art. 39.6
Estimación de pérdidas por
Art.
acortamiento elástico del
20.2.2.1.3.
hormigón en piezas pretensadas. Art. 20.2.3.
Estimación de pérdidas diferidas
en piezas pretensadas.
Art. 20.2.2.2.
Método general de
Módulo de deformación
longitudinal secante
E j
comprobación de soportes
aislados.
Cálculo de la rigidez de
Art. 43.5.1
elementos de atado torsional en
el método de los pórticos
virtuales.
Art. 22.4.4.2.
Cálculo de deformaciones en
elementos solicitados a torsión.
Cálculo de excentricidad ficticia
Art. 50.3.
en elementos de hormigón en
masa.
Art. 52.6.4.
Definición Art. 39.1.
Resistencia a esfuerzo rasante
en juntas entre hormigones.
Art. 47.2.
Resistencia característica
inferior a tracción 0,05
f ct,
k
Cálculo a cortante de secciones
de hormigón en masa
Cálculo a cortante y
Art. 52.5.
punzonamiento de zapatas de
hormigón en masa.
Art. 59.7.
Definición Art. 39.1.
Resistencia media a tracción f ct,
m
Cálculo de ángulos de referencia
de inclinación de las fisuras
Art.44.2.3.2.
Estado límite de fisuración Art. 49.2.
Resistencia característica
superior a tracción 0,95
f ct;
0,
95
Cuantía mínima a tracción
Análisis en cálculo no lineal
Deformaciones impuestas
_
Definición a partir de la
resistencia a tracción
Art.30.3.
Resistencia a flexotracción
Definición a partir de la
resistencia a compresión
Art.50.2.2.
Cálculo de flechas Art50.2.2.
Tabla 3.12. Aplicación de los principales parámetros del hormigón
Tema 3. Normativa. El Hormigón
77

78
Alfonso Cobo Escamilla Luis Felipe Rodríguez Martín
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN
3.1. Obtener el módulo de deformación longitudinal inicial a 28 días de
un hormigón HP – 40 fabricado con un árido cuarcítico.
¿Cuál sería el valor a 7 días en el caso de que el árido fuese
caliza normal?.
3.2. Obtener para un hormigón HP - 40 los siguientes valores:
- Resistencia media a tracción.
- Resistencia característica inferior a tracción.
- Resistencia característica superior a tracción.
3.3. Obtener la deformación por retracción a 360 días de una pieza de
hormigón de resistencia característica 35 N/mm 2 y cuya sección,
acotada en mm, se representa en la figura siguiente
Figura 3.13.
La pieza se encuentra en una atmósfera con una humedad
relativa del 60 %.
3.4. Obtener la deformación dependiente de la tensión a 360 días
cuando sobre la pieza del ejercicio anterior se aplica a los 7 días
una fuerza de pretensado que produce en la sección una tensión
constante de 10 N/mm 2 .
Escuela de la Edificación

HORMIGÓN PRETENSADO
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN
3.1. Resistencia media del hormigón a compresión:
f = f + 8 = 40 + 8 = 48 N / mm
cm,
28
0,
28
ck
E = 10000 f = 10000 48 = 36342 N / mm
3 cm
Tema 3. Normativa. El Hormigón
3
Si el árido es caliza normal y se quiere evaluar a 7 días, se puede
ajustar el valor anterior con los coeficientes correctores de las
tablas 3.6. y 3.7.
E = 0,
8 ⋅ 0,
9 ⋅ 36342 =
0,
7
3.2. Resistencia media a tracción:
26166 N / mm
3 2
3 2
f ct⋅
m = 0,
30 fck
= 0,
30 40 =
3,
51
Resistencia característica inferior a tracción:
3 2
3 2
f ct,
k = 0,
21 fck
= 0,
21 40 =
2,
46
Resistencia característica superior a tracción:
3 2
3 2
f ct,
k;
95 = 0,
39 fck
= 0,
39 40 =
2
2
4,
56
N / mm
N / mm
2
2
N / mm
3.4. La deformación por retracción se obtiene a partir de la siguiente
expresión:
ε
cs
( t, t ) = ε β ( t − t )
s
cs0
s
s
ε cs0
es el coeficiente básico de retracción y se evalúa como
ε
= ε ⋅ β
cs0
s
HR
2
2
79

80
ε
β
ε
s
HR
Alfonso Cobo Escamilla Luis Felipe Rodríguez Martín
=
cs0
−6
−6
−4
( 570 − 5f
) ⋅ 10 = ( 570 − 5 ⋅ 35)
⋅ 10 = 3,
95 ⋅ 10
ck
⎛
3
HR ⎞ ⎛
3
60 ⎞
1,
55 ⎜ ⎛ ⎞
1
1,
55 ⎜ ⎛ ⎞
= − − ⎟ = − 1 − ⎟ =
⎜ ⎜ ⎟
100 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟
100 ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
=
3,
95
( t − t )
⋅ 10
−4
⋅
1,
21
=
−4,
78
⋅ 10
Escuela de la Edificación
−4
−1,
21
β s s define la evolución temporal de la retracción y se
obtiene a partir de:
c
β
e
s
( t − t )
=
2 A
u
c
s
=
0,
035
t
e
2
−
+
t
s
( t − t )
A = 12 ⋅ 6 + 4 ⋅ 14 + 10 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 =
u
=
=
12
85,
71
+
cm
14
2
+ 2 ⎜
⎝
2 ⋅ 202
e = = 4,
713 cm =
85,
71
s
⎛ 2 2 2
6 + 4 + 10 + 4 + 2 + 5 +
47,
13
mm
La retracción es efectiva desde el primer día:
t s =
β
S
0
( 360)
=
0,
035
360
⋅ 471,
3
2
−
+
0
( 360 − 0)
Finalmente, la deformación por retracción vale:
ε
cs
=
−4,
78
⋅ 10
−4
⋅
0,
21
=
=
−1,
01
0,
21
⋅ 10
−4
202 cm
2
2
⎟
⎞
⎠
2

HORMIGÓN PRETENSADO
3.5. Las deformaciones dependientes de la tensión, en el instante t ,
para una tensión constante σ ( to)
aplicable en el instante t o , se
pueden evaluar mediante la siguiente expresión, basada en el
principio de linealidad:
εcσ ( t,
t ) = σ ( t )
o
o
⎡ 1 ϕ
⎢ +
⎢⎣
E0,
t E
o
( t,
t )
0,
28
Donde el primer término representa las deformaciones
instantáneas elásticas y el segundo las diferidas tensionales, o de
fluencia.
Deformaciones instantáneas elásticas:
σ
2
( t ) = 10 N / mm
0
E =
10000
f
3
0, to
cm,
to
La resistencia del hormigón a 3 días puede obtenerse a partir de
los coeficientes de la tabla 30.4.b. de EHE. Suponiendo un
hormigón de endurecimiento normal:
σ
c,
3
cm,
3
= 0 , 65 ⋅ 35 =
f = 22,
75 + 8 =
22,
75
E 3
0,
3 = 10000 30,
75 =
30,
75
Deformaciones de fluencia:
0
HR
ϕ
N / mm
⎤
⎥
⎥⎦
Tema 3. Normativa. El Hormigón
2
N / mm
2
o
31329 N / mm
( t, t ) = ϕ β ( t − t )
0
( f ) β ( t )
cm
0
0
ϕ = ϕ β
(coeficiente básico de fluencia)
ϕ
HR
=
1
+
100
9,
9
⋅
−
e
HR
1 / 3
=
1
+
c
9,
9
100
2
0
−
60
⋅ 47,
13
1 / 3
=
2,
12
81

82
ε
cσ
Alfonso Cobo Escamilla Luis Felipe Rodríguez Martín
β
β
( t − t )
16,
8
( f ) =
=
= 2,
56
cm
f
16,
8
ck
+
1
0,
1 + t
8
35
( t ) =
=
= 0,
63
0
ϕ
0
=
2,
12
0,
2
0
⋅
2,
56
1
0,
1 +
0,
63
Escuela de la Edificación
⋅
+
7
=
8
0,
2
3,
42
β c
el tiempo.
0 Función que describe el desarrollo de la fluencia con
β
c
⎡
t
−
t
⎤
0,
3
( t − t0
) = ⎢
⎣βH
+ ( t
0
⎥
− t0
) ⎦
18
1,
5 ⋅ e [ 1 + ( 0,
012 HR)
] + =
β =
250
H
18
[ 1 + ( 0,
012 ⋅ 60)
] + 250 = 320,
89
= 1,
5 ⋅ 47,
13
≯ 1500
β
c
( 360 − 7)
0,
28
ϕ
=
⎡ 360 −
⎢
⎣320,
89 +
7
( 360 − 7)
⎤
⎥
⎦
( t, t0
) = 3,
42 ⋅ 0,
52 = 1,
78
3
=
0,
52
E = 10000 35 + 8 = 35034 N / mm
De modo que la deformación dependiente de tensión toma el
valor:
⎡ 1
⎢
⎣31329
1,
78 ⎤
35034⎥
⎦
−4
−4
( 360,
7)
= 10 + = 3,
19 ⋅ 10 + 5,
08 ⋅ 10
=
8,
27
⋅ 10
Pueden comprobarse los valores relativos del primer sumando (que
se corresponde a una deformación elástica inicial) y el segundo
sumando (que es la deformación diferida que se produce debido a la
fluencia).
−4
2