TESIS

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO
DE TECNOLOGÍA DIGITAL
MAESTRIA EN CIENCIAS CON
ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES
“MODELADO DE ANTENAS EMPLEANDO
DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL
TIEMPO”
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS
P R E S E N T A:
ATZIRY MAGALY RAMÍREZ AGUILERA
ABRIL 2004 TIJUANA, B. C., MEXICO
1

AGRADECIMIENTOS:
A DIOS
Porque en este trabajo y durante el desarrollo del mismo sentí tu presencia señor y me
llenaba cada día de tu fuerza y confianza.
CITEDI - IPN
Mi más sincero agradecimiento al Centro de Investigación y Desarrollo de Tecnología
Digital – Instituto Politécnico Nacional, por mi formación académica.
CONACyT y PIFI
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología y al Programa Integral de Formación de
Investigadores por el apoyo económico.
A todas y cada una de las siguientes personas:
En forma muy especial a mi director de Tesis: Dr. Miguel Agustín Álvarez Cabanillas
por su paciencia y apoyo constante.
A los miembros de la comisión revisora: Dr. Alfonso Ángeles Valencia, Dr. Sergio
Antonio Herrera García (†), Dr. Juan García López y M. en C. José Abel Hernández
Ruedas por el tiempo dedicado para la revisión de este trabajo.
Finalmente quiero agradecer a todas aquellas personas que me brindaron su cariño,
colaboración y de alguna manera hicieron posible la terminación de este trabajo de tesis y
que no las mencione, gracias a todos
3

DEDICATORIAS
- A ustedes, mi esposo Pedro y mi hijo Isaac, mis grandes amores, porque me han
enseñado lo mas hermoso de la vida y siempre estuvieron apoyándome.
- A mis padres: Armando y Pina, por su amor aunado con su comprensión, apoyo y
confianza en todo momento. A ustedes les debo lo que soy y este gran logro. Los amo.
- A mi hermano †Isaac: por el grande ejemplo de valor y lucha a la vida.
- A mis hermanos: Erik e Ibet, por su apoyo, amor y confianza que siempre han
depositado en mi.
- A mi †mamá Mariesther: por su hermoso ejemplo.
- A mis amigos: Yadira, Carlos, Mario, René, José, Juan Francisco y Gustavo
(OZ7), porque fueron un apoyo importante en este etapa.
- A todos mis compañeros de generación.
4

ÍNDICE
Lista de Figuras………………………………………………………………………... 1
Lista de Tablas………………………………………………………………………… 2
Resumen………………………………………………………………………………... 3
Abstract………………………………………………………………………………… 4
Objetivo………………………………………………………………………………… 5
Capítulo I Introducción
1.1 Introducción………………………………………………………………………… 6
Capítulo II Comportamiento Electromagnético
2.1 Introducción………………………………………………………………………… 9
2.2 Ecuaciones de Maxwell…………………………………………………………..... 9
2.3 Ecuación de Onda………………………………………………………………….. 10
2.3.1 Solución de la ecuación de Onda……………………………………….. 12
2.4 Velocidad de fase…………………………………………………………………… 15
2.5 Polarización TE y TM………………………………………………………………. 16
2.6 Condiciones de Frontera………………………………………………………….... 17
Capítulo III Algoritmo de Yee
3.1 Introducción………………………………………………………………………… 18
3.2 Diferencias Finitas …………………………...…………………………………….. 18
3.3 Algoritmo de Yee…………………………………………………………………… 20
3.4 Estabilidad Numérica……………………………………………………………..... 25
3.4.1 Valores propios temporales……………………………………………… 26
3.4.2 Valores propios del espacio……………………………………………… 27
3.4.3 Garantía de Estabilidad………………………………………………..... 29
3.5 Dispersión Numérica……………………………………………………………….. 31
3.6 Campos Iniciales……………………………………………………………………. 34
Capítulo IV Condiciones de Frontera Absorbentes
4.1 Introducción………………………………………………………………………… 36
4.2 Condiciones de Frontera Absorbentes……………………………………………… 36
4.3 Acoplamiento Perfecto de Capas (PML)…………………………………………… 37
4.3.1 PML en un espacio de 2D, modo TE……………………………………. 38
4.3.2 PML en un espacio de 2D, modo TM…………………………………… 40
4.4 Conductividad en PML……………………………………………………………... 40
4.5 Resultados de Coeficiente de Reflexión……………………………………………. 43
Capítulo V Transformación de Campo Cercano en Campo Lejano
5.1 Introducción……………………………………………………………………….... 49
5.2 Relación que define la transformación de Campo Cercano en Campo Lejano para
5

un espacio de 2D- TE…………………………………………………………………… 50
5.2.1 Definición del Teorema de Green……………………………………...... 50
5.2.2 Valor de la función de Green…………………………………………..... 52
5.2.3 Relación del Campo Lejano……………………………………………...
5.3 Relación que define la transformación de Campo Cercano en Campo Lejano para
53
un espacio de 2D- TM…………………………………………………………………... 55
Capítulo VI Modelado de Contorno
6.1 Introducción………………………………………………………………………… 59
6.2 Modelado de Contorno……………………………………………………………… 60
6.3 Método de Escalera…………………………………………………………………. 60
Capítulo VII Modelado de Antenas Parabólicas Cilíndricas
7.1 Introducción………………………………………………………………………… 62
7.2 Antenas Parabólicas Cilíndricas…………………………………………………..... 62
7.3 Construcción de la Antena Parabólica Cilíndrica…………………………………... 64
7.3.1 Reflector………………………………………………………………..... 64
7.3.2 Antena Fuente…………………………………………………………… 66
7.4 Parámetros de Antena………………………………………………………………. 66
7.4.1 Campo Cercano………………………………………………………...... 66
7.4.2 Campo Difractado……………………………………………………...... 70
7.5 Respuesta en frecuencia…………………………………………………………...... 74
Conclusiones…………………………………………………………………………… 76
Referencias y Bibliografía…………………...………………………………………...
Apéndice A
Espectro Electromagnético……………………………………………………………... 80
Apéndice B
Diagrama de flujo para el cálculo de FDTD – 2D Modo TE…………………………… 83
78
6

LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 Grafica de ( x t)
= cos(
ωt
− k x)
E y , en tres instantes de tiempo: t=0, t=T/8 y
x
t =T/4……………………………………………………………….........…. 15
Figura 3.1 Arreglo de las componentes de E y H en un espacio de tres dimensiones..... 22
Figura 3.2 Distribución en el tiempo de las componentes de E y H para el cálculo de
FDTD………………………………………………………………………. 22
Figura 3.3 Variación de la velocidad de fase numérica con respecto a la dirección de
propagación para cuatro diferentes resoluciones…………………………...
Figura 3.4 Variación de la Velocidad de fase numérica con respecto a la dirección de
33
propagación para cuatro diferentes tamaños de celdas……………………. 34
Figura 4.1 Espacio discreto de FDTD limitado en 2D………………………………... 36
Figura 4.2 Espacio discreto con zona PML…………………………………………… 39
Figura 4.3 Estructura de la zona PML…………………………………………………
Figura 4.4 Resultados de FDTD para a) PML=0, NTMAX=100∆t; b) PML=0,
41
NTMAX=120∆t; c) PML=0, NTMAX=220∆t; d) PML=5,
NTMAX=220∆t…………………………………………………………….
Figura 4.5 Distribución del espacio discreto para el cálculo del coeficiente de
42
reflexión……………………………………………………………………. 43
Figura 4.6 Comportamiento de la OEM en función del tiempo……………………….. 44
Figura 4.7 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que
cubre la zona PML y el índice de conductividad para TE – señal
sinusoidal…………………………………………………………………... 45
Figura 4.8 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que
cubre la zona PML y la señal que genera la fuente para TE –
M=3……………………………………………………………………….... 46
Figura 4.9 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que
cubre la zona PML y la señal que genera la fuente para TM –
M=3…………………………………………………………………………
Figura 4.10 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que
cubre la zona PML y la polarización de la OEM para una señal Gaussiana
47
– M=3……………………………………………………………………… 48
Figura 5.1 Definición del campo lejano y el campo cercano dentro del espacio
discreto……………………………………………………………………... 49
Figura 5.2 Sistema radiante rodeado por dos contorno Ca y C∞..................................... 50
Figura 5.3 Estructura que define el campo cercano y lejano de un espacio discreto….. 52
Figura 6.1 Estructura a construir dentro de FDTD……………………………………. 59
Figura 6.2 Técnica de escalera aplicada a la estructura PEC dentro de FDTD-2D-TM. 60
Figura 6.3 Técnica de escalera aplicada a la estructura PEC dentro de FDTD-2D-TE.. 61
Figura 7.1 Reflector Parabólico Cilíndrico a) tres dimensiones; b) dos dimensiones… 62
Figura 7.2 Apertura Eficiente de una antena parabólica cilíndrica……………………. 64
Figura 7.3 Reflector parabólico dentro de FDTD – 2D……………………………….. 65
Figura 7.4 Reflector parabólico en forma de escalera dentro de FDTD – TE………… 65
Figura 7.5 Ubicación de los detectores para el cálculo del campo cercano…………… 67
Figura 7.6 Campo cercano para la señal continua…………………………………….. 68
Figura 7.7 Campo cercano para la señal discreta……………………………………… 68
1

Figura 7.8 Campo cercano de la señal continua para diferentes ubicaciones de la
antena-fuente……………………………………………………………….
Figura 7.9 Campo cercano de la señal discreta para diferentes ubicaciones de la
69
antena-fuente………………………………………………………………. 70
Figura 7.10 Zona de campo difractado y de campo cercano…………………………… 71
Figura 7.11 Comportamiento del campo difractado para la señal continua………….… 71
Figura 7.12 Comportamiento del campo difractado para la señal discreta…………….. 72
Figura 7.13 Comportamiento del campo difractado para la señal continua……………. 73
Figura 7.14 Comportamiento del campo difractado para la señal discreta…………….. 73
Figura 7.15 Comportamiento en frecuencia para una señal
Gaussiana…………………………………………………………………... 74
Figura 7.16 Valor del campo cercano en el dominio de la frecuencia………………….. 76
LISTA DE TABLAS
Tabla 2.1 Condiciones de Frontera para las componentes de E y H……………….. 17
Tabla 3.1 Grupo de ecuaciones para la polarización TM y TE……………………... 23
2

RESUMEN
Partiendo de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial e integral, se obtiene la
ecuación de onda y su solución. Se obtienen las propiedades de los campos que forman las
ondas electromagnéticas como: velocidad de propagación, velocidad de fase y polarización;
así como la transformación de la onda electromagnética (OEM) al propagarse a través de
diferentes medios (condiciones de frontera).
Se discretizan las ecuaciones de Maxwell siguiendo la técnica de Yee para utilizar la
técnica numérica de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD). Se construyo el
algoritmo y se definieron las ecuaciones de FDTD para un espacio de dos y tres
dimensiones. Se realizo el análisis de estabilidad numérica y velocidad de propagación
considerando un espacio de dos dimensiones.
Para dar solución al problema de reflexión provocada por los limites del espacio discreto,
se implementa la técnica de Acoplamiento Perfecto de Capas (PML) y se muestran
resultados del coeficiente de reflexión para la polarización Transversal Eléctrica (TE) y
Transversal Magnética (TM) para una fuente que genera una señal continua y discreta.
Empleando el teorema de Green se deduce la ecuación que obtiene el campo lejano a partir
del valor del campo cercano. Los valores de campo cercano fueron obtenidos empleando
FDTD. El análisis se desarrollo para ambas polarizaciones (TE y TM).
Se aplicaron estas técnicas en el diseño de una antena parabólica cilíndrica. Debido a la
curvatura del reflector fue necesaria utilizar la técnica de escalera para adaptar la malla de
FDTD a la parábola. Se calcularon los parámetros de Campo Cercano y Campo Difractado
debidos al reflector. Las soluciones se obtuvieron también en función de la frecuencia, para
lo cual se aplicó la Transformada Discreta de Fourier.
3

ABSTRACT
Beginning from the differential and integral form of the Maxwell equations, the wave
equation and its solution are obtained. The properties of the fields of the electromagnetic
waves were obtained as: propagation velocity, phase velocity, and polarization as well as
the transformation of the electromagnetic wave when it is propagated through different
mediums.
In order to use the numeric technique called Finite Difference Time Domain (FDTD), the
Maxwell equations were girded following the Yee technique. We built the algorithm and
defined FDTD equations in two and three dimensions. The numeric stability analysis and
the propagation velocity in the mesh were done in two dimensions.
To solve the reflection problem originated by the boundaries of the discrete space, the
Perfectly Matched Layers (PML) technique was used. The reflection coefficient results for
Transversal Electric (TE) and Transversal Magnetic (TM) polarization using a continuous
wave and pulses as source are shown.
Using the Green’s theorem, the far field equation from the near field values was obtained.
The near values were calculated by FDTD. The analysis was developed for both
polarizations.(TE and TM).
We applied these techniques to design a parabolic cylindrical antenna. Due to the reflector
curvature, it was necessary to use the stairs technique to adapt the FDTD mesh to the
parabola. We calculated the near field and diffracted field from the reflector. The solutions
from FDTD were obtained also in the frequency domain, for that, we applied the discrete
Fourier Transformed.
4

OBJETIVO
Crear un algoritmo computacional que simule el comportamiento electromagnético en
antenas metálicas empleando el método numérico de Diferencias Finitas en el Dominio del
Tiempo (FDTD)
5

CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN
En nuestros días las comunicaciones entre grupos e individuos a corta y grandes distancias
son cruciales. Esto ha causado la necesidad de mejorar cada uno de los elementos que
forman parte de un sistema de comunicación, lo cual ha dado lugar a nuevas tecnologías
que facilitan el diseño que cada uno de ellos.
En la transferencia de información a grandes distancias las antenas juegan un papel
importante ya que son las encargadas de emitir y recibir la información.
El origen de las antenas data desde la formación de las ecuaciones de Maxwell, hechas por
James Clerck Maxwell quien fue el responsable de la unión de la teoría de la electricidad
con la del magnetismo, originando la teoría del electromagnetismo [13]. Maxwell
argumentó que el resultado de sus ecuaciones describen la presencia de ondas
electromagnéticas (OEM), las cuales son capaces de transportar energía a grandes
distancias. Fue Heinrich Hertz quien lo corroboró con la aparición de los dipolos hertzianos
y hasta 1901 Guillerno Marconi realizó la primera transferencia de información a grandes
distancias con la aparición de la radio [14]. En la actualidad se pueden distinguir diferentes
tipos de ondas electromagnéticas diferenciándose cada una de ella por la longitud de onda.
La distinción entre cada una se hace en función de la forma de radiarlas y están definidas en
el espectro electromagnético mostrado en el Apéndice A.
En la actualidad, con los avances de los sistemas de cómputo se ha implementado la
solución de las ecuaciones de Maxwell en forma discreta, surgiendo técnicas numéricas
como: Método de Momentos, Diferencias Finitas, Diferencias Finitas en el Dominio del
Tiempo, etc., por mencionar algunos.
Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD) resuelve las ecuaciones de Maxwell
en forma diferencial en el dominio del tiempo y espacio utilizando la técnica de Diferencias
Finitas. Fue introducido por Kane Yee en 1966 [1] donde en ese tiempo, el límite de
velocidad de cómputo así como la falta de una técnica eficaz para eliminar los problemas
de reflexión provocados por los limites del espacio discreto no permitió su aplicación. Sin
embargo estos problemas son superados y es una de las técnicas mas utilizadas para el
análisis y diseño de sistemas radiantes de OEM.
En la construcción de FDTD se debe de considerar el análisis de: estabilidad numérica
(convergencia), la velocidad de propagación de la OEM en el espacio discreto así como las
reflexiones producidas por los límites del espacio discreto. Además el modelo, diseño o
análisis de cualquier elemento dentro del algoritmo tiene que ser definido con la
construcción de ese sistema dentro de él y de esta forma verificar los resultados obtenidos.
6

En este trabajo de tesis se presenta la construcción de FDTD para el modelo de una antena
parabólica cilíndrica en un espacio de 2D y es desarrollado en los siguientes capítulos:
Capítulo 2: En este capítulo se describen el conjunto de ecuaciones de Maxwell en forma
diferencial e integral y se define la ecuación de onda para un espacio rectangular. Se da
solución a la ecuación de onda, llegando a la definición de onda plana y se exponen los
parámetros de velocidad de fase, velocidad de grupo y polarización, que son características
de las ondas viajeras. Por último se presentan las condiciones de frontera que satisfacen las
ondas electromagnéticas cuando inciden en espacios con diferentes características
eléctricas.
Capítulo 3: Este capítulo presenta la formación del algoritmo de FDTD. Comienza con el
desarrollo de la técnica de Diferencias Finitas, la cual se utiliza para dar solución discreta a
las ecuaciones diferenciales. Esta técnica es implementada en las ecuaciones de Maxwell en
forma diferencial, obteniendo el conjunto de ecuaciones difenciales finitas en forma
discreta para un espacio rectangular de dos y tres dimensiones. Para verificar que las
soluciones del método numérico converjan a la solución real se hace un análisis de
Estabilidad numérica definido por Courant, Friedrich y Levy (CFL) y Von Neumann, para
un espacio de 2D considerando las polarizaciones Transversal Eléctrica (TE) y Transversal
Magnetica (TM), el cual es mostrado en este capítulo. Ademas se presenta una
comparación de la velocidad de propagación de la onda dentro del método numérico con el
real y esto es posible por medio de la dispersión numerica. Por último se muestra como
declarar dentro de FDTD una fuente que genera una señal continua y una señal discreta.
Capítulo 4: En la simulación del comportamiento electromagnético implementando FDTD
los límites del espacio discreto producen reflexiones. Este problema fue abordado desde la
aparición de FDTD surgiendo un conjunto de técnicas definidas como Condiciones de
Frontera Absorbentes (ABC) de las cuales Acoplamiento Perfecto de Capas (PML)
presentó los mejores resultados para dar solución al problema de las ondas reflejadas dentro
de FDTD. En este capítulo se presenta el conjunto de ecuaciones que forman la técnica
PML considerando un espacio de dos dimensiones y las polarizaciones TM y TE. Este
conjunto de ecuaciones se implementan en el algoritmo de FDTD y se muestran las graficas
de coeficientes de reflexión variando los parámetros que forman la técnica PML. Se
presentan los resultados para las dos polarizaciones y considerando una fuente que genera
una señal sinusoidal y Gaussiana.
Capítulo 5: Una de las aplicaciones que presenta FDTD es en el análisis y diseño de
Antenas. Para lograrlo se construye el sistema radiante dentro de FDTD y los parámetros
que caracterizan el comportamiento de la antena deben ser determinados por FDTD. El
parámetro de campo lejano de una antena permite definir el patrón de radiación de la
antena. En este capítulo se define la técnica para la obtención del campo lejano producido
por las antenas. Dentro de FDTD calcular el comportamiento electromagnético a una
distancia grande significa ampliar el espacio de trabajo y eso significaría invertir memoria
de cómputo y tiempo de procesamiento. Este problema fue abordado y solucionado
aplicando el Teorema de Green, con el cual es posible definir el comportamiento del campo
lejano en función de un valor conocido (campo cercano) sin necesidad de ampliar el
espacio de trabajo. Se muestra el Teorema de Green y se aplica a la relación del campo
7

cercano obteniendo el valor de campo lejano. Se realizó este procedimiento para un espacio
de dos dimensiones y para las polarizaciones TE y TM.
Capítulo 6: La construcción de cualquier elemento dentro de FDTD se logra definiendo su
geometría así como sus características eléctricas en todo el espacio discreto. En este
capítulo se muestra la técnica de Modelado de Contorno, definida para construir cualquier
elemento que presenta un contorno tipo conductor perfecto (PEC) llamada Método de
Escalera.
Capítulo 7: En este capítulo se construye dentro de FDTD una antena tipo parabólica
cilíndrica la cual consta de dos partes principales: 1. el radiador o antena fuente y 2. el
reflector. El radiador es una antena tipo dipolar y el reflector es de forma circular cilíndrica.
Primero se definen las características de las antenas parabólicas cilíndricas, así como las
fórmulas que describen los parámetros de Directividad, Ganancia y Apertura Eficiente. A
continuación se describe la forma en que se construyó el radiador y el reflector, utilizando
para este último el método de escalera. Por último se reportan los resultados obtenidos de
los parámetros de campo cercano, campo difractado así como el análisis en frecuencia del
sistema radiante.
Apéndice A: Se muestra el espectro electromagnético donde se exponen las designaciones
de banda de frecuencia de las ondas electromagnéticas.
Apéndice B: Define el diagrama de bloques para el cálculo de FDTD para un espacio de
dos dimensiones en polarización TE.
8

2.1 Introducción
CAPÍTULO II
COMPORTAMIENTO ELECTROMAGNÉTICO
El origen de la teoría electromagnética se estableció con las ecuaciones de Maxwell. Dichas
ecuaciones están representadas en forma diferencial e integral y son relaciones que están en
función del tiempo y el espacio. Una representación de este conjunto de ecuaciones es
resumida con la ecuación de onda, con la cual se establece la existencia de ondas
electromagnéticas que viajan en el espacio y tiempo y que son capaces de transportar
energía.
En este capítulo se presenta el conjunto de las ecuaciones de Maxwell y se define la
ecuación de onda para un dominio rectangular. A continuación se da solución a la ecuación
de onda, llegando a la definición de onda plana y se exponen los parámetros de velocidad
de fase, velocidad de grupo y polarización lineal, características de la onda viajera. Por
último se presenta las condiciones de frontera que satisfacen las ondas electromagnéticas
cuando se propagan en espacios con diferentes características eléctricas.
2.2 Ecuaciones de Maxwell
La teoría electromagnética se estableció con el descubrimiento de la interdependencia del
campo eléctrico con el campo magnético y es representada en cuatro relaciones conocidas
como “Ecuaciones de Maxwell” [13]. Estas ecuaciones están representadas en forma
diferencial e integral y la definición de ellas considerando un medio homogéneo, isotrópico,
lineal y libre de cargas se muestra a continuación:
I. Ley de Gauss para el campo eléctrico
Diferencial ∇ ⋅D
= 0
(2.2.1a)
Integral ∫ D ⋅ dS = 0
(2.2.1b)
II. Ley de Gauss para el campo magnético
III. Ley de Faraday
S
∇ ⋅B
= 0
(2.2.2a)
B ⋅ dS = 0
(2.2.2b)
∫
S
∂B
∇ × E = − + J m
(2.2.3a)
∂t
9

∂
∂t
IV. Ley Generalizada de Ampere
∫
S
∫
∫
B ⋅ dS
= − E ⋅ dL
− J ⋅ dS
(2.2.3b)
L
S
∂D
∇ × H = + J e
∂t
(2.2.4a)
∂
∫ D ⋅ dS
= ∫H⋅dL- ∂
∫Je
t S
L
S
⋅ dS
(2.2.4b)
Donde E es el campo eléctrico, H el campo magnético, D densidad de flujo eléctrico, B
densidad de flujo magnético, J e y J m densidad de corriente eléctrica y magnética, S
representa una superficie arbitraria con un vector unitario dS y L es el contorno que limita
la superficie con un vector unitario dL. Además:
m
B = µ H
(2.2.5a)
D = εE
(2.2.5b)
Donde µ es la permeabilidad magnética y ε la permitividad eléctrica las cuales
representan las propiedades del medio. Considerando un medio con pérdidas eléctricas y
magnéticas se definen las siguientes relaciones [2]:
J e = σ E
(2.2.5c)
∗
Jm
= σ H
(2.2.5d)
Donde σ es la conductividad eléctrica del medio y ∗
σ representa la conductividad
magnética.
La solución de las ecuaciones de Maxwell definen el comportamiento electromagnético
(EM) de un espacio y estas dependen de las condiciones del problema.
A continuación se presenta un proceso que facilita la solución de E y H combinando las
ecuaciones de Maxwell, dando como solución una ecuación diferencial conocida como
ecuación de onda.
2.3 Ecuación de Onda
Una representación sencilla del conjunto de ecuaciones de Maxwell es definida por medio
de la ecuación de onda, la cual es descrita a continuación. El conjunto de ecuaciones de
Maxwell en forma diferencial son ecuaciones diferenciales acopladas donde la solución de
una de ellas corresponde la solución de las restantes. Considerando el espacio vacío sin
10

pérdidas eléctricas y magnéticas y relacionando el conjunto de ecuaciones en forma
diferencial con las ecuaciones (2.2.5a) y (2.2.5b) tenemos:
Aplicando el vector rotacional a la ecuación (2.3.1c):
Aplicando la identidad vectorial
Obtenemos:
∇ ⋅ E = 0
(2.3.1a)
∇⋅ H = 0
(2.3.1b)
∂H
∇ × E = −µ
(2.3.1c)
∂t
∂E
∇ × H = ε (2.3.1d)
∂t
∂H
∇×
∇×
E = −µ
∇×
(2.3.2)
∂t
2
∇ × ∇ × E = ∇ ⋅ ∇ ⋅ E − ∇ E
(2.3.3)
2 ∂H
∇ ⋅ ∇ ⋅ E − ∇ E = −µ
∇ ×
∂t
Sustituyendo la ecuación (2.3.1a) y (2.3.1d) en (2.3.4a) obtenemos:
Simplificando:
− ∇
2
∂ ⎡ ∂E⎤
E = −µ
∂ ⎢ε
t ⎥
⎣ ∂t
⎦
(2.3.4a)
(2.3.4b)
2
2 ∂ E
∇ E = µε (2.3.5)
2
∂t
La ecuación diferencial parcial (2.3.5) es definida como la ecuación de onda vectorial para
el campo eléctrico. Para un sistema de coordenadas rectangulares de tres dimensiones se
definen las siguientes ecuaciones de onda escalares para el E:
2
2 ∂ E x
∇ E x = µε 2
∂t
(2.3.6a)
2
∂ E
2
y
∇ E y = µε 2
∂t
(2.3.6b)
2
2 ∂ E z
∇ E z = µε 2
∂t
(2.3.6c)
11

Siguiendo el mismo procedimiento para la ecuación (2.3.1d) se obtiene la ecuación de onda
vectorial para el campo magnético, la cual se define como:
y las componentes escalares para el H:
Definiendo como una constante:
Sustituyendo en la ecuación (2.3.6b):
∂
2
2 ∂ H
∇ H = µε (2.3.7)
2
∂t
2
2 ∂ H x
∇ H x = µε 2
∂t
(2.3.8a)
2
∂ H
2
y
∇ H y = µε 2
∂t
(2.3.8b)
2
2 ∂ H z
∇ H z = µε 2
∂t
(2.3.8c)
2 1
c =
(2.3.9)
µε
2
2
E y ∂ E 2 y
= c 2
2
∂t
Las unidades de la constante c son [ seg]
∂x
(2.3.10)
m la cual describe la variación de una distancia
respecto al tiempo. Por lo tanto, esta constante define la velocidad de propagación de la
−7
−12
onda. Para el espacio libre µ = 4π
× 10 H m y ε = 8.
85 × 10 F m , y con ello
8
c = 3× 10 m seg , que define la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas
en el espacio vacío, ausente de pérdidas eléctricas y magnéticas.
La solución de las seis componentes de campo (2.3.6a-c) y (2.3.8a-c) definen el
comportamiento electromagnético, pero también es posible que sólo existan dos
componentes de ellas en un determinado problema, una de E y otra de H, la cual representa
la solución mas simple de estas ecuaciones escalares de onda y es conocida como la onda
plana que será definida mas adelante.
2.3.1 Solución de la ecuación de onda
A continuación se describirá la solución de la ecuación de onda vectorial en coordenadas
rectangulares para un espacio vacío, libre de cargas y sin pérdidas eléctricas y magnéticas
representadas por las ecuaciones (2.3.5) y (2.3.7). Cada una de estas ecuaciones es descrita
por tres ecuaciones escalares definidas por las relaciones (2.3.6a-c) y (2.3.8a-c). Se
mostrará la solución a la ecuación de onda escalar (2.3.6a) y por inspección será posible
definir las otras soluciones.
12

La representación de la ecuación (2.3.6a) es:
∂
2
∂x
2
E
x
∂
2
2
2
, 2 x
2 x
2 2
( x y,
z,
t)
+ E ( x,
y,
z,
t)
+ E ( x,
y,
z,
t)
= E ( x,
y,
z,
t)
∂y
∂
∂z
c
1
∂
∂t
x
(2.3.10)
que es una ecuación diferencial parcial de segundo orden con tres variables espaciales
( x , y,
z)
y una variable temporal () t .
Para resolver esta ecuación diferencial se utiliza el método de separación de variables el
cual define que la solución total es escrita como un producto de cuatro soluciones que son
funciones de cada una de las variables, por lo tanto la solución de E x es escrita como:
E x
( x y,
z,
t)
= A(
x)
B(
y)
C(
z)
D(
t)
Ahora se obtendrá el valor de A ( x)
, B ( y)
, C ( z)
y ( t)
y realizando las derivadas, llegamos a:
, (2.3.11a)
D .Sustituyendo (2.3.11a) en (2.3.10)
2
2
2
2
∂ A ∂ B ∂ C 1 ∂ D
BCD + ACD + ABD = ABC
2
2
2
2 2
∂x
∂y
∂z
c ∂t
Dividiendo cada término de (2.3.11b) entre ABCD y despejando
2
c :
2 2 2 2 2 2
2
c ∂ A c ∂ B c ∂ C 1 ∂ D
+ + =
2
2
2
2
A ∂x
B ∂y
C ∂z
D ∂t
(2.3.11b)
(2.3.11c)
Como se puede observar en la ecuación (2.3.11c), cada uno de los términos que la forman
están en función de una sola variable, por lo tanto es posible representarlas como
ecuaciones diferenciales ordinarias. Esta ecuación también es posible representarla en
función de una constante, donde el primer miembro de la ecuación es igual al segundo
miembro cuando cada uno de ellos es igual a una misma constante, por lo tanto la ecuación
(2.3.11c) se puede definir como:
y
donde
2
ω es la constante de separación y
2 2 2 2 2 2
c d A c d B c d C 2
+ + = −ω
2
2
2
A dx B dy C dz
2
1 d D 2
= −ω
2
D dt
2
ω
= −k
2
c
2
, siendo:
(2.3.12a)
(2.3.12b)
13

donde
k = k + k + k
(2.3.13)
2 2 2 2
x y z
2
k se define como la constante de onda, número de onda o vector de onda.
La solución a la ecuación (2.3.12b) es:
D t
( )
Pe
Qe
jωt
− jωt
= +
(2.3.14a)
donde P y Q son constantes que se definen en función de las condiciones iniciales del
problema que se va a resolver. Considerando que no existen tiempos negativos o t < 0 , la
solución se simplifica a:
jωt
D t = Pe
(2.3.14b)
( )
De la misma forma se define ahora la solución de la ecuación (2.3.12a), la cual es posible
separar de la siguiente manera:
2
1 d A 2
= −k
2 x
A dx
(2.3.15a)
2
1 d B 2
= −k
2 y
B dy
(2.3.15b)
La solución a la ecuación (2.3.15a) es:
( x)
2
1 d C 2
= −k
2 z
(2.3.15c)
C dz
− jk x x jk x x
A = P1
e + Q1e
de la misma forma se obtienen la solución a las ecuaciones (2.3.15b y c):
y
( y)
− jk y y
jk y y
B = P2
e + Q2e
( z)
− jk z z jk z z
C = P3
e + Q3e
Donde las constantes P y Q son definidas en función del problema que se analiza.
(2.3.16a)
(2.3.16b)
(2.3.16c)
Una vez definidas cada una de las soluciones, se sustituye cada una de ellas a la solución
completa definida por la relación (2.3.11a) quedando:
E
z
jωt
jk
jk y
jk y
x x − jk x
y
−
x
y jk z z − jk z z
( x,
y,
z,
t)
Pe [ P e + Q e ][ P e + Q e ][ P e + Q e ]
= 1
1
2
2
3
3
(2.3.17)
Dependiendo del problema que se analiza se eligen la existencia de las soluciones a las
cuales se realizará el producto.
La relación (2.3.17) representa el comportamiento de la componente escalar x
E en un
espacio de tres dimensiones. De esta misma forma es definida para cada una de las
14

componentes escalares que describe la ecuación de onda vectorial del campo eléctrico y
campo magnético.
La solución mas sencilla de un problema Electromagnético (EM) es considerar la existencia
de dos componentes de campo, un campo escalar eléctrico y un campo escalar magnético y
de ellos considerar la propagación de una onda en una sola dirección, esta solución
particular es definida como onda plana.
2.4 Velocidad de fase
Las soluciones posibles a la ecuación de onda define un movimiento sinusoidal de una onda
con respecto al tiempo y espacio y una solución particular de ella puede ser definida por la
siguiente ecuación:
x,
t = cos ωt
− k x
(2.4.1)
( ) ( )
E y
x
Observando el comportamiento de la onda (2.4.1) en tres tiempos diferentes t 0 = 0 ,
1 8 T t = y 2 4 T t = donde T es el periodo de la señal y fijando un punto de fase constante
A, B, C para cada instante de tiempo como se muestra en la Figura 2.1, es posible apreciar
que al aumentar el tiempo, la onda se propaga en una sola dirección.
Figura 2.1 Gráfica de ( x t)
= cos(
ωt
− k x)
E y , x en tres instantes de tiempo:
t=0, t=T/8 y t=T/4.
La ecuación (2.4.1) describe el movimiento de una onda propagándose en la dirección x y
limitada en las direcciones y y z donde el argumento de la función cosenoidal define la fase
15

de la onda y describe la dirección de propagación, así como la velocidad de propagación.
Los puntos de fase constante A, B y C es posible definirlos por la siguiente ecuación:
ω − k x = constante
(2.4.2a)
t x
derivando la ecuación (2.4.2a) respecto al tiempo se obtiene:
despejando
dx
ω − k x = 0
(2.4.2b)
dt
dx
= = V f
dt k
ω
y
(2.4.2c)
Donde la ecuación (2.4.2c) define la relación de cambio de distancia de propagación
respecto al tiempo o velocidad de fase V f .
Considerando que la solución de onda es definida como:
( x t)
= cos(
ωt
+ k x)
E y
x
, (2.4.3a)
donde el argumento de la función cosenoidal difiere en signo de la ecuación (2.4.1). Para
este caso la dirección de propagación de la onda es definida en dirección –x y por lo tanto la
velocidad de fase es definida como:
dx ω
V f = = −
(2.4.3b)
dt k
Considerando que la onda se propaga en el espacio libre, la velocidad de fase es:
V f = ± c
(2.4.4)
donde el signo define la dirección de propagación de la onda.
2.5 Polarización TE y TM
Además de la velocidad de fase, otra característica importante a considerar de las ondas
viajeras es el tipo de polarización con la que se propaga. La configuración del E y H en la
solución de un problema de Campo electromagnético define el modo o polarización de la
onda. Existen dos diferentes modos que a continuación se describen.
Modo Transversal Magnético (TM)
Esta polarización se presenta cuando existe una componente de H dirigida en la dirección
de propagación y las componentes de E están en un plano transversal a la dirección de
propagación.
y
16

Modo Transversal Eléctrico (TE)
Esta polarización se presenta cuando existe una componente de E dirigida en la dirección de
propagación y las componentes de H están en un plano transversal a la dirección de
propagación.
El tipo de polarización que presenta una onda electromagnética se define asumiendo que
existe un espacio de una o dos dimensiones.
2.6 Condiciones de Frontera
Al propagarse una onda electromagnética en un determinado medio m1 y esta incide con
otro medio m2 donde sus propiedades eléctricas son diferentes a las de m1, las componentes
de E y H sufren cambios en su dirección y magnitud. Para determinar estos cambios se
analiza el comportamiento de las componentes de frontera entre los dos medios diferentes.
El comportamiento de las componentes de frontera del medio se analiza separando cada
una de las componentes del campo en dos subcomponentes: una tangencial y otra normal a
la frontera. Por medio de las ecuaciones de Maxwell es posible definir este comportamiento
del campo y son resumidas en la Tabla 2.1 [13].
Tabla 2.1 Condiciones de Frontera para las componentes de E y H
COMPONENTE RELACIÓN CONDICIONES
E = E
Campo Eléctrico
Cualquier medio
Tangencial *
t
1
t
2
Tangencial * 0 1 = E t
M1 Dieléctrico
M2 Conductor
Normal Dn − Dn
= ρ
1 2 s Cualquier medio con cargas en la frontera
Normal
D = D Cualquier medio ausente de cargas en la frontera
n1
n2
Normal Dn − Dn
= ρ 2 s
Normal *
Normal
1
M1 Dieléctrico
M2 Conductor con densidad de carga.
B = B
Campo Magnético
Cualquier medio
n1
n2
µ H = µ H Cualquier medio
1 n1
2 n2
H t 1 − H t2
=
× H t1
− H t2
=
Tangencial K
Tangencial *
n
( ) K
t
1
t
2
Cualquier medio con corriente en la frontera
H = H Cualquier medio ausente de corriente en la frontera
Tangencial * H 0 M2 con permeabilidad infinita µ = ∞
1 = t
* Condiciones que satisfacen las componentes variantes en el tiempo.
**
Para condiciones variantes en el tiempo se obedece esta relación sólo si 2 = ∞
2
σ .
17

3.1 Introducción
CAPÍTULO III
ALGORITMO DE YEE
Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden que
describen la presencia de ondas electromagnéticas. La necesidad de encontrar su solución
computacional ha crecido en el transcurso del tiempo y existen en la actualidad diferentes
métodos numéricos que pretenden dar solución a este problema. El método de Diferencias
Finitas en el Dominio del Tiempo (FDTD) es una técnica numérica que resuelve las
ecuaciones de Maxwell en forma diferencial en el dominio del tiempo y espacio.
En este capítulo se presenta la construcción del algoritmo de FDTD comenzando con el
desarrollo de la técnica de Diferencias Finitas, la cual se utiliza para solucionar en forma
discreta las ecuaciones diferenciales. Se definen las ecuaciones de Maxwell en forma
discreta para un espacio rectangular de tres y dos dimensiones.
Para verificar que las soluciones del método numérico converjan a la solución real se
realiza un análisis de estabilidad numérica definido por Courant, Friedrich y Levy (CFL) y
Von Neumann [2]. Se presenta una comparación de la velocidad de propagación de la onda
dentro del método numérico con el real y por último se definen el conjunto de fuentes
utilizadas en este método numérico.
3.2 Diferencias Finitas
El método de diferencias finitas es un método numérico que se utiliza para resolver
ecuaciones diferenciales parciales en forma discreta. Esta técnica consiste en reemplazar las
derivadas parciales por una ecuación definida como “diferencias finitas” aproximada que si
bien no cumple exactamente con la ecuación diferencial, desde el punto de vista práctico se
toma como tal.
Las fórmulas de diferencias finitas son obtenidas por medio de la expansión de las series de
Taylor. Considerando la derivada parcial
∂ F(
x,
t)
, fijando el valor de x y realizando la
∂t
1 1
aproximación en dos puntos t + ∆t
y t − ∆t
se tiene:
2 2
.
y
2
3
⎛ 1 ⎞
∆t
∆t
1 ∆t
1
F ⎜ x,
t + ∆t
⎟ = F(
x,
t)
+ F′
( x,
t)
+ F ′′ ( x,
t)
⋅ + F ′′ ′ ( x,
t)
⋅ + ... (3.2.1a)
⎝ 2 ⎠
2 4 2!
8 3!
18

2
3
⎛ 1 ⎞
∆t
∆t
1 ∆t
1
F ⎜ x,
t − ∆t
⎟ = F(
x,
t)
− F′
( x,
t)
+ F′
′ ( x,
t)
⋅ − F ′′ ′ ( x,
t)
⋅ + ... (3.2.1b)
⎝ 2 ⎠
2 4 2!
8 3!
Considerando que la elección de ∆ t (incremento del tiempo) es una cantidad muy pequeña,
se consideran despreciables los términos a partir de las derivadas de segundo orden de las
ecuaciones (3.2.1). Considerando esta aproximación y restando las ecuaciones, se tiene:
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
F⎜ x,
t + ∆t
⎟ − F⎜
x,
t − ∆t
⎟ = F(
x,
t)
∆t
(3.2.2a)
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
F x,
t
despejando ( )
F
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
F⎜
x,
t + ∆t
⎟ − F⎜
x,
t − ∆t
⎟
⎝ 2
=
⎠ ⎝ 2
,
⎠
(3.2.2b)
∆t
( x t)
Esta ecuación es definida como diferencia finita de segundo orden centrada en el tiempo
F x,
t .
para la función ( )
La ecuación (3.2.2b) se puede expresar como:
∂F
∂t
n
i
=
F
n+
1 2 n−1
2
i
i
− F
∆t
(3.2.3)
Donde n e i son números enteros que representan un punto discreto en el tiempo n y espacio
1 1
1 1
i y n + = t + ∆t
, así como n − = t − ∆t
2 2
2 2
∂ G(
x,
t)
De la misma forma, es posible obtener , fijando un tiempo n y variando el espacio
∂x
x:
n
n
n
∂ − G
i+
1 2 i−1
2
G
∂x
i
G
=
∆x
(3.2.4)
Esta ecuación se define como diferencia finita de segundo orden centrada en el espacio para
G x,
t .
la función ( )
La aproximación realizada para la definición de las diferencias finitas puede variar
considerando más términos de las series de Taylor, lo cual implica mayor exactitud en los
resultados numéricos, pero se requiere mayor tiempo de procesamiento.
Este método numérico marca la posibilidad de solucionar las ecuaciones diferenciales de
Maxwell en forma discreta.
19

3.3 Algoritmo de Yee
Para solucionar el campo electromagnético implementando la técnica de diferencias finitas,
se reemplaza cada una de las ecuaciones diferenciales parciales de las ecuaciones de
Maxwell por ecuaciones de diferencias finitas centrales de segundo orden. Considerando un
espacio rectangular en tres dimensiones y resolviendo el operador rotacional de las
ecuaciones vectoriales (2.2.3a) y (2.2.4a) se tiene el siguiente conjunto de ecuaciones
escalares:
H
∂t
1 ⎛ ∂E
= ⎜
µ ⎝ ∂z
∂E
−
∂y
∂ y z ∗
x
H
∂t
1 ⎛ ∂Ez
∂E
= ⎜ −
µ ⎝ ∂x
∂z
−σ
H
∂ x ∗
y
H
∂t
1 ⎛ ∂E
= ⎜
µ ⎜
⎝ ∂y
− σ H
x
y
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
∂E
y ⎞
− − σ H ⎟ z
∂x
⎟
⎠
∂ x
∗
z
∂
∂t
∂
∂t
∂
∂t
E
E
E
x
y
z
1 ⎛ ∂H
= ⎜
ε ⎜
⎝ ∂y
z
1 ⎛ ∂H
= ⎜
ε ⎝ ∂z
x
1 ⎛ ∂H
= ⎜
ε ⎜
⎝ ∂x
y
∂H
−
∂z
y
−σE
x
∂H
z
− −σE
∂x
y
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
∂H
x ⎞
− −σE
⎟ z
∂y
⎟
⎠
(3.3.1a)
(3.3.1b)
(3.3.1c)
(3.3.1d)
(3.3.1e)
(3.3.1f)
La solución del conjunto de ecuaciones (3.3.1a-3.3.1f) define el comportamiento
electromagnético en un espacio rectangular de tres dimensiones. Para la solución discreta
de este conjunto de ecuaciones se definen las diferencias finitas centrales en un espacio fijo
i , j,
k para las componentes de E y H y la siguiente distribución de tiempo:
( )
- las componentes de campo magnético en un tiempo n+½ (ecuaciones (3.3.1a-
3.3.1c)) y
- las componentes de campo eléctrico, en un tiempo n+1.
Sustituyendo las ecuaciones de diferencias finitas y despejando cada una de las
componentes, se tiene el siguiente conjunto de ecuaciones:
20

21
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
∆
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
−
+
−
+
∗
∗
∗
−
+
y
E
E
z
E
E
t
t
t
t
H
H
n
k
j
i
x
n
k
j
i
z
n
k
j
i
y
n
k
j
i
y
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
n
k
j
i
x
n
k
j
i
x
,
2
1
,
,
2
1
,
2
1
,
,
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
,
,
2
1
,
,
2
1
2
1
2
1
µ
σ
µ
µ
σ
µ
σ
(3.3.2a)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
∆
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
−
+
−
+
∗
∗
∗
−
+
z
E
E
x
E
E
t
t
t
t
H
H
n
k
j
i
x
n
k
j
i
x
n
k
j
i
z
n
k
j
i
z
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
n
k
j
i
y
n
k
j
i
y
2
1
,
,
2
1
,
,
,
,
2
1
,
,
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
,
,
2
1
,
,
2
1
2
1
2
1
µ
σ
µ
µ
σ
µ
σ
(3.3.2b)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
∆
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
−
+
−
+
∗
∗
∗
−
+
x
E
E
y
E
E
t
t
t
t
H
H
n
k
j
i
y
n
k
j
i
y
n
k
j
i
x
n
k
j
i
x
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
n
k
j
i
z
n
k
j
i
z
,
,
2
1
,
,
2
1
,
2
1
,
,
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
,
,
2
1
,
,
2
1
2
1
2
1
µ
σ
µ
µ
σ
µ
σ
(3.3.2c)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
∆
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
+
−
+
+
+
−
+
+
+
z
H
H
y
H
H
t
t
t
t
E
E
n
k
j
i
y
n
k
j
i
y
n
k
j
i
z
n
k
j
i
z
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
n
k
j
i
x
n
k
j
i
x
2
1
2
1
,
,
2
1
2
1
,
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
,
,
2
1
2
1
2
1
ε
σ
ε
ε
σ
ε
σ
(3.3.2d)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
∆
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
+
−
+
+
+
−
+
+
+
x
H
H
z
H
H
t
t
t
t
E
E
n
k
j
i
z
n
k
j
i
z
n
k
j
i
x
n
k
j
i
x
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
n
k
j
i
y
n
k
j
i
y
2
1
,
,
2
1
2
1
,
,
2
1
2
1
2
1
,
,
2
1
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
,
,
2
1
2
1
2
1
ε
σ
ε
ε
σ
ε
σ
(3.3.2e)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
∆
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
+
−
+
+
+
−
+
+
+
y
H
H
x
H
H
t
t
t
t
E
E
n
k
j
i
x
n
k
j
i
x
n
k
j
i
y
n
k
j
i
y
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
j
i
n
k
j
i
z
n
k
j
i
z
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
,
2
1
2
1
,
,
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
,
,
2
1
2
1
2
1
ε
σ
ε
ε
σ
ε
σ
(3.3.2f)
Una representación geométrica de las componentes de E y H que forman las ecuaciones
(3.3.2) fue propuesta en 1966 por Kane Yee, y es ilustrada en la Figura 3.1 [1]. En esta
figura se observa una celda donde están ubicadas las seis componentes de campo de tal

forma que cada componente de campo magnético es rodeada por cuatro componentes de
campo eléctrico y a su vez cada componente de campo eléctrico es rodeada por cuatro
componentes de campo magnético.
Figura 3.1 Arreglo de las componentes de E y H en un espacio de tres dimensiones.
Esta distribución de componentes marcó el comienzo del algoritmo de Diferencias Finitas
en el Dominio del Tiempo (FDTD) con el cual es posible resolver las ecuaciones de
Maxwell en forma discreta.
La distribución en el tiempo para el cálculo de cada una de las componentes se puede
observar en la Figura 3.2
n-½ n n+½ n+1
H E H E
Figura 3.2 Distribución en el tiempo de las componentes de E y H
para el cálculo de FDTD.
⎛ 1 ⎞
Cada componente de campo magnético es calculada para un tiempo t = ⎜n
+ ⎟ y este
⎝ 2 ⎠
valor depende de una componente de campo magnético previamente calculada en un
⎛ 1 ⎞
tiempo t = ⎜n
− ⎟ y de componentes de campo eléctrico calculados en t = n . Por otro
⎝ 2 ⎠
lado, cada componente de campo eléctrico es calculada en t = ( n + 1)
utilizando
componentes de campo eléctrico previamente calculadas en t = n y componentes de
t
22

⎛ 1 ⎞
campo magnético calculadas en t = ⎜n
+ ⎟ . Esta distribución de tiempo para el cálculo de
⎝ 2 ⎠
las componentes permite calcular unas componentes y después otras.
El espacio donde se desea definir el comportamiento electromagnético es dividido en
pequeñas celdas, véase Figura 3.1, y cada una de ellas representa un punto discreto del
espacio. Cada una de las celdas se caracterizan por su tamaño, representado por ∆ x, ∆y
y
∆ z , por sus características eléctricas y cada una de las componentes definidas en la celda es
resuelta en cada instante de tiempo ∆ t .
Debido a la contribución que tuvo Kane Yee en este arreglo de las componentes, el
conjunto de ecuaciones (3.3.2) se denominan “Algoritmo de Yee” [2].
Para un espacio de dos dimensiones el grupo de ecuaciones (3.3.1) se divide en dos grupos
dependiendo la dirección de propagación de la onda electromagnética: Transversal
Eléctrico (TE) y Transversal Magnético (TM). El grupo Transversal Eléctrico describe el
comportamiento de una onda donde no hay componente de campo eléctrico transversal a la
dirección de propagación y el modo Transversal Magnético se refiere cuando no hay
componentes de campo magnético transversal a la dirección de propagación.
El conjunto de ecuaciones que obedece a cada uno de estos grupos se muestra en la Tabla
3.1, considerando que no hay variaciones en la dirección z.
Tabla 3.1 Grupo de ecuaciones para la polarización TM y TE
H
∂t
∂E
∂E
∂t
y
∂t
TM TE
1 ⎛ ∂H
= ⎜
ε ⎝ ∂t
x z − σEx
1 ⎛ ∂H
= ⎜−
ε ⎝ ∂x
1 ⎛ ∂E
= ⎜
µ ⎝ ∂y
z
⎞
⎟
⎠
⎞
−σE
y ⎟
⎠
∂Ey
− −σ
∂x
∂ z x
∗
H z
⎞
⎟
⎠
∂E
∂t
H x 1 ⎛ ∂Ez
= ⎜
⎜−
− σ H
∂t
µ ⎝ ∂y
∂ ∗
∂H y
∗
∂t
1 ⎛ ∂Ez
= ⎜ −σ
H
µ ⎝ ∂x
1 ⎛ ∂H
= ⎜
ε ⎝ ∂x
∂H
−
∂y
y
x
⎞
⎟
⎠
z y x − σEz
La representación dentro del algoritmo de FDTD de este conjunto de ecuaciones es:
⎞
⎟
⎠
⎟ ⎞
⎠
23

24
• Grupo TM
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
−
+
−
+
y
H
H
t
t
t
t
E
E
n
j
i
z
n
j
i
z
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
n
j
i
x
n
j
i
x
2
1
,
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
2
1
ε
σ
ε
ε
σ
ε
σ
(3.3.3a)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
−
+
−
+
x
H
H
t
t
t
t
E
E
n
j
i
z
n
j
i
z
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
n
j
i
y
n
j
i
y
,
2
1
,
2
1
,
,
,
,
,
,
,
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
2
1
ε
σ
ε
ε
σ
ε
σ
(3.3.3b)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
+
∆
−
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
+
−
+
+
+
−
+
+
∗
∗
∗
+
y
E
E
x
E
E
t
t
t
t
H
H
n
j
i
x
n
j
i
x
n
j
i
y
n
j
i
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
n
j
i
z
n
j
i
z
2
1
2
1
,
2
1
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
,
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
1
,
2
1
2
1
2
1
µ
σ
µ
µ
σ
µ
σ
(3.3.3c)
• Grupo TE
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
−
+
∗
∗
∗
−
+
y
E
E
t
t
t
t
H
H
n
j
i
z
n
j
i
z
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
n
j
i
x
n
j
i
x
2
1
,
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
2
1
µ
σ
µ
µ
σ
µ
σ
(3.3.4a)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
−
+
∗
∗
∗
−
+
x
E
E
t
t
t
t
H
H
n
j
i
z
n
j
i
z
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
n
j
i
y
n
j
i
y
,
2
1
,
2
1
,
,
,
,
,
,
,
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
2
1
µ
σ
µ
µ
σ
µ
σ
(3.3.4b)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
−
∆
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
−
=
+
−
+
+
+
−
+
+
+
y
H
H
x
H
H
t
t
t
t
E
E
n
j
i
x
n
j
i
x
n
j
i
y
n
j
i
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
n
j
i
z
n
j
i
z
2
1
2
1
,
2
1
2
1
,
2
1
,
2
1
2
1
,
2
1
,
,
,
,
,
,
,
,
1
,
2
1
2
1
2
1
ε
σ
ε
ε
σ
ε
σ
(3.3.4c)

La elección del incremento del espacio y tiempo juegan un papel importante, ya que el
valor de estos depende la exactitud del método numérico. Cada uno de estos puntos son
analizados por medio de la estabilidad y dispersión numérica y los cuales se definen en las
siguientes secciones.
El programa de cómputo realizado para obtener los resultados que se muestran en este
trabajo de tesis se desarrolló para un espacio de dos dimensiones, considerando los dos
modos de propagación.
3.4 Estabilidad Numérica
Para el algoritmo de Yee la elección del valor numérico de los incrementos del espacio
( ∆ x , ∆ y y ∆ z ) y del tiempo ( ∆ t ) define la estabilidad numérica de FDTD. La estabilidad
numérica es una relación que deben de cumplir los parámetros del incremento del tiempo y
espacio con lo cual se asegura que los resultados convergen a la solución real. El análisis
numérico que se realiza para obtener la relación de estabilidad numérica para las técnicas
numéricas que dan solución a las ecuaciones diferenciales parciales fue presentado por
Courant, Friedrich y Levy (CFL) y Von Neumann [2]. La técnica que ellos presentan
permite desacoplar la ecuación de diferencias finitas en dos problemas de valores propios,
uno para el espacio y otro para el tiempo. Al obtenerse el conjunto de valores propios para
cada caso, se comparan los resultados obtenidos definiendo el conjunto de valores que
puede tomar ∆ t en función de ∆ x , ∆ y y ∆ z para garantizar la estabilidad.
A continuación se describe el análisis que se hizo para obtener la relación de estabilidad
numérica para un espacio de dos dimensiones, para ello se elige el grupo Transversal
Eléctrico y se considera que el medio es homogéneo y no hay pérdidas eléctricas y
magnéticas.
Sustituyendo las expresiones de diferencias finitas en las ecuaciones que representan la
polarización TE:
E
n+
1
z i,
j
− E
∆t
H
H
n
z i,
j
∆t
⎛
1 ⎜
E
= −
µ ⎜
⎝
n+
1 2 n−1
2
n
n
x − H
i,
j x i,
j
z i,
j+
1 2 z i,
j−1
2
n+
1 2
y
i,
j
− H
∆t
⎛
1 ⎜ H
= ⎜
ε ⎜
⎝
n−1
2
y
i,
j
n+
1 2
y
i+
1 2,
j
⎛
1 ⎜
E
=
µ ⎜
⎝
− H
∆x
n
z i+
1 2,
j
n+
1 2
y
i−1
2,
j
H
−
− E
∆y
− E
∆x
n
z i−1
2,
j
n+
1 2
x i,
j+
1 2
⎞
⎟
⎟
⎠
− H
∆y
⎞
⎟
⎟
⎠
n+
1 2
x i,
j−1
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
(3.4.1a)
(3.4.1b)
(3.4.1c)
25

Este es el grupo de ecuaciones que describen el modo TE en diferencias finitas centrales.
Partiendo de estas ecuaciones se definen los Valores propios temporales y espaciales.
3.4.1Valores propios temporales
Desacoplando las ecuaciones (3.4.1) y definiendo como solución un conjunto de valores
propios que corresponde a la parte temporal se tiene:
H
H
E
n+
1 2
x i,
j
n+
1 2
y
i,
j
∆t
− H
∆t
− H
∆t
n−1
2
x i,
j
n−1
2
y
i,
j
= ΛH
= ΛH
n+
1 n
z − E i,
j z i,
j
n+
1 2
= ΛE
z i,
j
n
x i,
j
n
y
i,
j
(3.4.2a)
(3.4.2b)
(3.4.2c)
Donde Λ representa el conjunto de valores propios temporales y es igual para el conjunto
de ecuaciones (3.4.2). Considerando que cada uno de ellos corresponde a un valor
simétricamente colocado en ±½ del tiempo del punto que se va a evaluar, se generaliza el
valor de Λ como:
V
n+
1 2
i,
j
−V
∆t
n−1
2
i,
j
= ΛV
n
i,
j
(3.4.3)
donde V representa las componentes vectoriales. Definiendo un factor de crecimiento
como:
y sustituyendo (3.4.4) en (3.4.3) se obtiene:
factorizando
n
V :
i,
j
q
q
n+
1 2 n
V V
i,
j
i,
j
i,
j = = n
n−1
2
V V i,
j i,
j
i,
j
V
n
i,
j
−
n ( V qi,
j ) n
∆t
i,
j
= ΛV
i,
j
(3.4.4)
(3.4.5a)
26

( q )
i,
j
q
i,
j
2
−1
= Λ
∆t
Resolviendo la ecuación cuadrática (3.4.5b), se tiene:
→ ( ) Λ∆tq
−1
= 0
2
i,
j
2
q (3.4.5b)
− i
Λ∆t
⎛ Λ∆t
⎞
q i,
j = ± ⎜ ⎟ + 1
(3.4.5c)
{ 2 4
1
⎝
42
⎠
43 4
≡a
2
≡ a + 1
Para obtener la estabilidad numérica el valor de q i,
j debe cumplir: ≤ 1
q es decir, la
energía de la onda en un tiempo determinado es menor o igual al de un tiempo anterior.
Considerando la ecuación (3.4.5c) y definiendo que el valor máximo que puede tomar es
uno, para que se cumpla a tiene que ser un número imaginario limitado entre j y -j , por lo
tanto se define que:
∆t
−1
≤ Im(
Λ)
≤ 1
(3.4.6a)
2
simplificando:
2
2
≤
∆t
∆t
− 2 ≤ ∆t
Im(
Λ)
≤ 2 → − ≤ Im(
Λ)
(3.4.6b)
La ecuación (3.4.6b) representa el conjunto de valores propios correspondientes al tiempo.
Ahora se definen los correspondientes al espacio.
3.4.2 Valores propios del espacio
Desacoplando el conjunto de ecuaciones (3.4.1) correspondientes al espacio y definiendo
un conjunto de valores propios como solución para cada una de ellas se obtiene:
⎛
1 ⎜
E
−
µ ⎜
⎝
⎛
1 ⎜
E
µ ⎜
⎝
n
z i,
j+
1 2
− E
∆y
n
z i,
j−1
2
n
n
z − E
i+
1 2,
j z i−1
2,
j
∆x
⎞
⎟
= ΛH
⎟
⎠
⎞
⎟
= ΛH
⎟
⎠
x i,
j
y
i,
j
(3.4.7a)
(3.4.7b)
27

⎛
1 ⎜ H
⎜
ε ⎜
⎝
n+
1 2
y
i+
1 2,
j
− H
∆x
n+
1 2
y
i−1
2,
j
H
−
n+
1 2
x i,
j+
1 2
− H
∆y
n+
1 2
x i,
j−1
2
⎞
⎟
⎟ = ΛE
⎟
⎠
z i,
j
(3.4.7c)
Para obtener el conjunto de valores propios en el espacio se calcula una solución a cada una
de las ecuaciones (3.4.7). Esta solución es definida como una onda plana numérica variante
en el espacio y la cual se considera monocromática. Estas soluciones quedan descritas
como:
H
H
E
~ ~ ( k I∆x+
k J∆y
)
j x y
y = H
I J
y e
(3.4.8a)
, 0
= H
j(
k
~
xI∆x
+ k
~
yJ∆y
)
e
x I , J x0
(3.4.8b)
( k
~
I∆x+
k
~
J∆y
)
j x y
z = E I J z e
, 0 (3.4.8c)
Donde k ~ es el vector de onda numérico que describe la dirección de propagación de la
onda numérica en un espacio de dos dimensiones.
Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (3.4.8) dentro de la ecuación (3.4.7a):
~ ~
~ ~
⎛ j(
k xI∆x
+ k y ( J + 1 2)
∆y
) j(
k xI∆x
+ k y ( J −1
2)
∆y
)
1 E z e
E z e
⎞
⎜
−
~ ~
0
0
⎟
j(
k xI∆x
+ k y J∆y
)
−
⎜
= ΛH
x e
∆y
⎟
0
µ
⎝
⎠
j( kx
I∆
x+
k yJ∆y
)
despejando e
~ ~
:
1
⎛
⎜ E
−
µ ⎜
⎝
z0
~
~
j(
k y ∆y
2)
− j(
k y ∆y
2)
e − E z e ⎞
0 ⎟
= ΛH
∆y
⎟
⎠
Aplicando la identidad de Euler de la función seno se obtiene:
2 jE
−
µ ∆y
z0
⎡ ~
sen k
y ⎤
⎢⎣
⎜
⎛ ∆
y = ΛH
2
⎟
⎞
⎝ ⎠⎥⎦
x0
x0
(3.4.9a)
(3.4.9b)
(3.4.9c)
Siguiendo el mismo procedimiento para la ecuación (3.4.7b) y (3.4.7c) se obtiene el
siguiente resultado:
2 jE z0
~ [ sen(
k ∆x
x ) ] = ΛH
2
y
(3.4.9d)
0
µ ∆x
28

2 j ⎡ H y0
⎢ sen
ε ⎣ ∆x
~ H x0
~
( k ∆x
x ) sen k
y ⎤
− ⎜
⎛ ∆
y ⎟
⎞
⎥ = ΛE
z0
2
∆y
⎝
2 ⎠⎦
(3.4.9e)
Sustituyendo las ecuaciones (3.4.9c) y (3.4.9d) en la ecuación (3.4.9e) y simplificando se
tiene:
~ 2 jE
2
z 1 0
~
[ sen ( k ∆x
x ) ] sen k
y ⎫
+ ⋅
⎡
⎤
⎜
⎛ ∆
y ⎟
⎞
⎬ = ΛE
z0
⎧2
jE
⎨ ⋅
ε x x 2
⎩Λ
µ ∆ ∆
Λµ
∆y
2 j z 1 0
2
factorizando Ez y despejando
0
Λ
2
Λ :
2 ~ [ sen ( k ∆x
x ) ]
∆y
⎢⎣
4 ⎧ 1
1 ⎡ 2
+ ⎜
⎛ ~
= −
∆
⎨
sen k
2
µε ⎩(
∆x)
2
2 y
⎝
2 ⎠⎥⎦
⎭
⎤
⎟
⎞
( ) ⎭ ⎬⎫
2 ⎢⎣
y
∆y
⎝ 2 ⎠⎥⎦
(3.4.10a)
(3.4.10b)
Los valores que puede tomar la función seno están dentro de 1 y -1 para cualquier valor de
k x
~ ó k y
~ y esta función elevada al cuadrado implica que los valores son siempre positivos.
Considerando el valor máximo de los términos senoidales de la ecuación (3.4.10d) y
sustituyendo se obtiene:
( ) ( ) ⎟⎟
⎛
⎞
2 4
⎜
1 1
Λ = −
⎜
− 2
2
µε ⎝ ∆x
∆y
⎠
(3.4.11a)
De la relación (3.4.11a) de comprueba que el valor de Λ es un número imaginario, por lo
tanto:
1 1
1 1
− 2c
+ ≤ Im ≤ 2c
+
(3.4.11b)
( ) ( )
2
∆x
∆y
2
( Λ)
( ) ( ) 2
2
∆x
∆y
1
Donde c = y representa la velocidad de propagación de la onda.
εµ
La ecuación (3.4.11b) representa el conjunto de valores propios que corresponden al
espacio.
3.4.3 Garantía de estabilidad
Para obtener la relación que garantiza la estabilidad numérica se define la relación que
existe entre los valores propios temporales con los espaciales:
29

1 1 2
2c + ⇔
(3.4.12)
2 2
( ∆x)
( ∆y)
∆t
De la ecuación (3.4.9c) se observa que el valor mínimo que puede tomar la función
3π ~ ω
senoidal es cuando vale y sabemos que: k = ± para ∆ t y ∆ infinitamente pequeño.
2
c
Relacionando estas consideraciones, se tiene:
~ ⎛ ∆x ⎞ 3 ω ⎛ ∆x
⎞ 3
k cosα
⎜ ⎟ = π ⇒ ± cosα
⎜ ⎟ = π
(3.4.13a)
⎝ 2 ⎠ 2 c ⎝ 2 ⎠ 2
~ ⎛ ∆y ⎞ 3 ω ⎛ ∆y
⎞ 3
k senα⎜
⎟ = π ⇒ ± senα⎜
⎟ = π
(3.4.13b)
⎝ 2 ⎠ 2 c ⎝ 2 ⎠ 2
Despejando ∆ x y ∆ y de cada una de estas dos ecuaciones, se obtiene:
Sustituyendo ( . 4.
14)
3 en la relación (3.4.12), se tiene:
c
1
⎛ c 1 ⎞
⎜3π
⎟
⎝ ω cosα
⎠
1
3π ω cosα
c
∆ x = ±
(3.4.14a)
c 1
∆ y = ± 3π
ω senα
(3.4.14b)
1
+
⎛ c 1 ⎞
⎜3π
⎟
⎝ ω senα
⎠
2 2
2
2
⇔
∆t
π
Sustituyendo ω
T
2
= en la relación (3.4.15) donde T representa el periodo de la onda:
1
1
2c + 2
2
⎛ 3cT
1 ⎞ ⎛ 3cT
1 ⎞
⎜ ⋅ ⎟ ⎜ ⋅ ⎟
⎝ 2 cosα
⎠ ⎝ 2 senα
⎠
Reduciendo la ecuación (3.4.16) se define que:
4 2
⇔
3T
∆t
2
⇔
∆t
(3.4.15)
(3.4.16)
(3.4.17)
El valor del periodo (T) de la onda electromagnética es más grande que t
∆ , por lo tanto
se define que:
30

Sustituyendo en la relación (3.4.12):
Despejando ∆ t :
≤
T ∆t
2 4
3
2 1 1
≥ 2c
+
∆t
∆
( ) ( ) 2
2
∆x
y
( ) ( ) 2
2
∆x
∆y
(3.4.18)
(3.4.19)
1
∆ t ≤
(3.4.20)
1 1
c +
La relación (3.4.20) define los valores que debe de tomar ∆ t para lograr la estabilidad
numérica del algoritmo de FDTD para un espacio de dos dimensiones. Para un ∆ t elegido
fuera de este rango, el método diverge de la solución real. Para ∆x = ∆y
= ∆ , la ecuación
(3.4.20) se reduce a:
∆
∆ t ≤
(3.4.21)
c 2
Este procedimiento llevado para el conjunto de ecuaciones para Transversal Eléctrico se
comprueba para el Transversal Magnético.
3.5 Dispersión Numérica
Las ecuaciones de Maxwell definidas por diferencias finitas producen dispersión esto es, la
velocidad de propagación de una onda electromagnética en el espacio numérico es distinta
a la velocidad de propagación en el vacío. La ecuación que describe las variaciones de la
velocidad de propagación se define como relación de dispersión numérica. Para un espacio
discreto la obtención de la relación de dispersión numérica se hace resolviendo las
ecuaciones de diferencias finitas de las ecuaciones de Maxwell obteniendo la relación que
describe el vector de onda numérico ( k ) ~ .
Para definir la relación de dispersión numérica en las ecuaciones de Maxwell para un
espacio de dos dimensiones se considera el conjunto de ecuaciones que describen el modo
Transversal Eléctrico, considerando que el medio es homogéneo y no hay pérdidas
eléctricas y magnéticas, y considerando su representación en diferencias finitas como se
muestra en las ecuaciones (3.4.1).
Se define un conjunto de soluciones discretas para cada componente vectorial, la cual
representa una onda numérica, como:
31

H
H
E
~ ~ ( k I∆x+
k J∆y−ωn∆t
)
j x y
y = H
I J
y e
(3.5.1a)
, 0
~ ~ ( k I∆x+
k J∆y−ωn∆t
)
j x y
x = H I J x e
(3.5.1b)
, 0
~ ~ ( k I∆x+
k J∆y−ωn∆t
)
j x y
z = E I J z e
(3.5.1c)
, 0
Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (3.5.1) en la ecuación (3.4.1a)
H
x0
e
~ ~
~ ~
j[
k x I∆x+
k y J∆y
−ω∆t
( n+
1 2)
] j k x I∆x+
k y J∆y
−ω∆t
( n−1
2)
− H x e
simplificando
∆x
0
~ ~
~ ~
[ ] [ ( ) ] [ ( ) ]
⎪
⎧ j k x I∆x+
k y J + 1 2 ∆y
−ωn∆t
j k x I∆x+
k y J −1
2 ∆y
−ωn∆t
1 E e
− E e
⎪
⎫
z0
z0
= ⎨
⎬
µ ⎪⎩
∆y
⎪⎭
~
~
jω
∆t
2 − jω
∆t
2 1
jk
y ∆y
2 − jk
y ∆ 2
( e − e ) = E z ( e − e )
1 y
H x0
0
∆ t
µ ∆y
sustituyendo la identidad de Euler de la función seno:
H
∆tE
µ ∆y
~
sen
y
⎜
⎛k ∆
y 2
⎟
⎞
⋅
⎝ ⎠
sen(
ω ∆ ) 2
z0
x = 0 t
Siguiendo el mismo procedimiento para la ecuación (3.4.1b y c) se obtiene:
y
0
H
∆tE
sen z
= − ⋅
µ ∆x
sen
~ ( k ∆x
x ) 2
( ω ∆ )
0
0 t
y
∆ ⎡ H
( ∆
⎤
) ⎢ ⎜
⎛ ~ ∆
⎟
⎞
H
t t x0
=
y
y0
~
sen k − sen(
k ∆x
)⎥ 2
y
ε ⎣ ∆y
⎝ 2 ⎠ ∆x
2
⎦
2
(3.5.2a)
(3.5.2b)
(3.5.2c)
(3.5.2d)
E z sen ω x
(3.5.2e)
Sustituyendo las ecuaciones (3.5.2c y d) en la ecuación (3.5.2e) se obtiene:
⎡ 1 ⎛ ω∆t
⎞⎤
⎢ sen⎜
⎟
2
⎥
⎣c∆t
⎝ ⎠⎦
2
⎡ 1 ⎛ ~ ∆y
⎞⎤
= ⎢ sen⎜k
y ⎟
2
⎥
⎣∆y
⎝ ⎠⎦
2
⎡ 1 ⎛ ~ ∆x
⎞⎤
+ ⎢ sen⎜k
x ⎟
2
⎥
⎣∆x
⎝ ⎠⎦
2
(3.5.3)
32

La ecuación (3.5.3) define la relación de dispersión numérica para el algoritmo de Yee en
dos dimensiones para el conjunto Transversal Eléctrico. Esta ecuación relaciona el vector
de onda numérico con la frecuencia de la onda y los incrementos de tiempo y espacio y su
valor depende de la dirección de propagación, la elección del valor de los incrementos de
espacio y tiempo y la longitud de onda.
Para obtener el valor de k ~ de la ecuación (3.5.3) se utiliza el método de Newton Raphson.
Considerando ∆ = ∆x
= ∆y
se obtiene la siguiente relación a solucionar:
donde:
~ 2 ~
( Aki
) + sen ( Bki
) − C
~ ( 2Ak
) + Bsen(
2Ak
)
sen
+ (3.5.4a)
2
~ ~
k i 1 = ki
−
~
Asen i
i
∆ ⋅ cosα
A = ;
2
∆ ⋅ senα
B =
2
y
2
⎛ ∆ ⎞ ⎛ ω∆t
⎞
C = ⎜ ⎟ sen⎜
⎟
⎝ c∆t
⎠ ⎝ 2 ⎠
donde i define el número de iteraciones que se resuelve.
Las Figuras 3.3 y 3.4 muestran las gráficas que describe la relación (3.5.4a). El valor inicial
~
k 0 que se elige es el valor del vector de onda en el espacio físico ( k = 2π
) y el valor de
λ
∆t = ∆ 2c
ya que satisface la relación de estabilidad numérica y es el valor más utilizado
para espacios de dos y tres dimensiones [2]. Se consideran tres iteraciones para la
convergencia de la solución para una resolución de aproximadamente 1x10 -5. .
Figura 3.3 Variación de la velocidad de fase numérica con respecto a la
dirección de propagación para cuatro diferentes resoluciones.
33

Los valores de dispersión numérica que se observan en la Figura 3.3 son valores
normalizados con el valor de la velocidad de fase física. En el problema se considera un
espacio numérico con características eléctricas similares a la del espacio vacío y sin
pérdidas. Mientras más cercanos sean estos valores a 1 se tiene menor dispersión y el error
numérico disminuye.
La Figura 3.3 muestra las variaciones de la velocidad de propagación variando la dirección
de propagación para 4 diferentes resoluciones. Se observa que a mayor resolución la
velocidad presenta menos error, siendo en 45° la dirección que presenta menos error para
cualquiera de las resoluciones [15].
La figura 3.4 muestra las variaciones de la velocidad de propagación en función de la
relación del tamaño de celdas ∆ x / ∆ y . Se observa que al disminuir ∆ y respecto a ∆ x
cambia la dirección en la cual se tiene mínima dispersión. Para la relación ∆ x = ∆y
se
presenta menor dispersión en todas las direcciones en comparación a las otras relaciones
[15].
Figura 3.4 Variación de la Velocidad de fase numérica con respecto a la dirección de
propagación para cuatro diferentes tamaños de celdas.
3.6 Campos Iniciales
La introducción de los campos iniciales o fuentes al algoritmo de FDTD ha variado desde
su surgimiento [2]. En la aparición de este algoritmo se modeló una onda plana, la cual se
34

originaba introduciendo valores a las componentes de E y H en t=0 y el signo del valor
numérico de cada componente definía la polarización de la onda electromagnética. Esta
técnica ocasionó problemas debido al defasamiento que existía en la introducción del valor
inicial de E con H.
Otra de las técnicas que se utiliza en la introducción de fuentes es definida como fuentes
duras. Esta consiste en definir en un punto del espacio numérico una función variante en el
tiempo representada en una componente de E o H. El tipo de función que se introduce
depende del problema que se desea resolver [2] y las más utilizadas son:
1. La función senoidal
E sen f n∆t
( )
E n
z = i 0 2π 0
(3.6.1)
s
2. La función Normal o Gaussiana con portadora
n
z is
( f ( n − n ) ∆t)
2
⎛ n−n
o ⎞
−⎜
⎟
⎝ AB ⎠
E = E sen 2π e + E
(3.6.2)
0
0
Donde f0 es la frecuencia de la portadora, AB el ancho de banda de la señal y n0 es elegido
3AB para un mejor resultado [3].
La característica de este tipo de fuentes es que introducen una señal variante en el tiempo a
la cual se le adhieren las señales reflejadas.
0
n
z is
35

4.1 Introducción
CAPÍTULO IV
CONDICIONES DE FRONTERA ABSORBENTES
Toda simulación numérica es limitada por la capacidad física del sistema de cómputo
empleado, en particular el algoritmo del comportamiento electromagnético FDTD. Este
problema fue abordado desde la aparición de FDTD surgiendo diferentes técnicas que
daban solución a las reflexiones producidas por los límites del espacio. El conjunto de estas
técnicas son definidas como Condiciones de Frontera Absorbentes (ABC) y la eficiencia de
ellas es calculada por el coeficiente de reflexión, el cual determina la proporción de señal
que es reflejada. Acoplamiento Perfecto de Capas (PML) es una técnica de ABC que ha
presentado los mejores resultados para dar solución al problema de las ondas reflejadas
dentro de FDTD.
En este capítulo se presenta el conjunto de ecuaciones que forman la técnica PML
considerando un espacio de dos dimensiones y las polarizaciones TM y TE. Este conjunto
de ecuaciones se implementan en el algoritmo de FDTD y se muestran las gráficas de
coeficientes de reflexión variando los parámetros que forman la técnica PML. Se presentan
los resultados para las dos polarizaciones y considerando una fuente que genera una señal
sinusoidal y Gaussiana.
4.2 Condiciones de Frontera Absorbentes
FDTD trabaja en un espacio discreto donde se propagan las OEM y el cual debe estar
limitado como se muestra en la Figura 4.1. Estos límites Ω’ dentro del espacio discreto Ω
representan la posibilidad de reflexiones que deben de ser eliminadas.
Ω
Ω’
Figura 4.1 Espacio discreto de FDTD limitado en 2D
36

El comportamiento natural de una onda electromagnética al incidir en un espacio cuyas
características eléctricas son diferentes del que se esta propagando (limites del espacio
discreto) es de reflexión o transmisión. Dentro del espacio discreto la posibilidad de
reflexión se debe de considerar, ya que estas reflexiones afectan al problema que se esta
analizando definiendo un comportamiento electromagnético fuera de lo real. A la vez
existen problemas en los que se desea conocer el comportamiento electromagnético en un
espacio infinito o no limitado, estas consideraciones se tienen que tomar en cuenta dentro
de FDTD.
Una posible solución a este problema es extender el espacio numérico en todas las
direcciones de tal forma que simule el espacio necesario, pero esta solución representa
mucho tiempo de procesamiento lo cual se considera desfavorable. Otra posible solución es
limitar el espacio discreto y eliminar las posibilidades de reflexión.
Existen en la actualidad una gran variedad de técnicas que tratan de dar solución a este
problema, agrupando todas estas en un nombre definido como Condiciones de Frontera
Absorbentes (ABC) y algunas de ellas son: ABC de Bayliss-Turkel, Operador de Engquist-
Majda, ABC de Mur, ABC de Trefethen-Halpern, Operador de Higdon, Extrapolación de
Liao, Superabsorción de Mei-Fang obteniendo mayor información en la referencia [2].
Una técnica más de ABC es definida como Acoplamiento Perfecto de Capas (PML) la cual
se centra este trabajo de tesis.
4.3 Acoplamiento Perfecto de Capas (PML)
En 1994 Berenger propuso una técnica que da solución a las Condiciones de Frontera
Absorbentes para FDTD que lleva por nombre “Acoplamiento Perfecto de Capas para la
absorción de Ondas Electromagnéticas (PML)” [4]. Esta técnica consiste en eliminar los
efectos de reflexión que pueden producir los límites del espacio discreto. Berenger diseñó
una zona (zona PML) dentro del espacio discreto ubicada en cada frontera de la malla
donde la OEM que se introduce en ella pierde suficiente potencia antes de llegar a las
paredes que limitan la malla. El espacio discreto es limitado por Conductores Eléctricos
Perfectos (PEC). Para lograr lo antes descrito, separó los componentes del campo eléctrico
y magnético y colocó pérdidas eléctricas y magnéticas (espacios de conductividad) en
cierto número de capas fronterizas, las cuales absorben la energía de las OEM y evitan la
posibilidad de reflexión. Las pérdidas eléctricas y magnéticas no existen físicamente pero
son introducidas matemáticamente para resolver el fenómeno de reflexión. Como resultado
de esto se obtiene un medio absorbente que es independiente del ángulo de incidencia y la
frecuencia de la onda electromagnética.
Con la técnica PML se obtuvieron resultados comparables con las sofisticadas cámaras
anecoicas [2], de tal forma que su implementación en FDTD para la solución del
comportamiento electromagnético es confiable.
37

A continuación se describe la técnica de PML considerando un espacio de dos dimensiones
y las polarizaciones TE y TM.
4.3.1 PML en un espacio de 2D, modo TE
Considere el conjunto de ecuaciones para un espacio de 2D del grupo TE representadas en
la Tabla 3.1. Los términos σ y ∗
σ son las conductividades eléctricas y magnéticas
respectivamente y representan pérdidas en el espacio libre.
Si una onda electromagnética que se propaga en el espacio libre e incide en un espacio con
pérdidas eléctricas y magnéticas, su comportamiento va a ser de reflexión, sin embargo, si
se cumple la relación:
∗
σ σ
= (4.3.1)
ε µ
o
donde ε o es la permitividad eléctrica en el vacío y µ 0 es la permeabilidad magnética en el
vacío, la impedancia en el vacío es igual a la impedancia de un espacio con perdidas
eléctricas y magnéticas, lo que equivale a eliminar la posibilidad de reflexión [4].
La relación (4.3.1) evita la posibilidad de que una onda que viaja en el espacio vacío e
incide normalmente en un medio con pérdidas eléctricas y magnéticas sufra reflexión, pero
aun así existe el problema de las ondas incidentes en forma oblicua, ya que con ellas no se
satisface esta relación.
Berenguer tuvo la idea de separar las componentes de campo eléctrico y magnético de las
celdas que forman el límite del espacio numérico y con ello considerar las ondas incidentes
oblicuas. Para el grupo TE la componente z E es dividida en dos componentes: E zx y E zy y
ello representa el siguiente conjunto de ecuaciones:
o
( E + )
∂H x ∗ ∂
+ σ yH
x = − zx Ezy
µ0 (4.3.2a)
∂t
∂y
( E + E )
∂H y ∗
µ0 + σ xH
y
∂t
∂
=
∂x
zx zy
(4.3.2b)
∂Ezx
ε0 + σ xEzx
∂t
∂H
y
=
∂x
(4.3.2c)
∂Ezy
+ σ yEzy
∂t
∂H
x = −
∂y
ε 0 (4.3.2d)
38

donde se satisface que E z = Ezx
+ Ezy
. Para este conjunto de ecuaciones se observa que el
∗
valor de σ y σ pueden ser escogidos de manera independiente permitiendo las siguientes
posibilidades:
- Si σ x = σ y
* *
= σ x = σ y = 0 , las relaciones (4.3.2) se reducen al conjunto de ecuaciones de
Maxwell para el espacio vacío.
- Si σ y
*
= σ y = 0 el espacio absorbe las componentes H y y E zx que se propagan en
dirección x.
- Si σ x
*
= σ x = 0 , el espacio absorbe las componentes H x y E zy que se propagan en
dirección y.
Las ultimas dos posibilidades forman la técnica PML, considerando que se cumplen las
siguientes condiciones:
∗
∗
σ x σ
σ
x
y σ y
= y = (4.3.3)
ε µ
ε µ
o
o
En la Figura 4.2 se muestra una estructura de dos dimensiones propuesta por Berenger que
resuelve FDTD implementando la técnica PML. En esta figura se muestra un espacio vacío
en donde se encuentra una fuente que esta originando OEM. Los límites del espacio están
constituidos por celdas en las que sus componentes son calculadas por medio de las
ecuaciones (4.3.2) y todo el espacio discreto es limitado por paredes que presentan una
conductividad muy elevada y que son definidas como PEC. Además se observa que en los
*
lados A y C la zona PML presenta conductividades σ x y σ x y en esos lados se atenúan
las componentes H y y E zx , en los lados B y D la zona PML presenta conductividades σ y
y
*
σ y logrando que se atenúen las componentes H x y E zy y en cada una de las esquinas
del espacio están definidas las cuatro conductividades.
∗
∗
∗
( σ , σ , σ , )
PML( 0,
0,
σ , σ )
PML σ
y
x
x
x
y
y
PEC
A
Vacío
o
o
FUENTE
y
y
PML
Figura 4.2 Espacio discreto con la zona PML
B
D
C
∗ ( σ , , 0,
0)
PML σ
x
x
39

4.3.2 PML en un espacio de 2D, modo TM
El conjunto de ecuaciones que satisfacen la zona PML para el modo TM, en las que se
dividieron la componente z H en H zx y H zy son:
∂E
∂
=
∂y
( H + H )
x ε 0 σ y E x
zx zy
(4.3.4a)
∂t
∂E
+
( H + H )
y
ε 0 + σ x E y = − zx zy
(4.3.4b)
∂t
donde se satisface que H z = H zx + H zy .
∂
∂x
∂ H zx *
µ 0 + σ x H zx
∂t
∂E
y
= −
∂x
(4.3.4c)
∂ H zx *
µ 0 + σ y H zy
∂t
∂E
x
=
∂y
(4.3.4d)
Al igual que para el modo TE, las conductividades pueden ser elegidas de forma
independiente, formándose las siguientes posibilidades:
- Si σ x = σ y
* *
= σ x = σ y = 0 , las relaciones (4.3.4) se reducen al conjunto de
ecuaciones de Maxwell para el espacio vacío.
- Si σ y
*
= σ y = 0 el espacio absorbe las componentes E y y H zx que se propagan en
dirección x.
- Si σ x
*
= σ x = 0 , el espacio absorbe las componentes E x y H zy que se propagan en
dirección y.
La condición de acoplamiento (4.3.3) también se satisface para este conjunto de
ecuaciones.
4.4 Conductividad en PML
La magnitud de las pérdidas o conductividades deberán de incrementarse con la
profundidad de cada lado de la zona PML siguiendo en función de la siguiente relación [3]
m
⎛ x ⎞
σ m = σ max ⎜ ⎟⎠
(3.4.1)
⎝δ
donde δ es el grosor de la zona PML y x representa su profundidad como se muestra en la
Figura 4.3.
40

Zona PML
PEC
El valor de σ max es definida por medio de:
σ
M + 1
max =
(4.4.2)
150π
ε r ∆x
donde ε r es la permitividad relativa y M es el índice de conductividad [4].
Para verificar la cantidad de señal reflejada se define el coeficiente de reflexión que
describe la relación que existe entre el campo incidente y el campo reflejado y está definido
por medio de la siguiente relación:
⎛ Er
⎞
ρ = 20log⎜
⎟
⎜ ⎟
(4.4.3)
⎝ Ei
⎠
donde r E representa el campo eléctrico reflejado y E i el campo eléctrico incidente.
Mientras más pequeña sea esta relación menor es la cantidad de campo reflejado y con ello
se verifica que la zona PML presenta mejores resultados.
En la Figura 4.4 se muestra los resultados de FDTD para un espacio de 2D que presenta las
siguientes características:
1. Espacio Discreto
a. Polarización: TE
b. Tamaño: 100 x 100
c. Resolución: ∆ = λ
20
d. Incremento del tiempo: ∆ t = ∆
2c
e. Constantes Eléctricas: Espacio vacío
2. Fuente
a. Señal: Sinusoidal
b. Frecuencia: 2.5GHz
c. Ubicación: 50 x 50
Vacío
Figura 4.3 Estructura de la zona PML
x
δ
41

La Figura 4.4 muestra cuatro diferentes resultados del programa FDTD donde se
variaron el tiempo de ejecución del programa de cómputo y el grosor de la zona PML.
En la figura 4.4a) se observa el comportamiento del campo EM antes de llegar a los
límites del espacio discreto, en la figura 4.4b) se incrementa el tiempo de ejecución
respecto a la figura 4.4a) de tal forma que la onda alcanza los límites del espacio
discreto y es posible observar las reflexiones producidas por las paredes del espacio
discreto, en la figura 4.4c) es mayor el tiempo de ejecución del programa de cómputo
respecto a la figura 4.4b) de tal forma que se observan los efectos de las reflexiones en
todo el espacio discreto, produciendo interferencia en todo el espacio; en la figura 4.4d)
se presenta el mismo tiempo de procesamiento del programa que en la figura 4.4c) pero
en esta espacio se introdujo una zona PML de 5 capas, de tal forma que es posible
observar que no se producen suficientes reflexiones como en la figura anterior.
a) b)
c) d)
Figura 4.4 Resultados de FDTD para a) PML=0, NTMAX=100∆t; b) PML=0,
NTMAX=120∆t; c) PML=0, NTMAX=220∆t; d) PML=5, NTMAX=220∆t.
42

Para obtener los resultados que se muestran en la Figura 4.4 se construyó el programa de
cómputo en el entorno MATLAB y en el Apéndice B se muestra el diagrama de bloques de
FDTD para un espacio de 2D con polarización TE.
A continuación se muestran las resultados del cálculo del coeficiente de reflexión para las
polarizaciones TM y TE, considerando que la fuente genera las dos tipos de señales:
sinusoidal y Gaussiana, variando el grosor de la zona PML y variando los índices de
conductividad.
4.5 Resultados de Coeficiente de Reflexión
Se muestran los resultados obtenidos del cálculo del coeficiente de reflexión para FDTD
implementando la técnica PML. Para realizar el cálculo del coeficiente de reflexión se
obtuvo el campo incidente y el campo reflejado de un espacio cuyas características son:
Tamaño: 1000 x 100
Resolución: ∆ = λ ; ∆x = ∆y
= ∆
20
Incremento del tiempo: ∆ t = ∆
2c
−12
Constantes Eléctricas: Espacio vacío; ε = 8.
85x10
−9
F mt y µ = 400πx10
H mt
0
Se obtiene diferentes valores de coeficiente de reflexión variando la polarización de la
OEM, el tipo de señal que genera la fuente y variando los parámetros grosor e índice de
conductividad de la zona PML. Para observar el campo incidente y campo reflejado se
define un detector, el cual almacena el comportamiento de la OEM incidente y reflejada. La
ubicación de la fuente y el detector dentro del espacio discreto juega un papel muy
importante y éstas se muestran en la Figura 4.5.
16λ
14λ
L1
. Detector
Fuente
L2 L3
L4
1000∆
50λ
100∆
5λ
Figura 4.5 Distribución del espacio discreto para el cálculo del coeficiente de
reflexión
0
43

Se ubica el detector a 2 λ respecto a la fuente obteniendo el campo incidente en función del
tiempo. Ese mismo detector percibe la onda reflejada de un lado del espacio discreto
detectando el campo incidente. Las dimensiones del espacio discreto que se escogieron se
definen de tal forma que el detector sólo capture la onda reflejada de una sola pared y no le
afecte la reflexión de las otras paredes.
Con los valores definidos de ∆ t y ∆ , es posible precisar que un período de la señal se
cumple con 40 ∆t
en el tiempo y 1 λ en 20 ∆ . Se ubica la fuente a 16λ respecto al lado L1
del espacio discreto y se crea una onda plana. La cantidad de tiempo que se va a dejar
encendida la fuente depende del tipo de señal, para la señal sinusoidal se apaga la fuente
hasta que se formen 10 periodos, es decir 400∆t y para la señal gaussiana se apaga una vez
que pasa por el valor máximo.
Se coloca el punto de detección a 14λ respecto al L1, y se ejecuta el programa 1000∆t,
cuidando que con este tiempo de corrido el programa, aun no llegan las reflexiones
producidas por el lado L4.
La figura 4.6 muestra el comportamiento electromagnético esperado en el punto de
detección para una fuente que genera una señal sinusoidal:
Figura 4.6 Comportamiento de la OEM en función del tiempo
Para calcular el coeficiente de reflexión se utiliza la relación (4.4.3) donde Er es el
promedio de las amplitudes del campo electromagnético reflejado y Ei es el campo
electromagnético promedio incidente.
44

La Figura 4.8 muestra los resultados del coeficiente de reflexión de la técnica PML
implementada en FDTD considerando un espacio con las siguientes características:
1. Espacio Discreto
Polarización: TE
Tamaño: 1000 x 100
Resolución: ∆ = λ
20
Incremento del tiempo: ∆ t = ∆
2c
Constantes Eléctricas: Espacio vacío
2. Fuente
Señal: Sinusoidal
Frecuencia: 2.5GHz
Ubicación: 320 x 50
Se realizan variaciones del número de capas que cubren la zona PML y también el índice de
conductividad M.
Figura 4.7 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que cubre
la zona PML y el índice de conductividad para TE – señal sinusoidal.
45

De la Figura 4.7 es posible observar que se presenta menor reflexión para M igual con 3 y
4, obteniendo mejores resultados para M =3. Para valores del índice de conductividad igual
a 2 y 5 se obtuvo mayor reflexión presentando el resultado menos favorables para M=5.
Para cada una de los distintos índices de conductividad se observa que mientras mayor sea
el número de capas que cubre la zona PML el valor del coeficiente de reflexión es menor.
En la Figura 4.8 se observa las curvas que describen el valor del coeficiente de reflexión
para un espacio que presenta las mismas características que las pruebas anteriores y
considerando que la fuente genera una señal Gaussiana y Sinusoidal que presenta las
siguientes características:
Fuente
Señal: Gaussiana y Sinusoidal
Frecuencia Portadora: 2.5GHz
AB: 7 λ
n0: 4 AB
Ubicación: 320 x 50
La zona PML se define para M igual a 3 y se varía el número de capas. La curva continua
presenta una señal sinusoidal y la punteada una señal Gaussiana con portadora.
Figura 4.8 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que cubre
la zona PML y la señal que genera la fuente para TE – M=3.
46

De la Figura 4.8 es posible observar que presenta menor coeficiente de reflexión cuando se
propaga con una señal Gaussiana que con una señal sinusoidal. A su vez también es posible
observar que disminuye este coeficiente de reflexión al aumentar al número de capas que
cubren la zona PML. Otro punto a considerar es que existe mayor estabilidad en la
diferencia que se presenta en el coeficiente de reflexión entre cada capa que cubre la zona
PML para la señal Gaussiana que en la señal sinusoidal.
La Figura 4.9 presenta esta misma prueba solo que ahora se realizó para la polarización
TM.
Figura 4.9 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que cubre
la zona PML y la señal que genera la fuente TM – M=3.
De la Figura 4.9 se observa que se presenta menor coeficiente de reflexión para la señal
sinusoidal que para la señal Gaussiana, notando que al igual que en todos los casos
anteriores al aumentar el número de capas que cubren la zona PML se obtiene menor
coeficiente de reflexión. A su vez también es posible observar que se presenta mayor
estabilidad en la curva de la señal Gaussiana en comparación a la señal sinusoidal.
En la Figura 4.10 se presenta el valor del coeficiente de reflexión para un espacio que
presenta las mismas características que las pruebas anteriores y para una fuente que cumple
con los valores:
47

Fuente
Señal: Gaussiana
Frecuencia Portadora: 2.5GHz
AB: 7 λ
n0: 4 AB
Ubicación: 320 x 50
Para definir las zona PML se mantuvo fijo el índice del coeficiente de reflexión M igual a 3
y se varía el número de capas que cubre esta zona. Se realizan las pruebas para las
polarizaciones TM y TE donde las características del espacio discreto para las dos
polarizaciones fueron las mismas.
Figura 4.10 Resultados del coeficiente de reflexión variando el número de capas que cubre
la zona PML y la polarización de la OEM para una señal Gaussiana – M=3.
De la Figura 4.10 es posible observar que para la polarización TE se presenta menor
reflexión en comparación con la polarización TM, a su vez es posible observar que
mientras mayor sea el número de capas que cubre la zona PML es menor el coeficiente de
reflexión.
48

CAPÍTULO V
TRANSFORMACIÓN DE CAMPO CERCANO EN CAMPO
LEJANO
5.1 Introducción
Una de las grandes aplicaciones que tiene FDTD es en el diseño de antenas, para lo cual es
necesario construirlas dentro del espacio discreto. La forma de verificar la veracidad de este
diseño es calculando sus parámetros y comparándolo con los resultados ya definidos en
forma analítica.
El valor del campo lejano es un parámetro de las antenas con el cual es posible definir el
patrón de radiación. Calcular el comportamiento electromagnético a una distancia grande
significa ampliar el espacio de trabajo y esto representa invertir memoria de cómputo y
tiempo de procesamiento.
Por medio de FDTD es posible conocer el valor del campo en un punto lejano sin necesidad
de ampliar el espacio de trabajo. Esto se realiza con los datos ya conocidos del campo
cercano y herramientas matemáticas como lo es el Teorema de Green. En la figura 5.1 es
posible observar el problema al que se enfrenta FDTD, al querer calcular el valor del campo
en un lugar fuera del espacio discreto.
Antena
CAMPO CERCANO
CAMPO LEJANO
Espacio discreto
Figura 5.1 Definición del campo lejano y el campo cercano dentro del espacio discreto.
En este capítulo se muestra la relación que describe el valor del campo lejano por medio del
valor conocido del campo cercano. Para conseguirlo se define el Teorema de Green en
función del campo cercano y una función de Green que depende de la distancia que define
el campo cercano y la correspondiente al campo lejano. A continuación se obtiene el valor
de la función de Green llegando al valor del campo lejano. Se realiza este procedimiento
para un espacio de dos dimensiones y para las polarizaciones TE y TM.
49

5.2 Relación que define la Transformación de Campo Cercano en Campo Lejano para
un espacio de 2D – TE
Es posible obtener el valor del campo lejano por medio del campo calculado dentro del
espacio discreto, esto se realiza implementando el Teorema de Green, con el cual es posible
representar el valor del campo en un punto lejano (en una distancia r ), debido a un valor
conocido como lo es el campo cercano (a una distancia r′ ). El procedimiento a seguir para
la obtención del campo lejano considerando la polarización TE es el siguiente [2]:
1. Se define el Teorema de Green para las componentes escalares ( r )
componente de campo eléctrico y función de Green.
G r r′
2. Obtener el valor de ( )
3. Obtener el valor de E z ( r ) en campo lejano.
E ′ z y ( r r )
G ′ ,
A continuación se describe la implementación del teorema de Green para un espacio de dos
dimensiones para el modo TE.
5.2.1 Definición del Teorema de Green
Por medio del teorema de Green es posible definir el comportamiento electromagnético en
un punto lejano, la Figura 5.2 define un sistema radiante que es rodeada por un contorno
cerrado C a a una distancia r′ , donde es ubicado un vector unitario nˆ a , el cual es normal al
contorno y representa el campo cercano. Rodeando al contorno C a se define un contorno
C∞ a una distancia r , donde es ubicado un vector unitario nˆ ∞ y definen el campo lejano.
Esta figura marca la posibilidad de definir el Teorema de Green a dos componentes
escalares E z () r'
(
y G ( r r')
, donde E z ( r')
(
representa una cantidad fasorial, r define la
distancia en un punto lejano o el punto donde se desea conocer el comportamiento
electromagnético y r′ una distancia cercano o distancia del valor del campo cercano.
r
Figura 5.2 Sistema radiante rodeado por dos contorno Ca y C∞
r’
50

El Teorema de Green para estas dos componentes se define por medio de la siguiente
ecuación [2]:
(
⎡ ( 2 ′
2 ′ (
G
()( ) ( ) ( )( )
( ) E
() () ( )
()
E G G E
⎤ ⎡ ( ∂ r r' ∂ z r' ⎤
∫
ds′
E
G dC′
⎢⎣
z r' ∇ r r' − r r' ∇ z r'
⎥⎦
= ∫ ⎢ z r' − r r' ⎥
S
r
r
C ⎣ ∂ ′ ∂ ′
∞
⎦
(
⎡ ( ∂G(
r r')
∂Ez
() ( )
() r' ⎤
− ∫ ⎢Ez
r' − G r r' ⎥ dC′
n
n
C
a
a
a⎣
∂ ′ ∂ ′ ⎦
(5.2.1)
donde dC describe un diferencial de contorno. El procedimiento a seguir es resolver la
ecuación (5.2.1) para la cual se resolverá primero la integral de contorno y a continuación
la integral de superficie.
Resolviendo la Integral de contorno obtenemos:
∫
C∞
⎡ (
⎢E
⎣
z
() r'
( r r')
∂G
∂r′
− G
( r r')
(
∂Ez
∂r′
( r r')
( r')
⎤ ⎡ (
⎥ dC′
= ⎢E
⎦ ⎣
z
() r'
( r r')
∂G
∂r′
(
⎡ ( ∂G
∂Ez
() ( )
( r')
⎤
= ⎢Ez
r' − G r r' ⎥ ⋅ 2πr′
⎣ ∂r′
∂r′
⎦
− G
( r r')
(
∂Ez
∂r′
() r' ⎤
⎥ ∫
⎦
C∞
dC′
(5.2.2a)
(5.2.2b)
Haciendo r ′ → ∞ lo que significa que la distancia se hace infinita y con ello el valor de las
componentes de campo se desvanece como 1
y G ( r r')
queda:
. Sustituyendo en las componentes E z ( r')
r′
∫
C∞
⎡
(
⎧ ( ∂G(
r r')
∂E
() ( )
( ) ⎫⎤
⎢ ′
z r'
≈ lim 2πr
⎨E
− G ⎬⎥
′
z r'
r r'
r →∞
⎢⎣
⎩ ∂r′
∂r′
⎭⎥⎦
(5.2.3a)
∫
C∞
⎡ ⎧ 1 ∂ ⎛ 1 ⎞ 1 ∂ ⎛ 1 ⎞⎫⎤
≈ lim⎢2π r′
⎨ ⋅ ⎜ ⎟ − ⋅ ⎜ ⎟⎬⎥
≈ 0 (5.2.3b)
r′
→∞
⎣ ⎩ r′
∂r′
⎝ r′
⎠ r′
∂r′
⎝ r′
⎠⎭⎦
Ahora de dará solución a la integral de superficie de la ecuación (5.2.1). Sustituyendo la
función de Green para soluciones armónicas en el tiempo definida como:
2 ′
2
∇ G r r' = δ r − r' − k G r r'
(5.2.4)
( ) ( ) ( ) ( )
en la ecuación (5.2.1) y de la misma forma sustituimos la ecuación de onda en forma
fasorial, definida como la ecuación de Helmholtz :
2 ′ ( 2 (
( ) E () = −k
E ( r r')
∇ z r' z
(5.2.5)
Sustituyendo las ecuaciones (5.2.4) y la (5.2.5) en (5.2.1) se obtiene:
51

( 2
2 ( (
∫{
Ez
() r' ⋅ [ δ ( r − r')
− k G(
r r')
] − G(
r r')
⋅ [ − k Ez
( r')
] } ds′
= ∫ Ez
( r')
δ ( r − r')
ds
S
Sustituyendo (5.2.3c) y (5.2.6) en la ecuación (5.2.1) se tiene:
(
E
z
() r = ∫ ⎢G(
r r')
=
Ca
∫
Ca
( r r')
⎡
⎣
(
∂E
( ) ∂
z r' ( G
− Ez
() r'
∂n′
∂ ′
a
na
⎤
⎥ dC′
⎦
⎡G ⎢⎣
a
(
z
(
z a ∇′
′
′
( r r')
nˆ
⋅∇′
E () r' − E () r' nˆ
⋅ G(
r r')
S
E z
(
( r)
′
= (5.2.6)
⎤dC′
⎥⎦
(5.2.7)
La relación (5.2.7) describe el valor del campo eléctrico en un punto lejano y depende del
valor de la función de Green y de la componente de campo eléctrico en un punto conocido.
5.2.2 Valor de la función de Green
Ahora se definirá el valor de la función de Green. La Figura 5.3 describe el espacio discreto
de dos dimensiones donde se desea calcular el valor del campo en un punto lejano P
producido por una antena. Se define un contorno cerrado rectangular (por simetría con el
espacio discreto) que rodea a el sistema radiante y la distancia de separación entre estos dos
es definida por r′. La distancia desde la antena con el punto lejano es definida por r . Por
medio del valor del campo que existe en el contorno es posible conocer el valor del campo
en un punto lejano P que se encuentra ubicado a una distancia r − r′
. Para dar solución a
este problema se tienen que realizar las siguientes consideraciones de la función de Green.
ESPACIO DISCRETO
Antena
y
Ca
φ
φ′
Distancia de la Antena al
Punto Lejano
r′ ˆ
Figura 5.3. Estructura que define el campo cercano y lejano de un espacio discreto.
n′ ˆa
r r − r'
r’→ Distancia de la
Antena al Punto
Cercano
x
P
Distancia del Punto Cercano
al Punto Lejano
Contorno rectangular cerrado
CAMPO CERCANO
Punto Lejano
CAMPO LEJANO
52

La forma analítica de la función de Green queda representada por medio de la función de
Hankel y para un espacio de dos dimensiones es definida como:
G
j
4
( 2)
( r r')
= H ( k r − r' )
0
(5.2.8a)
Considerando que se desea conocer el valor de esta función en un punto muy lejano es
decir, que tenga una distancia que tienda al infinito, la función (5.2.8a) queda definida
como:
3 2
j e
lim G(
r r')
=
k r−r'
→∞
1 2
8πk
r - r'
Para obtener el valor de r - r' aplicaremos la ley de cosenos obteniendo:
2
− jk
r-r'
( φ −φ′
)
(5.2.8b)
r - r' = r' + r − 2r'
r cos
(5.2.9a)
reduciendo y aplicando la expansión binomial a la ecuación (5.2.9a) obtenemos
1 2
1 2
r - r' ≅ r
(5.2.9b)
Sustituyendo la ecuación (5.2.9b) en la relación (5.2.8b) y cambiando la notación de
1 2
por r :
( )
( )
() 2 1
lim G r - r' =
k r -r'
→∞
3 2 − jk r −r
′ cos φ −φ
′
j e
8πk
r
(5.2.10a)
reduciendo:
lim G(
r r')
=
k r -r'
→∞
3 2
j − jkr + jkrˆ
⋅r'
e e
8πkr
(5.2.10b)
La operación gradiente en coordenadas esféricas queda definida como:
Aplicando el gradiente a la función ( r r')
1 2
r
∂V
1 ∂V
ˆ
1 ∂V
∇V
= rˆ
+ θ + ˆ φ
(5.2.10c)
∂r′
r ∂θ
′ rsenθ
∂φ′
lim
k r-r'
→∞
5.2.3 Relación de Campo Lejano
G obtenemos:
∇′ G
( r r')
∂ ⎛
= ⎜
∂r′
⎝
=
3 2
j
e
8πkr
j
− jkr
3 2
+ jkrˆ
⋅r'
⎞
⎟
⎠
− jkr + jkrˆ
⋅r'
( jkr)
e e
ˆ
8πkr
Sustituyendo la función de Green (5.2.11) en la ecuación (5.2.7) obtenemos:
e
(5.2.11)
53

Simplificando:
(
E
z
3 2
j
=
8πkr
∫
( (
+ jkrˆ
⋅
[ ˆ e ] dC
jkr + jkrˆ
⋅r'
() r e e n′
⋅ ∇′ E () r' − E () r' n′
⋅ ( jkr)
(
E
z
j
3 2
− r'
a z z a
Ca
− jkr
() e ⎡ jkr
n E () jkE
() n r⎤
+ ˆ⋅r'
r =
⋅ ∇′ r' − r' ⋅ e dC
8πkr
∫
C
′
⎢⎣
ˆa
a
(
z
(
z
ˆ
a
′
ˆ
⎥⎦
′
′
(5.2.12a)
(5.2.12b)
La integral de contorno esta compuesto por dos términos los cuales serán simplificados
aplicando álgebra vectorial.
Trabajando con el primer término de la integral de la ecuación (5.2.12b), el gradiente de la
(
función E z ( r ) en coordenadas cartesianas se define como
( (
( ∂Ez
∂Ez
∇′ Ez
() r' = xˆ
′ + yˆ
′
(5.2.13a)
∂x′
∂y′
Aplicando la ley de Faraday:
∂B
∇ × E = −
(5.2.13b)
∂t
y resolviendo:
⎛ ∂E
∂E
⎞ ⎛ ∂E
∂E
⎞ ⎛ ∂E
∂E
⎞ ∂
ˆ ⎜
( x′
B + y′
B + z Bz
)
y z ⎟
z x ⎜
x y ⎟ ˆ ˆ
(5.2.13c)
⎝ ∂ ′ ∂ ′ ⎠ ⎝ ∂ ′ ∂ ′ ⎠ ⎝ ∂ ′ ∂ ′ ⎠ ∂t
z y
x z
y x
x ′ − + yˆ
′ ⎜ − ⎟ + zˆ
′ − = −
′
x y ˆ
Sabiendo que B = µ oH
y por medio de la ecuación (5.2.13b) y (5.2.13c) es posible
reemplazar las componentes de E de la ecuación (5.2.13a) por las del H, relacionando estas
ecuaciones se obtiene:
(
(
(
∇′ E ( r' ) = xˆ
′ ( jωµ
H ) + yˆ
′ ( − jωµ
H )
(5.2.14a)
z
(
Haciendo zˆ ′ × H ( r′
) se tiene:
(
( ( (
zˆ
′ × jωµ
H( r')
j z′
( x′
H x ( r')
+ y′
H y ( r')
+ z′
0 = ωµ 0 ˆ × ˆ ˆ ˆ H z ( r')
) (5.2.14b)
resolviendo
z ′ × jωµ
( r')
= jωµ
yˆ
′ H ( r')
− xˆ
′ H ( r')
(
(5.2.14c)
0
y
[ ]
ˆ 0H
0 x
y
Por lo tanto la ecuación (5.2.14a) cambia a:
(
(
∇′ ( r')
= − jωµ
zˆ
′ × H(
r')
(5.2.14d)
E z
Sustituyendo (5.2.14d) en el primer término de la integral de contorno definida en
(5.2.12b):
Resolviendo:
(
(
nˆ ′ ( r')
′ [ ′
a ⋅∇′
Ez
= − jωµ
0nˆ
a ⋅ zˆ
× H(
r')
]
(5.2.15a)
0
0
x
54

(
(
n ⋅∇′
E ( r')
= − jωµ
zˆ
′ ⋅ nˆ
′ × H(
r')
(5.2.15b)
ˆ′ a z
0 a
[ ]
Trabajando ahora con el segundo termino de la integral (5.2.12b) y aplicando identidades se
obtiene:
(
(
( r')
nˆ
′ ⋅ rˆ
= { zˆ
′ × nˆ
′ × E(
r')
} ⋅ rˆ
(5.2.16a)
Ez a
a
(
[ ]
y
( (
( ) n′
⋅ r = n′
( z′
⋅E)
⋅ r − E(
z′
⋅ n′
) ⋅ r
E z ˆa
ˆ ˆa
1
ˆ
23
ˆ ˆ ˆa
142
(
= Ez
= 0
r'
43
ˆ
(5.2.16b)
Sustituyendo las ecuaciones (5.2.16b) y (5.2.15b) en (5.2.12b) se obtiene:
− jkr j(
π 4)
( e e
(
(
+
lim Ez
() r =
z′
⋅[
n′
a × () ] + kz′
× [ n′
a × () ] ⋅ r e
k r−r'
→∞
r k ∫ ωµ 0 ˆ ˆ H r' ˆ ˆ E r' ˆ
8π
C
a
jkrˆ
⋅r'
[ ] dC
′
(5.2.17)
La relación (5.2.17) define el valor del campo lejano por medio de FDTD para un espacio
de 2D para la polarización TE [2]. El valor de las componentes de campo eléctrico y campo
magnético son de forma fasorial y para lograr su conversión se aplica la transformada
discreta de Fourier dentro del cálculo de FDTD. Una vez convertidos los campos
vectoriales a fasores se resuelve la integral de contorno y para ello se aplica el método
trapezoidal.
5.3 Relación que define la Transformación de Campo Cercano en Campo Lejano para
un espacio de 2D – TM
Llevando a cabo el análisis que se realizó para la polarización TE, es posible obtener la
relación que describe el valor del campo lejano para un espacio de dos dimensiones con
polarización TM.
El Teorema de Green para las componentes ′ ( r′
)
ecuación [2]:
∫
S
⎡
⎢⎣
H
(
H z
2 ′
′ (
()( ) G(
) G(
)( ) H () ⎤ (
r' ∇ r r' − r r' ∇ z r' ds′
= ∫ ⎢H
z () r'
( 2
z
−
∫
⎡ (
⎢H
⎣
() r'
∂G
( r r')
∂n′
− G
( r r')
z
Ca a
a
Resolviendo la Integral de contorno C ∞ :
(
⎡ ( ∂G(
r r')
∂E
() ( )
() ⎤ ⎡
z r' (
∫ ⎢E
−
⎥ ′
z r' G r r' dC
= ⎢E
⎣ ∂r′
∂r′
C
⎦ ⎣
∞
⎡
⎥⎦ C∞⎣
(
∂H
z () r' ⎤
⎥ dC′
∂n′
⎦
z
() r'
( r r')
∂G
∂r′
− G
y ( r r )
( r r')
G ′ , queda definida por la
∂G
( r r')
∂r′
(
∂Ez
∂r′
− G
( r')
⎤
⎥ ∫
⎦
C∞
( r r')
dC′
(
∂H
z
∂r′
() r'
⎤
⎥ dC′
⎦
(5.3.1)
(5.3.2a)
55

( r r')
(
⎡ ( ∂G
∂H
z
() ( )
( r')
⎤
= ⎢H
z r' − G r r' ⎥ ⋅ 2πr′
⎣ ∂r′
∂r′
⎦
(5.3.2b)
Haciendo r ′ → ∞ lo que significa que la distancia se hace infinita y con ello el valor de las
componentes de campo se desvanece como 1 . Sustituyendo en las componentes H z ( r)
r′
(
y G ( r r')
queda:
∫
C∞
(
⎡ ⎧ ( ∂G(
r r')
∂H
() ( )
( ) ⎫⎤
z r'
≈ lim ⎢2πr′
⎨H
− G ⎬⎥
′
z r'
r r'
r →∞
⎢⎣
⎩ ∂r′
∂r′
⎭⎥⎦
(5.3.3a)
∫
C∞
⎡ ⎧ 1 ∂ ⎛ 1 ⎞ 1 ∂ ⎛ 1 ⎞⎫⎤
≈ lim⎢2π r′
⎨ ⋅ ⎜ ⎟ − ⋅ ⎜ ⎟⎬⎥
≈ 0 (5.3.3b)
r′
→∞
⎣ ⎩ r′
∂r′
⎝ r′
⎠ r′
∂r′
⎝ r′
⎠⎭⎦
Ahora de dará solución a la integral de superficie de la ecuación (5.2.1). Sustituyendo la
función de Green para soluciones armónicas en el tiempo definida en la ecuación (5.2.4) y
la ecuación de onda en forma fasorial para el campo magnético, definida como la ecuación
de Helmholtz :
2 ′ ( 2 (
( ∇ ) H ( r ′ z ) = −k
H z ( r ′ )
(5.3.4)
se obtiene:
( 2
2 (
(
∫{
H z () r' ⋅ [ δ ( r − r')
− k G(
r r')
] − G(
r r')
⋅ [ − k H z ( r')
] } ds′
= ∫ H z ( r')
δ ( r − r')
ds
S
H z ( r)
(
=
Sustituyendo (5.3.3b) y (5.3.5) en la ecuación (5.3.1) se obtiene:
(5.3.5)
(
H
z
() r = ∫ ⎢G(
r r')
=
∫
Ca
( r r')
⎡
⎣
(
∂H
( ) ∂
z r' ( G
− H z () r'
∂n′
∂ ′
a
n
⎤
⎥ dC′
⎦
⎡G ⎢⎣
a
(
z
(
z a ∇′
Ca a
′
′
( r r')
nˆ
⋅ ∇′ H () r' − H () r' nˆ
⋅ G(
r r')
S
⎤dC′
⎥⎦
′
(5.3.6)
La relación (5.3.7) describe el valor del campo eléctrico en un punto lejano y depende del
valor de la función de Green y de la componente de campo magnético en un punto
conocido.
El valor de la función de Green que se obtuvo para la polarización TE es el mismo para la
polarización TM.
Sustituyendo la ecuación (5.2.11) en la ecuación (5.3.6) y simplificando se obtiene:
(
H
z
j
3 2
− jkr
() e ⎡ jkr
n H () jkH
() n r⎤
+ ˆ⋅r'
r =
⋅ ∇′ r' − r' ⋅ e dC
8πkr
∫
Ca
′
⎢⎣
ˆa
(
z
(
z
ˆ
a
′
ˆ
⎥⎦
′
(5.3.7)
56

La integral de contorno esta compuesto por dos términos los cuales serán simplificados
aplicando álgebra vectorial.
Trabajando con el primer término de la integral de la ecuación (5.3.7), el gradiente de la
(
r en coordenadas cartesianas se define como:
función ( )
H z
Aplicando la ley de Ampere:
y resolviendo:
(
∇′ H
z
( (
∂H
z ∂H
z
r' = xˆ
′ + yˆ
′
(5.3.8a)
∂x′
∂y′
()
∂D
∇ × H =
(5.3.8b)
∂t
⎛ ∂H
∂H
⎞ ⎛ ∂H
∂H
⎞ ⎛ ∂H
∂H
⎞ ∂
ˆ ⎜
( x′
D + y′
D + z Dz
)
y z ⎟
z x ⎜
x y ⎟ ˆ ˆ
(5.3.8c)
⎝ ∂ ′ ∂ ′ ⎠ ⎝ ∂ ′ ∂ ′ ⎠ ⎝ ∂ ′ ∂ ′ ⎠ ∂t
z y
x z
y x
x ′ − + yˆ
′ ⎜ − ⎟ + zˆ
′ − =
′
x y ˆ
Sabiendo que D = ε oE
y por medio de la ecuación (5.3.8b) y (5.3.8c) es posible reemplazar
las componentes de H de la ecuación (5.3.8a) por las del E, relacionando estas ecuaciones
se obtiene:
(
(
(
∇′ E ( r' ) = xˆ
′ ( − jωε
E ) + yˆ
′ ( jωε
E )
(5.3.9a)
Haciendo ′ × E ( r′
)
z
zˆ
(
tenemos:
(
( ( (
zˆ
′ × jωµ
E( r')
j z′
( x′
Ex
( r')
+ y′
E y ( r')
+ z′
0 = ωε 0 ˆ × ˆ ˆ ˆ Ez
( r')
) (5.3.9b)
resolviendo
(
z′
× jωµ
( r')
= jωε
( (
yˆ
′ E ( r')
− xˆ
′ E ( r')
(5.3.9c)
Por lo tanto la ecuación (5.2.14a) cambia a:
0
y
[ ]
ˆ 0H
0 x
y
0
(
(
∇′ ( r')
= jωε
zˆ
′ × E(
r')
(5.3.9d)
H z
Sustituyendo (5.3.9d) en el primer término de la integral de contorno definida en (5.3.7):
0
(
(
′ ⋅∇′
H ( r')
= jωε
nˆ
′ ⋅ [ zˆ
′ × E(
r')
]
(5.3.10a)
nˆ a z
0 a
Resolviendo:
(
(
nˆ ′ ( r')
′ [ ′
a ⋅∇′
H z = jωε
0zˆ
⋅ nˆ
a × E(
r')
]
(5.3.10b)
Trabajando ahora con el segundo termino de la integral (5.3.7) y aplicando identidades se
obtiene:
(
(
H z ( r')
nˆ
′ a ⋅ rˆ
= { zˆ
′ × [ nˆ
′ a × H(
r')
] } ⋅ rˆ
(5.3.11a)
y
x
57

(
( (
r'
43
ˆ
(5.3.11b)
( ) n′
⋅ r = n′
( z′
⋅H)
⋅ r − H(
z′
⋅ n′
) ⋅ r
H z ˆa
ˆ ˆa
1
ˆ
23
ˆ ˆ ˆa
142
(
= H z
= 0
Sustituyendo las ecuaciones (5.3.10b) y (5.3.11b) en (5.3.7) se obtiene:
lim
k r −r
′ →∞
(
H
z
( r )
e
=
− jkr
r
e
( π 4)
j
8πk
∫
Ca
(r
(r
+ jkrˆ
⋅r′
[ ωε zˆ
′ ⋅ [ nˆ
′ × E(
r ′ ) ] − kzˆ
′ × [ nˆ
′ × H ( r ′ ) ] ⋅ rˆ
] e dC
0
a
a
′
(5.3.12)
La ecuación (5.3.12) describe el valor del campo lejano para un espacio de dos dimensiones
con polarización TM. El valor de las componentes de campo eléctrico y campo magnético
son de forma fasorial y para lograr su conversión se aplica la transformada discreta de
Fourier dentro del cálculo de FDTD. Cada una de las operaciones vectoriales (producto
punto y pronto cruz) que se muestran en las ecuaciones (5.3.12) y (5.2.17) se resuelven en
todo el contorno y una vez determinados se calcula la integral de contorno en forma
discreta.
58

6.1 Introducción
CAPÍTULO VI
MODELADO DE CONTORNO
Las técnicas numéricas como herramientas para el diseño o análisis de dispositivos son
ampliamente utilizadas en la actualidad. FDTD es un algoritmo con el cual es posible
definir el comportamiento electromagnético producido por sistemas radiante como lo son
las antenas. El diseño de una antena dentro de FDTD se logra construyéndola dentro del
espacio discreto, definiendo su geometría así como sus características eléctricas y
magnéticas. En este trabajo se desea construir una antena parabólica cilíndrica circular, para
lo cual es necesario construir el reflector, el cual presente una geometría tipo cilíndrica
circular.
Un problema al que se enfrentan los modelos numéricos en la construcción de sistemas
radiantes, es en aquellos que presentan geometría circular, debido a que el espacio discreto
esta definido en forma de celdas y brinda poca potencia para la definición exacta de esta
estructura como podemos apreciar en la Figura 6.1. Otra es en la definición de finos
detalles que puede presentar cada estructura y a su vez cuando se tienen cambios
vertiginosos de las constantes eléctricas y magnéticas en la estructura a analizar.
Estructura
Espacio libre
Figura 6.1 Estructura a construir dentro de FDTD
Dentro de FDTD existen dos tipos de técnicas que dan solución a los problemas que se
plantearon en la construcción de los objetos: Resolución Múltiple de Mallas y Modelado de
Contorno [2]. La Resolución Múltiple de Malla plantea la posibilidad de aumentar o
disminuir la resolución del sistema en los puntos de la estructura que requiere mas detalle
de construcción obteniendo una mayor aproximación a la geometría de la estructura. La
desventaja de realizar variaciones en el tamaño de las celdas es que se presentan
transiciones en la velocidad de propagación de la onda dentro del espacio discreto y con
ello el origen de posibles reflexiones. Con la técnica Modelado de Contorno es posible
59

obtener la estructura sin modificar el tamaño de las celdas del espacio discreto y es
utilizada en mayor parte para la construcción de estructuras tipo PEC.
En este capítulo se define la técnica de Modelado de Contorno para la construcción de
objetos dentro de FDTD con estructura PEC definiendo el método de escalera.
6.2 Modelado de Contorno
Esta técnica describe la geometría de una estructura PEC y se basa principalmente en
aproximar la estructura a su forma real sin aumentar el número de celdas del espacio
discreto. Dentro de Modelado de contorno se define la técnica: Método de escalera.
6.3 Método de Escalera
El método de escalera es una técnica con la cual es posible construir el contorno de una
estructura tipo PEC dentro de FDTD. Consiste en aproximar en forma de escalera el
contorno de la estructura PEC que se desea modelar.
En la Figura 6.2 se muestra el método de escalera para un espacio de dos dimensiones y con
polarización TM. Para definir la estructura PEC las componentes de campo Ex y Ey que
presenta mayor exactitud con la estructura PEC se hacen igual con cero, estableciendo una
cadena continua de componentes de campo igual con cero.
EY
HZ
EX
PEC
Espacio libre
Escalera
Figura 6.2 Técnica de escalera aplicada a la estructura PEC dentro de
FDTD-2D-TM
Al incidir una OEM con polarización TM en una estructura cuyos componentes de campo
eléctrico no tienen valor, la OEM se refleja comportándose la estructura como un
reflector.
60

Una vez definido las componentes de campo que se hacen cero se realiza el cálculo
directo de FDTD. Una característica de esta técnica es que el área de las celdas
permanece constante para todo el espacio discreto y es posible aplicarla para la
polarización TE y TM.
En la Figura 6.3 es posible apreciar el espacio discreto de dos dimensiones con polarización
TE y la estructura PEC que se desea construir dentro de FDTD.
EY
HZ
EX
PEC
Espacio libre
Escalera
Figura 6.3 Técnica de escalera aplicada a la estructura PEC dentro de
FDTD-2D-TE
Al incidir una OEM con polarización TE en una estructura que se comporta como un PEC
las componentes de campo eléctrico en la frontera son igual a cero y la OEM se refleja.
Para un espacio de dos dimensiones y con polarización TE las componentes de campo
eléctrico Ez se hacen cero.
Para la definición y construcción de los contornos de las estructuras PEC se definen las
celdas que conforman la estructura dentro del espacio discreto y se definen las
componentes que se hacen cero.
61

7.1 Introducción
CAPÍTULO VII
Modelado de Antenas Parabólicas Cilíndricas
Se construye dentro de FDTD una antena tipo parabólica cilíndrica la cual consta de dos
partes principales: 1. el radiador o antena fuente y 2. el reflector. El radiador es una antena
tipo dipolar y el reflector es de forma circular cilíndrica.
Primero se definen las características de las antenas parabólicas cilíndricas, así como las
fórmulas que describen los parámetros de Directividad, Ganancia y Apertura Eficiente. A
continuación se describe la forma en que se construyó el radiador y el reflector, utilizando
para este último el método de escalera.
Por último se reportan los resultados obtenidos de los parámetros de campo cercano, campo
difractado así como el análisis en frecuencia del sistema radiante, los cuales nos describen
los parámetros de directividad, ganancia y apertura eficiente del sistema.
7.2 Antenas Parabólicas Cilíndricas
Los elementos que constituyen una antena parabólica cilíndrica son un reflector y una
antena fuente. El reflector es un dispositivo en forma de un cilindro parabólico cuyas
magnitudes varían según la necesidad del usuario y la antena fuente puede ser de tipo
dipolar lineal, arreglos lineales, o guías de onda [7]. En la Figura 7.1a) se muestra una
antena parabólica cilíndrica con una antena fuente tipo dipolar lineal alineada en forma
paralela al eje vertical del cilindro.
a) b)
Figura 7.1 Reflector Parabólico Cilíndrico a) tres dimensiones; b) dos dimensiones
d
V
f
θ
0
62

Los factores a considerar en la construcción del reflector están definidos por la geometría
de la parábola y son: el foco (f), la Apertura (d) y el Vértice (V) los cuales se muestran en la
Figura 7.1 b).
La superficie de un reflector parabólico cilíndrico permite que las ondas cilíndricas
emitidas por la antena fuente se reflejen y se transmiten en ondas planas, en el plano de
apertura del reflector [14].
La definición de los parámetros de este tipo de antenas ya han sido estudiados y publicados
ampliamente. Aquí se considerará el Método de Distribución de Apertura [7] para definir la
Directividad y Ganancia del sistema.
La directividad para este tipo de reflectores esta definida por:
⎛ πd
⎞
D0 = ⎜ ⎟ ε ap
(7.1.1)
⎝ λ ⎠
Donde D 0 es la Directividad, d es la apertura máxima del reflector y ε ap es la apertura
eficiente o aprovechable del reflector la cual es determinada por:
Donde ( θ ′ )
2
2 ⎛θ
⎞ θ
0 0
⎛ θ ′ ⎞
ε = ⎜ ⎟∫
( ′
ap cot G f θ ) tan⎜
⎟dθ (7.1.2)
0 ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
G representa la Ganancia de la antena y θ 0 es el ángulo formado de la línea
f
horizontal del vértice hasta el filo del reflector, definiendo la apertura máxima de éste. La
relación entre θ 0 y d esta definida como:
⎛ d ⎞ ⎛θ
0 ⎞
f = ⎜ ⎟cot⎜
⎟
(7.1.3)
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Considerando que se selecciona una antena fuente que radia en forma omnidireccional
( G ( θ ′ ) = 1),
la ecuación (7.1.2) se convierte a
f
⎜ ⎟⎨
⎝ 2 ⎠⎩
y la relación del foco con la apertura es:
f ⎛ 1 ⎞ ⎛θ
0 ⎞
= ⎜ ⎟cot⎜
⎟
d ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2
2 ⎛θ
0 ⎞⎧
⎛θ
⎫ 0 ⎞
ε ap = 4cot
− ln cos
(7.1.4)
o
o
Evaluando y graficando la ecuación (7.1.4) para 0 0 90 ≤ ≤ θ se obtiene la figura 7.2.
⎜
⎝
2
⎟ ⎬
⎠ ⎭
(7.15)
63

o
Para un valor de θ 0 = 90 o una relación de radio f/d=0.25 se obtiene la máxima apertura
eficiente (veáse Figura 7.2) y con ello la Directividad máxima de la antena reflectora, a su
vez si θ 0 es menor que 90° ó f/d mayor que 0.25, la Directividad de la antena disminuye.
7.3 Construcción de la Antena Parabólica Cilíndrica
Para lograr el diseño de cualquier sistema radiante dentro de FDTD se considera la forma
geométrica y se trabaja por igualarlo dentro de FDTD.
A continuación se describe la construcción de cada uno de los elementos que forman la
antena dentro de FDTD.
7.3.1 Reflector
Apertura Eficiente
0°
f/d 0 θ
∞
El reflector es una estructura metálica que se comporta como un PEC a la frecuencia de la
señal incidente. Por lo tanto el campo eléctrico tangencial a su superficie es igual con cero,
satisfaciendo las condiciones de frontera que se muestran en la Tabla 2.1. Para la
construcción del reflector parabólico cilíndrico, se utiliza la técnica de modelado de
contorno: Método de Escalera.
La aproximación del contorno de la estructura PEC a forma de escalera se realiza de la
siguiente forma:
1. Definir los parámetros que caracterizan una curva parabólica, como lo son: el foco
V , y apertura (d).
(f), coordenadas del vértice ( )
30°
60°
0.93 0.43
x Vy
90°
0.25
Figura 7.2 Apertura Eficiente de una antena parabólica cilíndrica
64

2
2. Evaluar la ecuación de la parábola: ( x −V ) = 4[
− f ( y −V
) ]
variable independiente a la coordenada x , véase la Figura 7.3.
d ( V , )
Figura 7.3 Reflector parabólico dentro de FDTD – 2D
x
y
definiendo como
3. Para introducir la parábola en el espacio discreto se aproxima los valores de la
coordenada y a un valor entero. Estas coordenadas definen una parábola.
4. De los valores obtenidos en el punto 3, se define los nuevos valores de las
coordenada y realizando la aproximación en forma de escalera.
5. Las coordenadas que forman la escalera, corresponden a los de las componentes de
campo que la forman. El valor de dichas componentes se hacen cero dentro del
algoritmo FDTD, dependiendo del tipo de polarización con la que se esta
trabajando, como se muestra en la Figura 7.4.
x
y
x
Hy
y
Escalera
EZ HX
Espacio
libre
f .
PML
x Vy
Reflector
Parabólico
Figura 7.4 Reflector parabólico en forma de escalera dentro de FDTD - TE
65

7.3.2 Antena fuente
Una antena dipolar que radia en forma omnidireccional ondas cilíndricas se construye
dentro de FDTD. Esta antena es definida en un punto del espacio ( i s, js
) por medio de una
señal variante en el tiempo, en una componente z E para la polarización TE y en H z para
la polarización TM.
Se considera que la antena es alimentada por dos tipos de fuentes: una que genera una señal
continua, representada por una señal sinusoidal y otra que genera una señal discreta y que
es representada por una señal Gaussiana con portadora. Las señales se muestran a
continuación:
• Señal continua:
• Señal discreta:
n
= E sin ( 2π
f n∆t)
+ E
(7.3.1)
n
E z i j
z
s , 0
0
s
is
, js
2
⎛ n−η
o ⎞
n
−⎜
⎟
⎝ σ ⎠
n
E z = E sin ( 2 f ( n ) t)
e E
i j
0 −η
0 ∆ + z
s , s 0
is
, js
π (7.3.2)
Donde f0 es la frecuencia de la portadora; σ el ancho de banda de la señal y η0 la media
con un valor mayor que 3σ [4].
7.4 Parámetros de Antena
Los parámetros de una antena definen el comportamiento del sistema radiante. Dicho
comportamiento depende de las variantes que se presentan en la construcción de este
sistema, y una de ellas es su forma geométrica, tamaño, material de construcción entre
otros.
Los parámetros que se considera en este trabajo son: Campo cercano, Campo difractado.
Cada uno de ellos son verificados dentro de FDTD y son comparados sus resultados con los
definidos en forma analítica.
7.4.1 Campo Cercano
Uno de los parámetros importantes a considerar en el diseño de una antena es el valor del
campo cercano ya que por medio de él es posible definir la radiación en la zona de campo
lejano. La zona de campo cercano es la radiación obtenida a una distancia de 5λ alrededor
de un sistema radiante [7].
66

El comportamiento Electromagnético en la zona de campo cercano de la antena en FDTD
se obtiene colocando un conjunto de detectores alrededor de la parte frontal del sistema
radiante considerando una misma distancia r=5λ respecto a la antena-fuente como se
muestra en la Figura 7.5.
La ubicación de los detectores es definida en función de la ecuación de circunferencia:
( ) ( ) 2
2
x − x + y y
2
r f −
= (7.4.1)
donde x f y y f representan las coordenadas de la antena-fuente y r es 5 λ . Se considera la
coordenada x como variable independiente y a la y como la dependiente.
Los detectores definen el comportamiento EM en función del tiempo considerando los
valores del campo una vez que se haya estabilizado.
Se realizan las siguientes pruebas:
x
y
0º
θr
r=5λ
Se considera un espacio discreto de tamaño 1000 x 100 con resolución ∆ = λ y con
20
∆ t = ∆ , las constantes eléctricas son las del espacio libre y con polarización TE. Se
2c
obtiene el valor del campo cercano en dos reflectores con diferentes aperturas: 30 y 18mts
conservando fijo la ubicación del foco a una distancia respecto al vértice de 12.5λ,
formándose las dos diferentes relaciones f/d: 0.250 y 0.416 respectivamente. La ubicación
de la antena-fuente es la misma que la definida en el foco. Los resultados se pueden
observar en las Figuras 7.6 y 7.7.
f
180°
Zona de
Campo Cercano
Figura 7.5 Ubicación de los detectores para el calculo del campo cercano
67

Campo Cernano Normalizado
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
f/d=0.250
f/d=0.416
-0.1
0 30 60 90
θ r (Grados)
120 150 180
Campo Cercano Normalizado
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Figura 7.6 Campo cercano para la señal continua
0
f/d=0.250
f/d=0.416
-0.1
0 30 60 90
θ r (Grados)
120 150 180
Figura 7.7 Campo cercano para la señal discreta
En la Figura 7.6 se muestra los resultados del campo cercano para una antena-fuente que
radia una señal continua donde la línea oscura representa f/d=0.250 y la suave f/d=0.416.
En el eje de las ordenadas se varía la dirección de propagación θr desde 0° hasta 180° y en
el eje de las abscisas se presenta el valor del campo cercano normalizado.
68

Se observa que a 90° se tiene una mayor directividad para f/d=0.250 respecto a la curva que
representa f/d=0.416. Además se puede observar que el lóbulo primario para f/d=0.416 es
mas ancho respecto a f/d=0.250.
En la Figura 7.7 se observa el valor de campo cercano para una antena-fuente que radia una
señal discreta, considerando las mismas aperturas que la prueba anterior. Para este tipo de
señales se obtiene un comportamiento similar al de la señal continua solo que con mayor
estabilidad. Para las dos señales es posible observar que para una relación f/d=0.250 se
tiene la máxima Directividad como se había previsto en forma analítica con la ecuación
(7.15).
La siguiente prueba que se realiza es variando la ubicación de la antena-fuente
manteniendo fija la apertura de la antena reflectora f/d=0.250. Las dos diferentes posiciones
de la antena-fuente se definen como:
• Foco: Indica que la antena-fuente esta ubicada en la misma coordenada en que fue
definido el foco para la construcción de la parábola, la cual corresponde a una
distancia respecto al vértice de 12.5λ;
• Alejada: Indica que la antena-fuente esta ubicada a una distancia mas alejada del
foco, la cual corresponde a 22.5λ respecto al vértice y a 10λ del foco;
Los resultados del campo cercano se muestran en las Figuras 7.8 y 7.9.
Campo Cercano Normalizado
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Foco
Alejada
-0.1
0 30 60 90
θ r (Grados)
120 150 180
Figura 7.8 Campo cercano de la señal continua para diferentes ubicaciones de la antenafuente
69

Campo Cercano Normalizado
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Foco
Alejada
-0.1
0 30 60 90
θ r (Grados)
120 150 180
Figura 7.9 Campo cercano de la señal discreta para diferentes ubicaciones de la antenafuente
En las Figuras 7.8 y 7.9 se muestran los resultados del campo cercano normalizado en
o
o
0 ≤ θ r ≤ 180 para las posiciones de la antena-fuente: Foco (línea oscura) y Alejada (línea
suave). La Figura 7.8 corresponde a una señal continua y la Figura 7.9 a una señal discreta.
En la Figura 7.8 se observa que para la antena-fuente ubicada en el foco se tiene la máxima
Directividad a 90°, representada por el lóbulo primario, sin embargo para la antena-fuente
ubicada en una posición mas alejada se tiene la formación de lóbulos secundarios en esa
dirección. En la Figura 7.8 se observa el mismo comportamiento definido para la señal
continua. En esta figura se puede observar que el comportamiento del campo presenta
mayor estabilidad en comparación a la Figura 7.9.
7.4.2 Campo Difractado
Dentro del diseño de una antena reflectora, el campo difractado es un valor de relevancia
debido a las fugas de campo producido por este fenómeno. La difracción es producida por
los filos del reflector parabólico y este campo representa pérdidas de potencia de la señal
que se desea enviar. Para obtener el valor del campo difractado se ubican detectores
alrededor de la antena (abarcando la parte trasera) y se obtiene el valor del campo eléctrico
de igual forma que se realizó para el cálculo de campo cercano.
El cálculo de este parámetro se realizó considerando las mismas variaciones que se hicieron
para el cálculo del campo cercano.
70

La definición de la zona del campo difractado está en función de las coordenadas que
define uno de los filos del reflector (rx,ry) y de la antena-fuente (vx,vy), véase la Figura 7.10.
Conociendo estos valores es posible definir el ángulo α que existe entre estos dos puntos y
la línea horizontal extendida sobre la antena-fuente de la antena, haciendo:
( α )
r
y y
tan =
(7.4.2)
r − v
o
Definido este valor, la zona de campo difractado esta comprendida en α > θ > −α
x
− v
Figura 7.10 Zona de campo difractado y de campo cercano
x
r 180 .
Las Figuras 7.11 y 7.12 ilustran los resultados obtenidos de campo difractado variando la
posición de la antena-fuente manteniendo fija la relación f/d igual a 0.250. El valor de α
o
para estas variaciones es de α = 0 y la zona de campo difractado esta comprendida entre
o o
180 > θr
> 0 . Se considera un espacio discreto de tamaño 1000 x 100 con resolución
∆ = λ y con ∆ t = ∆ , las constantes eléctricas son las del espacio libre y con
20
2c
polarización TE.
Campo Cercano Normalizado
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
90
-90°
Reflector
Zona de
Campo Difractado
180°
α
0°
Campo Difractado
Detector
x
Antena-Fuente
90°
Zona de
Campo Cercano
Foco
Alejada
180 -90
θ r (Grados)
0
90
Figura 7.11 Comportamiento del campo difractado para la señal continua.
71

Campo Cercano Normalizado
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
90
Campo Difractado
-90
θ r (Grados)
Figura 7.12 Comportamiento del campo difractado para la señal discreta
En la Figura 7.11 se muestra el comportamiento del campo cercano normalizado definiendo
la zona del campo difractado para una señal continua. Se observa que para una antenafuente
mas alejada del vértice de la parábola se tiene mayor magnitud de campo difractado
que la que se encuentra más cercana. Este mismo comportamiento se puede observar en la
Figura 7.12 la cual representa el comportamiento del campo difractado para una señal
discreta. Cabe mencionar que para la Figura 7.11 se observa que para θr igual a -90° (parte
trasera del reflector) se presenta campo, producido por la difracción, a diferencia de lo que
se observa en la Figura 7.12, donde el campo difractado no representa gran influencia en
esta dirección.
Ahora se muestra el valor de la zona de campos difractados variando la apertura del
reflector. Para la definición de la zona de campo difractado en cada uno de estos
reflectores se utiliza la relación (7.4.2) reiterando que para estas variaciones este valor
cambia debido a que la posición de los filos del reflector es diferente y la relación f/d para
cada uno de ellos varía y corresponde a los siguientes valores: Para f/d=0.250, α=0° y para
f/d=0.416, α=28.88°
Los resultados se muestran en las Figuras 7.13 y 7.14.
180
Foco
Alejada
0 90
72

Campo Cercano Normalizado
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
Campo Difractado f/d=0.416
Campo Difractado f/d=0.250
f/d=0.250
f/d=0.416
90 180 -90
θ r (Grados)
0
90
Figura 7.13. Comportamiento del campo difractado para la señal continua.
Campo Cercano Normalizado
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
Campo Difractado f/d=0.416
Campo Difractado f/d=0.250
f/d=0.250
f/d=0.416
90 180 -90 0 90
θ r (Grados)
Figura 7.14 Comportamiento del campo difractado para la señal discreta
En la Figura 7.13 se tiene el comportamiento del campo difractado para una señal
continua donde se observa que para una relación f/d=0.416 la magnitud del campo
difractado es mayor, es decir, para una apertura pequeña del reflector el campo difractado
es mayor. Para la relación f/d=0.250 la magnitud de este campo es menor debido a que la
apertura es mayor. En la Figura 7.14 es posible observar que el comportamiento del
campo difractado para una señal discreta, de la cual se observa un comportamiento similar
73

al de la Figura 7.13. Una vez más, para este tipo de señales se observa un comportamiento
con mayor estabilidad.
7.5 Respuesta en frecuencia
El algoritmo de FDTD es un algoritmo variante en el tiempo, esto nos marca la posibilidad
de conocer el comportamiento de las señales generadas dentro FDTD en el dominio de la
frecuencia. Esto se logra por medio de la Transformada Discreta de Fourier (TDF). Al
mismo tiempo en que el algoritmo de FDTD es verificado para cada instante de tiempo se
realiza el cálculo de la TDF en el punto de interés, haciendo:
E
n=
tmax
ω
n − jkωn∆t
z = E
i j ∑ z ⋅ e
(7.5.1)
, i,
j
n=
1
Donde k es un número entero. Se realiza el cálculo de la TDF de un pulso Gaussiano con
portadora a una frecuencia de 2.5GHz y un Ancho de Banda (σ) igual a 500MHz. Se
colocan detectores en la parte de frontal de la antena parabólica cilíndrica a una misma
o
o
distancia de la fuente variando la coordenada θ r entre 0 ≤ θ r ≤ 180 (zona de campo
cercano). Las características del reflector y la antena corresponden a una apertura igual a
60mts, la ubicación de la antena es la misma que la del foco del reflector y corresponde a
f/d=0.250.
En la Figura 7.15 se observa el comportamiento en el dominio de la frecuencia del campo
cercano en cada uno de los detectores para todo el ciclo de tiempo.
Figura 7.15 Comportamiento en frecuencia para una señal Gaussiana
74

De la Figura 7.15 se observa que para cada detector la respuesta en frecuencia corresponde
a una misma señal Gaussiana, la cual varia en magnitud representando el valor máximo
o para θ r = 90 y disminuyendo en las direcciones diferentes a ella observándose la formación
de lóbulos secundarios.
Se realizan cálculos del campo cercano en el dominio de la frecuencia para diferentes
relaciones de f/d fijando la posición de la antena-fuente en el foco. Los resultados se
muestran en la Figura 7.16.
Ε(ω)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
f/d=0.250
f/d=0.416
-0.1
0 30 60 90
θ r (Grados)
120 150 180
Figura 7.16 Valor del campo cercano en el dominio de la frecuencia
De la Figura 7.16 se puede observar que se tiene un comportamiento similar al definido en
la Figura 7.7, donde se obtiene mayor Directividad en el reflector que presenta f/d=0.25.
Como se vaya aumentando este valor, la Directividad de la señal va disminuyendo.
75

CONCLUSIONES
Se construyó un algoritmo que da solución a las ecuaciones de Maxwell implementando la
técnica FDTD y se modeló una antena parabólica cilíndrica. De este trabajo se obtuvo:
- La solución de las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento
electromagnético en cualquier espacio.
- Una manera de solucionar las ecuaciones de Maxwell es numéricamente con la
ayuda de sistemas de cómputo y para lograrlo es necesario diseñar el espacio y
resolver las ecuaciones en forma discreta.
- Por medio de la técnica de diferencias finitas es posible resolver de forma discreta
las ecuaciones diferenciales parciales, esta técnica es aplicada a las ecuaciones de
Maxwell surgiendo el algoritmo de Yee definido como: Diferencias Finitas en el
Dominio del Tiempo (FDTD).
- Por medio de FDTD es posible definir el comportamiento electromagnético de
cualquier espacio ya que se puede diseñar indicando las características eléctricas de
cada punto.
- Debido a los resultados obtenidos en el análisis de dispersión y estabilidad numérica
se considera aceptable trabajar con una resolución igual a 20 celdas por longitud de
onda. Si esta resolución se aumenta, los resultados presentarán menor posibilidades
de error, pero el tiempo de procesamiento aumenta.
- Se observa que a mayor resolución la velocidad de propagación dentro del espacio
discreto presenta menos error en comparación con la real, siendo en 45° la dirección
que presenta menos error para cualquiera de las resoluciones.
- Para la relación ∆ x = ∆y
se presenta menor dispersión en todas las direcciones en
comparación a las otras relaciones.
De los resultado obtenidos en el cálculo del coeficiente de reflexión se concluye lo
siguiente:
- Se presenta menor coeficiente de reflexión aplicando como índice de conductividad
M igual a 3 para la polarización TE y TM y considerando que la fuente genera la
señal gaussiana y sinusoidal.
- Al aumentar el valor de M se presenta mayor reflexión, esto es debido a que el valor
de la conductividad de la primera capa que cubre la zona PML presenta alta
conductividad, a su vez si M es pequeño la conductividad de esta capa también lo es
y no debilita la señal lo suficiente antes de llegar al PEC produciendo, el error de
reflexión.
76

- Al incrementar el número de capas que cubre la zona PML se tiene mayor espacio
para que la OEM se debilite lo suficiente antes de llegar al PEC, por lo tanto se
presenta menor coeficiente de reflexión para todos los diferentes casos: polarización
TE y TM, señal sinusoidal y Gaussiana y diferentes índice de conductividad.
- Las curvas que describen el coeficiente de reflexión de una señal Gaussiana
presenta mayor estabilidad que el de una señal sinusoidal, esto es debido a que la
señal sinusoidal en un corto periodo de tiempo se va a su máximo y después al
mínimo, causando inestabilidad y efectos transitorios en su comportamiento, sin
embargo la señal Gaussiana va amentando su amplitud poco a poco ocasionando
mayor estabilidad dentro de FDTD.
- Para la polarización TE se tiene menor coeficiente de reflexión en la señal
Gaussiana que en la señal sinusoidal, y para la polarización TM al contrario, se
presenta menor reflexión en una señal sinusoidal que en la señal Gaussiana, esto es
considerando un índice de conductividad M igual con 3.
- Se presenta menor coeficiente de reflexión en la polarización TE que en la TM,
tanto para la señal Gaussiana como para la señal sinusoidal.
De los resultados obtenidos en el modelado de la antena parabólica se concluye:
- El comportamiento de campo cercano para un reflector con radio igual a 0.25
presenta mayor directividad que los diferentes a esta magnitud y por lo tanto se
obtiene mayor ganancia, coincidiendo con lo definido en forma analítica.
- Por medio de FDTD es posible definir las pérdidas producidas por el fenómeno de
difracción en los reflectores parabólicos.
- Mientras más alejada se encuentre la fuente del vértice del reflector se incrementa la
cantidad de campo difractado manteniendo la apertura fija.
- El comportamiento de la señal Gaussiana presenta mayor estabilidad debido a que
las variaciones en la amplitud de esta señal son graduales en comparación a la señal
sinusoidal, donde las variaciones de su amplitud son de forma abrupta.
- Por medio de la Transformada Discreta de Fourier es posible analizar el
comportamiento de una señal dentro de FDTD en el domino de la frecuencia.
77

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA
[1] Yee, K. S., “Numerical solution of initial boudary value problems involving
Maxwell’s equations in isotropic media”, IEEE Transactions on Antennas and
Propagation, Vol. AP-14, No. 3, pp. 302-307, 1966.
[2] Taflove, A., “Computational Electrodynamics. The Finite-Difference Time-
Domain” Artech House, USA, 1995.
[3] Taflove, A., “Advances in Computational Electrodynamics. The Finite-
Difference Time-Domain” Artech House, USA, 1998.
[4] Berenger, J. P., “A perfectly matched layer for the absorbtion of electromagnetic
waves”, Journal of Computational Physics, Vol. 114, pp. 185-200, 1994.
[5] Sadiku, M. N., “Numerical Techniques in Electromagnetics” 2a. Ed. Press LLC,
USA, 2001
[6] Rao, S. M., “Time Domain Electromagnetics” Department of Electrical
Enginnering. Aunburn, A. L. Academic PRESS, USA, 1999.
[7] Balanis, Constantine A., “Antena Theory: Analysis and Design” 2ª. Ed. Jhon
Wiley & Sons, USA, 1996.
[8] Maloney, J. G., G. S. Smith, and W. R. Scott, Jr., “Achúrate computation of
radiation from simple antenas using the finite-difference time-domain method”, IEEE
Trans. Antenas and Propagation, Vol. 38, pp. 1059-1068, 1990.
[9] Maloney, J. G., and G. S. Smith, “A study of transient radiation form th Wu-King
resisitive amonopole – FDTD analysis and experimental measurements”, IEEE Trans.
Antenas and Propagation, Vol. 41, pp. 668-676, 1993.
[10] Montoya, T. P., and G. S. Smith, “A study of pulse radiation from several broadband
loaded monopoles”, IEEE Trans. Antenas and Propagation, Vol. 44, pp. 1172-1182,
1996.
[11] Shlager, K. L., and G. S. Smith, “Near-field to Far-field transformations for use
with FDTD method an its application to pulsed antenna problems”, Electronic Letters,
Vol. 30, pp. 1262-1264, 1994.
[12] Shlager, K. L., and G. S. Smith, “Comparison of two near-field to near-field
transformations applied to pulsed antenna problems”, Electronic Letters, Vol. 30, pp.
1262-1264, 1995.
[13] Kraus, John D., “Electromagnetics”, Fourth Edition, Mc Graw-Hill, EUA, 1981.
[14] Kraus, John D., “Antennas”, Second Edition, Mc Graw-Hill, EUA, 1988.
[15] Ramírez A. Atziry M., Álvarez C. Miguel A., “Simulador Electromagnético
empleando Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo”, XII Congreso Internacional
de Electrónica, Comunicaciones y Computadoras CONIELECOMP Febrero 2002.
[16] Ramírez A. Atziry M., Álvarez C. Miguel A., “Modelado de Antenas Parabólicas
empleando Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo”, XXIV Congreso
Internacional de Ingeniería Electrónica ELECTRO 2002, Octubre 2002.
[17] Collin, Robert E., “Foundations for Microwave Engineering”, Second Edition, Mc
Graw-Hill, 1992.
[18] Jackson, J. D., “Classical Electrodynamics”, Third Edition, New York: Willey,
1999.
78

[20] Taflove, A., Brodwin, M. E., “Numerical solution of steady-state
electromagnetic scattering problems using the time-dependent Maxwell´s equations”,
IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. MTT-23, No. 8, pp. 623-
630, 1975.
[21] Kunz, K. s., Luebbers, R., “The Finite Difference Time Domain Method for
Electromagnetics”, CRC Press, Boca Raton, FL, p. 448, 1993.
[22] Tirkas, P. A., Balanis, C. A., “Finite-difference time-domain method for antenna
radiation”, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vo. 40, No. 3, pp. 334-340,
1992.
[23] Mur, G., “Absorbing boundary conditions for the finite-difference
approximation of the time-domain electromagnetic-field equations”. IEEE
Transactions on Electromagnetic Compatibility, Vol. EMC-23, No. 4, pp. 377-382, 1981.
[24] Zhao, L., Cangellaris, A. C., “GT-PML: Generalizad theory of perfectly
matched layers and its application to the reflectionless truncation of finite-difference
time-domain grids”, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol.44,
No. 12, pp. 2555-2563, 1996.
[25] Berenge, J. P., “Improved PML for the FDTD solution of wave-structure
interaction problems”, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 45, No. 3,
1997, pp. 466-473.
[26] Winton, S. C., Rappaport, C. M., “Specifying PML conductivies by cnsidering
numerical reflection dependencies”, IEEE Transactions on Antennas and Propagation,
Vol. 48, No. 7, pp. 1055-1063, 2000.
79

APÉNDICE A
ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO
Todas las ondas electromagnéticas radiadas, incluyendo las ondas de radio, televisión,
radar, ondas de luz visible, rayos X, rayos Gamma, se distinguen una de otra por su
frecuencia y su correspondiente longitud de onda.
La longitud de onda λ de una onda es relacionada con la frecuencia y la velocidad de la
onda por λ = c f donde c es la velocidad de propagación de la onda y f la frecuencia.
Así la longitud de onda depende de la velocidad y esta su vez depende del medio. Cuando
8
el medio es el espacio libre c = 3× 10 m s . En la Tabla A.1 se presenta la designación de
las bandas de frecuencia [17].
Tabla A.1 Designación de Bandas de Radio Frecuencia
Frecuencia Longitud de onda Designación de Banda
30 - 300 Hz 10 – 1 Mm ELF (Frecuencia Extremadamente Baja)
300 - 3000 Hz 1 Mm – 100 Km
3 - 30 KHz 100 – 10 Km VLF (Frecuencia Muy Baja)
30 - 300 KHz 10 – 1 Km LF (Baja Frecuencia)
300 - 3000 KHz 1 Km – 100 m MF (Frecuencia Media)
3 - 30 MHz 100 – 10 m HF (Alta Frecuencia)
30 - 300 MHz 10 – 1 m VHF (Frecuencia Muy Alta)
300 - 3000 MHz 1 m – 10 cm UHF (Frecuencia Ultra Alta)
3 - 30 GHz 10 – 1 cm SHF (Frecuencia Super Alta)
30 - 300 GHz 1 cm – 1 mm EHF (Frecuencia Extremadamente Alta)
300 - 3000 GHz
Cada una de las bandas tiene un uso específico y se muestra en la Tabla A.2.
Tabla A.2 Aplicación de las bandas de Radio Frecuencia
Banda Aplicación
VLF Navegación, Sonora
LF Radio faro, Auxilio de Navegación
MF AM, radio marítimo, comunicación guardacostas
HF Teléfono, Telégrafo, radidifusión internacional de onda corta, radio
amateur, banda civil, comunicación de barcos a costa.
VHF Televisión, radio difusión FM, Control de tráfico aéreo, policía, radio
móvil, taxi cabina, ayuda de navegación.
UHF Televisión, comunicación satelital, radio sondeo, ayuda a navegación,
80

inspección radar.
SHF Radar en el aire, microondas, comunicación satelital, comunicación de
transportistas.
EHF Radar, experimental
I. RADIO
AM (Amplitud Modulada). Existen 107 canales con 10 KHz de separación, en un rango
de frecuencias de 535 – 1605 KHz. En este tipo de modulación se presenta una mayor
cantidad de ruido, este ruido puede provenir de una tormenta o por alguna otra fuente que
produzca frecuencias similares en este rango de frecuencias.
FM (Frecuencia Modulada). Se designaron 100 canales con 200 KHz de separación, su
rango de frecuencia es de 88 – 108 MHz. La calidad de transmisión en este rango de
frecuencia es muy buena, lo cual es una ventaja respecto a AM.
II. BANDA AMATEUR (Libre)
Esta es una banda libre, por lo cual es usada por aficionados para comunicarse. El rango de
frecuencias que se designo para este uso es de 1.8 – 5925 MHz, este rango aparenta ocupar
el espacio designado para otros usos, pero como es usado por aficionados se utilizan las
frecuencias libres de las distintas bandas; esto significa que no se designa una frecuencia
exacta para este uso y varían las frecuencias libres de una región a otra.
III. TELEVISIÓN
Tiene una separación de 6 MHz (ancho de banda). La frecuencia de portadora de cada canal
para video es igual a la frecuencia baja del ancho de banda más 1.25 MHz, la portadora
para audio es igual a la frecuencia alta del ancho de banda menos 0.25 MHz.
VHF. El rango de frecuencia es de 54 – 216 MHz para los canales 2 al 13.
UHF. Su rango de frecuencia es de 470 – 890 MHz, los números de canal para estas
frecuencias inician en 14 y terminan en el 83.
IV. TELÉFONO CELULAR
En este tipo de comunicación se manejan dos rangos de frecuencia, en un rango se sube la
señal para enlazar una estación móvil a una estación base (EM-EB), y en el otro se baja la
señal y hace el enlace inverso (EB-EM).
81

V. RADAR
Tabla A.3 Rango de frecuencias para la telefonía celular
Enlace Frecuencia
EM-EB 869-894 MHz
EB-EM 824-849 MHz
En el radar se designaron más bandas que en cualquier otra aplicación, estas bandas se
mencionan en la Tabla A.4.
Tabla A.4 Bandas de Radar
Banda Frecuencia
HF 3 – 30 MHz
VHF 30 – 300 MHz
UHF 300 – 1000 MHz
L 1 – 2 GHz
S 2 – 4 GHz
C 4 – 8 GHz
X 8 – 12 GHz
Ku 12 – 18 GHz
K 18 – 27 GHz
Ka 27 – 40 GHz
Milimétrica 40 – 300 GHz
82

APÉNDICE B
DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL CÁLCULO DE FDTD – 2D
MODO TE
INICIO
DEFINICIÓN DE CONSTANTES
c, f, R, IMAX, JMAX,
NTMAX, PML, Is, Js
λ =
c
f
∆ = λ
R
∆ = ∆x
= ∆y
∆t
= ∆
2c
ε,
ε , µ , µ
0
CÁLCULO DE LAS CONSTANTES ELÉCTRICAS
SIN CONSIDERAR LA ZONA PML
(MATRIZ DE CONSTANTES ELÉCTRICAS 1)
∗
σ , σ
A
0
c =3x108 → Velocidad de propagación.
f → Frecuencia de la onda.
R → Resolución igual al número de celdas por
longitud de onda.
IMAX y JMAX → Tamaño del espacio discreto.
NTMAX → Número de ciclos temporales.
PML → Número de capas que cubren la zonal PML.
Is y Js → Ubicación de la fuente
λ → Longitud de onda;
∆→ Magnitud de las celdas.
∆y y ∆ x →Magnitud de las celdas en la dirección
“x” y “y”.
∆t → Incremento del tiempo “t”
ε, µ , ε 0 , µ 0 → Definición de las constantes eléctricas
σ → Valor de la conductividad eléctrica del medio
(pérdidas eléctricas).
σ * → Valor de la conductividad magnética del medio
(pérdidas magnética).
83

A
Cex1
Cex2
Cey1
Cey2
Chx1
Chx2
Chy1
Chy2
DEFINICIÓN DE LA ZONA PML
σ
max
=
M
150π
B
M + 1
ε
∆x
ε
La zona PML esta formada por L1, L2, L3
y L4, como se muestra en la Figura B.1. Se
trabaja en forma independiente cada uno
de los lados.
0
⎛ σ ∆t
⎞
⎜1
− ⎟
⎜ 2ε
Cex1 = ⎟
⎜ σ ∆t
⎟
⎜1
+ ⎟
⎝ 2ε
⎠
⎛ σ ∆t
⎞
⎜1
− ⎟
⎜ 2ε
Cey1=
⎟
⎜ σ ∆t
⎟
⎜1
+ ⎟
⎝ 2ε
⎠
⎛ ∗ ⎞
⎜
σ ∆t
1−
⎟
⎜ 2 µ ⎟
Chx1 = ⎜ ∗ ⎟
⎜ σ ∆t
⎟
⎜1
+ ⎟
⎝ 2 µ ⎠
⎛ ∗ ⎞
⎜
σ ∆t
1−
⎟
⎜ 2 µ ⎟
Chy1 = ⎜ ∗ ⎟
⎜ σ ∆t
⎟
⎜1
+ ⎟
⎝ 2 µ ⎠
⎛ ⎞
⎜
∆t
⎟
Cex2 = ⎜ ε ⎟
⎜ σ ∆t
⎟
⎜1
+ ⎟
⎝ 2ε
⎠
⎛ ⎞
⎜
∆t
⎟
Cey2 = ⎜ ε ⎟
⎜ σ ∆t
⎟
⎜1
+ ⎟
⎝ 2ε
⎠
⎛ ⎞
⎜
∆t
⎟
⎜ µ ⎟
Chx2 = ⎜ ∗ ⎟
⎜ σ ∆t
⎟
⎜1
+ ⎟
⎝ 2 µ ⎠
⎛ ⎞
⎜
∆t
⎟
⎜ µ ⎟
Chy2 = ⎜ ∗ ⎟
⎜
σ ∆t
⎟
⎜1
+ ⎟
⎝ 2µ
⎠
M→Índice de conductividad
σ max → Conductividad máxima.
( )
L1
∗
∗
σ , 0,
0 L4
L2 ( σ x , σ , 0,
0)
2 x2
x , σ 1 x1
Figura B.1. Definición de la zona PML
∗ ( ) , 0 , σ
0 y
1 1 , y σ
L3
∗ ( ) , 0 , σ
0 y
2 2 , y σ
x = I
y = J
84

σ
m
B
LADO L1
= σ max
⎡ σ ∆t
⎤
⎢
1−
2ε
⎥
Cexp1 = ⎢ ⎥
⎢ σ ∆t
1+
⎥
⎢⎣
2ε
⎥⎦
Chyp1
⎛ x ⎞
⎜ ⎟⎠
⎝ PML
Para L1 σy = σ * y = 0, por lo tanto la condición de
∗
acoplamiento es:
σ σ
= y se calculan las
ε 0 µ 0
componentes dirigidas en dirección “x”: Ezx y Hy x x
σ → Conductividad eléctrica para la zona PML.
Este valor va disminuyendo conforme se acerca al
PEC.
∗ ⎡ σ ⎤
σ = µ 0 ⋅ ⎢ ⎥
σ
⎣ε
0 ⎦
* → Conductividad magnética para la zona PML.
D
m
⎡ ∆t
⎤
⎢ ∆ε
⎥
Cexp2 = ⎢ ⎥
⎢ σ ∆t
1+
⎥
⎢⎣
2ε
⎥⎦
∗ ⎡ σ ∆t
⎤ ⎡ ∆t
⎤
⎢1−
⎥
⎢
2 µ
⎢ ∆ µ ⎥
⎥ Chyp2 = ⎢ ⎥
⎢ σ ∆t
⎥
⎢
1+
⎢ σ ∆t
1+
⎥
⎥
⎣ 2 µ
⎢ ⎥
⎦ ⎣ 2 µ ⎦
= ∗
Cex1=Cexp1
Cex2=Cexp2
Chy1=Chyp1
Chy2=Chyp2
Cálculo de las constantes eléctricas para el
lado L1.
Igualar las matrices para L1 con la “Matriz de
constantes eléctricas 1”
85

D
LADO L3
Cexpp1=flipdim(Cexp1)
Cexpp2=flipdim(Cexp2)
Chypp1=flipdim(Chyp1)
Chypp2=flipdim(Chyp2)
Cex1=Cexpp1
Cex2=Cexpp2
Chy1=Chypp1
Chy2=Chypp2
∗ ⎡ σ ⎤
σ = µ 0 ⋅ ⎢ ⎥
⎣ε
0 ⎦
⎡ σ ∆t
⎤
⎢
1−
2ε
⎥
Ceyp1=
⎢ ⎥
⎢ σ ∆t
1+
⎥
⎢⎣
2ε
⎥⎦
Chxp1
σ
m
∗ ⎡ σ ∆t
⎤
⎢1−
⎥
⎢
2 µ
⎥
⎢ σ ∆t
⎥
⎢
1+
⎥
⎣ 2 µ ⎦
= ∗
LADO L2
= σ max
⎛ y ⎞
⎜ ⎟⎠
⎝ PML
E
m
⎡ ∆t
⎤
⎢ ∆ε
⎥
Ceyp2 = ⎢ ⎥
⎢ σ ∆t
1+
⎥
⎢⎣
2ε
⎥⎦
⎡ ∆t
⎤
⎢ ∆ µ ⎥
Chxp2 = ⎢ ⎥
⎢ σ ∆t
1+
⎥
⎢⎣
2 µ ⎥⎦
Cálculo de L3. Este lado tiene los mismos valores que
que L1 solo con una rotación por columnas de 180°.
⎡3⎤
⎡5⎤
⎢ ⎥
→
⎢ ⎥
⎢
4
⎥ ⎢
4
⎥
⎢⎣
5⎥⎦
⎢⎣
3⎥⎦
Igualar con la “Matriz de constantes eléctricas
1” en la posición que corresponde el lado L3
Para L2 y L4 σx = σ * x = 0, por lo tanto la condición de
∗
σ y σ y
acoplamiento es: = y se calculan las componentes
ε 0 µ 0
dirigidas en dirección “y”: Ezy y Hx Conductividad eléctrica y magnética para los lados L2 y L4
Cálculo de las constantes eléctricas para el
lado L2.
86

Cey1=Ceyp1
Cey2=Ceyp2
Chx1=Chxp1
Chx2=Chxp2
F
E
LADO L4
Ceypp1=fliplr(Ceyp1)
Ceypp2=fliplr(Ceyp2)
Chxpp1=fliplr(Chxp1)
Chxpp2=fliplr(Chxp2)
Cey1=Ceypp1
Cey2=Ceypp2
Chx1=Chxpp1
Chx2=Chxpp2
INICIALIZA MATRICES PARA
LAS COMPONENTES DE E Y H
PR2=1:2
HX=zeros (IMAX,JMAX,length(PR2))
HY=zeros (IMAX,JMAX,length(PR2))
EZX=zeros (IMAX,JMAX,length(PR2))
EZY=zeros (IMAX,JMAX,length(PR2))
EZ=zeros (IMAX,JMAX,length(PR2))
Igualar las matrices para L2 con la “Matriz de
constantes eléctricas 1”
Cálculo de L4. Este lado tiene los mismos
valores que que L2 solo con una rotación
por renglones de 180°.
[ 1 2 3]
→ [ 3 2 1]
Igualar con la “Matriz de constantes eléctricas
1” en la posición que corresponde el lado L3
PR2 → Vector que vale [1 2] y se utiliza para
definir el número de matrices para cada
componente
Componentes del campo eléctrico y campo
magnético
EZ → Matriz donde se almacenará la suma de
EZX y EZY
87

J
N
S
F
ACT=2
PR1=1
DEFINICIÓN DEL PEC
EZX(lado1,length(PR2))=0
EZY(lado1,length(PR2))=0
EZX(lado2,length(PR2))=0
EZY(lado2,length(PR2))=0
EZX(lado3,length(PR2))=0
EZY(lado3,length(PR2))=0
EZX(lado4,length(PR2))=0
EZY(lado4,length(PR2))=0
HY(lado2,length(PR2))=0
HX(lado3,length(PR2))=0
HY(lado3,length(PR2))=0
HX(lado2,length(PR2))=0
CÁLCULO DE FDTD
t

G
CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE H
HX(2:IMAX.1:JMAX-1,ACT)=Chx1(2:IMAX,1:JMAX-1)*HX(2:IMAX,1:JMAX-1,PR1)
+Chx2(2:IMAX,1:JMAX-1)*{EZY(2:IMAX,1:JMAX-1,PR1)
-EZY(2:IMAX,2:JMAX,PR1)+EZX(2:IMAX,1:JMAX-1,PR1)
-EZX(2:IMAX,2:JMAX,PR1)}
HY(1:IMAX-1,2:JMAX,ACT)=Chy1(1:IMAX-1,2:JMAX)*HY(1:IMAX-1,2:JMAX,PR1)
+Chy2(1:IMAX-1,2:JMAX)*{EZX(2:IMAX,2:JMAX,PR1)
-EZX(1:IMAX-1,2:JMAX,PR1)+EZY(2:IMAX,2:JMAX,PR1)
-EZY(1:IMAX-1,2:JMAX,PR1)}
CÁLCULO DE LAS COMPONENTES DE E
EZX(2:IMAX.2:JMAX,ACT)=Cex1(2:IMAX,2:JMAX)*EZX(2:IMAX,2:JMAX,PR1)
+Cex2(2:IMAX, 2:JMAX)*{HY(2:IMAX, 2:JMAX,ACT)
-HY(1:IMAX-1,2:JMAX,ACT)}
EZY(2:IMAX.2:JMAX,ACT)=Cey1(2:IMAX,2:JMAX)*EZY(2:IMAX,2:JMAX,PR1)
+Cey2(2:IMAX, 2:JMAX)*{HX(2:IMAX, 1:JMAX-1,ACT)
-HX(2:IMAX,2:JMAX,ACT)}
EZ=EZX+EZY
DEFINIR LA FUENTE
A= sin (2π f t ∆t)
H
89