CORBES DE SHIMURA I APLICACIONS - Universitat de Barcelona

1.1. Definicions i exemples 3
La teoria de K−àlgebres centrals i simples permet donar una altre
definició (cf. [Pie82]), potser més operativa, d’àlgebra de quaternions.
Denotem S(K) el conjunt de les K−àlgebres centrals i simples,
de dimensió finita sobre K.
El teorema de Wedderburn-Artin, que s’obté combinant el lema de
Schur amb la forma matricial dels endomorfismes, dóna l’estructura
general de les àlgebres semisimples. En particular, aquest teorema
prova que una K−àlgebra simple és isomorfa a una àlgebra de matrius
Mn(D), on D és una K−àlgebra de divisió, determinada mòdul
isomorfisme.
Els dos teoremes que citem a continuació són els considerats com
a resultats fonamentals de la teoria de les àlgebres centrals i simples.
El primer teorema generalitza el fet que els únics automorfismes
de Mn(K) són els automorfismes interns (és a dir, els de “conjugació
per una matriu”).
1.1.5 Teorema. (Skolem-Noether) Si A ∈ S(K), aleshores tenim
Aut(A) = {γu(x) = uxu −1 , u ∈ A ∗ } = Inn(A) ≃ A ∗ /K ∗ .
1.1.6 Definició. Si A és una K−àlgebra i X és un subconjunt de
A, llavors el centralitzador de X en A es defineix com
CA(X) = {a ∈ A | ax = xa ∀x ∈ X}
En particular, CA(A) = Z(A). Si l’àlgebra és central, aleshores
CA(CA(A)) = CA(K) = A. El teorema següent generalitza això a
les subàlgebres simples.
1.1.7 Teorema. (del doble centralitzador) Si A ∈ S(K), B és
una subàlgebra simple i CA(B) és el centralitzador de B en A, llavors:
1. CA(B) és simple.
2. dimK(B)dimK(CA(B)) = dimK(A).
3. CA(CA(B)) = B.
1.1.8 Corol . lari. Si A ∈ S(K) i F n’és un subcòs maximal, llavors
CA(F) ≃ Mn(F) i dimK(A) = n 2 [F : K] 2 .