CORBES DE SHIMURA I APLICACIONS - Universitat de Barcelona

2.1. Superfícies abelianes QM sobre un cos k qualsevol 31
X(D, 1) de nivell trivial parametritzen les classes d’isomorfisme de
tripletes (A, i, L) on O és l’ordre maximal d’enters d’una àlgebra de
quaternions B de discriminant D. Les corbes de Shimura X(D, N)
de nivell N classifiquen llevat d’isomorfisme les quadrupletes (A, i,
L, 〈P 〉) on (A, i, L) són superfícies abelianes polaritzades amb QM
per l’ordre O maximal d’enters i on 〈P 〉 ∈ A[N] és un grup cíclic de
N-torsió invariant per l’acció d’O (cf. [Cla03]).
És important observar que les superfícies abelianes parametritzades
per les corbes X(D, N) tenen multiplicació per O un ordre maximal
i no per un ordre d’Eichler.
Superfícies abelianes amb QM i CM
2.1.2 Definició. Una varietat abeliana A de dimensió g definida sobre
un cos k té multiplicació complexa sobre k si existeixen un cos
CM F de grau 2g sobre Q i una immersió j : F ֒→ End 0 k (A).
És convenient aclarir que una varietat abeliana A pot tenir multiplicació
complexa per diferents (i fins i tot infinits) cossos CM. Aquest
fet contrasta amb el que succeeix en corbes el . líptiques amb CM: el
cos de multiplicació complexa és únic.
Sigui ara (A, i) una superfície abeliana amb multiplicació quaterniònica
sobre un cos k.
Aleshores, d’acord amb la definició anterior, A té multiplicació
complexa sobre una extensió k ′ de k si existeix un cos CM F de grau
4 sobre Q i una immersió j : F ֒→ End 0 k ′(A). En aquest cas direm que
A (o potser millor la tripleta (A, i, j)) té QM i CM simultàniament.
Podem donar la següent caracterització de les superfícies abelianes
amb QM i CM sobre un cos de característica 0.
2.1.3 Teorema. Sigui (A, i) una superfície abeliana amb QM sobre
k, cark = 0, per un ordre maximal d’enters O en l’àlgebra de quaternions
B. Identifiquem B amb una subàlgebra de End 0 k (A) via i.
Aleshores són equivalents:
i) A té multiplicació complexa sobre k ′ .