CORBES DE SHIMURA I APLICACIONS - Universitat de Barcelona

1.2. Formes quadràtiques 7
La traça reduïda de x és t(x) = x + ¯x = 2x0 ∈ K.
(x, y) −→ t(xy) és una forma bilineal simètrica no degenerada.
La norma reduïda de x és n(x) = x¯x = x 2 0 − ax2 1 − bx2 2 + abx2 3
∈ K.
x −→ n(x) és un forma quadràtica. De fet, és la forma quadràtica
associada a la forma bilineal 1
2 t(x¯y).
Els elements invertibles de l’àlgebra són H ∗ = {x | n(x) = 0}.
L’invers d’un element x ∈ H ∗ és
x −1 = ¯xn(x) −1 .
La restricció n : H ∗ −→ K ∗ és un morfisme de grups. El seu nucli el
denotem H 1 .
1.1.12 Exemple. Considerem H = M(2, K). La descomposició de
a b
x = ∈ H
c d
com a suma d’un escalar i un quaternió pur és
x = x0 + z = 1
a + d
2 0
0
+
a + d
1
a − d
2 c
b
.
d − a
Els quaternions purs són les matrius de traça nul . la.
d −b
El conjugat de x és ¯x = , és a dir, la matriu d’adjunts.
−c a
La traça de x és t(x) = a + d. La norma de x és n(x) = det(x).
1.2 Formes quadràtiques
Segons el teorema d’estructura de Wedderburn-Artin, una K−àlgebra
de quaternions, o bé és una K−àlgebra de divisió o bé és isomorfa a
l’àlgebra de matrius M(2, K). La distinció de casos pot expressar-se
en termes de representabilitat de zero per una forma quadràtica de
K (cf. [O’M00]).