CORBES DE SHIMURA I APLICACIONS - Universitat de Barcelona

2.1. Superfícies abelianes QM sobre un cos k qualsevol 29
Per a poder precisar què entenem per multiplicació quaterniònica,
introduïm la següent data inicial (cf. Rio, capítol 1).
Sigui B una àlgebra de quaternions sobre Q de discriminant D.
Suposem a més que B és indefinida, és a dir,
B ⊗Q R ∼ = M(2, R).
Sota aquesta assumpció, podem escollir una immersió
Ψ : B ֒→ M(2, R)
que, pel teorema de Skolem-Noether (cf. Rio, capítol I), és única
llevat de conjugació per elements de GL2(R).
Pels teoremes d’Eichler (cf. [Als00a], [Vig80], cap. V), tots els
anells maximals d’enters de B són conjugats entre si. Triem O ⊂ B
un ordre maximal d’enters en aquesta única classe de conjugació. O
és un anell principal: tots els ideals laterals són principals (cf. Rio,
capítol 1).
Diem que una (anti-)involució φ : B → B és positiva (respecte a la
traça reduïda) si per a tot b ∈ B, b = 0, tr(b·φ(b)) > 0. De nou degut
al teorema de Skolem-Noether, totes les involucions positives en B són
de la forma φ(b) = v −1 · ¯ b · v on v ∈ B satisfà v 2 + d = 0, d ∈ Q ∗ , d <
0. D’altra banda, pels teoremes d’Eichler sobre immersions d’ordres
quadràtics en ordres quaterniònics (cf. [Vig80], [Als00a]), existeix un
element u ∈ O tal que u 2 +Disc(B) = 0. Fixant-ne un, obtenim una
involució positiva en B que denotarem
∗ : B → B
b ↦→ b ∗ = u −1 · b · u.
2.1 Superfícies abelianes amb multiplicació
quaterniònica sobre un cos k qualsevol
Fixem la data inicial (B, O, Ψ : B ֒→ M(2, R), b → b ∗ ) tal com hem
descrit anteriorment.
2.1.1 Definició. Una superfície abeliana amb multiplicació quaterniònica
(QM) sobre un cos k és un parell (A, i) on