1 GRUPOS DE LIE 2 Campos invariantes por la izquierda

1 GRUPOS DE LIE
2 Campos invariantes por la izquierda
Definición 1 Un grupo de Lie es una terna (G, ·, A)donde (G, ·) es un grupo,
(G, A) es una variedad y las funciones.
1) · : G × G → G, (g 1 ,g 2 ) → g 1 · g 2
2) inv : G → G, g → g −1
son suaves.
En general es suficiente con checar que µ : G×G → G, (g 1 ,g 2 ) → µ(g 1 ,g 2 ) =
g 1 · g2 −1 es suave. Un subgrupo de Lie H de G es un grupo en el que H ֒→ i
G
es un encaje, o sea si i y di son inyectivas.
Proposición 2 Las traslaciones derecha e izquierda son difeomorfismos.
Demostración. Sea (G, ·,A) grupo de Lie y L g : G → G , g ′ → L g (g ′ ) =
gg ′ y R g : G → G, g ′ → R g (g ′ ) = g ′ g. Claramente L g y R g son suaves con
inversas L g = L g y R g −1 = Rg
−1 suaves.
Todas las proposiciones y teoremas serán demostrados por la izquierda, las
demostraciones por la derecha son completamente análogas.
Definición 3 Sea X ∈ TG en donde (G, ·,A) es grupo de Lie. Se dice que X
es invariante por la izquierda (por la
(
derecha) ó L g -invariante (R g -invariante)
)
si d L g | g ′ (X g ′) = X g ′ ◦ L ∗ g = X gg ′ d R g | g ′ (X g ′) = X g ′ ◦ Rg ∗ = X g ′ g , para
todos g,g ′ ∈ G.
Proposición 4 Todo campo vectorial invariante por la izquierda o derecha es
determinado por su valor en la identidad.
Demostración. Sea (G, ·,A) grupo de Lie y X ∈ TG invariante por la
izquierda. Se cumple d L g | e
(X e ) = X g . Análogamente para R g .
Proposición 5 Si X ∈ TG en un grupo de Lie cumple X g = d L g | e
(X e ) para
todo g ∈ G, esto implica que X es invariante por la izquierda (análogamente
por la derecha).
Demostración. Observemos que L gg ′ = L g ◦ L g ′, esto implica que dL gg ′ =
dL g ◦dL g ′ = d L g | g ′ o más específicamente d L g | g ′ (X g ′) . = d L g | g ′◦d L g ′| e
(X e ) =
d (L g ◦ L g ′)| e
(X e ) = d L gg ′| e
(X e ) = X gg ′, esto implica que X es invariante por
la izquierda (lo mismo por la derecha).
De aquí en adelante solo consideraremos vectores invariantes por la izquierda
o por la derecha. El espacio tangente será un espacio exclisivamente de estos
vectores.
Esto implica que T α G iso
∼= T g G para todo g ∈ G. De hecho se puede demostrar
que para todo grupo de Lie, el haz tangente es un haz trivial, ya que la fibra está
formada por vectores invariantes por la izquierda, los cuales están globalmente
definidos y estos forman secciones globales en el haz.
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Proposición 6 Sean (X,Y ) y (X ′ ,Y ′ ) ∈ TM m × TN n , M m ,N n variedades
y ϕ ∈ C ∞ (M m ,N n ) tal que X,Y y X ′ ,Y ′ están ϕ relacionados. Entonces
([X,X ′ ],[Y,Y ′ ]) están ϕ-relacionados.
Demostración. Sea f ∈ C ∞ (N, R). Entonces
[Y,Y ′ ] (f) ◦ ϕ = (Y (Y ′ (f)) − Y ′ (Y (f))) ◦ ϕ
pero se cumple que ϕ ∗ ◦ Y = X ◦ ϕ ∗ , entonces
= Y (Y ′ (f)) ◦ ϕ − Y ′ (Y (f)) ◦ ϕ = ∗,
∗ = ϕ ∗ (Y (Y ′ (f))) − ϕ ∗ (Y ′ (Y (f))) = ϕ ∗ ◦ Y (Y ′ (f)) − ϕ ∗ ◦ Y ′ (Y (f)) =
= X ◦ ϕ ∗ (Y ′ (f)) − X ′ ◦ ϕ ∗ (Y (f)) = X (ϕ ∗ ◦ Y ′ (F)) − X ′ (ϕ ∗ ◦ Y ′ (f)) =
= X (X ′ ◦ ϕ ∗ (f)) − X ′ (X ◦ ϕ ∗ (f)) = [X,X ′ ] (f) ◦ ϕ,
entonces [X,X ′ ] está ϕ relacionado con [Y,Y ′ ].
Corolario 7 Los campos invariatens por la izquierda forman una sub-álgebra
G de TG llamada Algebra de Lie correspondiente al grupo de Lie G. Esta
subálgebra es isomórfica a TeG en cada punto g ∈ G. Se acostumbra tomar
el álgebra de Lie G respecto a G como el álgebra de vectores invariantes por la
izquierda en la identidad e ∈ G. Si dL g (X) = X y dL g (Y ) = Y , resulta que
dL g ([X,Y ]) = [X,Y ].
3 La función exponencial
Proposición 8 Sea (M n , A) variedad diferenciable y F ∈ Dif (M n ). Sea X ∈
TM n y ψ el grupo 1-paramétrico inducido por X. Entonces X es F-invariante
ssí ψ t ◦ F = F ◦ ψ t .
Demostración. X y = ˙ψ y
(0), (tomando ψ y (0) = y) y dF | y
(X y ) = X y ◦F ∗ y
, donde X y es el vector tangente al camino ˙ψ y
en y y dF | y
(X g ) es el vector
tangente al camino ψ F(y) = F ◦ψ y en F (g). Se tiene que F ◦ψ y (t) = F ◦ψ t (y) =
F ◦ ψ t ◦ F −1 (F (y))
⇒) Si X es F-invariante
X F(y) = dF | y
(X g ) , esto es ˙ψ F(y) (0) = X F(y)
por lo tanto ψ F(y) (f) = ψ t (F (y)) = F ◦ ψ t ◦ F −1 (F (y)), i.e.
ψ t = F ◦ ψ t ◦ F −1
⇐) Si
ψ t = F ◦ ψ t ◦ F −1 esto implica que
ψ F(t) (t) = ψ t (F (y))
y esto implica que ˙ψ F(y) (0) =
= X F(y) i.e. X F(y) = dF | y (X g )
2

Definición 9 Sea G grupo de Lie y X ∈ G el álgebra correspondiente a G.
Sea ψ el grupo uniparamétrico que induce a X y ψ 1
∈ {ψ t }. La función
exponencial se define como exp : G → G, X → exp(X) := ψ 1 (e) = ψ e (1). Es
decir ψ : R × G → G, (t,g) → ψ (t,g); con
i) ψ (0,g) = g,
ii) ψ (t + s,g) = ψ (t,ψ (s,g)). X = ˙ψ e y ψ e (0) = e
Proposición 10 exp (0) = e
Demostración. ˙ψ e = 0 implica que ψ e (t) = cte ∈ G, pero ψ e (0) = e, por
lo tanto ψ e (t) = e. Entonces exp(0) = ψ e (1) = e.
Proposición 11 exp (tX) = ψ t (e) = ψ e (t)
( Demostración. ) Sea ˙ψ e (t) = X, vamos a denotar ψ e = ψ X . Entonces
d
dt x i ◦ ψ X = X i ◦ ψ X en las coordenadas locales de G. Probemos primero
que ψ rX (t) = ψ X (rt), i.e. ˙ψ rX (t) = (rX) = ˙ψ X (rt) lo que implica que
(
d
dt x i ◦ ψ rX (t) ) (
= d dt x i ◦ ψ X (rt) ) = (rX) i ◦ψ rX (t) = rX i ◦ψ X (rt). Hagamos
t ′ = rt, se obtiene
r d (
x i
dt ′ ◦ ψ rX (t) ) = r d (
x i ◦ ψ X (t ′ ) ) = rX i ◦ ψ X (t ′ )
dt
lo cual es correcto. Entonces exp (tX) = ψ tX (1) = ψ X (t). De esta última
expresión se tiene que
y también
d
dt exp(tX) = ˙ψ X (t) = X ψX(t)
ó
d
dt exp (tX)| t=0 = X e
exp (tX + sX) = ψ X (t + s) = ψ X (t) · ψ X (s) = exp (sX) exp (tX) .
Proposición 12 Sea ψ el grupo uniparamétrico inducido por X ∈ G, álgebra
correspondiente a G, entonces ψ t = R exp(tX) .
Demostración. ψ t (g) = ψ t (ge) = ψ t ◦ L g (e) = L g ◦ ψ t (e) = gψ t (e) = g
exp (tX) = R exp(tX) (g).
Proposición 13 exp: G → G tiene las siguientes propiedades:
i) exp es función suave
ii) d exp| 0
= id| G
iii) Su U 0 ∈ τ G , exp| U0
es inyectiva
Demostración. Sin Dem.
3

4 La representación Adjunta y la Forma de Maurer
Cartan.
Definición 14 Sea g ∈ G grupo de Lie y A g : G → G, g ′ → A g (g ′ ) = gg ′ g −1
Proposición 15 A g ∈ Dif (G) y es un homomorfismo de grupos, es decir es
un isomorfismo de grupos de Lie.
Demostración. (A g ) −1 = A g −1 y ambas A g y A g −1 son suaves, por lo tanto
A g ∈ Dif (G). A g (xy) = g(xy)g −1
= gxg −1 gyg −1 = A g (x)A g (y), por lo tanto A g es un homomorfismo.
Comentario 16 Observe que A gg ′ = A g ◦ A g ′ para todos gg ′ ∈ G.
Definición 17 Sea V un espacio vectorial, G un grupo de Lie y Gl(V ) el conjunto
de transformaciones lineales en V invertibles. Una representación de G
sobre V es un homomorfismo ϕ : G → Gl(V ) del grupo G al grupo (Gl(V ) , ◦).
Proposición 18 La función ϕ : G → Gl(T e G), g → ϕ(g) := d A g | e
:= Ad g es
una representación de G sobre T e G, llamada la representación adjunta.
Demostración. d A g | g ′ : T g ′G → T gg′ g−1G es un isomorfismo de espacios
vectoriales y d A g | e
(v e ) = v e ◦ A ∗ g es una transformación lineal d A g | e
: T e G →
T e G, i.e. d A g | e
∈ Gl(TeG). Además ϕ(gg ′ ) = d A gg ′| e
= d (A g ◦ A g ′)| | e =
d A g | e=Ag ′(e) ◦ d A g ′| e
por lo que ϕ es un homomorfismo de grupos.
Definición 19 Sea w g ∈ Tg ∗ G, G grupo de Lie. w g es invariante por la
( )
izquierda si para todos g,g ′ ∈ G, L
∗
g (w
g ′ g ′) = w g −1 g ′ o w g es invariante
por la derecha si para todos g,g ′ ∈ G, ( )
Rg
∗ (w
g ′ g ′) = w g ′ g −1.
Comentario 20 Note que ( )
L ∗ g : T ∗ g ′ g ′G → T ∗ G = T ∗ L −1
g (g ′ ) g −1 g
G y ( )
R ∗ ′ g :
g ′
Tg ∗ ′G → T ∗ G = T ∗ Rg −1 (g ′ ) g ′ g
G. −1
Proposición 21 Si w ∈ TG es invariante por la izquierda o por la derecha,
entonces w está determinada por su valor en la identidad del grupo.
Demostración.
)
Sea w ∈ TG invariante por la izquierda, entonces w g =
(L ∗ g
(w −1 e ), lo mismo por la derecha.
e
Definición 22 Sea G grupo de Lie y G su respectiva álgebra. La forma canónica
o de Maurer-Cartan sobre el grupo de Lie G es la 1-forma w g ∈ Tg ∗ G ⊗ G,
con w g : T g G → T e G, X g → w g (X g ) := dL g −1∣ g
(X g ) .
Proposición 23 w es invariante por la izquierda.
4

Demostración.
(
L
∗
g (w
)g ′ g ′) ( ) (
) (Xg )
X g −1 g ′ = w g ′ ◦ d L g | g −1 g ′ −1 g ′ =
( ( )
d L g ′−1∣ ) (
) (Xg )
g ′ d L g | g −1 g ′ Xg −1 g ′ = d L g ′−1∣ g ′ ◦ d L g | g −1 g ′ −1 g ′ =
d ( )∣ ( )
( ) ( )
L g ′−1 ◦ L ∣g g −1 Xg
g ′ −1 g ′ = d L g ′−1∣ g −1 Xg
g ′ −1 g ′ = wg −1 g ′ Xg −1 g ′
lo que implica que ( L ∗ )
g (w
g ′ g ′) = w g −1 g ′
Proposición 24 ( )
Rg
∗ (w
g ′ g ′) = Ad g −1 ◦ w g′ g −1
Demostración.
d ( L g ′−1 ◦ R g
)∣
∣g′
g −1 ◦ d
(
R
∗
g
)g ′ (w g ′) ( X g ′ g −1 )
( )
d L g ′−1∣ g ′ ◦ d R g | g′ g −1 Xg′ g
( )∣ −1
L −1 ∣∣g′ ( )
gg
◦ L ′−1 gg ′−1 Xg′ g −1 g −1
d ( )∣ ∣
L g ′−1 ◦ R ∣g′ g ◦ d L 1 ∣∣e ( )
g −1 g ′ g
◦ w −1 g ′ g −1 Xg ′ g −1
(
)∣
d L −1
g ◦ R ∣∣e ( )
′ g ◦ L g′ g −1 ◦ w g′ g −1 Xg′ g −1 ( )
d A g −1∣ e
◦ w g′ g −1 Xg′ g −1
=
(
w g ′ ◦ d R g | g ′ g −1 ) (Xg ′ g −1 )
=
= d ( L g ′−1 ◦ R g
)∣
∣g ′ g −1 (
Xg′ g −1 )
=
=
=
=
= Ad g −1 ◦ w g′ g −1 (
Xg′ g −1 )
Sean {V 1 , · · · ,V n } una base de T e G. Con esta base podemos definir una base
a traves de todo el espacio TG usando vectores invariantes por la izquierda. Sea
{X 1 , · · · ,X n } base de TG, tal que dL g (V µ ) = X µ (g) ( d L g | e
(V µ ) = X µge
)
y
sean θ µ ∈ T ∗ G sus duales, es decir, 〈θ µ ,X v 〉 = δ µ v . Como [X µ ,X v ] es también
invariante por la izquierda, se cumple que [X µ ,X v ] = c λ µvX λ donde las c λ µv son
las constantes de estructura del álgebra de Lie G, correspondiente a G, ya que
la c λ µv puede ser determinada en e ∈ G. Esto se pude ver usando la invariacia
por la izquierda. dL g ([X µ ,X v ]) = c µv λ X λ (g) para todo g ∈ G. En particular
para e ∈ G, lo que hace que c µv λ no depende de g.
Ejercicio 25 Demuestre que
a) c µv λ = c λ µv
b)C µv τ c τg λ + c gµ τ c τv λ + c vg τ c τµ λ = 0, identidad de Jacobi
Proposición 26 La base dual {θ µ } base
⊂ T ∗ G cumple con la ecuación
dθ µ = − 1 2 c vx µ θ v ∧ θ λ
donde las c µ vλ
a G.
son las constantes de estructura de G, el álgebra correspondiente
5

Demostración. Sabemos que
dθ µ (X v ,X λ ) = X v (θ µ (X λ )) − X λ (θ µ (X v )) − θ µ ([X v ,X λ ])
= X v (δ µ λ ) − X λ (δ v µ ) − θ µ (c α µ
vλ X α ) = −c vλ
y − 1 2 c αβ µ θ α ∧ θ β (X v ,X λ ) = −c µ vλ
Proposición 27 La forma de Maurer-Cartan w se puede escribir como
w = V v ⊗ θ v , w (g) := w g , para toda g ∈ G
donde {V µ } es la base de T e G iso
∼= G y {θ µ } base
⊂ T ∗ G y satisface la ecuación
dθ + 1 [θ ∧ θ] = 0.
2
Demostración. Sea Y = Y µ X µ ∈ T g G, con X µ la base invariante por la
izquierda de TG, entonces
( ) θ (Y ) = Y µ θ (X µ ) = Y µ d L g −1∣ g
X µ | g
= Y µ d L g −1∣ g
◦ dL g (V µ )| e
Por otro lado
= Y µ d ( L g −1 ◦ L g
)∣
∣e (V µ ) = Y µ V µ
V v ⊗ θ v (Y ) = Y µ V v θ µ (X µ ) = Y µ V µ .
Observe que [θ ∧ θ] = [V µ ,V v ] ⊗ θ µ ∧ θ v , se sigue entonces
dθ + 1 2 [θ ∧ θ] = −1 2 V µ ⊗ c µ vλ θν ∧ θ λ + 1 2 cµ vλ V µ ⊗ θ ν ∧ θ λ = 0
5 Representación de Grupos y Algebras de Lie
Definición 28 Sea G un grupo de Lie y H un grupo de Lie de matrices. Una
representación de G es un homomorfismo ϕ : G → H.
Definición 29 Sea G un álgebra de Lie y H un álgebra de Lie de matrices. Una
representación de G es un homomorfismo ϕ : G → H
Por lo general se trabaja con las representaciones de los grupos o de las
álgebras, vamos a resumir las álgebras y grupos de matrices más importantes.
Sean GL(n, R) y GL(n, C) los conjuntos de matrices no singulares n × n
reales y complejas respectivamente. Estos conjuntos forman un grupo con la
multiplicación de matrices. Las coordenadas locales de ellos son las n 2 entradas
(X ij ) = M ∈ GL, los cuales forman un grupo de Lie de dimensión n 2 , real o
compleja respectivamente. Topológicamente GL(n, R) es un grupo no compacto,
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para-compacto y no-conexo. Sea c una trayectoria en GL(n, R), c : (−ǫ,ǫ) →
GL(n, R), c(0) = I la identidad en GL(n, R). Cerca de cero c(s) = I + sA +
O ( s 2) , A matriz n×n, real. El vector tangente de c(s) en I es dc
ds = ċ (s)∣ ∣
s=0
=
A. Entonces el álgebra correspondiente a GL(n, R) es el conjunto gl (n, R) de
matrices reales n × n (singulares o no). Análogamente, el álgebra gl(n, C)
correspondiente a GL(n, C) es el conjunto de matrices complejas n × n. Mas
interesantes son los subgrupos de GL.
i) Subgrupos de GL(n, R)
a) O (n) = { M ∈ GL (n, R)|M T M = M M T = I } llamadas grupo Ortogonal.
Una curva en O (n) debe cumplir c(s) T c(s) = I, por lo que si la diferenciamos
obtenemos ċ(s) T c(s) + c ( s T) ċ (s) = 0. En s = 0 uno obtiene que
A T + A = 0. Entonces el álgebra correspondiente a O (n) es o(n), el conjunto
de matrices antisimétricas.
b) SL(n, R) := {M ∈ GL (n, R)|det M = 1}, llamado el grupo especial
lineal. Si c es una trayectoria en SL(n, R) ,det c(s) = 1 + str (A) = 1, o
sea tr (A) = 0. Entonces el álgebra correspondiente de SL(n, R) es sl (n, R),
el conjunto de matrices con traza cero. La dimensión de este conjunto es dim
SL(n, R) = n 2 − 1.
c) SO (n) = O (n) ∩ SL(n, R), el grupo especial ortogonal, su álgebra
correspondiente es también o(n) = so (n). Ambas álgebras tienen dimensión
dimo(n) = n(n−1)
2
.
II) Subgrupos de GL(n, C)
a) U (n) = { M ∈ GL (n, C)|M M T = M T M = 1 } , el grupo unitario. Su
álgebra u(n) es el conjunto de matrices complejas antihermitianas A T + A = 0.
b) SL(n, C) = {M ∈ GL (n, C)|det M = 1}, el grupo especial lineal
complejo, su álgebrasl (n, C) es un conjunto de matrices complejas con tr (A) =
0.
c) SU (n) = U (n) ∩SL(n, C), grupo especial unitario, su álgebra su(n),
es el conjunto de matrices complejas antihermitianas con traza cero.
Además existen una infinidad de grupos que se clasifican diferente. Veamos
algunos ejemplos explicitamente.
Ejemplo 30 El grupo de Lorenz se define como
O (1,3) = { M ∈ GL(4, R) | MγM T = γ, γ = diag (−1,1,1,1) } el cual no
es compacto, es paracompacto y es no-conexo.
Ejemplo 31
{(
x −y
O (2) =
y x
)
}
| x 2 + y 2 = 1 SO (2) hom
∼= { (x,y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 = 1 }
o sea, O (2) = SO (2) es topológicamente S 1 . Su álgebra es
{( ) }
0 −a
o(2) =
| a ∈ R
a 0
7

= so(2).Una base de esta algebra como espacio vectorial, es
{( )} 0 −1
o(2) =
.
1 0
Ejemplo 32 U (1) = SU (1) = {z ∈ C | zz = 1} hom
∼= { (x,y) ∈ R | x 2 + y 2 = zz = 1, z = x + iy } .
De nuevo U (1) es topológicamente S 1 .
Ejemplo 33
SU (2) =
{( )
}
z
0
−z hom
1
| (z
z 1 z 0 ,z 1 ) ∈ C 2 ,z 0 z 0 + z 1 z 1 = 1 ∼ = S 3 ,
0
su álgebra es
su (2) =
{ (
i
c
a + ib
a − ib
c
)
}
| a,b,c, ∈ R .
Una base de esta álgebra 3-dimensional es
{ ( ) (
0 1 0 −i
σ 1 = i , σ
1 0 2 = i
i 0
) (
1 0
, σ 3 = i
0 −1
)}
que son las matrices de Pauli, las cuales cumplen con las relaciones de conmutación
[σ 1 ,σ 2 ] = 2iσ 3 ,
[σ 2 ,σ 3 ] = 2iσ 1 ,
[σ 3 ,σ 1 ] = 2iσ 2
8