2ª parte

Didáctica de la relatividad aditivo-ordinal y de los números enteros
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3.2.e.- La suma y la resta en una sola operación: adición algebraica. Justificar, utilizando la definición
y las propiedades de la adición de números enteros, que la suma y la resta se reducen en
realidad a una sola operación. ¿Qué es lo que hace esto posible?; ¿porqué no ocurre así con los
números naturales? (una forma de hacerlo es demostrar el teorema siguiente: si a y b son números
enteros cualesquiera, entonces a - b = a + (- b), lo que se consigue sumando b a ambos miembros y
aplicando algunas propiedades de la adición).
3.2.f.- Limitaciones de la división y la radicación de índice natural con números enteros: establecer
en qué casos el cociente de dos números enteros o la raiz de índice natural de un número entero
es otro número entero; ¿porque no ocurre esto en todos los casos?; ¿qué habría que hacer para
poder dividir cualquier par de números enteros o extraer la raiz de índice natural de cualquier
número entero?. Justificar las respuestas.
3.2.g.- Mediante el estudio de los casos que se pueden presentar y aplicando la definición de valor
absoluto, demostrar que si a y b son números enteros cualesquiera, se verifica: | a x b | = | a | x |
b |. ¿Qué otras propiedades verifica el valor absoluto?.
3.3. Modelización y representación de los conceptos y procedimientos
La construcción o definición matemática formal es un recurso didáctico inviable para iniciar el
proceso de enseñanza y aprendizaje de los números enteros cuando es necesario hacerlo, entre
otros motivos porque los alumnos no tienen los conocimientos ni el nivel de reflexión matemática
formal necesarios para ello. Además, dicha construcción es el resultado final de un proceso complejo
en el que, por un lado, tienen cabida métodos y modelos no formales, semiconcretos o en
contextos matemáticos, que son más intuitivos que la construcción rigurosa para comprobar la
necesidad de la ampliación de los números naturales y para acceder a los números enteros, y, por
otro, han intervenido aplicaciones concretas que son buenos modelos parciales del original y que
tienen hoy día un uso extendido y una apreciable importancia social y cultural. En definitiva, para
iniciar la enseñanza de los números enteros en el momento oportuno es prácticamente obligado
utilizar, separadamente o de forma combinada, los dos tipos de modelos y representaciones que
hemos mencionado; ambos constituyen aproximaciones “informales” que culminarán, si es necesario,
en la construcción formal, de acuerdo con el siguiente proceso:
a) prolongación “natural”, aunque limitada, de N, abarcando sus principales aplicaciones concretas
(tipo 1) y/o ampliación no formal de N en contextos semiconcretos y matemáticos (tipo 2);
los primeros atienden a necesidades sociales, culturales y de motivación didáctica inicial y los segundos,
más abstractos, añaden coherencia y justificación matemática a los conceptos y procedimientos,
completan las aproximaciones parciales y facilitan el despegue hacia lo formal;
b) construcción formal motivada por el rigor y la validación matemática.
En lo que sigue, abordamos los dos tipos de métodos y modelos del apartado a), en el bien entendido
que se trata de una relación de la que sólo se podrá desarrollar una parte en el aula y que el
orden de la exposición no tiene porqué ser el orden a seguir en el proceso didáctico.
3.3.1.- Métodos y modelos no matemáticos (campo de la relatividad aditivo-ordinal) para
comprender y utilizar en la práctica una parte de los números enteros
“Todos los modelos (concretos o referidos a contextos no matemáticos) llegan a un punto en el
que no se puede seguir con garantías. En este momento, los enteros deben haber llegado a ser
números por sí mismos, obedeciendo a ciertas reglas que son independientes de los modelos utilizados.”
(Leddy, 1977, pág. 28). Así, los modelos y representaciones de este apartado tienen limita-
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