Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...
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<strong>Cálculo</strong><br />
<strong>Diferencial</strong> e<br />
<strong>Integral</strong> <strong>II</strong>
2<br />
COLEGIO DE BACHILLERES<br />
DEL ESTADO DE SONORA<br />
Director General<br />
Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil<br />
Director Académico<br />
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero<br />
Director <strong>de</strong> Administración y Finanzas<br />
C.P. Jesús Urbano Limón Tapia<br />
Director <strong>de</strong> Planeación<br />
Mtro. Pedro Hernán<strong>de</strong>z Peña<br />
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL <strong>II</strong><br />
Módulo <strong>de</strong> Aprendizaje.<br />
Copyright ©, 2009 por <strong>Colegio</strong> <strong>de</strong> <strong>Bachilleres</strong><br />
<strong>de</strong>l <strong>Estado</strong> <strong>de</strong> Sonora<br />
todos los <strong>de</strong>rechos reservados.<br />
Tercera edición 2011. Impreso en México.<br />
DIRECCIÓN ACADÉMICA<br />
Departamento <strong>de</strong> Desarrollo Curricular<br />
Blvd. Agustín <strong>de</strong> Vildósola, Sector Sur<br />
Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280<br />
Registro ISBN, en trámite.<br />
COMISIÓN ELABORADORA:<br />
Elaboración:<br />
Librada Cár<strong>de</strong>nas Esquer<br />
María Elena Con<strong>de</strong> Hernán<strong>de</strong>z<br />
Revisor <strong>de</strong> Contenido:<br />
María Elena Con<strong>de</strong> Hernán<strong>de</strong>z<br />
Hermenegildo Rivera Martínez<br />
Corrección <strong>de</strong> Estilo:<br />
Jesús Alfonso Velasco Núñez<br />
Edición:<br />
Ana Isabel Ramírez Vásquez<br />
Coordinación Técnica:<br />
Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri<br />
Coordinación General:<br />
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero<br />
Esta publicación se terminó <strong>de</strong> imprimir durante el mes <strong>de</strong> diciembre <strong>de</strong> 2010.<br />
Diseñada en Dirección Académica <strong>de</strong>l <strong>Colegio</strong> <strong>de</strong> <strong>Bachilleres</strong> <strong>de</strong>l <strong>Estado</strong> <strong>de</strong> Sonora<br />
Blvd. Agustín <strong>de</strong> Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México<br />
La edición consta <strong>de</strong> 2,623 ejemplares.
Ubicación Curricular<br />
COMPONENTE:<br />
FORMACIÓN<br />
PROPEDÉUTICA<br />
CAMPO DE CONOCIMIENTO:<br />
QUÍMICO–BIOLÓGICO<br />
Esta asignatura se imparte en el 6 semestre; tiene como antece<strong>de</strong>nte<br />
<strong>Cálculo</strong> <strong>Diferencial</strong> e <strong>Integral</strong> I, no tiene asignatura consecuente es<br />
____________________________ y se relaciona con<br />
____________________________________________________.<br />
HORAS SEMANALES: 3<br />
DATOS DEL ALUMNO<br />
CRÉDITOS: 6<br />
Nombre: ______________________________________________________<br />
Plantel: _________________________________________________________<br />
Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________<br />
Domicilio: _____________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
3
4<br />
Mapa Conceptual <strong>de</strong> la Asignatura
Índice<br />
Recomendaciones para el alumno ......................................................................6<br />
Presentación .........................................................................................................6<br />
UNIDAD 1. DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA ......................... 9<br />
1.1. La diferencial .................................................................................................11<br />
Sección <strong>de</strong> tareas ................................................................................................31<br />
Autoevaluación .....................................................................................................39<br />
Ejercicio <strong>de</strong> reforzamiento ....................................................................................43<br />
UNIDAD 2. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS<br />
DE INTEGRACIÓN. ..................................................................................... 45<br />
2.1. <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida .........................................................................................47<br />
2.2. Métodos <strong>de</strong> integración ................................................................................55<br />
Sección <strong>de</strong> tareas ................................................................................................65<br />
Autoevaluación .....................................................................................................71<br />
Ejercicio <strong>de</strong> reforzamiento ....................................................................................75<br />
UNIDAD 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y<br />
LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA .................................. 77<br />
3.1. <strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida ............................................................................................79<br />
3.2. Teorema fundamental <strong>de</strong>l <strong>Cálculo</strong> ...............................................................83<br />
3.3 Aplicaciones <strong>de</strong> la <strong>Integral</strong> Definida ..............................................................89<br />
Sección <strong>de</strong> tareas ................................................................................................95<br />
Autoevaluación .....................................................................................................99<br />
Ejercicio <strong>de</strong> reforzamiento ....................................................................................101<br />
Claves <strong>de</strong> respuestas ...........................................................................................103<br />
Glosario ................................................................................................................104<br />
Bibliografía ............................................................................................................105<br />
5
6<br />
Recomendaciones para el alumno<br />
El presente Módulo <strong>de</strong> Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él<br />
se manejan los contenidos mínimos <strong>de</strong> la asignatura <strong>Cálculo</strong> <strong>Diferencial</strong> e <strong>Integral</strong><br />
<strong>II</strong>.<br />
No <strong>de</strong>bes per<strong>de</strong>r <strong>de</strong> vista que el Mo<strong>de</strong>lo Académico <strong>de</strong>l <strong>Colegio</strong> <strong>de</strong> <strong>Bachilleres</strong> <strong>de</strong>l<br />
<strong>Estado</strong> <strong>de</strong> Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el<br />
análisis y la discusión, así como el aprovechamiento <strong>de</strong> materiales <strong>de</strong> lectura<br />
complementarios; <strong>de</strong> ahí la importancia <strong>de</strong> aten<strong>de</strong>r las siguientes<br />
recomendaciones:<br />
� Maneja el Módulo <strong>de</strong> Aprendizaje como texto orientador <strong>de</strong> los contenidos<br />
temáticos a revisar en clase.<br />
� Utiliza el Módulo <strong>de</strong> Aprendizaje como lectura previa a cada sesión <strong>de</strong> clase.<br />
� Al término <strong>de</strong> cada unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala <strong>de</strong><br />
medición <strong>de</strong>l aprendizaje y realiza las activida<strong>de</strong>s que en ésta se indican.<br />
� Realiza los ejercicios <strong>de</strong> reforzamiento <strong>de</strong>l aprendizaje para estimular y/o<br />
reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.<br />
� Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas <strong>de</strong>sarrollados en<br />
cada unidad.<br />
� Para compren<strong>de</strong>r algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario<br />
que aparece al final <strong>de</strong>l módulo.<br />
� Para el <strong>Colegio</strong> <strong>de</strong> <strong>Bachilleres</strong> es importante tu opinión sobre los módulos <strong>de</strong><br />
aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal <strong>de</strong>l<br />
<strong>Colegio</strong>: www.cobachsonora.edu.mx<br />
Presentación<br />
Deberá incluirse el enfoque <strong>de</strong>l campo y <strong>de</strong> la asignatura, (sin ser necesaria la<br />
i<strong>de</strong>ntificación).<br />
Enfoque <strong>de</strong>l campo: justifica la ubicación <strong>de</strong> la asignatura en <strong>de</strong>terminado campo<br />
<strong>de</strong> conocimiento; es <strong>de</strong>cir, respon<strong>de</strong> a la pregunta, ¿por qué pertenece esta<br />
asignatura al campo <strong>de</strong> _________?<br />
Enfoque <strong>de</strong> la asignatura: <strong>de</strong>scribe la importancia e intencionalidad <strong>de</strong> la<br />
asignatura <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l plan <strong>de</strong> estudios, su pertinencia social en la formación <strong>de</strong><br />
los estudiantes <strong>de</strong> bachillerato, se respon<strong>de</strong> a las preguntas ¿por qué es<br />
importante conocer acerca <strong>de</strong> lo planteado en el programa? ¿dón<strong>de</strong> resi<strong>de</strong> la<br />
relevancia <strong>de</strong> los contenidos seleccionados para los estudiantes a este nivel?
RIEMS<br />
Introducción<br />
El <strong>Colegio</strong> <strong>de</strong> <strong>Bachilleres</strong> <strong>de</strong>l estado <strong>de</strong> Sonora, en atención a los programas <strong>de</strong><br />
estudio emitidos por la Dirección General <strong>de</strong> Bachillerato (DGB), ha venido<br />
realizando la elaboración <strong>de</strong>l material didáctico <strong>de</strong> apoyo para nuestros<br />
estudiantes, con el fin <strong>de</strong> establecer en ellos los contenidos académicos a<br />
<strong>de</strong>sarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo <strong>de</strong> nuestra Institución.<br />
Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías <strong>de</strong> aprendizaje<br />
para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma<br />
Curricular 2005. Sin embargo, <strong>de</strong> acuerdo a la reciente Reforma <strong>Integral</strong> <strong>de</strong><br />
Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en<br />
competencias, es necesario conocer los fines <strong>de</strong> esta reforma, la cual se dirige a<br />
la totalidad <strong>de</strong>l sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles <strong>de</strong>l<br />
alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> las<br />
competencias listadas a continuación y aunque éstas <strong>de</strong>berán promoverse en<br />
todos los semestres, <strong>de</strong> manera más precisa entrará a partir <strong>de</strong> Agosto 2009, en<br />
el primer semestre.<br />
Competencias Genéricas<br />
CATEGORIAS COMPETENCIAS GENÉRICA<br />
I. Se<br />
auto<strong>de</strong>termina y<br />
cuida <strong>de</strong> sí.<br />
<strong>II</strong>. Se expresa y<br />
comunica<br />
<strong>II</strong>I. Piensa crítica y<br />
reflexivamente<br />
IV. Apren<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
forma autónoma<br />
V. Trabaja en<br />
forma colaborativa<br />
VI. Participa con<br />
responsabilidad<br />
en la sociedad<br />
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y<br />
retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.<br />
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e<br />
interpretación <strong>de</strong> sus expresiones en distintos géneros.<br />
3. Elige y practica estilos <strong>de</strong> vida saludables.<br />
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en<br />
distintos contextos mediante la utilización <strong>de</strong> medios,<br />
códigos y herramientas apropiados.<br />
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a<br />
problemas a partir <strong>de</strong> métodos establecidos.<br />
6. Sustenta una postura personal sobre temas <strong>de</strong> interés y<br />
relevancia general, consi<strong>de</strong>rando otros puntos <strong>de</strong> vista <strong>de</strong><br />
manera crítica y reflexiva.<br />
7. Apren<strong>de</strong> por iniciativa e interés propio a lo largo <strong>de</strong> la<br />
vida.<br />
8. Participa y colabora <strong>de</strong> manera efectiva en equipos<br />
diversos.<br />
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida <strong>de</strong><br />
su comunidad, región, México y el mundo.<br />
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la<br />
interculturalidad y la diversidad <strong>de</strong> creencias, valores, i<strong>de</strong>as<br />
y prácticas sociales.<br />
11. Contribuye al <strong>de</strong>sarrollo sustentable <strong>de</strong> manera crítica,<br />
con acciones responsables.<br />
7
8<br />
Competencias Disciplinares Básicas<br />
Matemáticas<br />
1. Construye e interpreta mo<strong>de</strong>los matemáticos mediante la aplicación <strong>de</strong><br />
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la<br />
comprensión y análisis <strong>de</strong> situaciones reales, hipotéticas o formales.<br />
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.<br />
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos<br />
matemáticos y los contrasta con mo<strong>de</strong>los establecidos o situaciones reales.<br />
4. Argumenta la solución obtenida <strong>de</strong> un problema, con métodos numéricos,<br />
gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y<br />
el uso <strong>de</strong> las tecnologías <strong>de</strong> la información y la comunicación.<br />
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables <strong>de</strong> un proceso social o<br />
natural para <strong>de</strong>terminar o estimar su comportamiento.<br />
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las<br />
magnitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l espacio y las propieda<strong>de</strong>s físicas <strong>de</strong> los objetos que lo<br />
ro<strong>de</strong>an.<br />
7. Elige un enfoque <strong>de</strong>terminista o uno aleatorio para el estudio <strong>de</strong> un proceso<br />
o fenómeno, y argumenta su pertinencia.<br />
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos<br />
matemáticos y científicos.<br />
Competencias docentes:<br />
1. Organiza su formación continua a lo largo <strong>de</strong> su trayectoria profesional.<br />
2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias <strong>de</strong> aprendizaje<br />
significativo.<br />
3. Planifica los procesos <strong>de</strong> enseñanza y <strong>de</strong> aprendizaje atendiendo al enfoque<br />
por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y<br />
sociales amplios.<br />
4. Lleva a la práctica procesos <strong>de</strong> enseñanza y <strong>de</strong> aprendizaje <strong>de</strong> manera<br />
efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.<br />
5. Evalúa los procesos <strong>de</strong> enseñanza y <strong>de</strong> aprendizaje con un enfoque<br />
formativo.<br />
6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.<br />
7. Contribuye a la generación <strong>de</strong> un ambiente que facilite el <strong>de</strong>sarrollo sano e<br />
integral <strong>de</strong> los estudiantes.<br />
8. Participa en los proyectos <strong>de</strong> mejora continua <strong>de</strong> su escuela y apoya la<br />
gestión institucional.
Isaac Newton (1642-1727), fue el inventor <strong>de</strong>l <strong>Cálculo</strong> <strong>Diferencial</strong> e<br />
<strong>Integral</strong>, que también fue inventado <strong>de</strong> manera paralela por Gottfried<br />
Wilhelm Leibnitz (1646-1716). Utilizando el <strong>Cálculo</strong>, encontró sus tres<br />
Leyes <strong>de</strong>l Movimiento que <strong>de</strong>scriben el movimiento <strong>de</strong> los objetos en<br />
la Tierra.<br />
Organizador anticipado:<br />
¿Por qué el <strong>Cálculo</strong> <strong>Diferencial</strong> e <strong>Integral</strong> ha sido un curso obligado<br />
<strong>de</strong> la formación matemática que se requiere en las universida<strong>de</strong>s<br />
para seguir diferentes carreras que van <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la ingeniería, la<br />
economía, las ciencias <strong>de</strong> la salud, hasta las ciencias naturales en<br />
general? La razón a fondo es que el <strong>Cálculo</strong> constituye el segundo<br />
gran avance o gran resultado <strong>de</strong> la historia <strong>de</strong> las matemáticas<br />
<strong>de</strong>spués <strong>de</strong> la geometría euclidiana, <strong>de</strong>sarrollada en la Grecia<br />
Antigua. Así, el <strong>Cálculo</strong> diferencial e <strong>Integral</strong> conforman a la<br />
matemática mo<strong>de</strong>rna, la cual nace precisamente entre los siglos XV<strong>II</strong><br />
y XV<strong>II</strong>I en el marco <strong>de</strong> aquella revolución científica que generó una<br />
nueva visión <strong>de</strong>l mundo, y constituyó una visión mo<strong>de</strong>rna <strong>de</strong> la que<br />
somos parte.<br />
Unidad 1<br />
<strong>Diferencial</strong>es<br />
e integral<br />
In<strong>de</strong>finida<br />
Objetivos:<br />
El alumno:<br />
Aplicará los conceptos <strong>de</strong> diferencial,<br />
para resolver valores aproximados <strong>de</strong><br />
funciones; a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> problemas<br />
prácticos, tras conocer las reglas <strong>de</strong><br />
diferenciación; mostrando una actitud<br />
analítica y participativa.<br />
Temario:<br />
� La diferencial.
10<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
Mapa Conceptual <strong>de</strong> Unidad<br />
DIFERENCIALES<br />
Definición <strong>de</strong><br />
<strong>Diferencial</strong><br />
Nos permite<br />
enunciar<br />
Reglas <strong>de</strong><br />
diferenciación<br />
Para resolver<br />
problemas<br />
De aproximación al<br />
incremento y <strong>de</strong><br />
errores <strong>de</strong><br />
aproximación
Evaluación Diagnóstica:<br />
Ejemplo: Antes <strong>de</strong> iniciar esta unidad sobre la diferencial, elabora un mapa<br />
conceptual utilizando los conceptos que aparecen en la siguiente lista y<br />
muéstrala a tu profesor cuando te lo solicite.<br />
� Razón <strong>de</strong> cambio.<br />
� Derivadas explícitas.<br />
1.1.<br />
LA DIFERENCIAL<br />
1.1.1. Concepto geométrico <strong>de</strong> la diferencial <strong>de</strong> una función (“ dy ”).<br />
Existen muchas situaciones, en las cuales necesitamos estimar una diferencia,<br />
algunos ejemplos <strong>de</strong> esto son:<br />
a) Aproximar valores <strong>de</strong> funciones.<br />
b) <strong>Cálculo</strong> <strong>de</strong> errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor<br />
Aproximado).<br />
c) <strong>Cálculo</strong> <strong>de</strong> Variaciones <strong>de</strong> la variable <strong>de</strong>pendiente cuando la variable<br />
in<strong>de</strong>pendiente varía “un poco”.<br />
Para el caso <strong>de</strong> aproximar funciones po<strong>de</strong>mos utilizar la recta tangente<br />
como la mejor aproximación lineal a la función alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l punto <strong>de</strong><br />
tangencia.<br />
Sea y = f (x)<br />
una función cualquiera y sean los puntos<br />
( x, f ( x)),<br />
( x + ∆x,<br />
f ( x + ∆x))<br />
dos puntos sobre la función como se<br />
muestra en la siguiente figura:<br />
f ( x + ∆x)<br />
f<br />
(x)<br />
x x + ∆x<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
11
12<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
∆ x , representa el incremento que sufre la variable in<strong>de</strong>pendiente, y <strong>de</strong>finiremos el<br />
incremento real que sufre la función que lo <strong>de</strong>notaremos como ∆ y como la<br />
diferencia que existe entre f (x)<br />
y f ( x + ∆x)<br />
, es <strong>de</strong>cir:<br />
∆ y = f ( x + ∆x)<br />
− f ( x)<br />
Al cual se le conoce como el nombre <strong>de</strong> Valor Real o cambio total y lo po<strong>de</strong>mos<br />
apreciar en la siguiente figura:<br />
f ( x + ∆x)<br />
f<br />
(x)<br />
x x + ∆x<br />
∆ x<br />
∆y<br />
= f ( x + ∆x)<br />
− f ( x)
Tracemos la recta tangente a la función f (x)<br />
en el punto x , llamaremos dy al<br />
incremento aproximado a través <strong>de</strong> la recta tangente como lo po<strong>de</strong>mos observar en<br />
la siguiente figura:<br />
f ( x + ∆x)<br />
f (x)<br />
Si observamos la figura po<strong>de</strong>mos darnos cuenta que la tangente <strong>de</strong>l ángulo <strong>de</strong><br />
inclinación <strong>de</strong> la recta, equivale a la razón que existe entre dy y ∆ x , a<strong>de</strong>más si<br />
recordamos lo que se estuvo estudiando en el curso anterior la tangente <strong>de</strong>l ángulo<br />
<strong>de</strong> inclinación <strong>de</strong> la recta correspon<strong>de</strong> a la pendiente <strong>de</strong> la recta tangente la cuál<br />
esta representada por la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la función, en otras palabras y resumiendo lo<br />
anterior po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir que:<br />
Ahora bien si <strong>de</strong>notamos a x<br />
si <strong>de</strong>spejamos dy se obtiene:<br />
dy<br />
=<br />
∆x<br />
f ´(x)<br />
dy<br />
∆ como dx tendremos que = f ´(x)<br />
, o bien<br />
dx<br />
dy = f ´( x)<br />
dx<br />
A la que llamaremos LA DIFERENCIAL DE f en el punto x , con respecto al<br />
incremento ∆ x =dx , conocido también con el nombre <strong>de</strong> Valor Aproximado <strong>de</strong>l<br />
cambio total ∆ y .<br />
x x + ∆x<br />
∆ x<br />
dy<br />
∆y<br />
= f ( x + ∆x)<br />
− f ( x)<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
13
14<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
A la diferencia que existe entre el Valor real ( ∆ y ) y el Valor Aproximado ( dy ), le<br />
llamaremos ERROR DE APROXIMACIÓN y lo <strong>de</strong>notaremos como (E.A), es <strong>de</strong>cir:<br />
EJEMPLO 1.- Sea<br />
∆x = dx = 0.<br />
01 .<br />
SOLUCIÓN:<br />
Como<br />
E.A = ∆ y − dy<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x . Hallar dy<br />
∆ y, y E.A cuando x = 1 y<br />
2<br />
= f ( x)<br />
x , entonces como y = f ( x + ∆x)<br />
− f ( x)<br />
y =<br />
f ( x ) ( ∆x)<br />
2<br />
+ ∆x<br />
= x + = (1 + 0.01) 2 = (1.01) 2 = 1.0201<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x = (1) 2 = 1<br />
Sustituyendo estos valores en:<br />
∆ y = f ( x + ∆x)<br />
− f ( x)<br />
, obtenemos:<br />
∆y = 1 . 0201−1<br />
= 0.<br />
0201<br />
∆ , calculamos:<br />
2<br />
Que correspon<strong>de</strong> al incremento real que sufre la función f ( x)<br />
= x cuando la x se<br />
incrementa <strong>de</strong> 1 a 1.01.<br />
2<br />
Ahora bien como f ( x)<br />
= x , entonces, f ' ( x)<br />
= 2x<br />
<strong>de</strong> tal forma que:<br />
dy = f ´( x)<br />
dx = 2x<br />
dx<br />
obtenemos:<br />
, sustituyendo los valores <strong>de</strong> x = 1 y dx = 0.<br />
01<br />
dy = 2 x dx =<br />
dy = 0.<br />
02<br />
2(<br />
1)<br />
( 0.<br />
01)<br />
2<br />
Que correspon<strong>de</strong> al Valor Aproximado <strong>de</strong> la función f ( x)<br />
= x a través <strong>de</strong> la<br />
recta tangente a ella cuando la x se incrementa <strong>de</strong> 1 a 1.01.<br />
Si calculamos E.A.<br />
Es <strong>de</strong>cir:<br />
E.A = ∆ y−dy<br />
E.A = 0. 0201−<br />
0.<br />
02<br />
E.A = 0 . 0001<br />
E.A = 0.0001<br />
Lo que nos permite observar que es una muy buena aproximación pues tenemos<br />
un error <strong>de</strong> una millonésima.
2<br />
EJEMPLO 2.- Sea f ( x)<br />
= x − 2x<br />
− 3 . Hallar ∆y, dy y E.A cuando x = 1 y<br />
∆x = dx = 1,<br />
0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001.<br />
SOLUCIÓN:<br />
Como<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x − 2x<br />
− 3 , entonces como ∆ y = f ( x + ∆x)<br />
− f ( x)<br />
,<br />
calculamos:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
f ( x + ∆x)<br />
= ( x + ∆x)<br />
− 2(<br />
x + ∆x)<br />
− 3 = x + 2(<br />
x)(<br />
∆x)<br />
+ ( ∆x)<br />
− 2x<br />
− 2∆x<br />
− 3<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x − 2x<br />
− 3<br />
Sustituyendo estos valores en:<br />
∆ y = f ( x + ∆x)<br />
− f ( x)<br />
, obtenemos:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
∆y = x + 2(<br />
x)(<br />
∆x)<br />
+ ( ∆x)<br />
− 2x<br />
− 2∆x<br />
− 3 − ( x − 2x<br />
− 3)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
∆y = x + 2(<br />
x)(<br />
∆x)<br />
+ ( ∆x)<br />
− 2x<br />
− 2∆x<br />
− 3 − x + 2x<br />
+ 3<br />
2<br />
∆y = 2(<br />
x)(<br />
∆x)<br />
+ ( ∆x)<br />
− 2∆x<br />
si sustituimos por ejemplo los valores <strong>de</strong><br />
x = 1 y ∆x = 1 tendremos que:<br />
2<br />
∆y = 2(<br />
x)(<br />
∆x)<br />
+ ( ∆x)<br />
− 2∆x<br />
∆y = 2(<br />
1)(<br />
1)<br />
+<br />
∆y = 2 + 1−<br />
2<br />
∆y = 1<br />
( 1)<br />
2 −<br />
2(<br />
1)<br />
Otra manera <strong>de</strong> resolverse es utilizando el procedimiento <strong>de</strong>l ejemplo 1, es <strong>de</strong>cir:<br />
Para x = 1 y ∆x = 1 tendremos que:<br />
2<br />
f ( x + ∆x)<br />
= ( x + ∆x)<br />
− 2(<br />
x + ∆x)<br />
− 3 =<br />
2<br />
f ( x + ∆x)<br />
= ( 1+<br />
1)<br />
− 2(<br />
1+<br />
1)<br />
− 3 =<br />
2<br />
f ( x + ∆x)<br />
= ( 2)<br />
− 2(<br />
2)<br />
− 3 =<br />
f ( x + ∆x)<br />
= 4 − 4 − 3 =<br />
f ( x + ∆x)<br />
= −3<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x − 2x<br />
− 3<br />
f<br />
( x)<br />
=<br />
( 1)<br />
f ( x)<br />
= 1−<br />
2 − 3<br />
f ( x)<br />
= −4<br />
2<br />
−<br />
2(<br />
1)<br />
− 3<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
15
16<br />
TAREA 1<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
Página 31.<br />
Por lo tanto, si sustituimos estos valores en:<br />
∆ y = f ( x + ∆x)<br />
− f ( x)<br />
, obtenemos:<br />
∆y<br />
= −3<br />
− ( −4)<br />
∆y<br />
= −3<br />
+ 4<br />
∆y<br />
= 1<br />
2<br />
Como f ( x)<br />
= x − 2x<br />
− 3 entonces:<br />
dy = f ´( x)<br />
dx = ( 2x<br />
− 2)<br />
dx sustituyendo los valores <strong>de</strong> x = 1 y dx = 1 , se<br />
obtiene:<br />
dy = ( 2x<br />
− 2)<br />
dx = ( 2(<br />
1)<br />
− 2)(<br />
1)<br />
dy = ( 2 − 2)(<br />
1)<br />
dy = ( 0)(<br />
1)<br />
dy = 0<br />
De tal manera que:<br />
Es <strong>de</strong>cir:<br />
E.A = ∆ y − dy<br />
E.A = 1− 0<br />
E.A = 1<br />
E.A = 1<br />
Utilizando cualquiera <strong>de</strong> los dos procedimientos para calcular ∆y po<strong>de</strong>mos<br />
terminar <strong>de</strong> resolver el ejemplo para el valor <strong>de</strong> x = 1 y<br />
∆x = 0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001utilizando<br />
la siguiente tabla:<br />
x ∆ x f ( x + ∆x)<br />
f (x)<br />
∆ y dy E.A<br />
1 1 -3 -4 1 0 1<br />
1 0.5<br />
1 0.1<br />
1 0.01<br />
1 0.001<br />
EJERCICIO 1 EN EQUIPO: Hallar ∆ y y dy , y E.A para las funciones y los valores dados:<br />
1)<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
5)<br />
f ( x)<br />
=<br />
3<br />
x<br />
para x = 8,<br />
∆x<br />
= dx =<br />
0.<br />
2<br />
f ( x)<br />
= Sen x para<br />
π<br />
x =<br />
3<br />
y dx = 0.<br />
1<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x para x = 1 y dx = −0.<br />
1<br />
2<br />
f ( x)<br />
= 2x<br />
− 4x<br />
+ 3 para x = 2 y dx = 0.<br />
01<br />
f ( x)<br />
= Ln x para x = 1 y dx = 0.<br />
5
1.1.2. Teoremas sobre <strong>Diferencial</strong>es.<br />
Consi<strong>de</strong>rando que la diferencial <strong>de</strong> una función es el producto <strong>de</strong> su <strong>de</strong>rivada por la<br />
diferencial <strong>de</strong> la variable in<strong>de</strong>pendiente, aceptamos que a cada fórmula <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>rivación que se vio en la asignatura <strong>de</strong> <strong>Cálculo</strong> <strong>Diferencial</strong> e <strong>Integral</strong> I, le<br />
correspon<strong>de</strong> una diferenciación que <strong>de</strong>tallaremos a continuación.<br />
FÓRMULAS DIFERENCIALES GENERALES<br />
Para f ( x)<br />
y g(<br />
x)<br />
, funciones <strong>de</strong>rivables <strong>de</strong> x :<br />
1. CONSTANTE: d [] c = 0<br />
2. MULTIPLO CONSTANTE: d [ cg(<br />
x)<br />
] = c g'(<br />
x)<br />
dx<br />
n n−1<br />
3. POTENCIA: d[<br />
x ] = n x dx<br />
4. SUMA O DIFERENCIA:<br />
5. PRODUCTO:<br />
d<br />
6. COCIENTE:<br />
d<br />
[ f ( x)<br />
± g(<br />
x)<br />
]<br />
= d(<br />
f ( x))<br />
± d(<br />
g(<br />
x))<br />
= f '(<br />
x)<br />
dx ± g'(<br />
x)<br />
dx<br />
[ f ( x)<br />
⋅ g(<br />
x)<br />
] = f ( x)<br />
⋅ d[<br />
g(<br />
x)<br />
] + g(<br />
x)<br />
⋅ d[<br />
f ( x)<br />
]<br />
= f ( x)<br />
⋅ g'(<br />
x)<br />
dx + g(<br />
x)<br />
⋅ f '(<br />
x)<br />
dx<br />
[ f ( x)<br />
] − f ( x)<br />
⋅ d[<br />
g(<br />
x)<br />
]<br />
2 [ g(<br />
x)<br />
]<br />
⎡ f ( x)<br />
⎤ g(<br />
x)<br />
⋅ d<br />
d ⎢<br />
g(<br />
x)<br />
⎥ =<br />
⎣ ⎦<br />
g(<br />
x)<br />
⋅ f '(<br />
x)<br />
dx − f ( x)<br />
⋅ g'(<br />
x)<br />
dx<br />
=<br />
7. REGLA DE LA CADENA:<br />
[ ] 2<br />
g(<br />
x)<br />
[ ( f o<br />
g)<br />
( x)<br />
] = d[<br />
( f ( g(<br />
x)<br />
) ] = f '(<br />
g(<br />
x))<br />
⋅ g'(<br />
x dx<br />
d )<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
17
18<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
Aquí se aplica la<br />
regla <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong><br />
funciones.<br />
Aquí se aplica la<br />
regla <strong>de</strong> potencias<br />
<strong>de</strong> funciones.<br />
EJEMPLOS: Utilizando las reglas <strong>de</strong> diferenciación, Calcula la diferencial <strong>de</strong> las<br />
siguientes funciones.<br />
EJEMPLO 1. Sea 5 2 4<br />
2<br />
y = x − x + Calcula dy<br />
Aquí se aplica la regla <strong>de</strong> suma o resta <strong>de</strong> funciones.<br />
SOLUCIÓN:<br />
dy = d<br />
2<br />
x − d x + d<br />
( 5 ) ( 2<br />
dy = 10xdx − 2dx<br />
)<br />
( 4)<br />
Factorizando dx obtenemos la diferencial <strong>de</strong> la función 5 2 4<br />
2<br />
y = x − x +<br />
dy = ( 10x<br />
− 2)<br />
dx<br />
Conclusión: La diferencial es ( 10x<br />
− 2)<br />
dx<br />
1<br />
EJEMPLO 2. Sea y = , Calcula dy<br />
x<br />
−1<br />
Hacemos a la función y = x y utilizamos la regla <strong>de</strong> las potencias.<br />
SOLUCIÓN:<br />
−2<br />
dy = −x<br />
dx y para no <strong>de</strong>jar exponentes negativos hacemos lo siguiente:<br />
1<br />
dy = − dx 2<br />
x<br />
dx<br />
Conclusión: la diferencial es dy = − 2<br />
x<br />
5<br />
2<br />
EJEMPLO 3. Sea y = ( 2x<br />
− 9)(<br />
4x<br />
+ 2)<br />
, Calcula dy<br />
SOLUCIÓN:<br />
dy =<br />
5<br />
2<br />
4<br />
[ ( 2x<br />
− 9)(<br />
8x)<br />
+ ( 4x<br />
+ 2)(<br />
10x<br />
) ]<br />
6<br />
6 4<br />
[ 16x<br />
− 72x<br />
+ 40x<br />
+ 20x<br />
] dx<br />
=<br />
6 4<br />
= [ 56x<br />
+ 20x<br />
− 72x]dx<br />
Conclusión: la diferencial es<br />
dx<br />
6 4<br />
dy =<br />
[ 56x<br />
+ 20x<br />
− 72x]dx
EJEMPLO 4. Sea<br />
SOLUCIÓN:<br />
⎡ ( x<br />
dy = ⎢<br />
⎢⎣<br />
⎡ 3x<br />
= ⎢<br />
⎢⎣<br />
⎡ x<br />
= ⎢<br />
⎢⎣<br />
4<br />
2<br />
4<br />
2<br />
+ 15x<br />
− 2x<br />
2 2<br />
( x + 5)<br />
3<br />
x + 7<br />
y = , Calcula dy<br />
2<br />
x + 5<br />
2 3<br />
+ 5)(<br />
3x<br />
) − ( x + 7)(<br />
2x)<br />
⎤<br />
⎥ dx<br />
2 2<br />
( x + 5)<br />
⎥⎦<br />
2<br />
+ 15x<br />
−14x<br />
⎤<br />
⎥ dx<br />
2 2<br />
( x + 5)<br />
⎥⎦<br />
4<br />
−14x<br />
⎤<br />
⎥ dx<br />
⎥⎦<br />
4 2 ⎡ x + 15x<br />
−14x<br />
⎤<br />
Conclusión: la diferencial es dy = ⎢<br />
⎥ dx<br />
2 2<br />
⎢⎣<br />
( x + 5)<br />
⎥⎦<br />
6<br />
y = 5x − 9 , Calcula dy<br />
EJEMPLO 5. Sea ( ) 7<br />
SOLUCIÓN:<br />
6 ( 5x<br />
− 9)<br />
5<br />
dy = 7 ( 30x<br />
) dx<br />
5 6 6<br />
= 210x<br />
( 5x<br />
− 9)<br />
dx<br />
6<br />
5 6 6<br />
Conclusión: la diferencial es dy = 210x ( 5x<br />
− 9)<br />
dx<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
Aquí se aplica la<br />
regla <strong>de</strong>l cociente <strong>de</strong><br />
funciones.<br />
Aquí se aplica la<br />
regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na.<br />
19
20<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
EJERCICIO 2<br />
TAREA 2<br />
Página 33.<br />
INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial <strong>de</strong> las siguientes funciones<br />
utilizando las fórmulas <strong>de</strong> diferenciación y entrégaselas a tu profesor para<br />
su revisión.<br />
2<br />
1) 4 3<br />
2 y = x −<br />
13) y =<br />
( 3x<br />
− 2<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
1<br />
3 y = 2x<br />
y =<br />
2<br />
14)<br />
5 2<br />
x<br />
x + 1<br />
y = 15) y =<br />
2x<br />
−1<br />
5) 5 6 8<br />
4<br />
y = x − x +<br />
6)<br />
y = x<br />
5<br />
( 9x<br />
− 2 +<br />
1)<br />
2<br />
7) y = ( −2x<br />
+ 9)(<br />
5x<br />
− 2)<br />
8)<br />
8x<br />
y =<br />
2<br />
− 2x<br />
+ 7<br />
x<br />
3<br />
2 1 1<br />
9) y = 3x + 5x<br />
− + x − + 1<br />
5<br />
x x<br />
10)<br />
y = ( 2x<br />
+ 7<br />
2<br />
)<br />
11) y = 9 x + 1<br />
12)<br />
y =<br />
1<br />
3 x − 2<br />
3<br />
2<br />
y =<br />
5x<br />
+ 3<br />
x −1<br />
x + 2<br />
2<br />
)
FÓRMULAS DIFERENCIALES DE FUNCIONES TRASCEDENTALES.<br />
I. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS<br />
1) d [ Sen(<br />
g(<br />
x))<br />
] = g´(<br />
x)<br />
⋅ Cos(<br />
g(<br />
x))<br />
dx<br />
2) d [ Cos(<br />
g(<br />
x))<br />
] = −g´(<br />
x)<br />
⋅ Sen(<br />
g(<br />
x))<br />
dx<br />
3) d [ Tan(<br />
g(<br />
x))<br />
] = g´(<br />
x)<br />
⋅ Sec ( g(<br />
x))<br />
dx<br />
4) d [ Cot(<br />
g(<br />
x))<br />
] = −g´(<br />
x)<br />
⋅ Csc ( g(<br />
x))<br />
dx<br />
5) d [ Sec(<br />
g(<br />
x))<br />
] = g´(<br />
x)<br />
⋅ Sec(<br />
g(<br />
x))<br />
⋅Tan(<br />
g(<br />
x))<br />
dx<br />
6) d [ Csc(<br />
g(<br />
x))<br />
] = −g´(<br />
x)<br />
⋅ Csc(<br />
g(<br />
x))<br />
⋅ Cot(<br />
g(<br />
x))<br />
dx<br />
<strong>II</strong>. FUNCION EXPONENCIAL NATURAL<br />
g ( x)<br />
g(<br />
x)<br />
1) d[<br />
e ] = g'(<br />
x)<br />
⋅ e dx<br />
<strong>II</strong>I. FUNCION LOGARITMO NATURAL<br />
g'(<br />
x)<br />
d<br />
Ln(<br />
g(<br />
x)<br />
= ⋅ dx con g x ≠<br />
g(<br />
x)<br />
1) [ ] ( ) 0<br />
2<br />
2<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
21
22<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
2<br />
EJEMPLO 1. Sea y = Sen(<br />
3x<br />
− 7)<br />
, Calcula dy<br />
SOLUCIÓN:<br />
2<br />
dy = 6x<br />
⋅Cos(<br />
3x<br />
− 7)<br />
dx<br />
2<br />
Conclusión: la diferencial es dy = 6x<br />
⋅Cos(<br />
3x<br />
− 7)<br />
dx<br />
EJEMPLO 2 . Sea<br />
SOLUCIÓN:<br />
dy = ( 2x<br />
+ 9)<br />
⋅e<br />
x<br />
2<br />
+ 9x−3<br />
y = e , Calcula dy<br />
x<br />
2<br />
+ 9x−3<br />
dx<br />
x + 9x−3<br />
Conclusión: la diferencial es dy = ( 2x<br />
+ 9)<br />
⋅e<br />
dx<br />
3 2<br />
EJEMPLO 3 . Sea y = Ln(<br />
5x<br />
+ 3x<br />
+ x + 8)<br />
, Calcula dy<br />
SOLUCIÓN:<br />
2 ⎛ x x ⎞<br />
dy ⎜<br />
15 + 6 + 1<br />
=<br />
⎟<br />
⎜<br />
dx<br />
3 2<br />
x x x ⎟<br />
⎝ 5 + 3 + + 8 ⎠<br />
2 ⎛ 15x<br />
+ 6x<br />
+ 1 ⎞<br />
= ⎜<br />
⎟<br />
⎜ 3 2<br />
x x x ⎟<br />
⎝ 5 + 3 + + 8 ⎠<br />
Conclusión: la diferencial es dy<br />
dx<br />
3<br />
EJEMPLO 4 . Sea y = Ln(<br />
Tan(<br />
x − 5))<br />
, Calcula dy<br />
SOLUCIÓN:<br />
2 2 3<br />
⎛ 3x ⋅ Sec ( x − 5)<br />
⎞<br />
2<br />
3<br />
3<br />
dy = ⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
dx = 3x<br />
⋅Csc(<br />
x − 5)<br />
⋅ Sec(<br />
x − 5)<br />
dx<br />
3<br />
Tan(<br />
x 5)<br />
⎟<br />
⎝ − ⎠<br />
2<br />
3<br />
3<br />
Conclusión: la diferencial es dy =<br />
3x<br />
⋅ Csc(<br />
x − 5)<br />
⋅ Sec(<br />
x − 5)<br />
dx<br />
2
EJERCICIO 3<br />
TAREA 3<br />
Página 35.<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial <strong>de</strong> las siguientes funciones<br />
utilizando las fórmulas <strong>de</strong> diferenciación y entrégaselas a tu profesor para<br />
su revisión.<br />
2<br />
2<br />
1) y = Sen(<br />
4x<br />
− 3)<br />
13) y =<br />
Sec(<br />
3x<br />
− 2<br />
3<br />
2) y = Ln(<br />
2x<br />
)<br />
3)<br />
4)<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ 2 ⎟<br />
2<br />
y = Tan<br />
14) y =<br />
⎜ 5 2 ⎟<br />
⎝ x<br />
Csc(<br />
5x<br />
+ 3)<br />
⎠<br />
x+<br />
1<br />
2 x−1<br />
= e<br />
y 15)<br />
4<br />
5) y = Sec(<br />
5x<br />
− 6x<br />
+ 8)<br />
6) ⎜<br />
⎛ 5<br />
3<br />
y = Csc ( 9x<br />
− 2x<br />
+ 1)<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎝<br />
⎠<br />
2<br />
7) y = Cos[<br />
( −2x<br />
+ 9)(<br />
5x<br />
− 2)<br />
]<br />
8)<br />
9)<br />
10)<br />
y<br />
y = e<br />
2 ⎛ ⎞<br />
⎜<br />
8x<br />
− 2x<br />
+ 7<br />
Ln<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ x ⎠<br />
= 3<br />
1 1<br />
3 x<br />
2<br />
+ 5x−<br />
+ x−<br />
+ 1<br />
x<br />
5 x<br />
y = Sen(<br />
2x<br />
+ 7<br />
y = Cos(<br />
x +<br />
2<br />
)<br />
11) 9 1)<br />
12)<br />
1<br />
y<br />
=<br />
Tanx −<br />
3 2<br />
⎛<br />
y = Ln⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
)<br />
x −1<br />
⎞<br />
⎟<br />
x + 2 ⎟<br />
⎠<br />
23
24<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
1.1.3. Aplicaciones <strong>de</strong> la diferencial.<br />
Trataremos algunos problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando<br />
el incremento <strong>de</strong> una función.<br />
PROBLEMA 1. Calcular el incremento aproximado <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un cuadrado <strong>de</strong> lado<br />
<strong>de</strong> 5m, si éste recibe un aumento <strong>de</strong> 0.002m.<br />
5m<br />
SOLUCIÓN:<br />
Datos: 2<br />
A = l Fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un cuadrado.<br />
l = 5m<br />
dl = ∆l<br />
= 0.<br />
002m<br />
Calcular: dA =<br />
2<br />
Entonces: Como A = l su diferencial es: dA = 2l.<br />
dl y sustituyendo los datos<br />
2<br />
tenemos: dA = 2( 5m)(<br />
0.<br />
002m)<br />
por lo tanto dA = 0. 020m<br />
Conclusión: El incremento es <strong>de</strong> 0.020 metros cuadrados.<br />
PROBLEMA 2. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a 25 . 4<br />
SOLUCIÓN: Como vimos anteriormente dy nos representa una muy buena<br />
aproximación a la función y = f (x)<br />
alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l punto <strong>de</strong> tangencia x 0 , lo que<br />
nos permite afirmar que:<br />
f x)<br />
≅ f ( x ) + dy<br />
( 0 don<strong>de</strong> dy = f ( x ) dx<br />
Como el problema consiste en aproximar 25 . 4 , entonces, po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>finir una<br />
función que nos permita aproximar dicho valor, para esto tomaríamos la función<br />
f ( x)<br />
= x <strong>de</strong> igual manera escogeríamos un punto x 0 don<strong>de</strong> podamos conocer<br />
con exactitud el valor <strong>de</strong> la función evaluada en ese punto, para este caso es<br />
conveniente tomar x 0 = 25 , entonces si sabemos que:<br />
f ( x)<br />
≅ f ( x ) + dy<br />
f ( x)<br />
≅ f ( x ) +<br />
0<br />
0<br />
f<br />
'(<br />
x ) dx<br />
0<br />
' 0
Haciendo:<br />
1) f ( x)<br />
= x<br />
1 −<br />
2<br />
Como f ( x)<br />
= x entonces f ( x)<br />
= x por lo tanto f '(<br />
x)<br />
= x<br />
2<br />
2)<br />
1<br />
f ' ( x)<br />
=<br />
2 x<br />
3) x = 25.<br />
4<br />
4) x 0 = 25<br />
5)<br />
dx = x − x<br />
dx = 25.<br />
4 − 25<br />
dx =<br />
Entonces:<br />
25.<br />
4<br />
0.<br />
4<br />
0<br />
f ( x)<br />
≅ f ( x0<br />
) + f '(<br />
x0<br />
) dx<br />
25.<br />
4 ≅<br />
1<br />
25 + ( 0.<br />
4)<br />
2 25<br />
≅<br />
≅<br />
≅<br />
≅<br />
≅<br />
5 +<br />
5 +<br />
5.<br />
04<br />
1<br />
( 0.<br />
4)<br />
( 2)(<br />
5)<br />
1<br />
5 + ( 0.<br />
4)<br />
10<br />
5 + ( 0.<br />
1)(<br />
0.<br />
4)<br />
0.<br />
04<br />
El valor real <strong>de</strong> 25 . 4 = 5.<br />
039841lo<br />
po<strong>de</strong>mos obtener haciendo uso <strong>de</strong> la<br />
calculadora.<br />
De tal manera que el error <strong>de</strong> aproximación sería:<br />
E.A = Valor real − Valor aproximado<br />
=<br />
E.A =<br />
=<br />
5.<br />
039841<br />
0.<br />
000159<br />
−<br />
−0.<br />
000159<br />
1<br />
5.<br />
04<br />
1<br />
2<br />
=<br />
2<br />
1<br />
x<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
25
26<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
Esto nos permite observar que la aproximación difiere <strong>de</strong>l valor real en<br />
aproximadamente una diezmilésima.<br />
PROBLEMA 3. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a Ln 1.<br />
1<br />
SOLUCIÓN: Hagamos:<br />
1) f ( x)<br />
= Ln x<br />
Como f ( x)<br />
= Ln x entonces<br />
1<br />
2) f ' ( x)<br />
=<br />
x<br />
3) x = 1.<br />
1<br />
4) x 0 = 1<br />
5)<br />
dx = x − x<br />
dx =<br />
0.<br />
1<br />
0<br />
dx = 1.<br />
1−1<br />
Entonces:<br />
f ( x)<br />
≅ f ( x0<br />
) + f '(<br />
x0<br />
) dx<br />
Ln 1.<br />
1 ≅<br />
1<br />
Ln 1+<br />
( 0.<br />
1)<br />
1<br />
≅ 1(<br />
0.<br />
1)<br />
Ln<br />
1.<br />
1<br />
≅<br />
≅<br />
0 +<br />
0 +<br />
0.<br />
1<br />
0<br />
. 1<br />
1<br />
f ' ( x)<br />
=<br />
x<br />
El valor real <strong>de</strong> Ln 1 . 1 = 0.<br />
0953 lo po<strong>de</strong>mos obtener haciendo uso <strong>de</strong> la<br />
calculadora.<br />
De tal manera que el error <strong>de</strong> aproximación sería:<br />
E.A = Valor real − Valor aproximado<br />
=<br />
E.A =<br />
=<br />
0.<br />
0953<br />
−0.<br />
00047<br />
0.<br />
00047<br />
−<br />
0.<br />
1<br />
Esto nos permite observar que la aproximación difiere <strong>de</strong>l valor real en<br />
aproximadamente cuatro diezmilésimas.<br />
`
PROBLEMA 4. La pared lateral <strong>de</strong> un <strong>de</strong>pósito cilíndrico <strong>de</strong> radio 50 cm y altura 1m,<br />
<strong>de</strong>be revestirse con una capa <strong>de</strong> concreto <strong>de</strong> 3 cm <strong>de</strong> espesor. ¿Cuál es<br />
aproximadamente la cantidad <strong>de</strong> concreto que se requiere?<br />
SOLUCIÓN: La cantidad <strong>de</strong> concreto requerida es la diferencia ∆V entre el<br />
volumen <strong>de</strong>l cilindro exterior y el cilindro interior como lo po<strong>de</strong>mos observar en la<br />
siguiente figura:<br />
Calcularemos ∆ V a través <strong>de</strong> dV recordando que la fórmula para calcular el<br />
volumen <strong>de</strong>l cilindro es:<br />
2<br />
V = π r<br />
Como h = 1 m = 100 cm entonces tenemos una función para el volumen <strong>de</strong>l<br />
cilindro que <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> únicamente <strong>de</strong>l radio la cuál escribimos <strong>de</strong> la siguiente<br />
manera:<br />
Por lo tanto:<br />
∆<br />
V<br />
h<br />
V ( r)<br />
= 100 π r<br />
dV = 200 π r dr<br />
Si sustituimos r = 50 y dr = 3 , en dV , obtenemos:<br />
dV = 200 π ( 50)(<br />
3)<br />
= 94247.<br />
77961 cm<br />
Lo que representa la cantidad <strong>de</strong> concreto que se necesita para revestir el <strong>de</strong>pósito<br />
cilíndrico.<br />
2<br />
3<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
27
28<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
Recuerda que:<br />
180º= rad<br />
π<br />
PROBLEMA 5. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a Cos 30.<br />
5º<br />
SOLUCIÓN: Hagamos:<br />
1) f ( x)<br />
= Cos x<br />
Como f ( x)<br />
= Cos x entonces f ' ( x)<br />
= − Sen x<br />
2) f ' ( x)<br />
= − Sen x<br />
3) x = 30.<br />
5º<br />
x<br />
4) 30º<br />
5)<br />
0 =<br />
dx = x − x<br />
dx = 30.<br />
5º<br />
−30º<br />
dx =<br />
0.<br />
5º<br />
0<br />
Para po<strong>de</strong>r aproximar correctamente el valor <strong>de</strong> Cos 30.<br />
5º<br />
es importante que el<br />
π<br />
dx = 0.<br />
5º<br />
lo expresemos en radianes, es <strong>de</strong>cir, dx = rad .<br />
360<br />
Entonces:<br />
f x)<br />
≅ f ( x ) + f '(<br />
x ) dx<br />
Cos<br />
( 0<br />
0<br />
Cos30.<br />
5º<br />
30.<br />
5º<br />
≅<br />
≅<br />
≅<br />
⎛ π ⎞<br />
Cos 30º<br />
+ Sen 30º<br />
⎜<br />
360<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 ⎛ 1 ⎞⎛<br />
π ⎞<br />
+ ⎜ ⎟⎜<br />
⎟<br />
2 ⎝ 2 ⎠⎝<br />
360 ⎠<br />
3<br />
2<br />
+<br />
π<br />
720<br />
360 3 + π<br />
≅<br />
= 0.<br />
87038<br />
720<br />
El valor real <strong>de</strong> Cos 30 . 5º<br />
= 0.<br />
86162 lo po<strong>de</strong>mos obtener haciendo uso <strong>de</strong> la<br />
calculadora.<br />
De tal manera que el error <strong>de</strong> aproximación sería:<br />
E.A = Valor real − Valor aproximado<br />
=<br />
E.A =<br />
=<br />
0.<br />
86162<br />
−0.<br />
00876<br />
0.<br />
00876<br />
−<br />
0.<br />
87038
Esto nos permite observar que la aproximación difiere <strong>de</strong>l valor real en<br />
aproximadamente ocho milésimas.<br />
EN EQUIPO DE DOS: Detalla por escrito el proceso <strong>de</strong> solución analítica<br />
típica <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> aproximación al incremento, utilizando la<br />
diferencial y compara el proceso <strong>de</strong> solución con tu compañero.<br />
1) obtener el valor aproximado <strong>de</strong>l incremento <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong> un cubo <strong>de</strong><br />
lado <strong>de</strong> 2m al aumentar el lado 0.003m.<br />
2) Hallar el valor aproximado <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong> una cáscara esférica <strong>de</strong><br />
200mm <strong>de</strong> diámetro exterior y 1mm <strong>de</strong> espesor.<br />
3) Al calcular la altura <strong>de</strong> un cerro se encuentra que <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un punto situado a<br />
100m <strong>de</strong> la proyección en el suelo <strong>de</strong> la parte más alta <strong>de</strong>l cerro, esta<br />
última se ve con un ángulo <strong>de</strong> elevación <strong>de</strong> 30º. Encuentre<br />
aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura,<br />
sabiendo que la medición <strong>de</strong>l ángulo se hace con un posible error <strong>de</strong> 0.3º.<br />
4) Al calentar una placa cuadrada metálica <strong>de</strong> 15 cm. <strong>de</strong> longitud, su lado<br />
aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?<br />
5) Al enfriar una placa cuadrada metálica <strong>de</strong> 20 cm. <strong>de</strong> longitud, su lado<br />
disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?<br />
6) Aproximar utilizando diferenciales los siguientes valores:<br />
A) 9 . 5<br />
B)<br />
C)<br />
5 32 . 1<br />
0.<br />
5<br />
e<br />
D) 3 64 . 01<br />
E) Sen 45.<br />
5º<br />
F) Cos 60.<br />
25º<br />
G) Tan 30.<br />
75º<br />
H) Ln 1.<br />
3<br />
I) 37<br />
J)<br />
1<br />
4.<br />
5<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
EJERCICIO 4<br />
TAREA 4<br />
Página 37<br />
29
30<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong>
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
INSTRUCCIONES: Hallar ∆ y y dy , y E.A para las funciones y los valores dados; entrégale los resultados a<br />
tu profesor para su revisión.<br />
1)<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
5)<br />
6)<br />
7)<br />
8)<br />
9)<br />
10)<br />
f ( x)<br />
=<br />
f ( x)<br />
= Cos x<br />
f ( x)<br />
= x<br />
f ( x)<br />
= Ln x<br />
f ( x)<br />
= e<br />
f ( x)<br />
=<br />
3<br />
x<br />
2<br />
para x = 64,<br />
∆x<br />
= dx = 1,<br />
0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001<br />
−1<br />
π<br />
x =<br />
3<br />
y dx = 1,<br />
0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001<br />
x = 1 y dx = 1,<br />
0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x − 4x<br />
+ 3 para x = 1 y dx = 1,<br />
0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001<br />
x<br />
f ( x)<br />
= Tan x para<br />
π<br />
x =<br />
4<br />
y dx = 1,<br />
0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x + 2x<br />
−1<br />
para x = 0 y dx = 1,<br />
0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001<br />
x<br />
1<br />
f ( x)<br />
=<br />
x<br />
TAREA 1<br />
para<br />
para<br />
Nombre ____________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente _____________________ Fecha _____________________<br />
para x = 1 y dx = 1,<br />
0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001<br />
para x = 0 y dx = 1,<br />
0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001<br />
para x = 1,<br />
∆x<br />
= dx = 1,<br />
0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001<br />
para x = 1,<br />
∆x<br />
= dx = 1,<br />
0.<br />
5,<br />
0.<br />
1,<br />
0.<br />
01,<br />
0.<br />
001<br />
31
32<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
Revisión: _____________________________________________________<br />
Observaciones:________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy ,<strong>de</strong> las siguientes funciones, utilizando las fórmulas <strong>de</strong><br />
diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.<br />
1)<br />
2)<br />
3)<br />
3 2<br />
y = 5x<br />
− 2x<br />
+ x −10<br />
1<br />
y = +<br />
x<br />
x<br />
5<br />
−<br />
1<br />
x<br />
5 2<br />
− 2<br />
11)<br />
12)<br />
y =<br />
y =<br />
x<br />
1<br />
2x<br />
−1<br />
2<br />
− 5x<br />
+ 9<br />
7<br />
3<br />
y = ( 4x<br />
− 9)(<br />
2x<br />
+ 1)<br />
8 2 5<br />
13) y = ( 3x<br />
−1)<br />
6<br />
x − 2x<br />
+ 3<br />
4) y = 2<br />
x + 5<br />
3<br />
x −8<br />
5) y = 2<br />
x + 2x<br />
+ 4<br />
6)<br />
x<br />
y =<br />
2<br />
7) −<br />
− 2x<br />
−15<br />
x − 5<br />
14)<br />
15)<br />
16)<br />
x<br />
10<br />
y = ( 3x<br />
−1)(<br />
x<br />
y =<br />
y =<br />
4x<br />
1<br />
5 2<br />
x<br />
7<br />
3<br />
4 +<br />
+ 2<br />
8<br />
3<br />
+ 5)<br />
2 3<br />
3 2<br />
y = ( 3x<br />
5)<br />
17)<br />
y = 6x<br />
− 4x<br />
− x + 3<br />
8) y = x −<br />
9)<br />
10)<br />
3 2<br />
1<br />
y =<br />
x + 7<br />
y =<br />
( x<br />
2<br />
3<br />
TAREA 2<br />
+ 9)<br />
6<br />
Nombre ____________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente _____________________ Fecha _____________________<br />
18)<br />
y =<br />
x +<br />
4<br />
x<br />
⎛ x + 2 ⎞<br />
19) y = ⎜ ⎟<br />
⎝ x − 5 ⎠<br />
7<br />
20) y = ( 3x<br />
+ 6)<br />
( 2x<br />
−<br />
3<br />
x<br />
6<br />
1)<br />
3<br />
33
34<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
Revisión: _____________________________________________________<br />
Observaciones:________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy <strong>de</strong> las siguientes funciones, utilizando las fórmulas <strong>de</strong><br />
diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.<br />
1)<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
y = Sen ( x<br />
3 +<br />
y = Cos ( 2x<br />
y = Tan ( 4x<br />
y = Cot<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1)<br />
5 +<br />
7 −<br />
x − 2<br />
x + 5<br />
7)<br />
9)<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
5) y = Sec [( 3x<br />
+ 2)(<br />
x −1)]<br />
5<br />
6) y = Csc ( 2x<br />
−<br />
2<br />
7) y = Ln ( 3x<br />
−<br />
8)<br />
y = Ln<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
x + 3<br />
x + 4<br />
11)<br />
5)<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
9 ) y = Ln ( x − 2)(<br />
x + 6)<br />
10)<br />
y = Ln ( Sen(<br />
x<br />
TAREA 3<br />
3<br />
3<br />
))<br />
5<br />
Nombre ____________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente _____________________ Fecha _____________________<br />
11) y = Ln x −<br />
12)<br />
13)<br />
7 5 9<br />
Sen ( x − 3)<br />
y =<br />
Cos ( x − 3)<br />
2<br />
2<br />
y = Sen ( x −1)<br />
+ Cos ( x −1)<br />
1<br />
14) y =<br />
5<br />
Sec ( x )<br />
15)<br />
16)<br />
17 )<br />
18)<br />
19)<br />
20)<br />
y = Ln<br />
y<br />
y<br />
−3<br />
= x<br />
e<br />
+ 8<br />
= + 2 x<br />
x<br />
e<br />
e<br />
y =<br />
e<br />
Sen<br />
y = e<br />
y =<br />
3 ⎛ x − 5x<br />
+ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 2<br />
2 ⎟<br />
⎝ x − ⎠<br />
3x<br />
2<br />
+ 5x+<br />
2<br />
x<br />
2<br />
−x−2<br />
x<br />
5<br />
Cos ( Ln ( x−3))<br />
e<br />
9<br />
35
36<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
Revisión: _____________________________________________________<br />
Observaciones:________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________
TAREA 4<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
Nombre ____________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente _____________________ Fecha _____________________<br />
INSTRUCCIONES: Plantea y resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su<br />
revisión.<br />
1) Si la medida <strong>de</strong> la arista <strong>de</strong> un cubo es 12 pulgadas, con un posible error <strong>de</strong> 0.03 pulgadas,<br />
estimar mediante diferenciales el máximo error posible cometido al calcular:<br />
a) El volumen <strong>de</strong>l cubo.<br />
b) El área superficial <strong>de</strong>l cubo.<br />
2) Calcular el incremento <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un cuadrado <strong>de</strong> lado 7m. al aumentar el lado 3mm.<br />
3) Calcular el incremento aproximado <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong> un cubo <strong>de</strong> lado 7.3m al aumentar el lado<br />
0.007m.<br />
4) Obtener el valor aproximado en el aumento que tendrá el área <strong>de</strong> una esfera <strong>de</strong> 8cm <strong>de</strong> radio<br />
cuando el radio aumenta 3cm.<br />
5) Al calentar una placa cuadrada metálica <strong>de</strong> 15 cm <strong>de</strong> longitud, su lado aumenta en 0.04 cm.<br />
¿Cuánto aumento aproximadamente su área?<br />
6) Al enfriar una placa cuadrada metálica <strong>de</strong> 20 cm <strong>de</strong> longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto<br />
disminuirá porcentualmente su área?<br />
7) La pared lateral <strong>de</strong> un <strong>de</strong>pósito cilíndrico con radio <strong>de</strong> 60 cm y altura <strong>de</strong> 1.20m, <strong>de</strong>be revestirse con<br />
una capa <strong>de</strong> concreto <strong>de</strong> 3 cm <strong>de</strong> espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad <strong>de</strong> concreto que<br />
se requiere?<br />
8) Pruebe que si al calentar(enfriar) una placa cuadrada metálica <strong>de</strong> lado L, su lado<br />
incrementa(disminuye) un p %, entonces el área se incrementa(diminuye) un 2p %.<br />
9) Al calcular la altura <strong>de</strong> un cerro, se encuentra que <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un punto situado a 100 m <strong>de</strong> la proyección<br />
en el suelo <strong>de</strong> la parte más alta <strong>de</strong>l cerro, esta última se ve con un ángulo <strong>de</strong> elevación <strong>de</strong> 30º.<br />
Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura, sabiendo que la<br />
medición <strong>de</strong>l ángulo se hace con un posible error <strong>de</strong> 0.3º.<br />
37
38<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
Revisión: _____________________________________________________<br />
Observaciones:________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y respon<strong>de</strong> los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo <strong>de</strong> la<br />
opción que consi<strong>de</strong>res correcta.<br />
4 2<br />
1. La diferencial <strong>de</strong> la siguiente función y = 3x<br />
− 5x<br />
+ 4x<br />
−1<br />
es:<br />
3<br />
� dy = ( 12x<br />
−10x<br />
+ 4)<br />
dx<br />
3<br />
� dy = ( 12x<br />
−10x<br />
+ 4x<br />
−1)<br />
dx<br />
3<br />
� dy = ( 12x<br />
−10x<br />
+ 3)<br />
dx<br />
3 2<br />
� dy = ( 12x<br />
−10x<br />
+ 4)<br />
dx<br />
2. El incremento aproximado <strong>de</strong>l volumen <strong>de</strong> un cubo con lado <strong>de</strong> 5.3m al aumentar el lado 0.007m es:<br />
� 0.698<br />
� 0.725<br />
� 0.589<br />
� 0.456<br />
3. La diferencial <strong>de</strong> la siguiente función ( 7)<br />
4 y = Sen x + es:<br />
� dy Cos ( x 7)<br />
dx<br />
4 = +<br />
3<br />
� dy = 4x<br />
Cos ( x + 7)<br />
dx<br />
3 4<br />
� dy = − 4x<br />
Cos ( x + 7)<br />
dx<br />
� dy Cos ( x 7)<br />
dx<br />
4 = − +<br />
4. El valor aproximado <strong>de</strong> 3 8 . 5 es:<br />
� 2.041<br />
� 2.083<br />
� 2.416<br />
� 2.004<br />
AUTOEVALUACIÓN<br />
4<br />
Nombre _________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo ________________ Turno __________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente ___________________ Fecha ____________________<br />
39
40<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
5. La diferencial <strong>de</strong> la siguiente función y = Ln ( 2x<br />
+ 1)<br />
es:<br />
2x<br />
� dy = dx<br />
2x<br />
+ 1<br />
� dy = 0<br />
2<br />
� dy = dx<br />
2x<br />
+ 1<br />
2<br />
� dy = dx<br />
Ln(<br />
2x<br />
+ 1)<br />
6. La diferencial <strong>de</strong> la siguiente función<br />
x−5 � dy = e dx<br />
x−5 � dy = ( x − 5)<br />
e<br />
� dy = dx<br />
dx<br />
x−5 � dy = −e<br />
dx<br />
−5<br />
= x<br />
y e es:<br />
7. La diferencial <strong>de</strong> la siguiente función ( 9)<br />
7 y = x + es:<br />
7<br />
� dy = x dx<br />
� dy ( x 9)<br />
dx<br />
7 = +<br />
7<br />
� dy = x dx<br />
6<br />
� dy = 7x<br />
dx<br />
8. El valor <strong>de</strong>l incremento real ∆ y <strong>de</strong> la función:<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x − 5,<br />
para x = 0 y ∆x<br />
= dx = 0.<br />
01 es:<br />
� ∆y = 0.<br />
1<br />
� ∆y = 0.<br />
01<br />
� ∆y = 0.<br />
001<br />
� ∆y<br />
= 0.<br />
0001
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
9. El valor <strong>de</strong>l error <strong>de</strong> aproximación (E.A) <strong>de</strong> la función<br />
2<br />
f ( x)<br />
= ( x − 3)<br />
+ 5,<br />
para x = 4 y ∆x<br />
= dx = 0.<br />
5 es:<br />
� E . A = 0.<br />
0025<br />
� E . A = 0.<br />
0025<br />
� E . A = 0.<br />
025<br />
� E . A = 0.<br />
25<br />
10. Al calentar una placa metálica cuadrad <strong>de</strong> 25 cm <strong>de</strong> lado, su lado se incrementa un 2 %, el porcentaje en el<br />
que se incrementa su área es:<br />
� 2 %<br />
� 3 %<br />
� 4 %<br />
� 8 %<br />
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE<br />
� Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te<br />
invitamos a continuar con esa <strong>de</strong>dicación.<br />
� Si tienes <strong>de</strong> 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es<br />
necesario que nuevamente repases los temas.<br />
� Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es<br />
insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu<br />
profesor.<br />
Consulta las<br />
claves <strong>de</strong><br />
respuestas en la<br />
página 103.<br />
41
42<br />
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong>
INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.<br />
1<br />
1. Completa la siguiente tabla para la función: y =<br />
x<br />
x dx = ∆x<br />
∆ y dy ∆ y − dy<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
0.5<br />
0.1<br />
0.01<br />
<strong>Diferencial</strong>es e <strong>Integral</strong> In<strong>de</strong>finida<br />
2. Utiliza el concepto <strong>de</strong> diferencial para encontrar el valor aproximado <strong>de</strong> los siguientes valores:<br />
a) 37<br />
1 . 8<br />
b) ( ) 5<br />
c) 5 32 . 5<br />
EJERCICIO DE<br />
REFORZAMIENTO 1<br />
d) Sen 60.<br />
5º<br />
e) Ln 1.<br />
25<br />
Nombre _________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo ________________ Turno __________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente ___________________ Fecha ____________________<br />
3. Resuelve el siguiente problema <strong>de</strong> aplicación <strong>de</strong> las diferenciales:<br />
Un tanque <strong>de</strong> almacenamiento <strong>de</strong> aceite en forma <strong>de</strong> cilindro circular vertical tiene una altura <strong>de</strong> 5m. el<br />
radio mi<strong>de</strong> 8m, con un error posible <strong>de</strong> ±0.25m.Utilice diferenciales para calcular el error máximo en el<br />
volumen. Encuentre el error relativo aproximado y el porcentaje aproximado <strong>de</strong> error.<br />
43
<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral <strong>II</strong><br />
44<br />
4. Hallar dy utilizando los teoremas:<br />
( ) x<br />
x<br />
e<br />
y<br />
j<br />
x<br />
y<br />
i<br />
x<br />
x<br />
y<br />
h<br />
x<br />
Sec<br />
y<br />
g<br />
e<br />
y<br />
f<br />
x<br />
x<br />
Ln<br />
y<br />
e<br />
x<br />
Sen<br />
y<br />
d<br />
x<br />
y<br />
c<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
y<br />
b<br />
x<br />
x<br />
y<br />
a<br />
2<br />
tan<br />
10<br />
8<br />
4<br />
7<br />
2<br />
2<br />
7<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
)<br />
5<br />
3<br />
)<br />
1<br />
1<br />
)<br />
)<br />
(<br />
)<br />
)<br />
2<br />
2<br />
)<br />
)<br />
8<br />
4<br />
(<br />
)<br />
6<br />
7<br />
)<br />
7<br />
2<br />
)<br />
5<br />
11<br />
3<br />
)<br />
=<br />
+<br />
=<br />
−<br />
+<br />
=<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
=<br />
−<br />
=<br />
+<br />
=<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
+<br />
−<br />
=<br />
+
La presa Hoover en E. U. tiene uno <strong>de</strong> los diques <strong>de</strong> arco<br />
<strong>de</strong> concreto más altos <strong>de</strong>l mundo . Ésta contiene las<br />
aguas <strong>de</strong>l Río Colorado, la estructura <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> tanto <strong>de</strong><br />
las pare<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l Black Canyon como <strong>de</strong> su propia masa.<br />
Este diseño <strong>de</strong> arco presenta una curva hacia el agua que<br />
contiene y casi siempre se construye en cañones<br />
angostos.<br />
Para <strong>de</strong>terminar el área y el volumen <strong>de</strong> concreto para la<br />
construcción <strong>de</strong> la obra se requiere <strong>de</strong> conocimientos<br />
matemáticos, como los <strong>de</strong> integración que en este<br />
capítulo te presentaremos.<br />
Si quieres investigar más acerca <strong>de</strong> esta monumental<br />
obra, consulta en Internet bajo el nombre <strong>de</strong> la “presa<br />
Hoover”.<br />
http://integrals.wolfram.com<br />
Unidad 2<br />
<strong>Integral</strong> in<strong>de</strong>finida<br />
y algunos métodos<br />
<strong>de</strong> integración.<br />
Objetivos:<br />
El alumno:<br />
Aplicará el concepto <strong>de</strong> integral in<strong>de</strong>finida,<br />
integrando diferenciales cuya forma no<br />
sea susceptible <strong>de</strong> integrarse <strong>de</strong> manera<br />
inmediata, a partir <strong>de</strong>l conocimiento <strong>de</strong><br />
algunos métodos <strong>de</strong> integración (cambio<br />
<strong>de</strong> variable, integración por partes);<br />
mostrando una actitud analítica y<br />
participativa.<br />
Temario:<br />
• <strong>Integral</strong> in<strong>de</strong>finida<br />
• Métodos <strong>de</strong> integración
46<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
Mapa Conceptual <strong>de</strong> Unidad<br />
<strong>Integral</strong>es<br />
<strong>Integral</strong><br />
In<strong>de</strong>fiinida<br />
Para integrarlas se usan<br />
Métodos <strong>de</strong><br />
integración<br />
Cambio <strong>de</strong><br />
variable o por<br />
sustitución<br />
Integración<br />
por partes
2.1.<br />
LA INTEGRAL INDEFINIDA.<br />
2.1. La integral in<strong>de</strong>finida (Anti<strong>de</strong>rivada).<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
Si me pongo los zapatos, puedo quitármelos otra vez. La segunda operación anula a la primera, regresando los<br />
zapatos a la posición original. Decimos que las dos son operaciones inversas. Las matemáticas contienen<br />
muchos pares <strong>de</strong> operaciones inversas: La Suma y la resta; al igual que la división y la multiplicación; lo mismo<br />
pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>cirse <strong>de</strong> elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente, productos notables y la factorización. En<br />
el <strong>Cálculo</strong> diferencial se estudia el problema para obtener la <strong>de</strong>rivada f ´(x)<br />
<strong>de</strong> una función f (x)<br />
. Ahora nos<br />
ocuparemos <strong>de</strong>l problema inverso, es <strong>de</strong>cir, dada una función f (x)<br />
buscaremos obtener la función F (x)<br />
, tal<br />
que al <strong>de</strong>rivar F obtengamos la función f (x)<br />
. A F (x)<br />
se le conoce como la anti<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f (x)<br />
. Veamos<br />
los siguientes ejemplos:<br />
Ejemplo 1: Encuentra la anti<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f ( x)<br />
= 2x<br />
y represéntala gráficamente.<br />
Solución: Buscamos una función (x)<br />
( x)<br />
<strong>de</strong> cálculo diferenciaI I, sabemos que la función cuya <strong>de</strong>rivada es 2 x , es:<br />
F que satisfaga la igualdad F ' = 2x<br />
. Recordando los conocimientos<br />
2<br />
F ( x)<br />
= x ;<br />
2<br />
ya que la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> F ( x)<br />
= x es F ' ( x)<br />
= 2x<br />
. Sin embargo, sabemos que no es la única, pues también si<br />
<strong>de</strong>rivamos las siguientes funciones:<br />
F(<br />
x)<br />
= x<br />
F(<br />
x)<br />
= x<br />
F(<br />
x)<br />
= x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
− 3,<br />
3<br />
+ ,<br />
2<br />
− 2π<br />
,<br />
obtenemos la misma <strong>de</strong>rivada. Generalizando lo anterior po<strong>de</strong>mos escribir F x = x + C<br />
2<br />
( ) , don<strong>de</strong> C es<br />
cualquier constante, dichas funciones representan la anti<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la función f ( x)<br />
= 2x<br />
.<br />
Si representamos gráficamente cada una <strong>de</strong> las anti<strong>de</strong>rivadas obtenemos:<br />
Observa que la<br />
diferencia entre las<br />
parábolas se da en el<br />
corte <strong>de</strong> éstas con el eje<br />
y . Los valores <strong>de</strong> las<br />
or<strong>de</strong>nadas en dicho corte<br />
representan los valores<br />
que pue<strong>de</strong> tomar la<br />
constante C .<br />
47
48<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
Ejemplo 2: Encuentra la anti<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong><br />
2<br />
f ( x)<br />
= 3x<br />
.<br />
Solución: Al igual que en el ejemplo anterior, buscamos una función F (x)<br />
que satisfaga la igualdad<br />
2<br />
F '( x)<br />
= 3x<br />
. Ésta es:<br />
F x = x + C<br />
3<br />
( ) ,<br />
2<br />
ya que si <strong>de</strong>rivamos F (x)<br />
, obtenemos F '( x)<br />
= 3x<br />
, recuerda que la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> la constante C es igual a<br />
cero.<br />
2<br />
Por lo tanto la anti<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f ( x)<br />
= 3x<br />
es F x = x + C<br />
3<br />
( ) .<br />
Encontrar la función que tiene cierta <strong>de</strong>rivada es más que un simple ejercicio mental. Más a<strong>de</strong>lante se verá que<br />
hay aplicaciones reales e interpretaciones físicas <strong>de</strong> esta i<strong>de</strong>a.<br />
2.1.1. Definición formal <strong>de</strong> integral in<strong>de</strong>finida.<br />
Una <strong>de</strong>finición formal <strong>de</strong>l concepto <strong>de</strong> anti<strong>de</strong>rivada es la siguiente:<br />
Sea F (x)<br />
una función tal que F ´( x)<br />
=<br />
como<br />
f ( x)<br />
, la cual llamaremos la anti<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f , y la <strong>de</strong>notaremos<br />
F ( x)<br />
= f ( x)<br />
dx ;<br />
Al término ∫<br />
f ( x)<br />
dx también se le conoce como integral in<strong>de</strong>finida.<br />
F es una anti<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong><br />
f (x)<br />
.<br />
“<strong>Integral</strong> in<strong>de</strong>finida” y<br />
“función primitiva” son<br />
sinónimos <strong>de</strong> la palabra<br />
“anti<strong>de</strong>rivada”.<br />
El símbolo ∫ es la inicial<br />
<strong>de</strong> la palabra suma.<br />
∫
Ejemplos: Encuentra la integral in<strong>de</strong>finida o la anti<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> las siguientes funciones.<br />
1) ∫ x dx<br />
2<br />
3 es una función (x)<br />
F tal que<br />
2 3<br />
Por lo tanto: ∫ 3 x dx = x + C .<br />
∫<br />
3 4<br />
2) 4 x dx = x + C .<br />
∫<br />
19 20<br />
3) 20 x dx = x + C .<br />
∫<br />
4) 5 dx = 5x<br />
+ C .<br />
∫<br />
5) − 3 dx = −3x<br />
+ C .<br />
∫<br />
3<br />
4<br />
6) ( 4x<br />
+ 5)<br />
dx = x + 5x<br />
+ C .<br />
∫<br />
19 2<br />
20 3<br />
7) ( 20x<br />
− 3x<br />
+ 3)<br />
dx = x − x + 3x<br />
+ C .<br />
∫<br />
8) cos x dx = sen x + C .<br />
∫<br />
x x<br />
9) e dx = e + C .<br />
∫<br />
2<br />
F '( x)<br />
= 3x<br />
, es <strong>de</strong>cir, F x = x + C<br />
3<br />
)<br />
( .<br />
2 x<br />
x<br />
10) (cos x − sen x + sec x + e − 5)<br />
dx = sen x + cos x + tan x + e − 5x<br />
+ C .<br />
EJERCICIO 1<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
EN EQUIPO: Encuentra la integral in<strong>de</strong>finida (anti<strong>de</strong>rivada) <strong>de</strong> las<br />
siguientes funciones y compara tus resultados con tus compañeros:<br />
∫5<br />
6) ∫ dx π<br />
4<br />
1) x dx<br />
2) ∫ x dx<br />
6<br />
7 7) ∫<br />
− dx x<br />
2<br />
csc<br />
3)<br />
2<br />
∫ ( 3x<br />
− 2x<br />
+ 1)<br />
dx 8) ∫sec x⋅tan xdx<br />
4) ∫ ( 2x<br />
− 4)<br />
dx<br />
3 2<br />
9) ∫ ( 4x<br />
+ 3x<br />
+ 2x<br />
+ 1)<br />
dx<br />
5) ∫ dx<br />
∫<br />
4 10) dx x x x x<br />
x<br />
( e + sec ⋅tan<br />
−csc<br />
⋅cot<br />
)<br />
49
50<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong>
2.1.2. Reglas básicas <strong>de</strong> integración.<br />
DEFINICIÓN DE LA NOTACION INTEGRAL PARA LAS ANTIDERIVADAS:<br />
Si F (x)<br />
es una integral in<strong>de</strong>finida <strong>de</strong> f (x)<br />
se expresa:<br />
∫<br />
( Si y solo si ) + ( )<br />
y = f x)<br />
dx = F(<br />
x)<br />
+ C<br />
Don<strong>de</strong>:<br />
C = Constante arbitraria.<br />
REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACION:<br />
1) CONSTANTE: ∫<br />
kdx<br />
= kx + C<br />
2) MULTIPLO CONSTANTE: ∫ ( x)<br />
dx k∫<br />
F ´( x C = f x<br />
kf = f ( x)<br />
dx<br />
3) SUMA O DIFERENCIA: ∫ [ ( x)<br />
g(<br />
x)<br />
] dx = ∫ f ( x)<br />
dx ± ∫<br />
4) POTENCIAS: ∫<br />
5) EXPONENCIALES: ∫<br />
f ± g(<br />
x)<br />
dx<br />
n+<br />
1<br />
n x<br />
x dx = + C , n ≠ 1<br />
n + 1<br />
x x<br />
e dx = e + C<br />
1 1<br />
∫ ∫ −<br />
6) LOGARITMICA: dx = x dx = ln x + C<br />
7) TRIGONOMETRICAS:<br />
∫<br />
x<br />
cos xdx = senx + C<br />
∫ senxdx = −cos<br />
x + C<br />
∫ sec xdx = tan x + C<br />
2<br />
∫ sec x tan xdx = sec x + C<br />
∫ csc xdx = −cot<br />
x + C<br />
2<br />
∫ csc<br />
x cot xdx = −csc<br />
x + C<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
51
52<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
Ejemplos: Calcular la integral <strong>de</strong> las siguientes funciones utilizando las reglas <strong>de</strong> integración.<br />
1) ∫ 5 dx =<br />
Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla <strong>de</strong> la constante así:<br />
2) ∫<br />
x dx<br />
3<br />
4<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
5 dx = 5 dx = 5x<br />
+ C<br />
= 5 x + C .<br />
Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla <strong>de</strong>l múltiplo constante así:<br />
Por lo tanto:<br />
3) ∫<br />
2<br />
( 3x<br />
− 2x<br />
+ 3)<br />
dx =<br />
3+<br />
1<br />
x<br />
3 + 1<br />
3<br />
3<br />
∫4xdx = 4∫<br />
x dx = 4 +<br />
∫<br />
3 4<br />
4 x dx = x + C<br />
= x + C<br />
4<br />
Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla <strong>de</strong> la suma o resta:<br />
∫<br />
2<br />
∫xdx − 2∫xdx<br />
+ ∫<br />
2<br />
( 3x<br />
− 2x<br />
+ 3)<br />
dx = 3<br />
3 dx =<br />
3 2<br />
x x<br />
3 2<br />
= 3 − 2 + 3x<br />
+ C = x − x + 3x<br />
+ C<br />
3 2<br />
3 2<br />
= x − x + 3x<br />
+ C .<br />
4) ∫<br />
2<br />
( 2x<br />
+ 3)<br />
dx =<br />
Solución: Aplicando el álgebra tenemos:<br />
∫<br />
2<br />
∫xdx + 12∫xdx<br />
+ ∫<br />
2<br />
( 4x<br />
+ 12x<br />
+ 9)<br />
dx = 4<br />
9 dx<br />
3 2<br />
3<br />
x x<br />
4x<br />
2<br />
= 4 + 12 + 9x<br />
+ C = + 6x<br />
+ 9x<br />
+ C<br />
3 2<br />
3<br />
3<br />
4x 2<br />
= + 6x<br />
+ 9x<br />
+ C .<br />
3<br />
.<br />
C
5) ∫<br />
2 sen xdx =<br />
Solución: Aplicando las reglas <strong>de</strong> funciones trigonométricas tenemos:<br />
Simplificando tenemos:<br />
6) ∫<br />
8<br />
2<br />
sec<br />
xdx =<br />
2<br />
∫<br />
sen xdx = 2(<br />
−cos<br />
x)<br />
+ C<br />
= −2<br />
cos x + C .<br />
Solución: Aplicando las reglas <strong>de</strong> funciones trigonométricas tenemos:<br />
Simplificando tenemos:<br />
7) ∫<br />
2<br />
( 2x<br />
+ 3)(<br />
3x<br />
− 2)<br />
dx =<br />
Solución:<br />
8<br />
∫<br />
sec<br />
2<br />
= 8 tan x + C .<br />
x dx = 8(tan<br />
x)<br />
+ C<br />
3 2<br />
3<br />
2<br />
∫( 6x<br />
4x<br />
+ 9x<br />
− 6)<br />
dx = 6∫xdx<br />
− 4∫<br />
x dx + 9∫<br />
xdx<br />
− 6∫<br />
8) ∫<br />
− dx<br />
4 3 2<br />
6x<br />
4x<br />
9x<br />
= − + − 6x<br />
+ C<br />
4 3 2<br />
x dx<br />
=<br />
4 3 2<br />
3x<br />
4x<br />
9x<br />
= − + − 6x<br />
+ C<br />
2 3 2<br />
Solución:<br />
Aplicando la regla <strong>de</strong> potencias tenemos:<br />
simplificando nos quedaría <strong>de</strong> la siguiente manera:<br />
∫<br />
3<br />
.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
x 2<br />
2<br />
2<br />
x ) dx = + C = x + C<br />
3 3<br />
2<br />
( ;<br />
=<br />
2<br />
3<br />
3<br />
x + C<br />
.<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
53
54<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
9) ∫<br />
(<br />
e x<br />
Solución:<br />
+ cos x)<br />
dx =<br />
Esto quedaría <strong>de</strong> la siguiente forma:<br />
10) ∫<br />
Solución:<br />
x<br />
x<br />
∫ e dx + ∫ cos xdx = e + sen x + C<br />
e sen x C<br />
x<br />
= + + .<br />
⎛ 5 2 3 ⎞<br />
⎜ + 2x<br />
− ⎟dx<br />
= 4<br />
⎝ x x ⎠<br />
Aquí se aplica la regla <strong>de</strong> potencias y la <strong>de</strong> logaritmos:<br />
1<br />
2<br />
−4 5 ∫ dx + 2∫<br />
x dx − 3∫xdx<br />
=<br />
x<br />
3 −3<br />
2x<br />
3x<br />
= 5ln<br />
x + − + C ;<br />
3 − 3<br />
simplificando tenemos la solución:<br />
2 3 1<br />
= 5 ln x + x + + C .<br />
3<br />
3 x<br />
INDIVIDUAL: Encuentra la integral <strong>de</strong> las siguientes funciones y entrégaselas a<br />
tu profesor para su revisión.<br />
∫<br />
− dx =<br />
2)<br />
⎛ 1 4 6<br />
∫ ⎜ − 2x<br />
+ 3<br />
⎝ x x<br />
⎞<br />
+ 8x<br />
⎟<br />
⎟dx<br />
=<br />
⎠<br />
3<br />
2<br />
1) ( 2 x 5x<br />
+ 8 −10x<br />
)<br />
3) ∫ ( x + 7x<br />
− 2)<br />
dx =<br />
⎛ ⎞<br />
4) ⎜ ⎟<br />
∫ dx =<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ x ⎠<br />
5<br />
1<br />
5)∫<br />
2<br />
( 4x<br />
− 3)(<br />
2x<br />
+ 5)<br />
dx =<br />
6) ∫ ( 3 x 2)<br />
2<br />
− dx =<br />
x 3<br />
7) ∫ ( e x − x + x )<br />
2<br />
6 cos sec 3<br />
8)∫<br />
∫<br />
+ dx =<br />
2<br />
x − 4<br />
dx =<br />
x + 2<br />
3<br />
x − 2 dx =<br />
9) ( )<br />
3 5 ⎛ 4x<br />
− 6x<br />
+ 7 − 8x<br />
⎞<br />
10) ∫ ⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
dx =<br />
2<br />
⎝ x ⎠<br />
TAREA 1<br />
Pág. 65<br />
EJERCICIO 2
2.2.<br />
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.<br />
2.2.1. Integración por cambio <strong>de</strong> variable o sustitución.<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
En esta sección se estudiarán métodos para la integración <strong>de</strong> funciones compuestas, es <strong>de</strong>cir, producto <strong>de</strong><br />
funciones, cociente <strong>de</strong> funciones, potencias <strong>de</strong> suma <strong>de</strong> funciones, etc. La técnica <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable o<br />
sustitución es el más frecuente. Consiste en hacer una expresión igual a una nueva variable (por ejemplo u),<br />
calcular el diferencial <strong>de</strong> esta nueva variable y sustituir estos cambios en la expresión que queremos integrar. En<br />
muchas ocasiones la integral que se obtiene con el cambio <strong>de</strong> variable es más sencilla que la original y así<br />
po<strong>de</strong>mos integrarla.<br />
Evi<strong>de</strong>ntemente <strong>de</strong>spués tenemos que <strong>de</strong>shacer el cambio <strong>de</strong> variable.<br />
La importancia <strong>de</strong> la sustitución en la integración es comparable con la <strong>de</strong> la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na en la <strong>de</strong>rivación.<br />
Recuerda que para funciones <strong>de</strong>rivables dadas por<br />
y = F(u)<br />
y u = g(x)<br />
, la regla <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na expresa que<br />
d<br />
[ F(<br />
g(<br />
x))<br />
] = F'(<br />
g(<br />
x))<br />
g'(<br />
x)<br />
.<br />
dx<br />
De la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> una anti<strong>de</strong>rivada, se <strong>de</strong>duce que<br />
∫ F ' ( g(<br />
x))<br />
g'(<br />
x)<br />
dx = F(<br />
g(<br />
x))<br />
+ C<br />
= F ( u)<br />
+ C.<br />
Con un cambio <strong>de</strong> variable formal, se escribe <strong>de</strong> nuevo toda la integral en términos <strong>de</strong> u y du (o <strong>de</strong> cualquier<br />
otra variable conveniente). La técnica <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variables usa la notación <strong>de</strong> Leibniz para la <strong>de</strong>rivada. Es<br />
<strong>de</strong>cir, si F es la anti<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f y u = g(x)<br />
, entonces du = g'(<br />
x)<br />
dx , y la integral anterior toma la forma<br />
∫ ∫ +<br />
f ( g(<br />
x))<br />
g'(<br />
x)<br />
dx = f ( u)<br />
du = F(<br />
u)<br />
C.<br />
En los siguientes ejemplos se muestra cómo aplicar el teorema <strong>de</strong> integración por sustitución, reconociendo la<br />
presencia <strong>de</strong> f ( g(<br />
x))<br />
y g '( x)<br />
. Observa que la función compuesta en el integrando tiene una función externa<br />
f y una función interna g. A<strong>de</strong>más, la <strong>de</strong>rivada g '( x)<br />
está presente como un factor <strong>de</strong>l integrando.<br />
Función<br />
externa<br />
∫<br />
f ( g(<br />
x))<br />
g'(<br />
x)<br />
dx = F(<br />
g(<br />
x))<br />
+ C.<br />
23<br />
1 El teorema no indica<br />
cómo distinguir entre<br />
f ( g(<br />
x))<br />
y g '( x)<br />
en el<br />
Función<br />
interna<br />
Derivada <strong>de</strong> la<br />
función interna<br />
integrando. A medida<br />
que adquieras más<br />
experiencia en la<br />
integración, tu habilidad<br />
para hacer esto se<br />
incrementará. Por<br />
supuesto, una parte<br />
clave es la familiaridad<br />
que tengas con<br />
<strong>de</strong>rivadas.<br />
55
56<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
2 2<br />
EJEMPLO 1: Encuentra ∫ ( x + 1)<br />
( 2x)<br />
dx.<br />
2<br />
Solución: Primero, haz que u sea la función interna, u = x + 1.<br />
Después, calcula el diferencial <strong>de</strong> u que es<br />
2 2 2<br />
du = 2xdx<br />
, <strong>de</strong>spejando dx <strong>de</strong> la expresión <strong>de</strong> du , tienes dx = du / 2x<br />
. Ahora, usando ( x + 1)<br />
= ( u)<br />
,<br />
sustituye el cambio <strong>de</strong> variable para obtener lo siguiente:<br />
2 2<br />
2 ⎛ du ⎞<br />
∫ ( x + 1)<br />
( 2x)<br />
dx.<br />
= ∫ u 2x⎜<br />
⎟<br />
<strong>Integral</strong> en términos <strong>de</strong> u<br />
⎝ 2x<br />
⎠<br />
2<br />
= u du<br />
∫<br />
3 ⎛ u ⎞<br />
= ⎜<br />
⎟ + C<br />
⎝ 3 ⎠<br />
=<br />
3<br />
2 ( x + 1)<br />
+ C.<br />
1 3<br />
Si te fijas la intención <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> variable es expresar la integral, que es un producto <strong>de</strong> funciones, en<br />
una integral más sencilla, <strong>de</strong> tal manera que puedas utilizar los teoremas básicos <strong>de</strong> integración. En este<br />
2 2<br />
ejemplo con el cambio <strong>de</strong> variable sugerido se logró expresar el producto <strong>de</strong> funciones ( x + 1)<br />
( 2x)<br />
dx<br />
como una potencia <strong>de</strong> funciones u du<br />
2 con la finalidad <strong>de</strong> utilizar el teorema <strong>de</strong> integración básico<br />
correspondiente.<br />
EJEMPLO 2: Encuentra ∫ x 2x − 1dx.<br />
Solución: Como en el ejemplo anterior, hacemos que u sea la función interna, u = 2x −1,<br />
el diferencial <strong>de</strong> u<br />
es du = 2dx<br />
y obtenemos dx = du / 2.<br />
Como el integrando contiene un factor <strong>de</strong> x que no se va a po<strong>de</strong>r<br />
cancelar al sustituir dx , también <strong>de</strong>bemos <strong>de</strong>spejar x en términos <strong>de</strong> u , como sigue:<br />
u + 1<br />
u = 2x<br />
−1<br />
⇒ x = .<br />
2<br />
Ahora, haciendo la sustitución <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> variable, obtienes lo siguiente:<br />
⎛ u + 1 ⎞ 1 ⎛ du ⎞<br />
⎜<br />
⎟ 2<br />
∫ x 2x<br />
−1dx = ∫ u ⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2<br />
14243<br />
⎠<br />
sen x<br />
EJEMPLO 3: Encuentra ∫ dx .<br />
x<br />
x<br />
1 3 1 ⎛ 2 2<br />
=<br />
⎞<br />
∫ ⎜u<br />
+ u ⎟du 4 ⎝ ⎠<br />
⎛ 5 3<br />
2 2 ⎞<br />
1 ⎜ u u ⎟<br />
=<br />
+ C<br />
⎜ +<br />
4 5 3 ⎟<br />
⎝ 2 2 ⎠<br />
1<br />
5 1<br />
3<br />
= 2x<br />
−1<br />
2 + 2x<br />
−1<br />
2 + C<br />
10<br />
6<br />
( ) ( ) .<br />
Solución: Como el integrando involucra la función trigonométrica sen x el cambio <strong>de</strong> variable a<strong>de</strong>cuado es<br />
1<br />
2<br />
u = x = u , ya que el <strong>de</strong>nominador <strong>de</strong>l integrando contiene la misma forma <strong>de</strong>l argumento <strong>de</strong> la función<br />
1 − 1<br />
Anti<strong>de</strong>rivada en términos <strong>de</strong> u<br />
Anti<strong>de</strong>rivada en términos <strong>de</strong> x<br />
trigonométrica. De modo que du = x<br />
2<br />
2dx<br />
, <strong>de</strong>spejando dx tenemos:<br />
2du 1<br />
2<br />
dx = = 2x<br />
du = 2<br />
− 1<br />
2 x<br />
x du .
Sustituyendo el cambio <strong>de</strong> variable obtenemos:<br />
sen x senu<br />
∫ dx = 2 ( xdu)<br />
,<br />
x ∫ x<br />
= 2 ∫ senu<br />
du ,<br />
= −2<br />
cos u + C ,<br />
= −2<br />
cos x + C .<br />
∫<br />
2<br />
EJEMPLO 4: Encuentra sen 3x<br />
cos3xdx.<br />
2<br />
2<br />
Solución: Como sen 3x<br />
= ( sen3x)<br />
, haz u = sen3x<br />
. Entonces du = (cos3x)( 3)<br />
dx.<br />
.<br />
du<br />
Ahora, <strong>de</strong>spejamos dx , obteniendo dx = , se sustituyen u y du en la integral dada<br />
3cos3x<br />
3cos3x<br />
produciendo lo siguiente:<br />
2<br />
2 du<br />
∫ sen 3x<br />
cos3xdx<br />
= u cos3x<br />
,<br />
∫ 3cos3x<br />
1 2<br />
= ∫u<br />
du ,<br />
3<br />
3<br />
1 ⎛ u ⎞<br />
= ⎜<br />
⎟ + C ,<br />
3 ⎝ 3 ⎠<br />
1 3<br />
= sen 3x<br />
+ C .<br />
9<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
2<br />
x + 2x+<br />
6<br />
EJEMPLO 5: Encuentra ∫ ( x + 1)<br />
e dx .<br />
Solución: En el caso <strong>de</strong> las funciones exponenciales es recomendable consi<strong>de</strong>rar el argumento <strong>de</strong> la función<br />
2<br />
exponencial (es <strong>de</strong>cir, todo el exponente) como el cambio <strong>de</strong> variable u . Así u = x + 2x<br />
+ 6 , diferenciando<br />
u obtienes: du = ( 2x<br />
+ 2)<br />
dx , <strong>de</strong>speja dx y no olvi<strong>de</strong>s consi<strong>de</strong>rar el factor común con la finalidad <strong>de</strong> obtener<br />
du<br />
un factor igual al factor que tienes en el integrando para que logres la cancelación <strong>de</strong>l mismo, dx = .<br />
2 ( x + 1)<br />
Sustituye el cambio <strong>de</strong> variable en la integral para proce<strong>de</strong>r a integrar bajo algún teorema básico:<br />
2<br />
x + 2x+<br />
6<br />
u du<br />
∫<br />
( x + 1)<br />
e dx = ∫(<br />
x + 1)<br />
e ;<br />
2(<br />
x + 1)<br />
1 u<br />
= ,<br />
2 ∫ e du<br />
1 u<br />
= e + C,<br />
2<br />
1 2<br />
x + 2x+<br />
6<br />
= e + C.<br />
2<br />
57
58<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
2<br />
3x<br />
− 2x<br />
+ 4<br />
EJEMPLO 6: Encuentra ∫ 3 2<br />
( 4x<br />
− 4x<br />
+ 16x)<br />
2<br />
dx.<br />
Solución: En este ejemplo el integrando es un cociente <strong>de</strong> polinomios específicamente, observa que el<br />
<strong>de</strong>nominador <strong>de</strong>l cociente es una potencia, por lo que la sugerencia para el cambio <strong>de</strong> variable <strong>de</strong> acuerdo a<br />
3 2<br />
los ejemplos anteriores es precisamente u = 4x<br />
− 4x<br />
+ 16x<br />
, diferenciando obtienes<br />
2<br />
du = ( 12x<br />
−8x<br />
+ 16)<br />
dx , observa que el diferencial <strong>de</strong> u es parecido al numerador <strong>de</strong>l cociente <strong>de</strong>l<br />
integrando, por lo que al momento <strong>de</strong> <strong>de</strong>spejar te sugiero que consi<strong>de</strong>res nuevamente el factor común con el<br />
objetivo <strong>de</strong> eliminar ese factor al momento <strong>de</strong> aplicar la sustitución <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> variable. Ahora <strong>de</strong>spejamos<br />
du<br />
dx <strong>de</strong> du , dx =<br />
y sustituimos en la integral:<br />
2<br />
4(<br />
3x<br />
− 2x<br />
+ 4)<br />
2<br />
2<br />
3x<br />
− 2x<br />
+ 4 3x<br />
− 2x<br />
+ 4 du<br />
∫ dx =<br />
;<br />
3 2 2<br />
2<br />
2<br />
( 4x<br />
− 4x<br />
+ 16x)<br />
∫ u 4(<br />
3x<br />
− 2x<br />
+ 4)<br />
1 du 1 −2<br />
=<br />
;<br />
4 ∫ = u du<br />
2<br />
u 4 ∫<br />
−1<br />
1 u 1<br />
= ⋅ + C = − + C;<br />
4 −1<br />
4u<br />
1<br />
= −<br />
+ C.<br />
3 2<br />
4(<br />
4x<br />
− 4x<br />
+ 16x)<br />
Con todos estos ejemplos pudiste darte cuenta ya, <strong>de</strong> los pasos a seguir para llevar a cabo la integración por<br />
sustitución. Enseguida te presentamos un resumen <strong>de</strong> estos pasos.<br />
1.- Elige un cambio <strong>de</strong> variable u = g(x)<br />
. Casi siempre es mejor elegir la parte interna <strong>de</strong> una función<br />
compuesta; digamos, una cantidad elevada a una potencia, una función radical, el argumento <strong>de</strong> una función<br />
trigonométrica o una exponencial cuando éste no es una simple x , etc.<br />
2.- Calcula du = g'(<br />
x)<br />
dx y <strong>de</strong>speja <strong>de</strong> ella dx .<br />
3.- Escribe <strong>de</strong> nuevo la integral en términos <strong>de</strong> la variable u sustituyendo el cambio <strong>de</strong> variable.<br />
4.- Evalúa la integral resultante en términos <strong>de</strong> u .<br />
5.- De nuevo sustituye u por g (x)<br />
para obtener una anti<strong>de</strong>rivada en términos <strong>de</strong> x .<br />
6.- Si quieres comprobar tu respuesta pue<strong>de</strong>s hacerlo mediante <strong>de</strong>rivación o mediante el uso <strong>de</strong> la tecnología.<br />
(Busca “The Integrator” en el Google).<br />
TAREA 2<br />
Pág. 67
INDIVIDUAL: Encuentra la integral <strong>de</strong> las siguientes funciones utilizando la<br />
técnica <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable y entrégaselas a tu profesor para su revisión.<br />
3<br />
2<br />
1 ∫ ( 2 5x<br />
+ 8 −10x<br />
)<br />
2<br />
x − ( 6x<br />
− 20x<br />
− 5)<br />
dx =<br />
2.2.2 Integración por partes.<br />
3<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
Si una integral no pue<strong>de</strong> resolverse por cambio <strong>de</strong> variable, pue<strong>de</strong>s intentarlo por integración por partes.<br />
Este método pue<strong>de</strong> aplicarse a una gran variedad <strong>de</strong> funciones, es muy útil particularmente para<br />
integrandos que incluyen productos <strong>de</strong> funciones algebraicas o logaritmos que no pue<strong>de</strong>n evaluarse<br />
directamente por medio <strong>de</strong> los teoremas básicos <strong>de</strong> integración. Por ejemplo, la integración por partes<br />
funciona bien para integrales similares a<br />
2 x<br />
∫ x ln xdx,<br />
∫ x e dx y ∫ e sen xdx<br />
x<br />
,<br />
ya que pue<strong>de</strong> transformarlas en una forma estándar.<br />
La integración por partes se basa en la fórmula <strong>de</strong> la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> un producto<br />
d dv du<br />
[ uv]<br />
= u + v = uv'+<br />
vu'<br />
,<br />
dx dx dx<br />
don<strong>de</strong> u y v son funciones diferenciables <strong>de</strong> x . Si u' y v ' son continuas, es posible integrar ambos miembros<br />
<strong>de</strong> esta ecuación para obtener<br />
uv = uv'<br />
dx + u'vdx<br />
∫ ∫<br />
∫udv + ∫<br />
= vdu.<br />
Al volver a escribir esta ecuación, se obtiene el siguiente teorema:<br />
TEOREMA: Integración por partes.<br />
Si u y v son funciones <strong>de</strong> x y tienen <strong>de</strong>rivadas continuas, entonces<br />
udv = uv − vdu.<br />
∫ ∫<br />
x −1<br />
6)∫ dx =<br />
2<br />
x − 2x<br />
2)<br />
sen2x<br />
∫ dx =<br />
2<br />
cos 2x<br />
7) ∫ 2<br />
t<br />
dt =<br />
3)<br />
3<br />
∫ x<br />
4<br />
x + 5dx<br />
=<br />
8) ∫<br />
senx<br />
dx =<br />
2 − cos x<br />
4)<br />
2<br />
3 5<br />
∫ ( 3x<br />
− 4)(<br />
2x<br />
− 8x)<br />
dx =<br />
9) ∫<br />
x<br />
x dx = cos<br />
1<br />
−<br />
5)∫ xe dx =<br />
x2 2<br />
2<br />
10) ∫ t sent<br />
dt =<br />
e t<br />
1<br />
EJERCICIO 3<br />
59
60<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
Esta es la fórmula <strong>de</strong> integración por partes. En esta fórmula se expresa la integral original en términos <strong>de</strong> otra<br />
integral. Con base en las selecciones <strong>de</strong> u y dv , pue<strong>de</strong> ser más fácil evaluar la segunda integral que la<br />
original. Como la selección <strong>de</strong> u y dv es importante en el proceso <strong>de</strong> integración por partes, se proporciona<br />
las siguientes recomendaciones:<br />
1. dx siempre forma parte <strong>de</strong> dv .<br />
2. dv tiene que ser integrable.<br />
3.- Intenta hacer que dv sea la parte más complicada <strong>de</strong>l integrando y que se ajuste a una regla básica <strong>de</strong><br />
integración. Entonces u será el factor (o los factores) que que<strong>de</strong>(n) en el integrando.<br />
4.- Intenta hacer que u sea la parte <strong>de</strong>l integrando cuya <strong>de</strong>rivada sea una función más sencilla que u .<br />
Entonces dv será el factor (o los factores) que que<strong>de</strong>(n) en el integrando.<br />
En algunos casos pue<strong>de</strong> necesitarse la aplicación <strong>de</strong> la fórmula <strong>de</strong> integración por partes más <strong>de</strong> una vez,<br />
como en el ejemplo que se planteará más a<strong>de</strong>lante.<br />
EJEMPLO 1: Integración por partes que contiene producto <strong>de</strong> una función exponencial.<br />
Encuentra ∫ xe dx.<br />
x<br />
Solución: Para aplicar la integración por partes, es necesario escribir la integral en la forma ∫ udv . Hay<br />
varias formas <strong>de</strong> hacerlo.<br />
x<br />
x x<br />
∫ (<br />
{<br />
x)<br />
( e dx)<br />
,<br />
23<br />
∫ (<br />
{<br />
e ) ( xdx)<br />
,<br />
23<br />
∫ 1{ ( xe dx)<br />
,<br />
4243<br />
{ . ) ( ) (<br />
x<br />
∫ xe dx<br />
12<br />
3<br />
u<br />
1 dv<br />
u<br />
1 dv<br />
1<br />
u<br />
dv<br />
De acuerdo con las recomendaciones anteriores, la primera opción parece ser la a<strong>de</strong>cuada, ya que la<br />
x<br />
<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> u = x es más sencilla que x , y dv = e dx es la parte más complicada <strong>de</strong>l integrando que se<br />
ajusta a una regla básica <strong>de</strong> integración.<br />
u = x ⇒ du = dx.<br />
Ahora la integración por partes produce:<br />
∫udv = uv −∫vdu<br />
x<br />
x<br />
∫xe dx xe − ∫<br />
x<br />
= e dx<br />
x x<br />
= xe − e + C<br />
e ( x 1)<br />
C.<br />
x<br />
− +<br />
= Factorizamos<br />
u<br />
x<br />
dv = e dx integrando tenemos<br />
x<br />
∫dv = ∫ e dx<br />
x<br />
v = e .<br />
Fórmula <strong>de</strong> integración por partes<br />
Sustituimos<br />
Integramos<br />
Para comprobar el resultado, trata <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivar e x C<br />
x<br />
( − 1)<br />
+ para ver si obtienes el integrando original. Busca<br />
“The Integrator” en el Google si quieres comprobarlo <strong>de</strong> una manera más rápida.<br />
EJEMPLO 2: Integración por partes que contiene producto <strong>de</strong> una función logarítmica.<br />
2<br />
Encuentra ∫ x ln xdx.<br />
2<br />
Solución: En este caso es más fácil integrar x que ln x . A<strong>de</strong>más, la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> ln x es más simple que<br />
2<br />
ln x . Por consiguiente, <strong>de</strong>bes hacer dv = x dx.<br />
1<br />
u = ln x ⇒ du = dx.<br />
x<br />
dv
la integración por partes produce:<br />
udv = uv − vdu<br />
∫ ∫<br />
3<br />
2<br />
2 x<br />
dv = x dx ⇒ v = ∫ x dx = ,<br />
3<br />
3<br />
2 x 1 3 1<br />
∫ x ln xdx = ln x − ∫ x dx<br />
3 3 x<br />
Sustituimos<br />
3<br />
x 1 2<br />
= ln x − ∫ x dx<br />
3 3<br />
Simplificamos<br />
3<br />
3<br />
x x<br />
= ln x − + C.<br />
3 9<br />
Integramos<br />
Pue<strong>de</strong>s comprobar este resultado <strong>de</strong>rivando o a través <strong>de</strong>l uso <strong>de</strong> la tecnología. Si <strong>de</strong>rivas te queda:<br />
d<br />
dx<br />
3<br />
3 3<br />
2<br />
⎡ x x ⎤ x ⎛ 1 ⎞<br />
2 x<br />
⎢ ln x − ⎥ = ⎜ ⎟ + (ln x)(<br />
x ) − = x<br />
⎣ 3 9 ⎦ 3 ⎝ x ⎠<br />
3<br />
EJEMPLO 3: Integración por partes <strong>de</strong> la función logaritmo natural.<br />
Encuentra ln x dx.<br />
∫<br />
Solución: Consi<strong>de</strong>ra<br />
Por tanto, la integración por partes produce:<br />
udv = uv − vdu<br />
∫<br />
ln<br />
∫ ∫<br />
1<br />
dx = xln<br />
x − x dx<br />
x<br />
= xln x − ∫ dx<br />
= x ln x − x + C<br />
= x ( ln x −1)<br />
+ C .<br />
x ∫<br />
u = ln x ⇒<br />
1<br />
du = dx ,<br />
x<br />
dv = dx ⇒ v = ∫ dx = x.<br />
2<br />
ln x.<br />
EJEMPLO 4: Uso repetido <strong>de</strong> la integración por partes.<br />
2<br />
Encuentra ∫ x sen xdx.<br />
2<br />
Solución: Los factores x y sen x son igualmente fáciles <strong>de</strong> integrar. Sin embargo, la <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong><br />
más sencilla que la <strong>de</strong> sen<br />
2<br />
x . Por consiguiente, haz u = x .<br />
2<br />
u = x ⇒ du = 2xdx.<br />
Y la integración por partes ∫ uv −∫<br />
∫<br />
dv = sen xdx ⇒ v = sen xdx = − cos x .<br />
udv = vdu produce:<br />
2<br />
2<br />
x sen xdx = −x<br />
cos x + 2x<br />
cos xdx + C1<br />
∫<br />
Fórmula <strong>de</strong> integración por partes<br />
Fórmula <strong>de</strong> integración por partes<br />
Sustituimos<br />
Reescribimos<br />
Integramos<br />
∫<br />
Primera integración por partes<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
2<br />
x es<br />
61
62<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
Esta primera aplicación <strong>de</strong> la integración por partes ha simplificado la integral original, pero la integral <strong>de</strong>l<br />
miembro <strong>de</strong>recho aún no se ajusta a la regla básica <strong>de</strong> integración. Entonces, para evaluar esa integral<br />
pue<strong>de</strong>s aplicar nuevamente la integración por partes. En esta ocasión, haz u = 2x.<br />
u = 2x ⇒ du = 2dx,<br />
La integración por partes produce ahora:<br />
∫2 xcos xdx = 2xsenx<br />
−∫2senxdx<br />
2cos<br />
. C x<br />
xsenx + + =<br />
2 2<br />
dv = cos x dx ⇒ v = ∫ cos x dx = sen x.<br />
Al combinar estos dos resultados escribimos<br />
2<br />
2<br />
∫ x senxdx = −x<br />
cos x + 2xsenx<br />
+ 2cos<br />
x + C.<br />
Don<strong>de</strong> C es la suma <strong>de</strong> 1 2 C C + .<br />
EJEMPLO 5: Encuentra ∫e<br />
x dx<br />
x cos .<br />
Solución: Haz<br />
x<br />
u = e .<br />
Y la integración por partes ∫ uv −∫<br />
∫<br />
e<br />
x<br />
u = e<br />
x<br />
⇒<br />
x<br />
du = e dx,<br />
dv = cos x dx ⇒ v = cos x dx = sen x .<br />
udv = vdu produce:<br />
x<br />
x<br />
cos x dx = e sen x − ∫ e sen x dx + C<br />
Aplicando nuevamente la integración por partes:<br />
x<br />
u = e<br />
∫<br />
x<br />
x<br />
e cos x dx = e sen x −<br />
1<br />
⇒<br />
∫<br />
x<br />
du = e dx,<br />
dv = sen x dx ⇒ v = sen x dx = −cos<br />
x .<br />
x<br />
x<br />
[ − e cos x + e cos x dx]<br />
∫<br />
∫<br />
x<br />
x<br />
x<br />
= e sen x + e cos x − e cos x dx + C ,<br />
pasando la integral <strong>de</strong>l miembro <strong>de</strong>recho <strong>de</strong> la igualdad hacia el lado izquierdo y factorizando tenemos:<br />
x<br />
x<br />
2 e cos x dx = e ( sen x + cos x)<br />
+ C<br />
∫<br />
∫<br />
+ C<br />
1 x<br />
= e ( sen x + cos x)<br />
+ C.<br />
2<br />
ln( x + 1)<br />
EJEMPLO 6: Encuentra ∫ dx.<br />
x + 1<br />
Solución:<br />
1<br />
u = ln( x + 1)<br />
⇒ du = dx,<br />
x + 1<br />
− 1<br />
Segunda integración por partes<br />
2<br />
2<br />
dv = ( x + 1)<br />
dx ⇒ v = ( x + 1)<br />
dx = 2(<br />
x + 1)<br />
∫<br />
− 1<br />
1<br />
2
Aplicando el teorema <strong>de</strong> integración por partes∫ udv = uv −∫<br />
vdu obtienes:<br />
ln( x + 1)<br />
∫ dx = 2(<br />
x + 1)<br />
ln( x + 1)<br />
− 2∫<br />
x + 1<br />
=<br />
1<br />
2<br />
2(<br />
x + 1)<br />
1<br />
2<br />
ln( x + 1)<br />
− 2<br />
1<br />
( x + 1)<br />
x + 1<br />
∫<br />
( x + 1)<br />
− 1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
+ C,<br />
Integrando ésta última integral por cambio <strong>de</strong> variable obtienes:<br />
Para saber más y<br />
enriquecer el tema,<br />
visita el sitio<br />
encarta.com<br />
1<br />
2<br />
= 2(<br />
x + 1)<br />
1<br />
2<br />
= 2(<br />
x + 1)<br />
ln( x + 1)<br />
− 4(<br />
x + 1)<br />
(ln( x + 1)<br />
− 2)<br />
+ C.<br />
1<br />
2<br />
+ C<br />
+ C,<br />
INDIVIDUAL: Encuentra la integral <strong>de</strong> las siguientes funciones utilizando la<br />
técnica <strong>de</strong> integración por partes y entrégaselas a tu profesor para su revisión.<br />
1∫<br />
xe x 2<br />
dx =<br />
−6x 6)∫ xe<br />
dx =<br />
2) ∫ e x dx =<br />
x 3<br />
cos 7) ∫ sec x dx =<br />
2 3x<br />
3) ∫ x e dx =<br />
2<br />
8) ∫ x ln x dx =<br />
4) ∫ t ln t dt =<br />
9) ∫ x 1 + x dx =<br />
5)∫ x dx =<br />
2<br />
ln( 3 )<br />
10) ∫ sen t dt =<br />
2<br />
EJERCICIO 4<br />
TAREA 3<br />
Pág. 69<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
63
64<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
¡Ojo! Recuerda que<br />
<strong>de</strong>bes resolver la<br />
autoevaluación y los<br />
ejercicios <strong>de</strong><br />
reforzamiento; esto te<br />
ayudará a enriquecer<br />
los temas vistos en<br />
clase.
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
INSTRUCCIONES: Encuentra la integral in<strong>de</strong>finida <strong>de</strong> las siguientes funciones usando los teoremas básicos.<br />
3<br />
1) ∫ ( 6x<br />
− 3x<br />
+ 8)<br />
dx =<br />
2<br />
2) ∫ ( 5x<br />
− 4)(<br />
x − 4)<br />
dx =<br />
⎛ 1 3<br />
⎞<br />
3) ∫ ⎜ − + 9x<br />
− 4x<br />
− 4 ⎟ dx =<br />
2<br />
⎝ x x<br />
⎠<br />
2<br />
4) ∫ ( 3x<br />
− 7)<br />
dx =<br />
3<br />
5) ∫ ( 5x<br />
−1) dx =<br />
6) ∫ (<br />
7) ∫ (<br />
e x<br />
2<br />
+ 5csc<br />
x)<br />
dx =<br />
x + 1)<br />
dx<br />
TAREA 1<br />
=<br />
2<br />
8) ∫ ( sen x + cos x + sec x − csc x cot x)<br />
dx =<br />
5 4 ⎛ 4x<br />
− 5x<br />
− 2x<br />
+ 3 ⎞<br />
9) ∫ ⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
dx =<br />
3<br />
⎝ x ⎠<br />
−2<br />
3 2<br />
−1<br />
3<br />
10) ∫ ( x − 3x<br />
+ 2x<br />
+ x − x + x + 1)<br />
dx =<br />
Nombre ____________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente _____________________ Fecha _____________________<br />
1<br />
2<br />
65
66<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
Revisión: _____________________________________________________<br />
Observaciones:________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
INSTRUCCIONES: Encuentra la integral in<strong>de</strong>finida usando la técnica <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable y verifica el<br />
resultado por diferenciación.<br />
1.- ∫ + x ) dx 2 ( ) 2 1 (<br />
4<br />
∫<br />
2<br />
2.- 9 − x ( −2x)<br />
dx<br />
3 4 2<br />
3.- ∫ x ( x + 3)<br />
dx<br />
2 3 4<br />
4.- ∫ x ( x −1) dx<br />
2<br />
5.- ∫ t t + 2dt<br />
∫<br />
3 2<br />
6.- 5 x 1−<br />
x dx<br />
x<br />
7.- ∫ dx 2 3<br />
( 1−<br />
x )<br />
2<br />
x<br />
8.- ∫ dx 3 2<br />
( 1+<br />
x )<br />
x<br />
9.- ∫ dx<br />
− x<br />
2<br />
1<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
⎜<br />
⎜1<br />
+<br />
t<br />
⎟<br />
⎜<br />
t<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
∫ 2<br />
10.- dt<br />
senx<br />
∫ 3<br />
11.- dx<br />
cos<br />
x<br />
2<br />
csc x<br />
12.- ∫ dx 3<br />
cot x<br />
TAREA 2<br />
3<br />
Nombre ____________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente _____________________ Fecha _____________________<br />
67
68<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
13.-∫<br />
π senπxdx<br />
3<br />
14.- ∫ 4 x senx<br />
15.- ∫sec(<br />
1<br />
x<br />
16.- ∫ dx 2<br />
cos x<br />
4<br />
dx<br />
− x ) tan( 1−<br />
x)<br />
dx<br />
dx<br />
17.- ∫ 1 sen x + cos<br />
+ x<br />
dx<br />
18.- ∫ 2 + sen x<br />
dx<br />
19.- ∫ 4sen<br />
x − 3cos<br />
x<br />
dx<br />
20.- ∫ 5 4sen<br />
x + 3cos<br />
− x<br />
Revisión: _____________________________________________________<br />
Observaciones:________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
INSTRUCCIONES: Encuentra la integral in<strong>de</strong>finida usando la técnica <strong>de</strong> integración por partes y verifica el<br />
resultado por diferenciación.<br />
1.- ∫<br />
−2x xe dx<br />
2.- ∫t<br />
ln( t)<br />
dt<br />
3.- ∫ −3<br />
x<br />
x e dx<br />
x<br />
4.- ∫( x −1) e dx<br />
2<br />
5.- ∫<br />
6.- ∫<br />
x 3<br />
sen<br />
xdx<br />
2<br />
x cos xdx<br />
e t<br />
1<br />
∫ 2<br />
7.- dt<br />
t<br />
8.- ∫ xsec<br />
2<br />
xdx<br />
∫ − 2<br />
2<br />
3<br />
9.- x ( x 2)<br />
dx<br />
10.- ∫<br />
3<br />
x cos2<br />
2<br />
11.- ∫ x e<br />
e x 2<br />
12.- ∫ −<br />
2x<br />
dx<br />
xdx<br />
sen3xdx<br />
4<br />
13.- ∫ x senπxdx<br />
3<br />
14.- ∫ x ln xdx<br />
15.- ∫ x 4 + xdx<br />
TAREA 3<br />
Nombre ____________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente _____________________ Fecha _____________________<br />
69
70<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
2<br />
16.- ∫ x e<br />
17.- ∫ tan<br />
− x<br />
dx<br />
−1 xdx<br />
18.- ∫ xsen ( 3x<br />
+ 1)<br />
dx<br />
19.- ∫ sen (ln x)<br />
dx<br />
xe x 2<br />
20.- ∫ ( 2x<br />
+ 1)<br />
2<br />
dx<br />
Revisión: _____________________________________________________<br />
Observaciones:________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y respon<strong>de</strong> los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo <strong>de</strong> la<br />
opción que consi<strong>de</strong>res correcta.<br />
2<br />
1. El resultado <strong>de</strong> la integral ∫ ( 5x<br />
− 3x<br />
+ 1)<br />
dx<br />
3 2<br />
5x<br />
3x<br />
� − + 1+<br />
C .<br />
3 2<br />
3 2<br />
5x<br />
3x<br />
� − + x + C .<br />
3 2<br />
5x 3x<br />
� − + x + C<br />
3 2<br />
3<br />
3 2<br />
� 5x<br />
− 3x<br />
+ x + C.<br />
2. El resultado <strong>de</strong> la integral ∫<br />
3<br />
x − x<br />
� + C .<br />
2<br />
x<br />
� 2 x + C .<br />
1 2<br />
� x − ln x + C .<br />
2<br />
3<br />
x<br />
− x<br />
�<br />
3<br />
+ C .<br />
2<br />
x<br />
2<br />
.<br />
2<br />
x −1 dx<br />
x<br />
=<br />
es:<br />
es:<br />
2<br />
2<br />
3. El resultado <strong>de</strong> la integral ∫ (sec x − csc x)<br />
dx es:<br />
� sec x tan x + 2csc<br />
xcot<br />
x + C<br />
� tan x + cot x + C .<br />
� tan x − cot x + C .<br />
2 .<br />
3<br />
3<br />
sec x csc x<br />
� − + C.<br />
3 3<br />
4. El resultado <strong>de</strong> la integral ∫<br />
� x + 2 x + C .<br />
� n x + C .<br />
AUTOEVALUACIÓN<br />
Nombre _________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo ________________ Turno __________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente ___________________ Fecha ____________________<br />
x + 1<br />
dx<br />
x<br />
=<br />
es:<br />
71
72<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
2 3<br />
x + x<br />
� 3 + C<br />
2 3<br />
x<br />
3<br />
2 3<br />
� x + x + C.<br />
3<br />
5. El resultado <strong>de</strong> la integral ∫<br />
.<br />
3 2<br />
( 4x<br />
+ 3x<br />
+ 2x<br />
+ 1)<br />
dx<br />
� 12x + 6x<br />
+ 2 + C<br />
2<br />
.<br />
4 3 2<br />
� 4 x + 3x<br />
+ 2x<br />
+ x + C .<br />
4 3 2<br />
� 12 x + 6x<br />
+ 2x<br />
+ C .<br />
4 3 2<br />
� x − x + x + x + C.<br />
6. Para resolver la integral ∫ xe dx<br />
x 2<br />
� Teoremas básicos <strong>de</strong> integración directa.<br />
� Diferenciación.<br />
� Método <strong>de</strong> integración por partes.<br />
� Método <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable.<br />
es necesario utilizar:<br />
7. Para resolver la integral ∫ xe dx<br />
x2<br />
es necesario utilizar:<br />
� Teoremas básicos <strong>de</strong> integración directa.<br />
� Diferenciación.<br />
� Método <strong>de</strong> integración por partes.<br />
� Método <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> variable.<br />
3 4<br />
8. El resultado <strong>de</strong> la integral ∫ x x + 5 dx por cambio <strong>de</strong> variable es:<br />
1 4<br />
3<br />
2<br />
� ( x + 5)<br />
+ C<br />
6<br />
1<br />
6<br />
3<br />
2<br />
3<br />
� ( 4x<br />
) + C<br />
1 4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
� x ( x + 5)<br />
+ C<br />
6<br />
3<br />
2<br />
2 4<br />
� 3x<br />
( x + 5)<br />
+ C<br />
9. El resultado <strong>de</strong> la integral ∫<br />
1 7 1 6<br />
� x ln x − x + C<br />
7 42<br />
5 1 6<br />
� 6 x + x + C .<br />
42<br />
1 7 1 7<br />
� x ln x − x + C<br />
7 49<br />
1 7 1 7<br />
� x ln x + x + C<br />
7 49<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
6<br />
x ln<br />
xdx<br />
es:<br />
por el método <strong>de</strong> integración por partes es:
10. Resultado <strong>de</strong> la integral ∫<br />
1 5x−6<br />
1 5x−6<br />
� xe − e + C<br />
5 25<br />
5 2 5x<br />
−6<br />
� x e + C .<br />
2<br />
2<br />
x 5x<br />
−5<br />
� e + C .<br />
2<br />
1 5x−6<br />
1 5x−6<br />
� xe + e + C<br />
5 5<br />
.<br />
5x−6<br />
xe dx<br />
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE<br />
.<br />
por el método <strong>de</strong> integración por partes es:<br />
� Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te<br />
invitamos a continuar con esa <strong>de</strong>dicación.<br />
� Si tienes <strong>de</strong> 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es<br />
necesario que nuevamente repases los temas.<br />
� Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es<br />
insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu<br />
profesor.<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
Consulta las<br />
claves <strong>de</strong><br />
respuestas en la<br />
página 103.<br />
73
74<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong>
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios.<br />
I) Encuentra el resultado <strong>de</strong> las siguientes integrales mediante el uso <strong>de</strong> teoremas básicos.<br />
2<br />
1. ∫ ( sen x − 2x<br />
) dx.<br />
2. ∫ (sec + −1)<br />
.<br />
2<br />
x x dx<br />
3. ∫ 6dx .<br />
x<br />
2<br />
4. ∫ x +<br />
3<br />
x −<br />
5. ∫<br />
− 81<br />
dx.<br />
9<br />
2<br />
2x<br />
+ 5x<br />
− 7<br />
dx.<br />
3<br />
x<br />
<strong>II</strong>) Encuentra las siguientes integrales por partes, verifica tu respuesta a través <strong>de</strong> diferenciación.<br />
2<br />
1. ∫ x sen3xdx.<br />
2. ∫ cos 2 .<br />
2 x xdx<br />
x 2<br />
3. ∫ ( x + e ) dx.<br />
4. ∫ cos(ln x ) dx.<br />
5. ∫ x x − 2 dx.<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida<br />
<strong>II</strong>I) Encuentra las siguientes integrales por cambio <strong>de</strong> variable, verifica tu respuesta a través <strong>de</strong><br />
diferenciación.<br />
2 3<br />
1. ∫ 3x<br />
cos x dx.<br />
2 7<br />
2. ∫ x ( x − 4)<br />
dx.<br />
t<br />
3. dt.<br />
3 10<br />
−<br />
4. ∫<br />
2<br />
∫ −<br />
( t 3)<br />
1<br />
dx.<br />
4 − x<br />
5. ∫ x x − 2 dx.<br />
EJERCICIO DE<br />
REFORZAMIENTO 1<br />
Nombre _________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo ________________ Turno __________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente ___________________ Fecha ____________________<br />
75
76<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong>
Unidad 3<br />
Teorema<br />
fundamental <strong>de</strong>l<br />
cálculo y las<br />
aplicaciones <strong>de</strong><br />
la integral<br />
<strong>de</strong>finida.<br />
Objetivos:<br />
El alumno:<br />
Aplicará la integral <strong>de</strong>finida y el teorema<br />
fundamental <strong>de</strong>l cálculo a la solución <strong>de</strong><br />
problemas <strong>de</strong> área bajo una gráfica en<br />
situaciones <strong>de</strong> aplicación <strong>de</strong> las ciencias<br />
naturales y sociales; a partir <strong>de</strong>l<br />
conocimiento <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la<br />
integral <strong>de</strong>finida; mostrando una actitud<br />
analítica, reflexiva y colaborativa.<br />
Temario:<br />
• La integral <strong>de</strong>finida y sus<br />
propieda<strong>de</strong>s.<br />
• El teorema fundamental <strong>de</strong>l<br />
cálculo y sus aplicaciones.<br />
• Aplicaciones <strong>de</strong> la integral<br />
<strong>de</strong>finida.
78<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
<strong>Cálculo</strong> <strong>de</strong> áreas<br />
Mapa Conceptual <strong>de</strong> Unidad<br />
<strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida y<br />
el teorema<br />
fundamental <strong>de</strong>l<br />
cálculo<br />
Se usan para<br />
Aplicaciones<br />
En problemas <strong>de</strong><br />
Ciencias naturales,<br />
sociales y<br />
administrativas
3.1.<br />
INTEGRAL DEFINIDA.<br />
3.1.1. <strong>Integral</strong> <strong>de</strong>finida como el área bajo una curva.<br />
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
Dos problemas, ambos geométricos, motivaron las dos más gran<strong>de</strong>s i<strong>de</strong>as <strong>de</strong>l<br />
cálculo. El problema <strong>de</strong> la tangente nos condujo a la <strong>de</strong>rivada. El problema <strong>de</strong>l<br />
área nos llevará a la integral <strong>de</strong>finida.<br />
Por ejemplo si queremos calcular el área bajo la función f ( x)<br />
= 3 en el intervalo<br />
comprendido entre x = 0 y x = 4 como se muestra en la siguiente figura:<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
y<br />
Como te pue<strong>de</strong>s dar cuenta el área a la que se hace referencia, es el área <strong>de</strong> un<br />
rectángulo <strong>de</strong> largo 4 unida<strong>de</strong>s y ancho 3 unida<strong>de</strong>s, por lo que su área entonces<br />
es <strong>de</strong> 12 u 2 .<br />
De la misma manera el área bajo la función f ( x)<br />
= x en el intervalo<br />
comprendido entre x = 0 y x = 6 <strong>de</strong> acuerdo a la figura.<br />
y<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
x<br />
x<br />
79
80<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
( b)(<br />
h)<br />
( 6)(<br />
6)<br />
2<br />
El área correspondiente <strong>de</strong>l triángulo es A = = = 18u<br />
.<br />
2 2<br />
En el caso <strong>de</strong> estos ejemplos surgieron figuras <strong>de</strong> polígonos cuya fórmula para<br />
calcular el área <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> ellos es conocida. Sin embargo si queremos<br />
2<br />
calcular el área bajo la función f ( x)<br />
= x entre x = 0 y x = 2 ,<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−3 −2 −1 1 2 3 4 5<br />
−1<br />
−2<br />
y<br />
Como pue<strong>de</strong>s observar el área sombreada bajo la curva ya no es un polígono<br />
conocido <strong>de</strong>l cual conozcas su fórmula para calcular el área.<br />
El problema <strong>de</strong> asignar el área bajo una curva como en la figura anterior requiere <strong>de</strong><br />
otras herramientas, tales como aproximar el área bajo la curva mediante<br />
rectángulos. Dicha aproximación pue<strong>de</strong> ser consi<strong>de</strong>rada por rectángulos<br />
circunscritos (es <strong>de</strong>cir, rectángulos por encima <strong>de</strong> la curva) o por rectángulos<br />
inscritos (rectángulos por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la curva). Por ejemplo si consi<strong>de</strong>ramos el<br />
rectángulo por encima <strong>de</strong> la curva <strong>de</strong> base 2 y altura 4 como se observa en la<br />
figura:<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−3 −2 −1 1 2 3 4 5<br />
−1<br />
−2<br />
y<br />
El área aproximada sería <strong>de</strong> 8 u 2 , que obviamente no es una buena aproximación al<br />
área sombreada <strong>de</strong>bido a que es mayor. Ahora si dividimos el intervalo <strong>de</strong> 0 a 2 en<br />
dos subintervalos <strong>de</strong> longitud 1, entonces tendríamos dos rectángulos <strong>de</strong> base 1<br />
cada uno, pero ahora consi<strong>de</strong>remos también alturas diferentes para cada uno tales<br />
2<br />
como f ( 1)<br />
y f ( 2)<br />
, es <strong>de</strong>cir, como f ( x)<br />
= x entonces las alturas <strong>de</strong> los<br />
2 2<br />
rectángulos son f ( 1)<br />
= ( 1)<br />
= 1 y f ( 2)<br />
= ( 2)<br />
= 4 respectivamente.<br />
x<br />
x
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
Observa que las alturas <strong>de</strong> los rectángulos que están por encima <strong>de</strong> la curva<br />
correspon<strong>de</strong> a la función evaluada en el extremo <strong>de</strong>recho <strong>de</strong> cada subintervalo. Por<br />
lo tanto el área correspondiente es la suma <strong>de</strong> las áreas <strong>de</strong> ambos rectángulos,<br />
esto es,<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−3 −2 −1 1 2 3 4 5<br />
−1<br />
−2<br />
y<br />
A = f ( 1)(<br />
1)<br />
+ f ( 2)(<br />
1)<br />
= ( 1)(<br />
1)<br />
+ ( 4)(<br />
1)<br />
2<br />
= 5u<br />
Como te pue<strong>de</strong>s dar cuenta la aproximación <strong>de</strong>l área es mejor que en el caso<br />
anterior. Luego entonces, si este procedimiento lo continuamos haciendo la<br />
aproximación al área va a ser cada vez mejor, es <strong>de</strong>cir, si dividimos el intervalo <strong>de</strong> 0<br />
a 2 en n (don<strong>de</strong> n pue<strong>de</strong> tomar cualquier entero positivo) subintervalos, entonces<br />
el área <strong>de</strong>l i-ésimo rectángulo (cuya base es el subintervalo con extremos x i−<br />
1,<br />
xi<br />
,<br />
con longitud ∆x = xi<br />
− xi−1<br />
y altura f ( xi<br />
) ), está dada por:<br />
A f xi<br />
x ∆ = ) ( . De tal manera que el área aproximada es la suma (que<br />
<strong>de</strong>notaremos con la letra griega sigma, ∑ ) <strong>de</strong> las áreas <strong>de</strong> los n rectángulos, y<br />
la expresamos por:<br />
n<br />
A = f ( x ) ∆ .<br />
1<br />
∑ i= i x<br />
Por ejemplo si el intervalo <strong>de</strong> 0 a 2 lo dividimos en n = 6 subintervalos, entonces<br />
1<br />
cada rectángulo tendría base <strong>de</strong> longitud igual a , (ya que el intervalo es <strong>de</strong><br />
3<br />
longitud 2, dividido en 6 partes resultan 6 subintervalos <strong>de</strong> longitud un tercio) como<br />
lo muestra la Figura 3.2.<br />
x<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6<br />
−1<br />
−2<br />
y<br />
Fig. 3.2 Aproximación <strong>de</strong>l área<br />
bajo la curva por rectángulos<br />
circunscritos.<br />
81<br />
x
82<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6<br />
−1<br />
−2<br />
y<br />
Fig. 3.2 Área por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong><br />
la curva mediante<br />
rectángulos inscritos.<br />
x<br />
Entonces el área aproximada <strong>de</strong> acuerdo a la expresión anterior es:<br />
⎛ 1 ⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 6 ⎞⎛<br />
1 ⎞<br />
A = f ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ + f ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ + f ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ + f ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ + f ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠⎝<br />
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝<br />
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝<br />
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝<br />
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝<br />
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝<br />
3 ⎠<br />
⎛ 1 ⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 9 ⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛16<br />
⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 25 ⎞⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 36 ⎞⎛<br />
1 ⎞<br />
= ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ + ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ + ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ + ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ + ⎜ ⎟⎜<br />
⎟ + ⎜ ⎟⎜<br />
⎟<br />
⎝ 9 ⎠⎝<br />
3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝<br />
3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝<br />
3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝<br />
3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝<br />
3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝<br />
3 ⎠<br />
1 4 9 16 25 36 91<br />
2<br />
= + + + + + = = 3.<br />
3703u<br />
.<br />
27 27 27 27 27 27 27<br />
Como se esperaba la aproximación es mejor que las anteriores. Ahora imagínate<br />
que po<strong>de</strong>mos dividir el intervalo en una infinidad <strong>de</strong> subintervalos y no<br />
necesariamente <strong>de</strong>l mismo tamaño, es <strong>de</strong>cir, <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>s diferentes, e inclusive<br />
con rectángulos por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la curva, don<strong>de</strong> la altura sería ahora la función<br />
evaluada en el extremo izquierdo <strong>de</strong> cada subintervalo. Luego entonces el<br />
procedimiento anterior lo po<strong>de</strong>mos generalizar bajo el contexto <strong>de</strong> límite, tal como<br />
se hizo con la <strong>de</strong>rivada. Es <strong>de</strong>cir el área aproximada tanto por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la curva<br />
(ver Fig. 3.2) como por encima <strong>de</strong> la misma es:<br />
Área =<br />
n<br />
lim ∑ n→∞<br />
i=<br />
1<br />
f ( x ) ∆x.<br />
Esto es, cuando aproximamos un área por rectángulos inscritos y circunscritos las<br />
sumas <strong>de</strong> las áreas <strong>de</strong> los rectángulos tanto por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la curva como por<br />
encima <strong>de</strong> la misma, coinci<strong>de</strong>n en un valor. Pero obviamente este procedimiento es<br />
muy engorroso llevarlo a cabo cada vez que quieras calcular el área bajo una curva.<br />
Por tal razón es preciso introducir una <strong>de</strong>finición que nos facilitará el cálculo, dicha<br />
<strong>de</strong>finición es la <strong>de</strong> integral <strong>de</strong>finida.<br />
Definición <strong>de</strong> una integral <strong>de</strong>finida<br />
Si f está <strong>de</strong>finida en el intervalo cerrado [a,b] y existe el límite<br />
n<br />
lim ∑ ∆ →0<br />
i=<br />
1<br />
f ( c ) ∆x<br />
entonces f es integrable en [a,b] y el límite se <strong>de</strong>nota por<br />
lim<br />
∆ →0<br />
∑<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
f ( c ) ∆x<br />
=<br />
i<br />
Es preciso aclarar que la <strong>de</strong>finición anterior es hasta cierto punto muy intuitiva, si<br />
tienes oportunidad <strong>de</strong> consultar un libro <strong>de</strong> cálculo <strong>de</strong> nivel superior te darás cuenta<br />
que para compren<strong>de</strong>r bien el concepto <strong>de</strong> integral <strong>de</strong>finida, se requiere <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>finiciones más elaborados tales como sumas <strong>de</strong> Riemann, particiones<br />
irregulares, etc. Para nuestro fin es suficiente la anterior <strong>de</strong>finición.<br />
Es importante notar que las integrales <strong>de</strong>finidas y las in<strong>de</strong>finidas son i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>s<br />
diferentes. Una integral <strong>de</strong>finida es un número mientras que una integral in<strong>de</strong>finida<br />
es una familia <strong>de</strong> funciones.<br />
i<br />
i<br />
b<br />
a<br />
∫<br />
i<br />
i<br />
f ( x)<br />
dx.<br />
El límite se llama integral <strong>de</strong>finida <strong>de</strong> f <strong>de</strong> a a b. El número a es el límite<br />
inferior <strong>de</strong> integración; el b es el límite superior.
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
De la misma forma que en las <strong>de</strong>rivadas, existen teoremas que nos permiten<br />
calcularla <strong>de</strong> manera práctica y sencilla, en el caso <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida también<br />
se cuenta con herramientas que facilitan su cálculo, tal es el caso <strong>de</strong>l teorema<br />
Fundamental <strong>de</strong>l <strong>Cálculo</strong> integral, el cual enunciamos a continuación.<br />
3.2.<br />
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL<br />
CÁLCULO.<br />
En el semestre pasado estudiaste cálculo diferencial, introducido con el problema<br />
<strong>de</strong> la recta tangente, y hasta ahora el cálculo integral, introducido con el problema<br />
<strong>de</strong>l área. En este punto, ambos problemas parecen no estar relacionados, pero<br />
existe una conexión muy cercana. Esa conexión se expresa en un teorema que con<br />
toda propiedad se llama Teorema Fundamental <strong>de</strong>l <strong>Cálculo</strong>.<br />
De modo informal, el teorema señala que la <strong>de</strong>rivación e integración (<strong>de</strong>finida) son<br />
operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación.<br />
∆y<br />
Cuando se <strong>de</strong>fine la pendiente <strong>de</strong> una recta tangente se usa el cociente ∆x<br />
(la<br />
pendiente <strong>de</strong> la recta secante). De igual modo, cuando se <strong>de</strong>fine el área <strong>de</strong> una<br />
región bajo una curva se utiliza el producto<br />
∆ y∆x<br />
(el área <strong>de</strong> un rectángulo). El teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo expresa que<br />
los procesos para hallar límites (usados para <strong>de</strong>finir la <strong>de</strong>rivada y la integral<br />
<strong>de</strong>finida) conservan esta reacción inversa.<br />
TEOREMA: Teorema Fundamental <strong>de</strong>l <strong>Cálculo</strong>.<br />
Si una función f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y F es una<br />
anti<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f sobre el intervalo [a,b], entonces<br />
b<br />
f ( x)<br />
dx = F(<br />
b)<br />
− F(<br />
a).<br />
Las siguientes directrices pue<strong>de</strong>n ayudarte a enten<strong>de</strong>r el uso <strong>de</strong>l teorema<br />
fundamental <strong>de</strong>l cálculo.<br />
1.- Asegúrate <strong>de</strong> que sea posible encontrar una anti<strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> f; entonces tiene<br />
una forma <strong>de</strong> evaluar una integral <strong>de</strong>finida sin tener que usar el límite <strong>de</strong> una suma.<br />
2.- Cunado apliques el Teorema Fundamental <strong>de</strong>l <strong>Cálculo</strong>, es conveniente usar la<br />
siguiente notación:<br />
b<br />
a<br />
∫<br />
b<br />
f ( x)<br />
dx = F(<br />
x)<br />
= F(<br />
b)<br />
− F(<br />
a)<br />
3<br />
∫<br />
Por ejemplo, para evaluar ∫ 1<br />
3<br />
x dx,<br />
pue<strong>de</strong>s escribir<br />
4 3<br />
3<br />
3 x<br />
∫ x dx =<br />
1 4 1<br />
4 4<br />
3 1<br />
= −<br />
4 4<br />
81 1 80<br />
= − = = 20.<br />
4 4 4<br />
3.- No es necesario incluir una constante <strong>de</strong> integración C en la anti<strong>de</strong>rivada, ya<br />
que<br />
b<br />
b<br />
f ( x)<br />
dx = F(<br />
x)<br />
+ C<br />
∫<br />
a<br />
a<br />
a<br />
[ ]<br />
a<br />
[ F ( b)<br />
+ C]<br />
− [ F(<br />
a + C]<br />
= )<br />
= F( b)<br />
− F(<br />
a)<br />
.<br />
Si quieres saber<br />
acerca <strong>de</strong> la<br />
<strong>de</strong>mostración <strong>de</strong><br />
este teorema<br />
consulta en Internet<br />
la página<br />
http://www.mat.uson<br />
.mx/eduardo/calculo<br />
2/<br />
83
84<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
y<br />
6<br />
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4<br />
−1<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
Fig. 3.3 La integral <strong>de</strong>finida <strong>de</strong><br />
y=|2x-1| sobre [0,2] es 5/2.<br />
x<br />
EJEMPLO 1: Evaluación <strong>de</strong> una integral <strong>de</strong>finida.<br />
Evalúa cada integral <strong>de</strong>finida utilizando el Teorema Fundamental <strong>de</strong>l <strong>Cálculo</strong>.<br />
2<br />
2<br />
a) ∫ ( x<br />
1<br />
− 3)<br />
dx<br />
b) ∫ x dx<br />
4<br />
1 3 c)<br />
π<br />
2<br />
sec xdx<br />
Solución:<br />
a)<br />
3<br />
2<br />
⎡<br />
2 x<br />
∫ ( x − 3)<br />
dx = ⎢<br />
1<br />
⎣ 3<br />
3<br />
3<br />
⎤ 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2<br />
− 3x⎥<br />
= ⎜ 3(<br />
2)<br />
⎟ ⎜ 3(<br />
1)<br />
⎟<br />
⎜<br />
− − = ⎜ − 6⎟<br />
− ⎜ − 3⎟<br />
= − .<br />
1 3 ⎟ ⎜<br />
−<br />
3 ⎟<br />
⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3<br />
b)<br />
4<br />
∫ 3<br />
1<br />
4<br />
⎡ 3<br />
2 ⎤<br />
4 1<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3 3⎢<br />
x<br />
x dx = ⎥<br />
∫ x dx = = 2(<br />
4)<br />
− 2(<br />
1)<br />
= 14.<br />
1 ⎢ 3 ⎥<br />
⎣ 2 ⎦<br />
∫<br />
π<br />
4 2<br />
4<br />
c) sec xdx = tan x = 1−<br />
0 = 1.<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
π<br />
0<br />
x<br />
x<br />
x 2 2 0<br />
d) ∫ 2e<br />
dx = 2∫<br />
e dx = 2[<br />
e ] 0 = 2(<br />
e ) − 2(<br />
e ) = 14.<br />
77 − 2 = 12.<br />
77.<br />
e)<br />
x<br />
+ x −1<br />
dx =<br />
2<br />
x<br />
2<br />
e e<br />
∫ ∫<br />
1 1 2<br />
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />
⎜<br />
⎜1+<br />
− ⎟ dx = ⎜ x + ln x + ⎟<br />
⎝ x x ⎠ ⎝ x ⎠<br />
⎛ 1 ⎞<br />
= ⎜<br />
⎜e<br />
+ 1+<br />
⎟ −<br />
⎝ e ⎠<br />
1<br />
( 1+<br />
0 + 1)<br />
= 4.<br />
08 − 2 = 2.<br />
08.<br />
En el ejemplo (c) es importante aclarar que al momento <strong>de</strong> evaluar la integral,<br />
<strong>de</strong>bes verificar que tu calculadora esté programada en radianes.<br />
En los ejemplos subsecuentes haremos uso <strong>de</strong>l Teorema Fundamental <strong>de</strong>l <strong>Cálculo</strong><br />
a la solución <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> cálculo <strong>de</strong> áreas.<br />
EJEMPLO 2: Para encontrar el área que compren<strong>de</strong> un valor absoluto.<br />
2<br />
Evalúa ∫ 2x −1<br />
dx,<br />
utilizando el Teorema Fundamental <strong>de</strong>l <strong>Cálculo</strong>.<br />
0<br />
Solución: Si usas la figura y la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> valor absoluto, pue<strong>de</strong>s escribir <strong>de</strong><br />
nuevo el integrando como sigue:<br />
⎧<br />
⎫<br />
⎪−<br />
( 2x<br />
−1),<br />
x < 1<br />
⎪<br />
2x<br />
−1<br />
=<br />
2<br />
⎨<br />
⎬<br />
⎪ 2 −1,<br />
≥ 1 .<br />
x x<br />
⎩<br />
2 ⎪<br />
⎭<br />
Ahora pue<strong>de</strong>s escribir <strong>de</strong> nuevo la integral en dos partes.<br />
2<br />
0<br />
1<br />
2<br />
∫ x −1<br />
dx = ∫ − ( 2x<br />
−1)<br />
dx + ∫ ( 2x<br />
− 1<br />
0<br />
2<br />
e<br />
1<br />
2<br />
∫ 4<br />
2 1)<br />
dx<br />
=<br />
[ ] [ ] 2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
− x + x + x − x<br />
0<br />
2 ⎛ ⎞<br />
⎛<br />
⎜ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎟<br />
⎛ 1 ⎞<br />
= − −<br />
⎜ ⎜<br />
⎟ + (<br />
⎟<br />
⎜⎜<br />
⎟<br />
⎝ ⎝ 2 ⎠ 2<br />
⎠<br />
⎝⎝<br />
2 ⎠<br />
⎟ ⎛ 1 1 ⎞<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
= ⎜<br />
⎜−<br />
+ ⎟ − ( 0 + 0)<br />
+ ( 4 − 2)<br />
− ⎜ −<br />
⎝ 4 2 ⎠<br />
⎝ 4 2 ⎠<br />
5<br />
= .<br />
2<br />
1<br />
2<br />
0<br />
1 ⎞<br />
2<br />
⎠<br />
() () ⎟ ⎟<br />
2<br />
2<br />
0 + 0)<br />
+ ( 2 − 2)<br />
−<br />
⎜⎜<br />
⎟ −<br />
2
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
La Figura 3.3 muestra el área <strong>de</strong>terminada por la función y las rectas verticales<br />
que es <strong>de</strong> 5/2.<br />
EJEMPLO 3: Para encontrar área comprendida por una función polinomial.<br />
Encuentra el área <strong>de</strong> la región acotada por la gráfica <strong>de</strong> 2 3 2,<br />
2<br />
y = x − x + el<br />
eje x y las rectas verticales x = 0 y x = 2 , como se muestra en la Figura 3.4.<br />
Solución: Observe que y>0 sobre el intervalo [0,2].<br />
= − +<br />
2<br />
2<br />
Área ( 2x<br />
3x<br />
2)<br />
dx<br />
∫<br />
0<br />
3 2 ⎡2x<br />
3x<br />
⎤<br />
= ⎢ − + 2x<br />
3 2<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦ 0<br />
⎛16<br />
⎞<br />
= ⎜ − 6 + 4⎟<br />
− 0 − 0 + 0<br />
⎝ 3 ⎠<br />
10<br />
= .<br />
3<br />
2<br />
( )<br />
EJEMPLO 4: Para encontrar área comprendida por una función lineal.<br />
Encuentra el área <strong>de</strong> la región acotada por la gráfica <strong>de</strong> y = x el eje x y las<br />
rectas verticales x = −2<br />
y x = 0 , como se muestra en la Figura:<br />
Solución: Observa que y < 0 (es <strong>de</strong>cir, está por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> las x ) sobre<br />
el intervalo [-2,0].<br />
Área<br />
= ∫− 0<br />
2 dx x<br />
2<br />
0<br />
⎡ ⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣<br />
x<br />
⎛ 0 ⎞<br />
= ⎜ ⎟ −<br />
⎝ 2 ⎠<br />
2 ⎦ −2<br />
( 2)<br />
= −2.<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
Integra entre 0 y 2<br />
Encuentra la anti<strong>de</strong>rivada<br />
Aplica el teor. fundamental<br />
Simplifica<br />
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
y<br />
Integra entre -2 y 0<br />
Encuentra la anti<strong>de</strong>rivada<br />
Como te pue<strong>de</strong>s dar cuenta el resultado <strong>de</strong> la integral es negativo, esto se <strong>de</strong>be a<br />
que el área sombreada se encuentra por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong>l eje x . Evi<strong>de</strong>ntemente el área<br />
<strong>de</strong> una región no pue<strong>de</strong> ser negativa, el signo (-) resultante <strong>de</strong> una integral<br />
<strong>de</strong>finida, nos indicará gráficamente que el área bajo la curva se encuentra por<br />
<strong>de</strong>bajo <strong>de</strong>l eje x .<br />
x<br />
Aplica el Teor. Fundamental<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
−5<br />
Fig. 3.4 El área <strong>de</strong> la región<br />
acotada por la gráfica <strong>de</strong> y, el<br />
eje x, x=0 y x=2, es 10/3.<br />
y<br />
85<br />
x
86<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7<br />
−1<br />
−2<br />
y<br />
ci<br />
Fig. 3.5. El área <strong>de</strong> la región<br />
acotada está dada por<br />
x<br />
EJEMPLO 5: Para encontrar área comprendida por una función lineal.<br />
Encuentra el área <strong>de</strong> la región acotada por la gráfica <strong>de</strong><br />
rectas verticales x = −2<br />
y x = 2 .<br />
Solución:<br />
Área<br />
= ∫− 2<br />
2 dx x<br />
2<br />
2<br />
⎡ ⎤<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣ 2 ⎦ −2<br />
x<br />
= 2 − 2 = 0<br />
( ) ( ) .<br />
y = x el eje x y las<br />
Elabora la gráfica correspondiente para que te <strong>de</strong>s cuenta <strong>de</strong> por qué el resultado<br />
<strong>de</strong>l área es cero.<br />
Como pudiste observar en los ejemplos anteriores las integrales <strong>de</strong>finidas pue<strong>de</strong>n<br />
ser positivas, negativas o cero. Para que una integral <strong>de</strong>finida pueda interpretarse<br />
como un área, la función f <strong>de</strong>be ser continua y no negativa sobre [a,b], como se<br />
indica en el siguiente teorema. (La <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> este teorema no se hará aquí,<br />
pero es muy clara, simplemente hay que usar la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> área que se dio en la<br />
subsección anterior).<br />
TEOREMA: La integral <strong>de</strong>finida como el área <strong>de</strong> una región.<br />
Si f es continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [a,b],<br />
entonces el área <strong>de</strong> la región acotada por la gráfica <strong>de</strong> f, el eje<br />
x y las rectas verticales x = a y x = b está dada por<br />
= b<br />
Área f ( x)<br />
dx.<br />
Como un ejemplo <strong>de</strong>l teorema anterior, consi<strong>de</strong>ra la región acotada por la gráfica<br />
2<br />
<strong>de</strong> f ( x)<br />
= 4x<br />
− x y el eje x , como se muestra en la Figura 3.5. En virtud <strong>de</strong> que<br />
f es continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [0,4], el área <strong>de</strong> la región es<br />
= ∫ −<br />
4<br />
2<br />
Área ( 4x<br />
x ) dx.<br />
0<br />
En la siguiente sección estudiaremos una técnica directa para evaluar una integral<br />
<strong>de</strong>finida como ésta. Sin embargo, ahora pue<strong>de</strong>s evaluar la integral <strong>de</strong>finida en dos<br />
formas: pue<strong>de</strong>s usar la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> límite o pue<strong>de</strong>s comprobar si la integral<br />
<strong>de</strong>finida representa el área <strong>de</strong> una región geométrica común, digamos, <strong>de</strong> un<br />
rectángulo, un triángulo o un semicírculo.<br />
EJEMPLO 8: Áreas <strong>de</strong> figuras comunes y la integral <strong>de</strong>finida.<br />
Traza la región correspondiente a cada integral <strong>de</strong>finida. Después evalúe cada una<br />
<strong>de</strong> las integrales usando una fórmula geométrica.<br />
) dx a 3<br />
2<br />
2<br />
b ) ∫ ( x + 2)<br />
dx ) 4 − x dx<br />
∫ 3<br />
1 4<br />
0<br />
∫<br />
a<br />
c ∫− 2
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
Solución: En la Figura 3.6 se muestran los dibujos <strong>de</strong> cada región.<br />
a) Esta región es un rectángulo <strong>de</strong> alto 4 y ancho 2.<br />
3<br />
∫ 4dx<br />
= b×<br />
h = 4(<br />
2)<br />
= 8.<br />
1<br />
b) Esta región es un trapecio <strong>de</strong> alto 3 y bases paralelas <strong>de</strong> longitu<strong>de</strong>s 2 y 5.<br />
1<br />
La fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un trapecio es ( 1 2).<br />
2<br />
b b h +<br />
3 1<br />
1<br />
21<br />
∫ ( x + 2)<br />
dx = h(<br />
b1<br />
+ b2)<br />
= ( 3)(<br />
2 + 5)<br />
= .<br />
0 2<br />
2<br />
2<br />
c) Esta región es un semicírculo <strong>de</strong> radio 2. La fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un<br />
1 2<br />
semicírculo es π r<br />
2<br />
2<br />
2 1 2.<br />
1 2<br />
∫ 4 − x dx = π r = π ( 2 ) = 2π<br />
.<br />
−2<br />
2 2<br />
y = 4y<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
x<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
Como ya mencionamos anteriormente, cada vez que quieras calcular un área<br />
mediante una integral <strong>de</strong>finida, no es necesario hacer este tipo <strong>de</strong> procedimientos,<br />
basta con aplicar algunas <strong>de</strong> las técnicas <strong>de</strong> integración directa <strong>de</strong> la integral<br />
<strong>de</strong>finida.<br />
EJERCICIO 1 INDIVIDUAL Evalúa la integral <strong>de</strong>finida <strong>de</strong> la función algebraica. Emplea un<br />
instrumento graficador para verificar tu resultado.<br />
1. ∫ 1<br />
0 2xdx<br />
0<br />
2. ∫ ( x − 2)<br />
dx<br />
−1<br />
3. ∫ 7<br />
2 3dv<br />
1<br />
2<br />
4. ∫ ( t<br />
−1<br />
− 2)<br />
dt<br />
5.<br />
3 1<br />
3 v dv<br />
∫−3 3<br />
6. ∫ 2x − 3 dx<br />
0<br />
y<br />
y = x+2; 0.000000
88<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
TAREA 1<br />
Página 95.<br />
7. ∫ dx<br />
x<br />
8 2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
8. ∫ x − 4 dx<br />
9.<br />
0<br />
∫ −1<br />
−2<br />
u du<br />
u<br />
⎟ ⎛ 1 ⎞<br />
⎜ − 2<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
10. ∫ ( 2 − t ) t dt<br />
0
3.3.<br />
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
APLICACIONES DE LA INTEGRAL<br />
DEFINIDA.<br />
Existen muchas situaciones don<strong>de</strong> la cantidad que queremos calcular pue<strong>de</strong> ser<br />
expresada como una integral <strong>de</strong>finida. Típicamente esto pue<strong>de</strong> suce<strong>de</strong>r cuando<br />
la cantidad a calcular pue<strong>de</strong> ser aproximada mediante la división <strong>de</strong> pequeños<br />
rectángulos, resolviendo el problema aproximadamente para cada uno <strong>de</strong> esos<br />
rectángulos, y entonces sumar esas aproximaciones. Esto es lo que hemos visto<br />
a lo largo <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong> este capítulo.<br />
Esta sección tiene como objetivo aplicar la teoría vista en relación a la integral<br />
<strong>de</strong>finida en disciplinas como Física, Geometría, Economía, etc.<br />
EJEMPLO 1: Un problema <strong>de</strong> Ciencias Sociales.<br />
La <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> población <strong>de</strong> Ringsburg está en función <strong>de</strong> la distancia <strong>de</strong>l<br />
centro <strong>de</strong> la ciudad: a r millas <strong>de</strong>l centro, la <strong>de</strong>nsidad es P = f (r)<br />
gentes por<br />
milla cuadrada. Ringsburg tiene un radio <strong>de</strong> 5 millas. Escribe una integral<br />
<strong>de</strong>finida que exprese el total <strong>de</strong> la población <strong>de</strong> Ringsburg.<br />
Solución: Queremos hacer la partición <strong>de</strong>l poblado <strong>de</strong> Ringsburg y estimar la<br />
población en cada pieza resultante <strong>de</strong> la partición. Si tomamos la partición <strong>de</strong> la<br />
región en línea recta, la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> la población podría variar en cada una <strong>de</strong><br />
las piezas resultantes, ya que ésta <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong> la distancia <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> la<br />
ciudad. Queremos que la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> la población sea lo más cercanamente<br />
constante en cada una <strong>de</strong> las piezas, tal que sea posible estimar la población<br />
multiplicando la <strong>de</strong>nsidad y el área juntas. Por lo tanto tomamos piezas que son<br />
anillos <strong>de</strong>lgados alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l centro, a una distancia constante <strong>de</strong>l mismo (ver<br />
Figura 3.7), ya que el anillo es muy <strong>de</strong>lgado, po<strong>de</strong>mos aproximar su área<br />
en<strong>de</strong>rezando el anillo como si fuera un rectángulo <strong>de</strong>lgado. (Ver Fig. 3.8) El<br />
ancho <strong>de</strong>l rectángulo es ∆ r millas, y su longitud es aproximadamente igual al<br />
anillo <strong>de</strong> la circunferencia, 2πr millas, entonces su área es aproximadamente<br />
2πr∆r mi 2 . De esta manera,<br />
La <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> población ≈ Densidad∗ Área.<br />
Así<br />
Población <strong>de</strong>l anillo<br />
2<br />
2 ≈ ( f ( r)<br />
gentes / mi )( 2πr∆r<br />
mi ) = f ( r)<br />
⋅2πr∆r<br />
gentes .<br />
Sumando sobre todos los anillos, tenemos<br />
Población total ≈ ∑2π rf ( r)<br />
∆r<br />
gentes .<br />
Como la suma se aproxima a la integral, entonces<br />
Población total = ∫<br />
5<br />
Fig. 3.7. Ringsburg.<br />
Cada pieza tiene un<br />
ancho <strong>de</strong> y un largo<br />
<strong>de</strong><br />
Fig. 3.8. Anillo <strong>de</strong> Ringsburg.<br />
2π rf ( r)<br />
dr gentes .<br />
EJEMPLO 2: Un problema <strong>de</strong> población.<br />
Encontrar la población total en Ringsburg <strong>de</strong>l ejemplo 1 si la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong><br />
población en la milla r está dada por<br />
( )<br />
1.<br />
05r<br />
170 .<br />
P =<br />
f<br />
r<br />
=<br />
0<br />
e<br />
gentes<br />
Solución: Usando el resultado <strong>de</strong>l ejemplo previo, tenemos<br />
89
90<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
Fig. 3.9. Corte vertical <strong>de</strong> la<br />
pirámi<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se relaciona<br />
y . es el grosor <strong>de</strong> una<br />
pieza horizontal <strong>de</strong> la<br />
pirámi<strong>de</strong>.<br />
Población total = [ ]<br />
5<br />
1.<br />
05r<br />
π r 170e<br />
∫<br />
0<br />
= 340π<br />
2 dr<br />
gentes .<br />
340π<br />
1.<br />
05r<br />
5<br />
1.<br />
05r<br />
= ⎡re − e dr⎤<br />
0<br />
1.<br />
05 ⎢⎣ ∫ ⎥⎦<br />
1.<br />
05r<br />
⎡<br />
5<br />
1.<br />
05 e ⎤<br />
= 1017.<br />
28⎢re<br />
− ⎥<br />
⎢ 1.<br />
05 ⎥ 0<br />
⎣<br />
⎦<br />
= e<br />
1.<br />
05<br />
∫<br />
5<br />
0<br />
re<br />
1.<br />
05r<br />
dr<br />
5<br />
[ 1017.<br />
28r<br />
− 968.<br />
838]<br />
0<br />
566[<br />
( 5086.<br />
4 − 968.<br />
838)<br />
− ( 0 − 968.<br />
838)<br />
]<br />
= 190.<br />
= 969,<br />
294.<br />
90gentes.<br />
EJEMPLO 3: Un problema <strong>de</strong> volumen.<br />
Calcula el volumen, en pies cúbicos, <strong>de</strong> la gran pirámi<strong>de</strong> <strong>de</strong> Egipto, cuya base<br />
es un cuadrado <strong>de</strong> 755 pies y su altura es <strong>de</strong> 410 pies; cuyo volumen esta dado<br />
por la expresión<br />
2 ⎡⎛<br />
755 ⎞ ⎤<br />
V = ∑ s ∆h<br />
= ∑ ⎢⎜<br />
⎟(<br />
410 − h)<br />
⎥ ∆h<br />
⎣⎝<br />
410 ⎠ ⎦<br />
2<br />
3<br />
pies .<br />
Solución: Primero <strong>de</strong>terminaremos <strong>de</strong> don<strong>de</strong> salió esa expresión <strong>de</strong>l volumen.<br />
La pirámi<strong>de</strong> está construida <strong>de</strong> una serie <strong>de</strong> capas que inician <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la base <strong>de</strong><br />
la misma. Cada capa tiene una base cuadrada con un alto que <strong>de</strong>notaremos<br />
como ∆ h , por supuesto esta altura es muy pequeña para cada capa <strong>de</strong> la<br />
pirámi<strong>de</strong>. La primera capa, la <strong>de</strong> la base, es una losa cuadrada <strong>de</strong> 755 pies por<br />
755 pies por ∆ h pies. Como nos movemos a lo alto <strong>de</strong> la pirámi<strong>de</strong>, las capas<br />
tien<strong>de</strong>n a ser más cortas en longitud. Sea s la longitud <strong>de</strong> la base, entonces el<br />
volumen <strong>de</strong> cada capa es aproximadamente s ∆h<br />
2 3<br />
pies , don<strong>de</strong> s varía <strong>de</strong><br />
755 pies <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la capa <strong>de</strong> la base hasta 0 pies para la capa <strong>de</strong> la punta.<br />
El volumen total <strong>de</strong> la pirámi<strong>de</strong> es la suma <strong>de</strong> todos los volúmenes <strong>de</strong> las losas,<br />
s ∆h<br />
2<br />
. Ya que cada capa es tiene una altura diferente h , <strong>de</strong>bemos expresar s<br />
como una función <strong>de</strong> h tal que cada término <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong>penda solamente <strong>de</strong><br />
h . Si hacemos un corte <strong>de</strong> la pirámi<strong>de</strong> a lo largo <strong>de</strong> su alto <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la base hasta<br />
la punta , obtenemos la sección triangular dada en la Figura 3.9. Por semejanza<br />
<strong>de</strong> triángulos, tenemos<br />
s =<br />
( 410 − h)<br />
755 410 . De esta manera<br />
s = ( 755/<br />
410)(<br />
410 − h)<br />
, y el volumen total, V , es aproximadamente<br />
2 ⎡⎛<br />
755 ⎞ ⎤<br />
V ≈ ∑ s ∆h<br />
= ∑ ⎢⎜<br />
⎟(<br />
410 − h)<br />
⎥ ∆h<br />
⎣⎝<br />
410 ⎠ ⎦<br />
2<br />
3<br />
pies .<br />
Como el grosor <strong>de</strong> cada capa tien<strong>de</strong> a cero, la suma da la integral <strong>de</strong>finida.<br />
Finalmente, ya que h varía <strong>de</strong> 0 a 140, la altura <strong>de</strong> la pirámi<strong>de</strong>, tenemos
2<br />
h=<br />
410 ⎡⎛<br />
755 ⎞ ⎤ ⎛ 755 ⎞ 410<br />
2<br />
∫ ⎢⎜<br />
⎟(<br />
410 − h⎥<br />
dh = ⎜ ⎟ ∫ ( 410 − h)<br />
dh<br />
h=<br />
0<br />
0<br />
⎣⎝<br />
410 ⎠ ⎦ ⎝ 410 ⎠<br />
2<br />
3<br />
2<br />
755 ( 410 ) 410<br />
⎛ ⎞ ⎡ − h ⎤ 1 ⎛ 755 ⎞ 3 1 2<br />
= ⎜ ⎟<br />
= ⎜ ⎟ ( 410)<br />
= ( 755)<br />
( 410)<br />
410<br />
⎢−<br />
3<br />
⎥<br />
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 0 3⎝<br />
410 ⎠ 3<br />
3<br />
= 77, 903,<br />
416.<br />
67 ≈ 78 millones pies .<br />
EJEMPLO 4: Calculando el trabajo hecho.<br />
2<br />
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
Una ca<strong>de</strong>na uniforme <strong>de</strong> 28 m <strong>de</strong> largo que tiene una masa <strong>de</strong> 20 kg está<br />
colgando <strong>de</strong>l techo <strong>de</strong> un edificio. ¿Qué tanto trabajo se requiere aplicar para<br />
jalar la ca<strong>de</strong>na hasta el techo <strong>de</strong>l edificio?<br />
Solución: Ya que la masa <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na es 20 kg, su peso es (20 kg)(9.8 m/seg 2 )<br />
=196 newtons, pue<strong>de</strong> parecer que la respuesta sería (196 newtons)( 28<br />
m)=5488 joules. Pero recuerda que no toda la ca<strong>de</strong>na se tiene que mover los 28<br />
m, los eslabones que están cerca <strong>de</strong>l techo se mueven menos.<br />
Dividamos entonces la ca<strong>de</strong>na en pequeñas secciones <strong>de</strong> longitud ∆ y , cada<br />
una <strong>de</strong> ellas pesa 7 ∆ y newtons. (Una longitud <strong>de</strong> 28 m pesa 196 newtons, así 1<br />
m pesa 7 newtons). Si ∆ y es pequeña, todas las secciones <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na serán<br />
jaladas aproximadamente la misma distancia, llamemos y , a la fuerza <strong>de</strong><br />
gravedad que va en contra <strong>de</strong> la fuerza <strong>de</strong> 7 ∆ y newtons. De esta manera, el<br />
trabajo hecho sobre una <strong>de</strong> las secciones pequeñas <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na es<br />
aproximadamente:<br />
( 7∆y<br />
newtons)( y metros) = 7 y∆y<br />
joules .<br />
Como ∆ y tien<strong>de</strong> a cero, obtenemos la integral <strong>de</strong>finida. Ya que y varía <strong>de</strong> 0 a<br />
28 m, el trabajo total realizado es<br />
28 7 28<br />
2<br />
W = ∫ ( 7y)<br />
dy = y = 2744 joules .<br />
0 2 0<br />
EJEMPLO 5: Aplicando la integral <strong>de</strong>finida en economía.<br />
Encontrar el valor presente y el futuro <strong>de</strong> una entrada constante <strong>de</strong> $100 dólares<br />
por año sobre un período <strong>de</strong> 20 años, asumiendo una tasa <strong>de</strong> interés <strong>de</strong>l 10%<br />
compuesto continuamente.<br />
Solución: El valor presente, $P, <strong>de</strong> un pago futuro $B, es la cantidad que <strong>de</strong>bería<br />
ser <strong>de</strong>positada al día <strong>de</strong> hoy en una cuenta bancaria para producir exactamente<br />
$B en la cuenta a un tiempo pertinente en el futuro.<br />
La expresión <strong>de</strong>l valor presente cuando el interés es compuesto y continuo está<br />
expresado por<br />
T<br />
−rt<br />
Valor presente = P(<br />
t)<br />
e dt,<br />
don<strong>de</strong> r es la tasa <strong>de</strong> interés compuesto, t es el tiempo y B es la cantidad<br />
<strong>de</strong>positada. Por otro lado el valor futuro, $B, <strong>de</strong> un pago $P, es la cantidad que<br />
<strong>de</strong>bería crecer si es <strong>de</strong>positada en una cuenta bancaria a un cierto interés en un<br />
tiempo pertinente. La expresión <strong>de</strong>l valor futuro cuando el interés es compuesto y<br />
continuo está expresado por<br />
Valor futuro =<br />
T<br />
r(<br />
T −t<br />
)<br />
P(<br />
t)<br />
e dt.<br />
∫<br />
0<br />
∫<br />
0<br />
91
92<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
Fig. 3.10. Región plana<br />
que se hace girar sobre el<br />
eje x para formar el sólido<br />
que se va a retirar <strong>de</strong> la<br />
esfera.<br />
Valor presente =<br />
∫<br />
0<br />
20<br />
100e<br />
⎛<br />
dt = 100 ⎜<br />
⎜−<br />
⎝<br />
−0.<br />
1t<br />
e<br />
0.<br />
1<br />
−0.<br />
1t<br />
20<br />
−2<br />
= 1000(<br />
1−<br />
e<br />
0<br />
100<br />
0<br />
20<br />
2 −0.<br />
1<br />
100e<br />
e dt<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0.<br />
1(<br />
20−t<br />
)<br />
Valor futuro ∫ e dt = ∫<br />
2⎛<br />
= 100e<br />
⎜<br />
⎜−<br />
⎝<br />
= 20<br />
−0.<br />
1t<br />
e<br />
0.<br />
1<br />
EJEMPLO 6: Un problema en economía.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
20<br />
0<br />
2<br />
= 1000e<br />
( 1−<br />
e<br />
−2<br />
) ≈<br />
) ≈<br />
$ 6389.<br />
06.<br />
$ 864.<br />
66.<br />
¿Cuál es la relación entre el valor presente y el valor futuro <strong>de</strong>l ejemplo previo?<br />
Explica tu respuesta.<br />
Solución: Ya que<br />
el valor<br />
−2<br />
presente = 1000(<br />
1−<br />
e ) ≈ $ 864.<br />
66 y<br />
el valor<br />
2 −2<br />
futuro = 1000e<br />
( 1−<br />
e ) ≈ $ 6389.<br />
06.<br />
Pue<strong>de</strong>s ver que el valor futuro es<br />
valor futuro = ( valor ) .<br />
2<br />
presente e<br />
La razón <strong>de</strong> esto es que el monto a pagar es equivalente a un pago inicial <strong>de</strong><br />
$864.66 a un tiempo t = 0.<br />
Con una tasa <strong>de</strong> interés <strong>de</strong>l 10%, en 20 años ese<br />
monto habrá crecido a un valor futuro <strong>de</strong><br />
rt<br />
0.<br />
1(<br />
20)<br />
864.<br />
66 864.<br />
66<br />
2<br />
$ 6389.<br />
02.<br />
B = Pe = e = e<br />
EJEMPLO 7: Un problema <strong>de</strong> fabricación.<br />
Un fabricante hace un orificio a través <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> una esfera metálica <strong>de</strong> 5<br />
pulgadas <strong>de</strong> radio. El orificio tiene un radio <strong>de</strong> 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen<br />
<strong>de</strong>l anillo metálico resultante?<br />
Solución: Pue<strong>de</strong>s imaginar el anillo como si fuera generado por un segmento <strong>de</strong>l<br />
2 2<br />
círculo cuya ecuación es x + y = 25 , como se ilustra en la Figura 3.10. En<br />
virtud <strong>de</strong> que el radio <strong>de</strong>l orificio es 3 pulgadas, pue<strong>de</strong>s hacer y = 3 y resolver la<br />
2 2<br />
ecuación x + y = 25 para <strong>de</strong>terminar que los límites <strong>de</strong> integración son<br />
x = ± 4 . Por consiguiente, los radios interior y exterior son r ( x)<br />
= 3 y<br />
R( x)<br />
− x<br />
2<br />
= 25 y el volumen se obtiene por<br />
V = π<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( R(<br />
x)<br />
) − ( r(<br />
x)<br />
) ] dx = ( 25 − x ) − ( 3)<br />
dx<br />
b<br />
∫ [ π<br />
a<br />
∫−<br />
4 ⎢⎣<br />
⎥⎦<br />
= π<br />
4<br />
∫− 4<br />
⎡<br />
2<br />
( 16 − x ) dx<br />
3 ⎡ x ⎤ 4<br />
= π ⎢16x<br />
− ⎥<br />
⎣ 3 ⎦ −4<br />
256π 3<br />
= pu lgadas<br />
.<br />
3<br />
≈<br />
⎤
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
EJERCICIO 2 INDIVIDUAL Resuelve los siguientes problemas <strong>de</strong> aplicación <strong>de</strong><br />
la integral <strong>de</strong>finida.<br />
1.- Volumen <strong>de</strong> un tanque <strong>de</strong> combustible. Un tanque colocado en el ala <strong>de</strong> un<br />
avión jet se forma al hacer girar la región limitada por la gráfica <strong>de</strong><br />
1 2<br />
y = x 2 − x<br />
8<br />
y el eje x alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l mismo eje, (vea la Figura 3.11), don<strong>de</strong><br />
x y y están expresados en metros. Calcula el volumen <strong>de</strong>l tanque.<br />
2. Una ca<strong>de</strong>na <strong>de</strong> 20 pies <strong>de</strong> longitud y peso <strong>de</strong> 5 libras por pie, yace enrollada<br />
en el piso. ¿Cuánto trabajo se necesita para levantar un extremo <strong>de</strong> la ca<strong>de</strong>na a<br />
una altura <strong>de</strong> 20 pies <strong>de</strong> manera que que<strong>de</strong> extendida por completo?<br />
2<br />
3. Una función <strong>de</strong> costo marginal está <strong>de</strong>finida por c '(<br />
x)<br />
= 3x<br />
+ 8x<br />
+ 4 , y el<br />
costo fijo es <strong>de</strong> $6.00. Determina:<br />
a) La función costo total correspondiente.<br />
b) El costo total <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> los primero 3 años.<br />
c) ¿Cuál es el costo total entre el segundo y quinto año?<br />
4. para un artículo particular, la función <strong>de</strong> ingreso marginal es<br />
Si x son las unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>mandadas. Determina:<br />
a) La función ingreso total.<br />
b) ¿Cuál es el ingreso total <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> los primeros cinco años?<br />
i'( x)<br />
15 − 4x<br />
= .<br />
c) ¿Cuántas unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>mandadas se requieren para que el ingreso total sea<br />
máximo?<br />
d) ¿Cuál es el máximo ingreso?<br />
Fig. 3.11 Tanque<br />
<strong>de</strong> combustible.<br />
TAREA 2<br />
Página 97.<br />
93
94<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
¡Ojo! Recuerda que<br />
<strong>de</strong>bes resolver la<br />
autoevaluación y los<br />
ejercicios <strong>de</strong><br />
reforzamiento; esto te<br />
ayudará a enriquecer<br />
los temas vistos en<br />
clase.
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
INSTRUCCIONES: Evalúa las siguientes integrales <strong>de</strong>finidas mediante el teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo.<br />
Recuerda usar los diferentes métodos <strong>de</strong> integración. Entra a la página<br />
http://integrals.wolfram.com para comprobar tus respuestas.<br />
1<br />
1. ∫ −<br />
2. ∫<br />
3.<br />
4.<br />
1<br />
∫<br />
∫<br />
5. ∫<br />
6.<br />
2<br />
0<br />
1<br />
4<br />
9<br />
2 3<br />
x ( x + 1)<br />
dx<br />
2 3<br />
2x x + 1dx<br />
1<br />
dx<br />
2x<br />
+ 1<br />
1<br />
x ( 1+<br />
x )<br />
1 2<br />
1<br />
2<br />
π<br />
∫ 2<br />
7. ∫ −<br />
8.<br />
9.<br />
10.<br />
11.<br />
dx<br />
( x −1)<br />
2 − x dx<br />
2x<br />
cos dx<br />
0 3<br />
4<br />
2<br />
π<br />
2<br />
∫−π<br />
2<br />
π<br />
2<br />
∫−π<br />
2<br />
2 3<br />
x ( x + 8)<br />
dx<br />
cos xdx<br />
senxcos<br />
xdx<br />
∫ sen<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2 x cos 2xdx<br />
4 ⎡ x ⎤<br />
∫ ⎢(<br />
x + 1)<br />
− ⎥dx 0<br />
⎣ 2 ⎦<br />
1<br />
2 2<br />
12. ∫ [( 1−<br />
x ) − ( x −1)]<br />
dx<br />
−<br />
1<br />
6 ⎡ −x<br />
x ⎤<br />
3<br />
13. ∫ ⎢4<br />
( 2 ) − ⎥dx 0<br />
⎣ 6 ⎦<br />
⎡ 3<br />
3 ⎛ x ⎞ x ⎤<br />
14. ∫ ⎢⎜<br />
− x⎟<br />
− ⎥dx<br />
2<br />
⎢<br />
⎜ ⎟<br />
⎣⎝<br />
3 ⎠ 3 ⎥⎦<br />
2<br />
15. ∫ −<br />
2<br />
TAREA 1<br />
2<br />
[( x + 2x<br />
+ 1)<br />
− ( 2x<br />
+ 5)]<br />
dx<br />
Nombre ____________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente Fecha<br />
95
96<br />
16.<br />
∫<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
1<br />
0<br />
[( x −1)<br />
3<br />
3<br />
− ( x −1)]<br />
dx<br />
3<br />
17. ∫ [ 3(<br />
x − x)<br />
− 0]<br />
dx<br />
0<br />
6<br />
2<br />
2<br />
18. ∫ [( x − 4x<br />
+ 3)<br />
− ( −x<br />
+ 2x<br />
+ 3)]<br />
dx<br />
0<br />
1<br />
2 3<br />
19. ∫ [ x − x ] dx<br />
0<br />
6<br />
2<br />
20. ∫ [( x − 6x)<br />
− 0]<br />
dx<br />
0<br />
21. ∫ 4<br />
π<br />
0<br />
π<br />
22. ∫ 2<br />
π<br />
4<br />
sec<br />
sen<br />
23. ∫ e (ln<br />
1<br />
24. ∫ −<br />
π<br />
4<br />
π<br />
4<br />
25. ∫ 2 ln<br />
1<br />
3<br />
2<br />
x)<br />
x<br />
cot<br />
xe x<br />
x dx<br />
x dx<br />
2<br />
dx<br />
x dx<br />
dx<br />
Revisión: _____________________________________________________<br />
Observaciones:________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________<br />
______________________________________________________________
TAREA 2<br />
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
Nombre ____________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente Fecha<br />
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas <strong>de</strong> aplicación.<br />
1. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la<br />
función f (x)<br />
<strong>de</strong>scribe la razón <strong>de</strong> ventas cuando pasaron x años <strong>de</strong>s<strong>de</strong> que el producto se presentó en el<br />
mercado por primera vez. Se sabe que f ( x)<br />
= 2700 x + 900 si 0 ≤ x ≤ 5 . Calcule las ventas totales<br />
durante los primeros cuatro años.<br />
2. Se espera que la compra <strong>de</strong> una nueva máquina genere un ahorro en los costos <strong>de</strong> operación. Cuando la<br />
máquina tenga x años <strong>de</strong> uso la razón <strong>de</strong> ahorro sea <strong>de</strong> f (x)<br />
pesos al año don<strong>de</strong><br />
f ( x)<br />
= 1000 + 5000x<br />
.<br />
a) ¿Cuánto se ahorra en costos <strong>de</strong> operación durante los primeros seis años?<br />
b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola?<br />
Para saber más y<br />
enriquecer el tema, visita el<br />
sitio<br />
http://dieumsnh.gfb.umich.<br />
mx/INTEGRAL/<br />
http.//www.fca.unl.edu.ar/In<br />
t<strong>de</strong>f/AplicacionesEconomia<br />
.htm<br />
97
98<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong>
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y respon<strong>de</strong> los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo <strong>de</strong><br />
la opción que consi<strong>de</strong>res correcta.<br />
3<br />
2<br />
1. Aplicando el Teorema Fundamental <strong>de</strong>l <strong>Cálculo</strong> el valor <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida ∫ ( 3x<br />
− x + 6)<br />
dx es:<br />
−<br />
� 54 �<br />
� 48 �<br />
� 45 �<br />
� 84<br />
2. El resultado <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida ∫ π<br />
� 0 �<br />
� 1�<br />
�<br />
� − 1<br />
No existe �<br />
0<br />
cos dx x<br />
2<br />
3. Determina el área <strong>de</strong> región comprendida entre la función h( x)<br />
= f ( x)<br />
− g(<br />
x)<br />
, don<strong>de</strong> f ( x)<br />
= x −1<br />
y<br />
g ( x)<br />
= −3x<br />
− 2 , y las rectas x = 0 y x = 3 .<br />
� 6 �<br />
� 57 �<br />
� 25. 5 �<br />
� 18<br />
4. La función <strong>de</strong> costo marginal <strong>de</strong> un fabricante es CM ( q)<br />
= 0.<br />
6q<br />
+ 2 . Si la producción actual es q = 80<br />
unida<strong>de</strong>s por semana, ¿cuánto más costará (en dólares) incrementar la producción a 100 unida<strong>de</strong>s por<br />
semana.<br />
� $ 2,<br />
100 �<br />
� $ 1,<br />
520 �<br />
� $ 1,<br />
120 �<br />
� $ 5,<br />
280<br />
5. Índice <strong>de</strong> severidad. En un análisis <strong>de</strong> la severidad en el tránsito, Shonle consi<strong>de</strong>ra cuánta aceleración<br />
pue<strong>de</strong> tolerar una persona en un choque sin que se presenten en ella lesiones serias. El índice <strong>de</strong> severidad<br />
se <strong>de</strong>fine como sigue:<br />
T<br />
∫<br />
índice <strong>de</strong> severidad =<br />
0<br />
5<br />
2<br />
dt<br />
α ,<br />
Don<strong>de</strong> α se consi<strong>de</strong>ra una constante implicada con la aceleración media pon<strong>de</strong>rada y T es la duración <strong>de</strong>l<br />
choque. El índice <strong>de</strong> severidad es:<br />
� T 2<br />
5<br />
α �<br />
5<br />
� α T<br />
2 �<br />
� T 5<br />
2<br />
α �<br />
� α T<br />
AUTOEVALUACIÓN<br />
Nombre _________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo ________________ Turno __________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente ___________________ Fecha ____________________<br />
1<br />
99
100<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong><br />
4<br />
6. El resultado <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida ∫ −<br />
−4 x dx es:<br />
� 0 �<br />
� −16 �<br />
� 8 �<br />
� − 8<br />
7. Para que la integral <strong>de</strong>finida pueda ser interpretada como un área, es <strong>de</strong>cir, que el valor <strong>de</strong> la integral sea<br />
positivo. La función f en el intervalo [a,b] <strong>de</strong>be ser:<br />
� Continua y negativa .<br />
� Discontinu a y positiva .<br />
� Discontinu a y negativa .<br />
� Continua y positiva .<br />
8. Dentro <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida, la integral ∫ b<br />
f ( x)<br />
dx es igual a:<br />
a<br />
� − ∫<br />
b<br />
f ( x)<br />
dx �<br />
a<br />
� − ∫<br />
a<br />
f ( x)<br />
dx �<br />
b<br />
� ∫ −b<br />
f ( x)<br />
dx �<br />
−a<br />
� ∫ −<br />
b<br />
f ( x)<br />
dx<br />
a<br />
9. Dentro <strong>de</strong> las propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida, la integral ∫ a<br />
f ( x)<br />
dx es igual a:<br />
No existe �<br />
�<br />
� a �<br />
� 0 �<br />
� f (x)<br />
6<br />
2<br />
10. El resultado <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida ∫ 2x x + 3 dx es:<br />
1<br />
38<br />
� �<br />
3<br />
� 157. 03 �<br />
38<br />
� − �<br />
3<br />
70<br />
�<br />
3 ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE<br />
Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te<br />
invitamos a continuar con esa <strong>de</strong>dicación.<br />
Si tienes <strong>de</strong> 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es<br />
necesario que nuevamente repases los temas.<br />
Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es<br />
insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu<br />
profesor.<br />
a<br />
Consulta las<br />
claves <strong>de</strong><br />
respuestas en la<br />
página 103.
Teorema fundamental <strong>de</strong>l cálculo y las aplicaciones <strong>de</strong> la integral <strong>de</strong>finida<br />
INSTRUCCIONES: Resuelve las siguientes integrales y problemas, y preséntalos a tu profesor.<br />
I. Evalúa las siguientes integrales.<br />
2<br />
1. ∫ −<br />
2. ∫ −<br />
2<br />
π<br />
π<br />
2<br />
( 4x<br />
+ 5)<br />
dx<br />
(cos x + sen x)<br />
dx<br />
5 1<br />
3. ∫ dx<br />
3 x − 2<br />
4. ∫ e<br />
x dx<br />
1 ln<br />
1<br />
e x<br />
3<br />
5. ∫1 2<br />
x<br />
dx<br />
π<br />
2 sen x<br />
6. ∫ dx<br />
0 1+<br />
cos x<br />
7. ∫<br />
EJERCICIO DE<br />
REFORZAMIENTO 1<br />
6<br />
3<br />
2<br />
2<br />
(cos x + sen x)<br />
dx<br />
<strong>II</strong>. Resuelve los siguientes problemas.<br />
Nombre _________________________________________________________<br />
Núm. <strong>de</strong> lista ____________ Grupo ________________ Turno __________<br />
Núm. <strong>de</strong> Expediente ___________________ Fecha ____________________<br />
1. Para cierta población supongamos que la función l (x)<br />
representa el número <strong>de</strong> personas que<br />
alcanzan la edad x en cualquier año. Esta función se llama función <strong>de</strong> la tabla <strong>de</strong> vida. Bajo<br />
condiciones apropiadas, la integral ∫ +n x<br />
l ( t)<br />
dt da el número esperado <strong>de</strong> gente en la población<br />
x<br />
que tiene exactamente x y x + n , inclusive. Si l( x)<br />
= 10,<br />
000 100 − x , <strong>de</strong>termina el número<br />
<strong>de</strong> gente que tiene exactamente entre 36 y 64 años inclusive. Da tu respuesta al entero más<br />
cercano, ya que respuestas fraccionarias no tienen sentido.<br />
∫ −<br />
10<br />
4<br />
2<br />
2. En un estudio sobre mutación genética, aparece la siguiente integral x dx . Evalúa la<br />
0<br />
integral.<br />
3. El economista Pareto ha establecido una ley empírica <strong>de</strong> distribución <strong>de</strong> ingresos superiores que<br />
dN −B<br />
da el número N <strong>de</strong> personas que reciben x o más dólares. Si = −Ax<br />
, don<strong>de</strong> A y B<br />
dx<br />
son constantes, encuentra una expresión que te represente el número total <strong>de</strong> personas que<br />
reciben $ 100 o más dólares.<br />
− 1<br />
101
102<br />
<strong>Cálculo</strong> integral <strong>II</strong>
Claves <strong>de</strong> Respuestas<br />
UNIDAD 1<br />
1. A<br />
2. C<br />
3. A<br />
4. B<br />
5. A<br />
6. D<br />
7. A<br />
UNIDAD 2<br />
1. B<br />
2. C<br />
3. B<br />
4. A<br />
5. D<br />
6. C<br />
7. D<br />
8. A<br />
9. C<br />
10. A<br />
UNIDAD 3<br />
1. B<br />
2. A<br />
3. C<br />
4. C<br />
5. A<br />
6. A<br />
7. D<br />
8. B<br />
9. C<br />
10. A<br />
103
104<br />
Glosario<br />
Recuerda que tienes que or<strong>de</strong>nar los conceptos alfabéticamente. (a...z)
� GONZALEZ Cabrera Víctor M. “<strong>Cálculo</strong> 4000”, Ed. Progreso, S.A. <strong>de</strong> C.V.<br />
1997.<br />
� HAEUSSLER Ernest, JR.- PAUL Richard S. “Matemáticas para Administración,<br />
Economía, Ciencias Sociales y <strong>de</strong> la vida”, Ed. Prentice-Hall. 1997.<br />
� HOWARD Antón. “Calculus with analytic geometry”, John Wiley & Sons, Inc.<br />
1980.<br />
� HUGHES-Hallet Deborah-GLEASON Andrew M. “Calculus”, John Wiley &<br />
Sons, Inc. 1994.<br />
� LARSON Ron - HOSTETLER Robert P. “<strong>Cálculo</strong> diferencial e integral”,<br />
McGraw-Hill Interamericna. 2002.<br />
-http://www.tahc.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag1.htm<br />
-http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2<br />
-http://www.matharticles.com<br />
Bibliografía General<br />
105