Cálculo Diferencial e Integral II - Colegio de Bachilleres del Estado ...

Cálculo
Diferencial e
Integral II

2
COLEGIO DE BACHILLERES
DEL ESTADO DE SONORA
Director General
Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil
Director Académico
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
Director de Administración y Finanzas
C.P. Jesús Urbano Limón Tapia
Director de Planeación
Mtro. Pedro Hernández Peña
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Módulo de Aprendizaje.
Copyright ©, 2009 por Colegio de Bachilleres
del Estado de Sonora
todos los derechos reservados.
Tercera edición 2011. Impreso en México.
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur
Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280
Registro ISBN, en trámite.
COMISIÓN ELABORADORA:
Elaboración:
Librada Cárdenas Esquer
María Elena Conde Hernández
Revisor de Contenido:
María Elena Conde Hernández
Hermenegildo Rivera Martínez
Corrección de Estilo:
Jesús Alfonso Velasco Núñez
Edición:
Ana Isabel Ramírez Vásquez
Coordinación Técnica:
Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri
Coordinación General:
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2010.
Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México
La edición consta de 2,623 ejemplares.

Ubicación Curricular
COMPONENTE:
FORMACIÓN
PROPEDÉUTICA
CAMPO DE CONOCIMIENTO:
QUÍMICO–BIOLÓGICO
Esta asignatura se imparte en el 6 semestre; tiene como antecedente
Cálculo Diferencial e Integral I, no tiene asignatura consecuente es
____________________________ y se relaciona con
____________________________________________________.
HORAS SEMANALES: 3
DATOS DEL ALUMNO
CRÉDITOS: 6
Nombre: ______________________________________________________
Plantel: _________________________________________________________
Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________
Domicilio: _____________________________________________________
______________________________________________________________
3

4
Mapa Conceptual de la Asignatura

Índice
Recomendaciones para el alumno ......................................................................6
Presentación .........................................................................................................6
UNIDAD 1. DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA ......................... 9
1.1. La diferencial .................................................................................................11
Sección de tareas ................................................................................................31
Autoevaluación .....................................................................................................39
Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................43
UNIDAD 2. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS
DE INTEGRACIÓN. ..................................................................................... 45
2.1. Integral Indefinida .........................................................................................47
2.2. Métodos de integración ................................................................................55
Sección de tareas ................................................................................................65
Autoevaluación .....................................................................................................71
Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................75
UNIDAD 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y
LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA .................................. 77
3.1. Integral definida ............................................................................................79
3.2. Teorema fundamental del Cálculo ...............................................................83
3.3 Aplicaciones de la Integral Definida ..............................................................89
Sección de tareas ................................................................................................95
Autoevaluación .....................................................................................................99
Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................101
Claves de respuestas ...........................................................................................103
Glosario ................................................................................................................104
Bibliografía ............................................................................................................105
5

6
Recomendaciones para el alumno
El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él
se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral
II.
No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del
Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el
análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura
complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes
recomendaciones:
� Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos
temáticos a revisar en clase.
� Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase.
� Al término de cada unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de
medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican.
� Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o
reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.
� Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en
cada unidad.
� Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario
que aparece al final del módulo.
� Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de
aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del
Colegio: www.cobachsonora.edu.mx
Presentación
Deberá incluirse el enfoque del campo y de la asignatura, (sin ser necesaria la
identificación).
Enfoque del campo: justifica la ubicación de la asignatura en determinado campo
de conocimiento; es decir, responde a la pregunta, ¿por qué pertenece esta
asignatura al campo de _________?
Enfoque de la asignatura: describe la importancia e intencionalidad de la
asignatura dentro del plan de estudios, su pertinencia social en la formación de
los estudiantes de bachillerato, se responde a las preguntas ¿por qué es
importante conocer acerca de lo planteado en el programa? ¿dónde reside la
relevancia de los contenidos seleccionados para los estudiantes a este nivel?

RIEMS
Introducción
El Colegio de Bachilleres del estado de Sonora, en atención a los programas de
estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido
realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros
estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a
desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución.
Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje
para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma
Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de
Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en
competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a
la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del
alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las
competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en
todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en
el primer semestre.
Competencias Genéricas
CATEGORIAS COMPETENCIAS GENÉRICA
I. Se
autodetermina y
cuida de sí.
II. Se expresa y
comunica
III. Piensa crítica y
reflexivamente
IV. Aprende de
forma autónoma
V. Trabaja en
forma colaborativa
VI. Participa con
responsabilidad
en la sociedad
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y
retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e
interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a
problemas a partir de métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y
relevancia general, considerando otros puntos de vista de
manera crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la
vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de
su comunidad, región, México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la
interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas
y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica,
con acciones responsables.
7

8
Competencias Disciplinares Básicas
Matemáticas
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y
el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o
natural para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo
rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso
o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos
matemáticos y científicos.
Competencias docentes:
1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional.
2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje
significativo.
3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque
por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y
sociales amplios.
4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera
efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.
5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque
formativo.
6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.
7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e
integral de los estudiantes.
8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la
gestión institucional.

Isaac Newton (1642-1727), fue el inventor del Cálculo Diferencial e
Integral, que también fue inventado de manera paralela por Gottfried
Wilhelm Leibnitz (1646-1716). Utilizando el Cálculo, encontró sus tres
Leyes del Movimiento que describen el movimiento de los objetos en
la Tierra.
Organizador anticipado:
¿Por qué el Cálculo Diferencial e Integral ha sido un curso obligado
de la formación matemática que se requiere en las universidades
para seguir diferentes carreras que van desde la ingeniería, la
economía, las ciencias de la salud, hasta las ciencias naturales en
general? La razón a fondo es que el Cálculo constituye el segundo
gran avance o gran resultado de la historia de las matemáticas
después de la geometría euclidiana, desarrollada en la Grecia
Antigua. Así, el Cálculo diferencial e Integral conforman a la
matemática moderna, la cual nace precisamente entre los siglos XVII
y XVIII en el marco de aquella revolución científica que generó una
nueva visión del mundo, y constituyó una visión moderna de la que
somos parte.
Unidad 1
Diferenciales
e integral
Indefinida
Objetivos:
El alumno:
Aplicará los conceptos de diferencial,
para resolver valores aproximados de
funciones; además de problemas
prácticos, tras conocer las reglas de
diferenciación; mostrando una actitud
analítica y participativa.
Temario:
� La diferencial.

10
Cálculo diferencial e integral II
Mapa Conceptual de Unidad
DIFERENCIALES
Definición de
Diferencial
Nos permite
enunciar
Reglas de
diferenciación
Para resolver
problemas
De aproximación al
incremento y de
errores de
aproximación

Evaluación Diagnóstica:
Ejemplo: Antes de iniciar esta unidad sobre la diferencial, elabora un mapa
conceptual utilizando los conceptos que aparecen en la siguiente lista y
muéstrala a tu profesor cuando te lo solicite.
� Razón de cambio.
� Derivadas explícitas.
1.1.
LA DIFERENCIAL
1.1.1. Concepto geométrico de la diferencial de una función (“ dy ”).
Existen muchas situaciones, en las cuales necesitamos estimar una diferencia,
algunos ejemplos de esto son:
a) Aproximar valores de funciones.
b) Cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor
Aproximado).
c) Cálculo de Variaciones de la variable dependiente cuando la variable
independiente varía “un poco”.
Para el caso de aproximar funciones podemos utilizar la recta tangente
como la mejor aproximación lineal a la función alrededor del punto de
tangencia.
Sea y = f (x)
una función cualquiera y sean los puntos
( x, f ( x)),
( x + ∆x,
f ( x + ∆x))
dos puntos sobre la función como se
muestra en la siguiente figura:
f ( x + ∆x)
f
(x)
x x + ∆x
Diferenciales e Integral Indefinida
11

12
Cálculo diferencial e integral II
∆ x , representa el incremento que sufre la variable independiente, y definiremos el
incremento real que sufre la función que lo denotaremos como ∆ y como la
diferencia que existe entre f (x)
y f ( x + ∆x)
, es decir:
∆ y = f ( x + ∆x)
− f ( x)
Al cual se le conoce como el nombre de Valor Real o cambio total y lo podemos
apreciar en la siguiente figura:
f ( x + ∆x)
f
(x)
x x + ∆x
∆ x
∆y
= f ( x + ∆x)
− f ( x)

Tracemos la recta tangente a la función f (x)
en el punto x , llamaremos dy al
incremento aproximado a través de la recta tangente como lo podemos observar en
la siguiente figura:
f ( x + ∆x)
f (x)
Si observamos la figura podemos darnos cuenta que la tangente del ángulo de
inclinación de la recta, equivale a la razón que existe entre dy y ∆ x , además si
recordamos lo que se estuvo estudiando en el curso anterior la tangente del ángulo
de inclinación de la recta corresponde a la pendiente de la recta tangente la cuál
esta representada por la derivada de la función, en otras palabras y resumiendo lo
anterior podemos decir que:
Ahora bien si denotamos a x
si despejamos dy se obtiene:
dy
=
∆x
f ´(x)
dy
∆ como dx tendremos que = f ´(x)
, o bien
dx
dy = f ´( x)
dx
A la que llamaremos LA DIFERENCIAL DE f en el punto x , con respecto al
incremento ∆ x =dx , conocido también con el nombre de Valor Aproximado del
cambio total ∆ y .
x x + ∆x
∆ x
dy
∆y
= f ( x + ∆x)
− f ( x)
Diferenciales e Integral Indefinida
13

14
Cálculo diferencial e integral II
A la diferencia que existe entre el Valor real ( ∆ y ) y el Valor Aproximado ( dy ), le
llamaremos ERROR DE APROXIMACIÓN y lo denotaremos como (E.A), es decir:
EJEMPLO 1.- Sea
∆x = dx = 0.
01 .
SOLUCIÓN:
Como
E.A = ∆ y − dy
2
f ( x)
= x . Hallar dy
∆ y, y E.A cuando x = 1 y
2
= f ( x)
x , entonces como y = f ( x + ∆x)
− f ( x)
y =
f ( x ) ( ∆x)
2
+ ∆x
= x + = (1 + 0.01) 2 = (1.01) 2 = 1.0201
2
f ( x)
= x = (1) 2 = 1
Sustituyendo estos valores en:
∆ y = f ( x + ∆x)
− f ( x)
, obtenemos:
∆y = 1 . 0201−1
= 0.
0201
∆ , calculamos:
2
Que corresponde al incremento real que sufre la función f ( x)
= x cuando la x se
incrementa de 1 a 1.01.
2
Ahora bien como f ( x)
= x , entonces, f ' ( x)
= 2x
de tal forma que:
dy = f ´( x)
dx = 2x
dx
obtenemos:
, sustituyendo los valores de x = 1 y dx = 0.
01
dy = 2 x dx =
dy = 0.
02
2(
1)
( 0.
01)
2
Que corresponde al Valor Aproximado de la función f ( x)
= x a través de la
recta tangente a ella cuando la x se incrementa de 1 a 1.01.
Si calculamos E.A.
Es decir:
E.A = ∆ y−dy
E.A = 0. 0201−
0.
02
E.A = 0 . 0001
E.A = 0.0001
Lo que nos permite observar que es una muy buena aproximación pues tenemos
un error de una millonésima.

2
EJEMPLO 2.- Sea f ( x)
= x − 2x
− 3 . Hallar ∆y, dy y E.A cuando x = 1 y
∆x = dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001.
SOLUCIÓN:
Como
2
f ( x)
= x − 2x
− 3 , entonces como ∆ y = f ( x + ∆x)
− f ( x)
,
calculamos:
2
2
2
f ( x + ∆x)
= ( x + ∆x)
− 2(
x + ∆x)
− 3 = x + 2(
x)(
∆x)
+ ( ∆x)
− 2x
− 2∆x
− 3
2
f ( x)
= x − 2x
− 3
Sustituyendo estos valores en:
∆ y = f ( x + ∆x)
− f ( x)
, obtenemos:
2
2
2
∆y = x + 2(
x)(
∆x)
+ ( ∆x)
− 2x
− 2∆x
− 3 − ( x − 2x
− 3)
2
2
2
∆y = x + 2(
x)(
∆x)
+ ( ∆x)
− 2x
− 2∆x
− 3 − x + 2x
+ 3
2
∆y = 2(
x)(
∆x)
+ ( ∆x)
− 2∆x
si sustituimos por ejemplo los valores de
x = 1 y ∆x = 1 tendremos que:
2
∆y = 2(
x)(
∆x)
+ ( ∆x)
− 2∆x
∆y = 2(
1)(
1)
+
∆y = 2 + 1−
2
∆y = 1
( 1)
2 −
2(
1)
Otra manera de resolverse es utilizando el procedimiento del ejemplo 1, es decir:
Para x = 1 y ∆x = 1 tendremos que:
2
f ( x + ∆x)
= ( x + ∆x)
− 2(
x + ∆x)
− 3 =
2
f ( x + ∆x)
= ( 1+
1)
− 2(
1+
1)
− 3 =
2
f ( x + ∆x)
= ( 2)
− 2(
2)
− 3 =
f ( x + ∆x)
= 4 − 4 − 3 =
f ( x + ∆x)
= −3
2
f ( x)
= x − 2x
− 3
f
( x)
=
( 1)
f ( x)
= 1−
2 − 3
f ( x)
= −4
2
−
2(
1)
− 3
Diferenciales e Integral Indefinida
15

16
TAREA 1
Cálculo diferencial e integral II
Página 31.
Por lo tanto, si sustituimos estos valores en:
∆ y = f ( x + ∆x)
− f ( x)
, obtenemos:
∆y
= −3
− ( −4)
∆y
= −3
+ 4
∆y
= 1
2
Como f ( x)
= x − 2x
− 3 entonces:
dy = f ´( x)
dx = ( 2x
− 2)
dx sustituyendo los valores de x = 1 y dx = 1 , se
obtiene:
dy = ( 2x
− 2)
dx = ( 2(
1)
− 2)(
1)
dy = ( 2 − 2)(
1)
dy = ( 0)(
1)
dy = 0
De tal manera que:
Es decir:
E.A = ∆ y − dy
E.A = 1− 0
E.A = 1
E.A = 1
Utilizando cualquiera de los dos procedimientos para calcular ∆y podemos
terminar de resolver el ejemplo para el valor de x = 1 y
∆x = 0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001utilizando
la siguiente tabla:
x ∆ x f ( x + ∆x)
f (x)
∆ y dy E.A
1 1 -3 -4 1 0 1
1 0.5
1 0.1
1 0.01
1 0.001
EJERCICIO 1 EN EQUIPO: Hallar ∆ y y dy , y E.A para las funciones y los valores dados:
1)
2)
3)
4)
5)
f ( x)
=
3
x
para x = 8,
∆x
= dx =
0.
2
f ( x)
= Sen x para
π
x =
3
y dx = 0.
1
2
f ( x)
= x para x = 1 y dx = −0.
1
2
f ( x)
= 2x
− 4x
+ 3 para x = 2 y dx = 0.
01
f ( x)
= Ln x para x = 1 y dx = 0.
5

1.1.2. Teoremas sobre Diferenciales.
Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la
diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fórmula de
derivación que se vio en la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I, le
corresponde una diferenciación que detallaremos a continuación.
FÓRMULAS DIFERENCIALES GENERALES
Para f ( x)
y g(
x)
, funciones derivables de x :
1. CONSTANTE: d [] c = 0
2. MULTIPLO CONSTANTE: d [ cg(
x)
] = c g'(
x)
dx
n n−1
3. POTENCIA: d[
x ] = n x dx
4. SUMA O DIFERENCIA:
5. PRODUCTO:
d
6. COCIENTE:
d
[ f ( x)
± g(
x)
]
= d(
f ( x))
± d(
g(
x))
= f '(
x)
dx ± g'(
x)
dx
[ f ( x)
⋅ g(
x)
] = f ( x)
⋅ d[
g(
x)
] + g(
x)
⋅ d[
f ( x)
]
= f ( x)
⋅ g'(
x)
dx + g(
x)
⋅ f '(
x)
dx
[ f ( x)
] − f ( x)
⋅ d[
g(
x)
]
2 [ g(
x)
]
⎡ f ( x)
⎤ g(
x)
⋅ d
d ⎢
g(
x)
⎥ =
⎣ ⎦
g(
x)
⋅ f '(
x)
dx − f ( x)
⋅ g'(
x)
dx
=
7. REGLA DE LA CADENA:
[ ] 2
g(
x)
[ ( f o
g)
( x)
] = d[
( f ( g(
x)
) ] = f '(
g(
x))
⋅ g'(
x dx
d )
Diferenciales e Integral Indefinida
17

18
Cálculo diferencial e integral II
Aquí se aplica la
regla de la suma de
funciones.
Aquí se aplica la
regla de potencias
de funciones.
EJEMPLOS: Utilizando las reglas de diferenciación, Calcula la diferencial de las
siguientes funciones.
EJEMPLO 1. Sea 5 2 4
2
y = x − x + Calcula dy
Aquí se aplica la regla de suma o resta de funciones.
SOLUCIÓN:
dy = d
2
x − d x + d
( 5 ) ( 2
dy = 10xdx − 2dx
)
( 4)
Factorizando dx obtenemos la diferencial de la función 5 2 4
2
y = x − x +
dy = ( 10x
− 2)
dx
Conclusión: La diferencial es ( 10x
− 2)
dx
1
EJEMPLO 2. Sea y = , Calcula dy
x
−1
Hacemos a la función y = x y utilizamos la regla de las potencias.
SOLUCIÓN:
−2
dy = −x
dx y para no dejar exponentes negativos hacemos lo siguiente:
1
dy = − dx 2
x
dx
Conclusión: la diferencial es dy = − 2
x
5
2
EJEMPLO 3. Sea y = ( 2x
− 9)(
4x
+ 2)
, Calcula dy
SOLUCIÓN:
dy =
5
2
4
[ ( 2x
− 9)(
8x)
+ ( 4x
+ 2)(
10x
) ]
6
6 4
[ 16x
− 72x
+ 40x
+ 20x
] dx
=
6 4
= [ 56x
+ 20x
− 72x]dx
Conclusión: la diferencial es
dx
6 4
dy =
[ 56x
+ 20x
− 72x]dx

EJEMPLO 4. Sea
SOLUCIÓN:
⎡ ( x
dy = ⎢
⎢⎣
⎡ 3x
= ⎢
⎢⎣
⎡ x
= ⎢
⎢⎣
4
2
4
2
+ 15x
− 2x
2 2
( x + 5)
3
x + 7
y = , Calcula dy
2
x + 5
2 3
+ 5)(
3x
) − ( x + 7)(
2x)
⎤
⎥ dx
2 2
( x + 5)
⎥⎦
2
+ 15x
−14x
⎤
⎥ dx
2 2
( x + 5)
⎥⎦
4
−14x
⎤
⎥ dx
⎥⎦
4 2 ⎡ x + 15x
−14x
⎤
Conclusión: la diferencial es dy = ⎢
⎥ dx
2 2
⎢⎣
( x + 5)
⎥⎦
6
y = 5x − 9 , Calcula dy
EJEMPLO 5. Sea ( ) 7
SOLUCIÓN:
6 ( 5x
− 9)
5
dy = 7 ( 30x
) dx
5 6 6
= 210x
( 5x
− 9)
dx
6
5 6 6
Conclusión: la diferencial es dy = 210x ( 5x
− 9)
dx
Diferenciales e Integral Indefinida
Aquí se aplica la
regla del cociente de
funciones.
Aquí se aplica la
regla de la cadena.
19

20
Cálculo diferencial e integral II
EJERCICIO 2
TAREA 2
Página 33.
INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones
utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para
su revisión.
2
1) 4 3
2 y = x −
13) y =
( 3x
− 2
2)
3)
4)
1
3 y = 2x
y =
2
14)
5 2
x
x + 1
y = 15) y =
2x
−1
5) 5 6 8
4
y = x − x +
6)
y = x
5
( 9x
− 2 +
1)
2
7) y = ( −2x
+ 9)(
5x
− 2)
8)
8x
y =
2
− 2x
+ 7
x
3
2 1 1
9) y = 3x + 5x
− + x − + 1
5
x x
10)
y = ( 2x
+ 7
2
)
11) y = 9 x + 1
12)
y =
1
3 x − 2
3
2
y =
5x
+ 3
x −1
x + 2
2
)

FÓRMULAS DIFERENCIALES DE FUNCIONES TRASCEDENTALES.
I. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1) d [ Sen(
g(
x))
] = g´(
x)
⋅ Cos(
g(
x))
dx
2) d [ Cos(
g(
x))
] = −g´(
x)
⋅ Sen(
g(
x))
dx
3) d [ Tan(
g(
x))
] = g´(
x)
⋅ Sec ( g(
x))
dx
4) d [ Cot(
g(
x))
] = −g´(
x)
⋅ Csc ( g(
x))
dx
5) d [ Sec(
g(
x))
] = g´(
x)
⋅ Sec(
g(
x))
⋅Tan(
g(
x))
dx
6) d [ Csc(
g(
x))
] = −g´(
x)
⋅ Csc(
g(
x))
⋅ Cot(
g(
x))
dx
II. FUNCION EXPONENCIAL NATURAL
g ( x)
g(
x)
1) d[
e ] = g'(
x)
⋅ e dx
III. FUNCION LOGARITMO NATURAL
g'(
x)
d
Ln(
g(
x)
= ⋅ dx con g x ≠
g(
x)
1) [ ] ( ) 0
2
2
Diferenciales e Integral Indefinida
21

22
Cálculo diferencial e integral II
2
EJEMPLO 1. Sea y = Sen(
3x
− 7)
, Calcula dy
SOLUCIÓN:
2
dy = 6x
⋅Cos(
3x
− 7)
dx
2
Conclusión: la diferencial es dy = 6x
⋅Cos(
3x
− 7)
dx
EJEMPLO 2 . Sea
SOLUCIÓN:
dy = ( 2x
+ 9)
⋅e
x
2
+ 9x−3
y = e , Calcula dy
x
2
+ 9x−3
dx
x + 9x−3
Conclusión: la diferencial es dy = ( 2x
+ 9)
⋅e
dx
3 2
EJEMPLO 3 . Sea y = Ln(
5x
+ 3x
+ x + 8)
, Calcula dy
SOLUCIÓN:
2 ⎛ x x ⎞
dy ⎜
15 + 6 + 1
=
⎟
⎜
dx
3 2
x x x ⎟
⎝ 5 + 3 + + 8 ⎠
2 ⎛ 15x
+ 6x
+ 1 ⎞
= ⎜
⎟
⎜ 3 2
x x x ⎟
⎝ 5 + 3 + + 8 ⎠
Conclusión: la diferencial es dy
dx
3
EJEMPLO 4 . Sea y = Ln(
Tan(
x − 5))
, Calcula dy
SOLUCIÓN:
2 2 3
⎛ 3x ⋅ Sec ( x − 5)
⎞
2
3
3
dy = ⎜
⎟
⎜
dx = 3x
⋅Csc(
x − 5)
⋅ Sec(
x − 5)
dx
3
Tan(
x 5)
⎟
⎝ − ⎠
2
3
3
Conclusión: la diferencial es dy =
3x
⋅ Csc(
x − 5)
⋅ Sec(
x − 5)
dx
2

EJERCICIO 3
TAREA 3
Página 35.
Diferenciales e Integral Indefinida
INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funciones
utilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor para
su revisión.
2
2
1) y = Sen(
4x
− 3)
13) y =
Sec(
3x
− 2
3
2) y = Ln(
2x
)
3)
4)
1
⎛ ⎞
⎜ 2 ⎟
2
y = Tan
14) y =
⎜ 5 2 ⎟
⎝ x
Csc(
5x
+ 3)
⎠
x+
1
2 x−1
= e
y 15)
4
5) y = Sec(
5x
− 6x
+ 8)
6) ⎜
⎛ 5
3
y = Csc ( 9x
− 2x
+ 1)
⎟
⎞
⎝
⎠
2
7) y = Cos[
( −2x
+ 9)(
5x
− 2)
]
8)
9)
10)
y
y = e
2 ⎛ ⎞
⎜
8x
− 2x
+ 7
Ln
⎟
⎜
⎟
⎝ x ⎠
= 3
1 1
3 x
2
+ 5x−
+ x−
+ 1
x
5 x
y = Sen(
2x
+ 7
y = Cos(
x +
2
)
11) 9 1)
12)
1
y
=
Tanx −
3 2
⎛
y = Ln⎜
⎜
⎝
2
)
x −1
⎞
⎟
x + 2 ⎟
⎠
23

24
Cálculo diferencial e integral II
1.1.3. Aplicaciones de la diferencial.
Trataremos algunos problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando
el incremento de una función.
PROBLEMA 1. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado
de 5m, si éste recibe un aumento de 0.002m.
5m
SOLUCIÓN:
Datos: 2
A = l Fórmula del área de un cuadrado.
l = 5m
dl = ∆l
= 0.
002m
Calcular: dA =
2
Entonces: Como A = l su diferencial es: dA = 2l.
dl y sustituyendo los datos
2
tenemos: dA = 2( 5m)(
0.
002m)
por lo tanto dA = 0. 020m
Conclusión: El incremento es de 0.020 metros cuadrados.
PROBLEMA 2. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a 25 . 4
SOLUCIÓN: Como vimos anteriormente dy nos representa una muy buena
aproximación a la función y = f (x)
alrededor del punto de tangencia x 0 , lo que
nos permite afirmar que:
f x)
≅ f ( x ) + dy
( 0 donde dy = f ( x ) dx
Como el problema consiste en aproximar 25 . 4 , entonces, podemos definir una
función que nos permita aproximar dicho valor, para esto tomaríamos la función
f ( x)
= x de igual manera escogeríamos un punto x 0 donde podamos conocer
con exactitud el valor de la función evaluada en ese punto, para este caso es
conveniente tomar x 0 = 25 , entonces si sabemos que:
f ( x)
≅ f ( x ) + dy
f ( x)
≅ f ( x ) +
0
0
f
'(
x ) dx
0
' 0

Haciendo:
1) f ( x)
= x
1 −
2
Como f ( x)
= x entonces f ( x)
= x por lo tanto f '(
x)
= x
2
2)
1
f ' ( x)
=
2 x
3) x = 25.
4
4) x 0 = 25
5)
dx = x − x
dx = 25.
4 − 25
dx =
Entonces:
25.
4
0.
4
0
f ( x)
≅ f ( x0
) + f '(
x0
) dx
25.
4 ≅
1
25 + ( 0.
4)
2 25
≅
≅
≅
≅
≅
5 +
5 +
5.
04
1
( 0.
4)
( 2)(
5)
1
5 + ( 0.
4)
10
5 + ( 0.
1)(
0.
4)
0.
04
El valor real de 25 . 4 = 5.
039841lo
podemos obtener haciendo uso de la
calculadora.
De tal manera que el error de aproximación sería:
E.A = Valor real − Valor aproximado
=
E.A =
=
5.
039841
0.
000159
−
−0.
000159
1
5.
04
1
2
=
2
1
x
Diferenciales e Integral Indefinida
25

26
Cálculo diferencial e integral II
Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en
aproximadamente una diezmilésima.
PROBLEMA 3. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a Ln 1.
1
SOLUCIÓN: Hagamos:
1) f ( x)
= Ln x
Como f ( x)
= Ln x entonces
1
2) f ' ( x)
=
x
3) x = 1.
1
4) x 0 = 1
5)
dx = x − x
dx =
0.
1
0
dx = 1.
1−1
Entonces:
f ( x)
≅ f ( x0
) + f '(
x0
) dx
Ln 1.
1 ≅
1
Ln 1+
( 0.
1)
1
≅ 1(
0.
1)
Ln
1.
1
≅
≅
0 +
0 +
0.
1
0
. 1
1
f ' ( x)
=
x
El valor real de Ln 1 . 1 = 0.
0953 lo podemos obtener haciendo uso de la
calculadora.
De tal manera que el error de aproximación sería:
E.A = Valor real − Valor aproximado
=
E.A =
=
0.
0953
−0.
00047
0.
00047
−
0.
1
Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en
aproximadamente cuatro diezmilésimas.
`

PROBLEMA 4. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1m,
debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es
aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere?
SOLUCIÓN: La cantidad de concreto requerida es la diferencia ∆V entre el
volumen del cilindro exterior y el cilindro interior como lo podemos observar en la
siguiente figura:
Calcularemos ∆ V a través de dV recordando que la fórmula para calcular el
volumen del cilindro es:
2
V = π r
Como h = 1 m = 100 cm entonces tenemos una función para el volumen del
cilindro que depende únicamente del radio la cuál escribimos de la siguiente
manera:
Por lo tanto:
∆
V
h
V ( r)
= 100 π r
dV = 200 π r dr
Si sustituimos r = 50 y dr = 3 , en dV , obtenemos:
dV = 200 π ( 50)(
3)
= 94247.
77961 cm
Lo que representa la cantidad de concreto que se necesita para revestir el depósito
cilíndrico.
2
3
Diferenciales e Integral Indefinida
27

28
Cálculo diferencial e integral II
Recuerda que:
180º= rad
π
PROBLEMA 5. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a Cos 30.
5º
SOLUCIÓN: Hagamos:
1) f ( x)
= Cos x
Como f ( x)
= Cos x entonces f ' ( x)
= − Sen x
2) f ' ( x)
= − Sen x
3) x = 30.
5º
x
4) 30º
5)
0 =
dx = x − x
dx = 30.
5º
−30º
dx =
0.
5º
0
Para poder aproximar correctamente el valor de Cos 30.
5º
es importante que el
π
dx = 0.
5º
lo expresemos en radianes, es decir, dx = rad .
360
Entonces:
f x)
≅ f ( x ) + f '(
x ) dx
Cos
( 0
0
Cos30.
5º
30.
5º
≅
≅
≅
⎛ π ⎞
Cos 30º
+ Sen 30º
⎜
360
⎟
⎝ ⎠
3 ⎛ 1 ⎞⎛
π ⎞
+ ⎜ ⎟⎜
⎟
2 ⎝ 2 ⎠⎝
360 ⎠
3
2
+
π
720
360 3 + π
≅
= 0.
87038
720
El valor real de Cos 30 . 5º
= 0.
86162 lo podemos obtener haciendo uso de la
calculadora.
De tal manera que el error de aproximación sería:
E.A = Valor real − Valor aproximado
=
E.A =
=
0.
86162
−0.
00876
0.
00876
−
0.
87038

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real en
aproximadamente ocho milésimas.
EN EQUIPO DE DOS: Detalla por escrito el proceso de solución analítica
típica de problemas de aproximación al incremento, utilizando la
diferencial y compara el proceso de solución con tu compañero.
1) obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de
lado de 2m al aumentar el lado 0.003m.
2) Hallar el valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de
200mm de diámetro exterior y 1mm de espesor.
3) Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a
100m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro, esta
última se ve con un ángulo de elevación de 30º. Encuentre
aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura,
sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0.3º.
4) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm. de longitud, su lado
aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?
5) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm. de longitud, su lado
disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?
6) Aproximar utilizando diferenciales los siguientes valores:
A) 9 . 5
B)
C)
5 32 . 1
0.
5
e
D) 3 64 . 01
E) Sen 45.
5º
F) Cos 60.
25º
G) Tan 30.
75º
H) Ln 1.
3
I) 37
J)
1
4.
5
Diferenciales e Integral Indefinida
EJERCICIO 4
TAREA 4
Página 37
29

30
Cálculo diferencial e integral II

Diferenciales e Integral Indefinida
INSTRUCCIONES: Hallar ∆ y y dy , y E.A para las funciones y los valores dados; entrégale los resultados a
tu profesor para su revisión.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
f ( x)
=
f ( x)
= Cos x
f ( x)
= x
f ( x)
= Ln x
f ( x)
= e
f ( x)
=
3
x
2
para x = 64,
∆x
= dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001
−1
π
x =
3
y dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001
x = 1 y dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001
2
f ( x)
= x − 4x
+ 3 para x = 1 y dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001
x
f ( x)
= Tan x para
π
x =
4
y dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001
2
f ( x)
= x + 2x
−1
para x = 0 y dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001
x
1
f ( x)
=
x
TAREA 1
para
para
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
para x = 1 y dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001
para x = 0 y dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001
para x = 1,
∆x
= dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001
para x = 1,
∆x
= dx = 1,
0.
5,
0.
1,
0.
01,
0.
001
31

32
Cálculo diferencial e integral II
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________

Diferenciales e Integral Indefinida
INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy ,de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de
diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.
1)
2)
3)
3 2
y = 5x
− 2x
+ x −10
1
y = +
x
x
5
−
1
x
5 2
− 2
11)
12)
y =
y =
x
1
2x
−1
2
− 5x
+ 9
7
3
y = ( 4x
− 9)(
2x
+ 1)
8 2 5
13) y = ( 3x
−1)
6
x − 2x
+ 3
4) y = 2
x + 5
3
x −8
5) y = 2
x + 2x
+ 4
6)
x
y =
2
7) −
− 2x
−15
x − 5
14)
15)
16)
x
10
y = ( 3x
−1)(
x
y =
y =
4x
1
5 2
x
7
3
4 +
+ 2
8
3
+ 5)
2 3
3 2
y = ( 3x
5)
17)
y = 6x
− 4x
− x + 3
8) y = x −
9)
10)
3 2
1
y =
x + 7
y =
( x
2
3
TAREA 2
+ 9)
6
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
18)
y =
x +
4
x
⎛ x + 2 ⎞
19) y = ⎜ ⎟
⎝ x − 5 ⎠
7
20) y = ( 3x
+ 6)
( 2x
−
3
x
6
1)
3
33

34
Cálculo diferencial e integral II
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________

Diferenciales e Integral Indefinida
INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de
diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.
1)
2)
3)
4)
y = Sen ( x
3 +
y = Cos ( 2x
y = Tan ( 4x
y = Cot
⎛
⎜
⎝
1)
5 +
7 −
x − 2
x + 5
7)
9)
⎞
⎟
⎠
5) y = Sec [( 3x
+ 2)(
x −1)]
5
6) y = Csc ( 2x
−
2
7) y = Ln ( 3x
−
8)
y = Ln
⎛
⎜
⎝
x + 3
x + 4
11)
5)
⎞
⎟
⎠
9 ) y = Ln ( x − 2)(
x + 6)
10)
y = Ln ( Sen(
x
TAREA 3
3
3
))
5
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
11) y = Ln x −
12)
13)
7 5 9
Sen ( x − 3)
y =
Cos ( x − 3)
2
2
y = Sen ( x −1)
+ Cos ( x −1)
1
14) y =
5
Sec ( x )
15)
16)
17 )
18)
19)
20)
y = Ln
y
y
−3
= x
e
+ 8
= + 2 x
x
e
e
y =
e
Sen
y = e
y =
3 ⎛ x − 5x
+ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ 2
2 ⎟
⎝ x − ⎠
3x
2
+ 5x+
2
x
2
−x−2
x
5
Cos ( Ln ( x−3))
e
9
35

36
Cálculo diferencial e integral II
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________

TAREA 4
Diferenciales e Integral Indefinida
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
INSTRUCCIONES: Plantea y resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su
revisión.
1) Si la medida de la arista de un cubo es 12 pulgadas, con un posible error de 0.03 pulgadas,
estimar mediante diferenciales el máximo error posible cometido al calcular:
a) El volumen del cubo.
b) El área superficial del cubo.
2) Calcular el incremento del área de un cuadrado de lado 7m. al aumentar el lado 3mm.
3) Calcular el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 7.3m al aumentar el lado
0.007m.
4) Obtener el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8cm de radio
cuando el radio aumenta 3cm.
5) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta en 0.04 cm.
¿Cuánto aumento aproximadamente su área?
6) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto
disminuirá porcentualmente su área?
7) La pared lateral de un depósito cilíndrico con radio de 60 cm y altura de 1.20m, debe revestirse con
una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que
se requiere?
8) Pruebe que si al calentar(enfriar) una placa cuadrada metálica de lado L, su lado
incrementa(disminuye) un p %, entonces el área se incrementa(diminuye) un 2p %.
9) Al calcular la altura de un cerro, se encuentra que desde un punto situado a 100 m de la proyección
en el suelo de la parte más alta del cerro, esta última se ve con un ángulo de elevación de 30º.
Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura, sabiendo que la
medición del ángulo se hace con un posible error de 0.3º.
37

38
Cálculo diferencial e integral II
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________

Diferenciales e Integral Indefinida
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la
opción que consideres correcta.
4 2
1. La diferencial de la siguiente función y = 3x
− 5x
+ 4x
−1
es:
3
� dy = ( 12x
−10x
+ 4)
dx
3
� dy = ( 12x
−10x
+ 4x
−1)
dx
3
� dy = ( 12x
−10x
+ 3)
dx
3 2
� dy = ( 12x
−10x
+ 4)
dx
2. El incremento aproximado del volumen de un cubo con lado de 5.3m al aumentar el lado 0.007m es:
� 0.698
� 0.725
� 0.589
� 0.456
3. La diferencial de la siguiente función ( 7)
4 y = Sen x + es:
� dy Cos ( x 7)
dx
4 = +
3
� dy = 4x
Cos ( x + 7)
dx
3 4
� dy = − 4x
Cos ( x + 7)
dx
� dy Cos ( x 7)
dx
4 = − +
4. El valor aproximado de 3 8 . 5 es:
� 2.041
� 2.083
� 2.416
� 2.004
AUTOEVALUACIÓN
4
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
39

40
Cálculo diferencial e integral II
5. La diferencial de la siguiente función y = Ln ( 2x
+ 1)
es:
2x
� dy = dx
2x
+ 1
� dy = 0
2
� dy = dx
2x
+ 1
2
� dy = dx
Ln(
2x
+ 1)
6. La diferencial de la siguiente función
x−5 � dy = e dx
x−5 � dy = ( x − 5)
e
� dy = dx
dx
x−5 � dy = −e
dx
−5
= x
y e es:
7. La diferencial de la siguiente función ( 9)
7 y = x + es:
7
� dy = x dx
� dy ( x 9)
dx
7 = +
7
� dy = x dx
6
� dy = 7x
dx
8. El valor del incremento real ∆ y de la función:
2
f ( x)
= x − 5,
para x = 0 y ∆x
= dx = 0.
01 es:
� ∆y = 0.
1
� ∆y = 0.
01
� ∆y = 0.
001
� ∆y
= 0.
0001

Diferenciales e Integral Indefinida
9. El valor del error de aproximación (E.A) de la función
2
f ( x)
= ( x − 3)
+ 5,
para x = 4 y ∆x
= dx = 0.
5 es:
� E . A = 0.
0025
� E . A = 0.
0025
� E . A = 0.
025
� E . A = 0.
25
10. Al calentar una placa metálica cuadrad de 25 cm de lado, su lado se incrementa un 2 %, el porcentaje en el
que se incrementa su área es:
� 2 %
� 3 %
� 4 %
� 8 %
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE
� Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te
invitamos a continuar con esa dedicación.
� Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es
necesario que nuevamente repases los temas.
� Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es
insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu
profesor.
Consulta las
claves de
respuestas en la
página 103.
41

42
Cálculo diferencial e integral II

INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1
1. Completa la siguiente tabla para la función: y =
x
x dx = ∆x
∆ y dy ∆ y − dy
2
2
2
2
1
0.5
0.1
0.01
Diferenciales e Integral Indefinida
2. Utiliza el concepto de diferencial para encontrar el valor aproximado de los siguientes valores:
a) 37
1 . 8
b) ( ) 5
c) 5 32 . 5
EJERCICIO DE
REFORZAMIENTO 1
d) Sen 60.
5º
e) Ln 1.
25
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
3. Resuelve el siguiente problema de aplicación de las diferenciales:
Un tanque de almacenamiento de aceite en forma de cilindro circular vertical tiene una altura de 5m. el
radio mide 8m, con un error posible de ±0.25m.Utilice diferenciales para calcular el error máximo en el
volumen. Encuentre el error relativo aproximado y el porcentaje aproximado de error.
43

Cálculo diferencial e integral II
44
4. Hallar dy utilizando los teoremas:
( ) x
x
e
y
j
x
y
i
x
x
y
h
x
Sec
y
g
e
y
f
x
x
Ln
y
e
x
Sen
y
d
x
y
c
x
x
x
x
y
b
x
x
y
a
2
tan
10
8
4
7
2
2
7
2
3
2
3
2
)
5
3
)
1
1
)
)
(
)
)
2
2
)
)
8
4
(
)
6
7
)
7
2
)
5
11
3
)
=
+
=
−
+
=
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
−
=
+
=
+
+
−
=
+
−
=
+

La presa Hoover en E. U. tiene uno de los diques de arco
de concreto más altos del mundo . Ésta contiene las
aguas del Río Colorado, la estructura depende tanto de
las paredes del Black Canyon como de su propia masa.
Este diseño de arco presenta una curva hacia el agua que
contiene y casi siempre se construye en cañones
angostos.
Para determinar el área y el volumen de concreto para la
construcción de la obra se requiere de conocimientos
matemáticos, como los de integración que en este
capítulo te presentaremos.
Si quieres investigar más acerca de esta monumental
obra, consulta en Internet bajo el nombre de la “presa
Hoover”.
http://integrals.wolfram.com
Unidad 2
Integral indefinida
y algunos métodos
de integración.
Objetivos:
El alumno:
Aplicará el concepto de integral indefinida,
integrando diferenciales cuya forma no
sea susceptible de integrarse de manera
inmediata, a partir del conocimiento de
algunos métodos de integración (cambio
de variable, integración por partes);
mostrando una actitud analítica y
participativa.
Temario:
• Integral indefinida
• Métodos de integración

46
Cálculo integral II
Mapa Conceptual de Unidad
Integrales
Integral
Indefiinida
Para integrarlas se usan
Métodos de
integración
Cambio de
variable o por
sustitución
Integración
por partes

2.1.
LA INTEGRAL INDEFINIDA.
2.1. La integral indefinida (Antiderivada).
Integral definida
Si me pongo los zapatos, puedo quitármelos otra vez. La segunda operación anula a la primera, regresando los
zapatos a la posición original. Decimos que las dos son operaciones inversas. Las matemáticas contienen
muchos pares de operaciones inversas: La Suma y la resta; al igual que la división y la multiplicación; lo mismo
puede decirse de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente, productos notables y la factorización. En
el Cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la derivada f ´(x)
de una función f (x)
. Ahora nos
ocuparemos del problema inverso, es decir, dada una función f (x)
buscaremos obtener la función F (x)
, tal
que al derivar F obtengamos la función f (x)
. A F (x)
se le conoce como la antiderivada de f (x)
. Veamos
los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1: Encuentra la antiderivada de f ( x)
= 2x
y represéntala gráficamente.
Solución: Buscamos una función (x)
( x)
de cálculo diferenciaI I, sabemos que la función cuya derivada es 2 x , es:
F que satisfaga la igualdad F ' = 2x
. Recordando los conocimientos
2
F ( x)
= x ;
2
ya que la derivada de F ( x)
= x es F ' ( x)
= 2x
. Sin embargo, sabemos que no es la única, pues también si
derivamos las siguientes funciones:
F(
x)
= x
F(
x)
= x
F(
x)
= x
2
2
2
− 3,
3
+ ,
2
− 2π
,
obtenemos la misma derivada. Generalizando lo anterior podemos escribir F x = x + C
2
( ) , donde C es
cualquier constante, dichas funciones representan la antiderivada de la función f ( x)
= 2x
.
Si representamos gráficamente cada una de las antiderivadas obtenemos:
Observa que la
diferencia entre las
parábolas se da en el
corte de éstas con el eje
y . Los valores de las
ordenadas en dicho corte
representan los valores
que puede tomar la
constante C .
47

48
Cálculo integral II
Ejemplo 2: Encuentra la antiderivada de
2
f ( x)
= 3x
.
Solución: Al igual que en el ejemplo anterior, buscamos una función F (x)
que satisfaga la igualdad
2
F '( x)
= 3x
. Ésta es:
F x = x + C
3
( ) ,
2
ya que si derivamos F (x)
, obtenemos F '( x)
= 3x
, recuerda que la derivada de la constante C es igual a
cero.
2
Por lo tanto la antiderivada de f ( x)
= 3x
es F x = x + C
3
( ) .
Encontrar la función que tiene cierta derivada es más que un simple ejercicio mental. Más adelante se verá que
hay aplicaciones reales e interpretaciones físicas de esta idea.
2.1.1. Definición formal de integral indefinida.
Una definición formal del concepto de antiderivada es la siguiente:
Sea F (x)
una función tal que F ´( x)
=
como
f ( x)
, la cual llamaremos la antiderivada de f , y la denotaremos
F ( x)
= f ( x)
dx ;
Al término ∫
f ( x)
dx también se le conoce como integral indefinida.
F es una antiderivada de
f (x)
.
“Integral indefinida” y
“función primitiva” son
sinónimos de la palabra
“antiderivada”.
El símbolo ∫ es la inicial
de la palabra suma.
∫

Ejemplos: Encuentra la integral indefinida o la antiderivada de las siguientes funciones.
1) ∫ x dx
2
3 es una función (x)
F tal que
2 3
Por lo tanto: ∫ 3 x dx = x + C .
∫
3 4
2) 4 x dx = x + C .
∫
19 20
3) 20 x dx = x + C .
∫
4) 5 dx = 5x
+ C .
∫
5) − 3 dx = −3x
+ C .
∫
3
4
6) ( 4x
+ 5)
dx = x + 5x
+ C .
∫
19 2
20 3
7) ( 20x
− 3x
+ 3)
dx = x − x + 3x
+ C .
∫
8) cos x dx = sen x + C .
∫
x x
9) e dx = e + C .
∫
2
F '( x)
= 3x
, es decir, F x = x + C
3
)
( .
2 x
x
10) (cos x − sen x + sec x + e − 5)
dx = sen x + cos x + tan x + e − 5x
+ C .
EJERCICIO 1
Integral definida
EN EQUIPO: Encuentra la integral indefinida (antiderivada) de las
siguientes funciones y compara tus resultados con tus compañeros:
∫5
6) ∫ dx π
4
1) x dx
2) ∫ x dx
6
7 7) ∫
− dx x
2
csc
3)
2
∫ ( 3x
− 2x
+ 1)
dx 8) ∫sec x⋅tan xdx
4) ∫ ( 2x
− 4)
dx
3 2
9) ∫ ( 4x
+ 3x
+ 2x
+ 1)
dx
5) ∫ dx
∫
4 10) dx x x x x
x
( e + sec ⋅tan
−csc
⋅cot
)
49

50
Cálculo integral II

2.1.2. Reglas básicas de integración.
DEFINICIÓN DE LA NOTACION INTEGRAL PARA LAS ANTIDERIVADAS:
Si F (x)
es una integral indefinida de f (x)
se expresa:
∫
( Si y solo si ) + ( )
y = f x)
dx = F(
x)
+ C
Donde:
C = Constante arbitraria.
REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACION:
1) CONSTANTE: ∫
kdx
= kx + C
2) MULTIPLO CONSTANTE: ∫ ( x)
dx k∫
F ´( x C = f x
kf = f ( x)
dx
3) SUMA O DIFERENCIA: ∫ [ ( x)
g(
x)
] dx = ∫ f ( x)
dx ± ∫
4) POTENCIAS: ∫
5) EXPONENCIALES: ∫
f ± g(
x)
dx
n+
1
n x
x dx = + C , n ≠ 1
n + 1
x x
e dx = e + C
1 1
∫ ∫ −
6) LOGARITMICA: dx = x dx = ln x + C
7) TRIGONOMETRICAS:
∫
x
cos xdx = senx + C
∫ senxdx = −cos
x + C
∫ sec xdx = tan x + C
2
∫ sec x tan xdx = sec x + C
∫ csc xdx = −cot
x + C
2
∫ csc
x cot xdx = −csc
x + C
Integral definida
51

52
Cálculo integral II
Ejemplos: Calcular la integral de las siguientes funciones utilizando las reglas de integración.
1) ∫ 5 dx =
Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla de la constante así:
2) ∫
x dx
3
4
=
∫
∫
5 dx = 5 dx = 5x
+ C
= 5 x + C .
Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla del múltiplo constante así:
Por lo tanto:
3) ∫
2
( 3x
− 2x
+ 3)
dx =
3+
1
x
3 + 1
3
3
∫4xdx = 4∫
x dx = 4 +
∫
3 4
4 x dx = x + C
= x + C
4
Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla de la suma o resta:
∫
2
∫xdx − 2∫xdx
+ ∫
2
( 3x
− 2x
+ 3)
dx = 3
3 dx =
3 2
x x
3 2
= 3 − 2 + 3x
+ C = x − x + 3x
+ C
3 2
3 2
= x − x + 3x
+ C .
4) ∫
2
( 2x
+ 3)
dx =
Solución: Aplicando el álgebra tenemos:
∫
2
∫xdx + 12∫xdx
+ ∫
2
( 4x
+ 12x
+ 9)
dx = 4
9 dx
3 2
3
x x
4x
2
= 4 + 12 + 9x
+ C = + 6x
+ 9x
+ C
3 2
3
3
4x 2
= + 6x
+ 9x
+ C .
3
.
C

5) ∫
2 sen xdx =
Solución: Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos:
Simplificando tenemos:
6) ∫
8
2
sec
xdx =
2
∫
sen xdx = 2(
−cos
x)
+ C
= −2
cos x + C .
Solución: Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos:
Simplificando tenemos:
7) ∫
2
( 2x
+ 3)(
3x
− 2)
dx =
Solución:
8
∫
sec
2
= 8 tan x + C .
x dx = 8(tan
x)
+ C
3 2
3
2
∫( 6x
4x
+ 9x
− 6)
dx = 6∫xdx
− 4∫
x dx + 9∫
xdx
− 6∫
8) ∫
− dx
4 3 2
6x
4x
9x
= − + − 6x
+ C
4 3 2
x dx
=
4 3 2
3x
4x
9x
= − + − 6x
+ C
2 3 2
Solución:
Aplicando la regla de potencias tenemos:
simplificando nos quedaría de la siguiente manera:
∫
3
.
1
2
3
x 2
2
2
x ) dx = + C = x + C
3 3
2
( ;
=
2
3
3
x + C
.
Integral definida
53

54
Cálculo integral II
9) ∫
(
e x
Solución:
+ cos x)
dx =
Esto quedaría de la siguiente forma:
10) ∫
Solución:
x
x
∫ e dx + ∫ cos xdx = e + sen x + C
e sen x C
x
= + + .
⎛ 5 2 3 ⎞
⎜ + 2x
− ⎟dx
= 4
⎝ x x ⎠
Aquí se aplica la regla de potencias y la de logaritmos:
1
2
−4 5 ∫ dx + 2∫
x dx − 3∫xdx
=
x
3 −3
2x
3x
= 5ln
x + − + C ;
3 − 3
simplificando tenemos la solución:
2 3 1
= 5 ln x + x + + C .
3
3 x
INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones y entrégaselas a
tu profesor para su revisión.
∫
− dx =
2)
⎛ 1 4 6
∫ ⎜ − 2x
+ 3
⎝ x x
⎞
+ 8x
⎟
⎟dx
=
⎠
3
2
1) ( 2 x 5x
+ 8 −10x
)
3) ∫ ( x + 7x
− 2)
dx =
⎛ ⎞
4) ⎜ ⎟
∫ dx =
⎜ ⎟
⎝ x ⎠
5
1
5)∫
2
( 4x
− 3)(
2x
+ 5)
dx =
6) ∫ ( 3 x 2)
2
− dx =
x 3
7) ∫ ( e x − x + x )
2
6 cos sec 3
8)∫
∫
+ dx =
2
x − 4
dx =
x + 2
3
x − 2 dx =
9) ( )
3 5 ⎛ 4x
− 6x
+ 7 − 8x
⎞
10) ∫ ⎜
⎟
⎜
⎟
dx =
2
⎝ x ⎠
TAREA 1
Pág. 65
EJERCICIO 2

2.2.
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
2.2.1. Integración por cambio de variable o sustitución.
Integral definida
En esta sección se estudiarán métodos para la integración de funciones compuestas, es decir, producto de
funciones, cociente de funciones, potencias de suma de funciones, etc. La técnica de cambio de variable o
sustitución es el más frecuente. Consiste en hacer una expresión igual a una nueva variable (por ejemplo u),
calcular el diferencial de esta nueva variable y sustituir estos cambios en la expresión que queremos integrar. En
muchas ocasiones la integral que se obtiene con el cambio de variable es más sencilla que la original y así
podemos integrarla.
Evidentemente después tenemos que deshacer el cambio de variable.
La importancia de la sustitución en la integración es comparable con la de la regla de la cadena en la derivación.
Recuerda que para funciones derivables dadas por
y = F(u)
y u = g(x)
, la regla de la cadena expresa que
d
[ F(
g(
x))
] = F'(
g(
x))
g'(
x)
.
dx
De la definición de una antiderivada, se deduce que
∫ F ' ( g(
x))
g'(
x)
dx = F(
g(
x))
+ C
= F ( u)
+ C.
Con un cambio de variable formal, se escribe de nuevo toda la integral en términos de u y du (o de cualquier
otra variable conveniente). La técnica de cambio de variables usa la notación de Leibniz para la derivada. Es
decir, si F es la antiderivada de f y u = g(x)
, entonces du = g'(
x)
dx , y la integral anterior toma la forma
∫ ∫ +
f ( g(
x))
g'(
x)
dx = f ( u)
du = F(
u)
C.
En los siguientes ejemplos se muestra cómo aplicar el teorema de integración por sustitución, reconociendo la
presencia de f ( g(
x))
y g '( x)
. Observa que la función compuesta en el integrando tiene una función externa
f y una función interna g. Además, la derivada g '( x)
está presente como un factor del integrando.
Función
externa
∫
f ( g(
x))
g'(
x)
dx = F(
g(
x))
+ C.
23
1 El teorema no indica
cómo distinguir entre
f ( g(
x))
y g '( x)
en el
Función
interna
Derivada de la
función interna
integrando. A medida
que adquieras más
experiencia en la
integración, tu habilidad
para hacer esto se
incrementará. Por
supuesto, una parte
clave es la familiaridad
que tengas con
derivadas.
55

56
Cálculo integral II
2 2
EJEMPLO 1: Encuentra ∫ ( x + 1)
( 2x)
dx.
2
Solución: Primero, haz que u sea la función interna, u = x + 1.
Después, calcula el diferencial de u que es
2 2 2
du = 2xdx
, despejando dx de la expresión de du , tienes dx = du / 2x
. Ahora, usando ( x + 1)
= ( u)
,
sustituye el cambio de variable para obtener lo siguiente:
2 2
2 ⎛ du ⎞
∫ ( x + 1)
( 2x)
dx.
= ∫ u 2x⎜
⎟
Integral en términos de u
⎝ 2x
⎠
2
= u du
∫
3 ⎛ u ⎞
= ⎜
⎟ + C
⎝ 3 ⎠
=
3
2 ( x + 1)
+ C.
1 3
Si te fijas la intención del cambio de variable es expresar la integral, que es un producto de funciones, en
una integral más sencilla, de tal manera que puedas utilizar los teoremas básicos de integración. En este
2 2
ejemplo con el cambio de variable sugerido se logró expresar el producto de funciones ( x + 1)
( 2x)
dx
como una potencia de funciones u du
2 con la finalidad de utilizar el teorema de integración básico
correspondiente.
EJEMPLO 2: Encuentra ∫ x 2x − 1dx.
Solución: Como en el ejemplo anterior, hacemos que u sea la función interna, u = 2x −1,
el diferencial de u
es du = 2dx
y obtenemos dx = du / 2.
Como el integrando contiene un factor de x que no se va a poder
cancelar al sustituir dx , también debemos despejar x en términos de u , como sigue:
u + 1
u = 2x
−1
⇒ x = .
2
Ahora, haciendo la sustitución del cambio de variable, obtienes lo siguiente:
⎛ u + 1 ⎞ 1 ⎛ du ⎞
⎜
⎟ 2
∫ x 2x
−1dx = ∫ u ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
14243
⎠
sen x
EJEMPLO 3: Encuentra ∫ dx .
x
x
1 3 1 ⎛ 2 2
=
⎞
∫ ⎜u
+ u ⎟du 4 ⎝ ⎠
⎛ 5 3
2 2 ⎞
1 ⎜ u u ⎟
=
+ C
⎜ +
4 5 3 ⎟
⎝ 2 2 ⎠
1
5 1
3
= 2x
−1
2 + 2x
−1
2 + C
10
6
( ) ( ) .
Solución: Como el integrando involucra la función trigonométrica sen x el cambio de variable adecuado es
1
2
u = x = u , ya que el denominador del integrando contiene la misma forma del argumento de la función
1 − 1
Antiderivada en términos de u
Antiderivada en términos de x
trigonométrica. De modo que du = x
2
2dx
, despejando dx tenemos:
2du 1
2
dx = = 2x
du = 2
− 1
2 x
x du .

Sustituyendo el cambio de variable obtenemos:
sen x senu
∫ dx = 2 ( xdu)
,
x ∫ x
= 2 ∫ senu
du ,
= −2
cos u + C ,
= −2
cos x + C .
∫
2
EJEMPLO 4: Encuentra sen 3x
cos3xdx.
2
2
Solución: Como sen 3x
= ( sen3x)
, haz u = sen3x
. Entonces du = (cos3x)( 3)
dx.
.
du
Ahora, despejamos dx , obteniendo dx = , se sustituyen u y du en la integral dada
3cos3x
3cos3x
produciendo lo siguiente:
2
2 du
∫ sen 3x
cos3xdx
= u cos3x
,
∫ 3cos3x
1 2
= ∫u
du ,
3
3
1 ⎛ u ⎞
= ⎜
⎟ + C ,
3 ⎝ 3 ⎠
1 3
= sen 3x
+ C .
9
Integral definida
2
x + 2x+
6
EJEMPLO 5: Encuentra ∫ ( x + 1)
e dx .
Solución: En el caso de las funciones exponenciales es recomendable considerar el argumento de la función
2
exponencial (es decir, todo el exponente) como el cambio de variable u . Así u = x + 2x
+ 6 , diferenciando
u obtienes: du = ( 2x
+ 2)
dx , despeja dx y no olvides considerar el factor común con la finalidad de obtener
du
un factor igual al factor que tienes en el integrando para que logres la cancelación del mismo, dx = .
2 ( x + 1)
Sustituye el cambio de variable en la integral para proceder a integrar bajo algún teorema básico:
2
x + 2x+
6
u du
∫
( x + 1)
e dx = ∫(
x + 1)
e ;
2(
x + 1)
1 u
= ,
2 ∫ e du
1 u
= e + C,
2
1 2
x + 2x+
6
= e + C.
2
57

58
Cálculo integral II
2
3x
− 2x
+ 4
EJEMPLO 6: Encuentra ∫ 3 2
( 4x
− 4x
+ 16x)
2
dx.
Solución: En este ejemplo el integrando es un cociente de polinomios específicamente, observa que el
denominador del cociente es una potencia, por lo que la sugerencia para el cambio de variable de acuerdo a
3 2
los ejemplos anteriores es precisamente u = 4x
− 4x
+ 16x
, diferenciando obtienes
2
du = ( 12x
−8x
+ 16)
dx , observa que el diferencial de u es parecido al numerador del cociente del
integrando, por lo que al momento de despejar te sugiero que consideres nuevamente el factor común con el
objetivo de eliminar ese factor al momento de aplicar la sustitución del cambio de variable. Ahora despejamos
du
dx de du , dx =
y sustituimos en la integral:
2
4(
3x
− 2x
+ 4)
2
2
3x
− 2x
+ 4 3x
− 2x
+ 4 du
∫ dx =
;
3 2 2
2
2
( 4x
− 4x
+ 16x)
∫ u 4(
3x
− 2x
+ 4)
1 du 1 −2
=
;
4 ∫ = u du
2
u 4 ∫
−1
1 u 1
= ⋅ + C = − + C;
4 −1
4u
1
= −
+ C.
3 2
4(
4x
− 4x
+ 16x)
Con todos estos ejemplos pudiste darte cuenta ya, de los pasos a seguir para llevar a cabo la integración por
sustitución. Enseguida te presentamos un resumen de estos pasos.
1.- Elige un cambio de variable u = g(x)
. Casi siempre es mejor elegir la parte interna de una función
compuesta; digamos, una cantidad elevada a una potencia, una función radical, el argumento de una función
trigonométrica o una exponencial cuando éste no es una simple x , etc.
2.- Calcula du = g'(
x)
dx y despeja de ella dx .
3.- Escribe de nuevo la integral en términos de la variable u sustituyendo el cambio de variable.
4.- Evalúa la integral resultante en términos de u .
5.- De nuevo sustituye u por g (x)
para obtener una antiderivada en términos de x .
6.- Si quieres comprobar tu respuesta puedes hacerlo mediante derivación o mediante el uso de la tecnología.
(Busca “The Integrator” en el Google).
TAREA 2
Pág. 67

INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando la
técnica de cambio de variable y entrégaselas a tu profesor para su revisión.
3
2
1 ∫ ( 2 5x
+ 8 −10x
)
2
x − ( 6x
− 20x
− 5)
dx =
2.2.2 Integración por partes.
3
Integral definida
Si una integral no puede resolverse por cambio de variable, puedes intentarlo por integración por partes.
Este método puede aplicarse a una gran variedad de funciones, es muy útil particularmente para
integrandos que incluyen productos de funciones algebraicas o logaritmos que no pueden evaluarse
directamente por medio de los teoremas básicos de integración. Por ejemplo, la integración por partes
funciona bien para integrales similares a
2 x
∫ x ln xdx,
∫ x e dx y ∫ e sen xdx
x
,
ya que puede transformarlas en una forma estándar.
La integración por partes se basa en la fórmula de la derivada de un producto
d dv du
[ uv]
= u + v = uv'+
vu'
,
dx dx dx
donde u y v son funciones diferenciables de x . Si u' y v ' son continuas, es posible integrar ambos miembros
de esta ecuación para obtener
uv = uv'
dx + u'vdx
∫ ∫
∫udv + ∫
= vdu.
Al volver a escribir esta ecuación, se obtiene el siguiente teorema:
TEOREMA: Integración por partes.
Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces
udv = uv − vdu.
∫ ∫
x −1
6)∫ dx =
2
x − 2x
2)
sen2x
∫ dx =
2
cos 2x
7) ∫ 2
t
dt =
3)
3
∫ x
4
x + 5dx
=
8) ∫
senx
dx =
2 − cos x
4)
2
3 5
∫ ( 3x
− 4)(
2x
− 8x)
dx =
9) ∫
x
x dx = cos
1
−
5)∫ xe dx =
x2 2
2
10) ∫ t sent
dt =
e t
1
EJERCICIO 3
59

60
Cálculo integral II
Esta es la fórmula de integración por partes. En esta fórmula se expresa la integral original en términos de otra
integral. Con base en las selecciones de u y dv , puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la
original. Como la selección de u y dv es importante en el proceso de integración por partes, se proporciona
las siguientes recomendaciones:
1. dx siempre forma parte de dv .
2. dv tiene que ser integrable.
3.- Intenta hacer que dv sea la parte más complicada del integrando y que se ajuste a una regla básica de
integración. Entonces u será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando.
4.- Intenta hacer que u sea la parte del integrando cuya derivada sea una función más sencilla que u .
Entonces dv será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando.
En algunos casos puede necesitarse la aplicación de la fórmula de integración por partes más de una vez,
como en el ejemplo que se planteará más adelante.
EJEMPLO 1: Integración por partes que contiene producto de una función exponencial.
Encuentra ∫ xe dx.
x
Solución: Para aplicar la integración por partes, es necesario escribir la integral en la forma ∫ udv . Hay
varias formas de hacerlo.
x
x x
∫ (
{
x)
( e dx)
,
23
∫ (
{
e ) ( xdx)
,
23
∫ 1{ ( xe dx)
,
4243
{ . ) ( ) (
x
∫ xe dx
12
3
u
1 dv
u
1 dv
1
u
dv
De acuerdo con las recomendaciones anteriores, la primera opción parece ser la adecuada, ya que la
x
derivada de u = x es más sencilla que x , y dv = e dx es la parte más complicada del integrando que se
ajusta a una regla básica de integración.
u = x ⇒ du = dx.
Ahora la integración por partes produce:
∫udv = uv −∫vdu
x
x
∫xe dx xe − ∫
x
= e dx
x x
= xe − e + C
e ( x 1)
C.
x
− +
= Factorizamos
u
x
dv = e dx integrando tenemos
x
∫dv = ∫ e dx
x
v = e .
Fórmula de integración por partes
Sustituimos
Integramos
Para comprobar el resultado, trata de derivar e x C
x
( − 1)
+ para ver si obtienes el integrando original. Busca
“The Integrator” en el Google si quieres comprobarlo de una manera más rápida.
EJEMPLO 2: Integración por partes que contiene producto de una función logarítmica.
2
Encuentra ∫ x ln xdx.
2
Solución: En este caso es más fácil integrar x que ln x . Además, la derivada de ln x es más simple que
2
ln x . Por consiguiente, debes hacer dv = x dx.
1
u = ln x ⇒ du = dx.
x
dv

la integración por partes produce:
udv = uv − vdu
∫ ∫
3
2
2 x
dv = x dx ⇒ v = ∫ x dx = ,
3
3
2 x 1 3 1
∫ x ln xdx = ln x − ∫ x dx
3 3 x
Sustituimos
3
x 1 2
= ln x − ∫ x dx
3 3
Simplificamos
3
3
x x
= ln x − + C.
3 9
Integramos
Puedes comprobar este resultado derivando o a través del uso de la tecnología. Si derivas te queda:
d
dx
3
3 3
2
⎡ x x ⎤ x ⎛ 1 ⎞
2 x
⎢ ln x − ⎥ = ⎜ ⎟ + (ln x)(
x ) − = x
⎣ 3 9 ⎦ 3 ⎝ x ⎠
3
EJEMPLO 3: Integración por partes de la función logaritmo natural.
Encuentra ln x dx.
∫
Solución: Considera
Por tanto, la integración por partes produce:
udv = uv − vdu
∫
ln
∫ ∫
1
dx = xln
x − x dx
x
= xln x − ∫ dx
= x ln x − x + C
= x ( ln x −1)
+ C .
x ∫
u = ln x ⇒
1
du = dx ,
x
dv = dx ⇒ v = ∫ dx = x.
2
ln x.
EJEMPLO 4: Uso repetido de la integración por partes.
2
Encuentra ∫ x sen xdx.
2
Solución: Los factores x y sen x son igualmente fáciles de integrar. Sin embargo, la derivada de
más sencilla que la de sen
2
x . Por consiguiente, haz u = x .
2
u = x ⇒ du = 2xdx.
Y la integración por partes ∫ uv −∫
∫
dv = sen xdx ⇒ v = sen xdx = − cos x .
udv = vdu produce:
2
2
x sen xdx = −x
cos x + 2x
cos xdx + C1
∫
Fórmula de integración por partes
Fórmula de integración por partes
Sustituimos
Reescribimos
Integramos
∫
Primera integración por partes
Integral definida
2
x es
61

62
Cálculo integral II
Esta primera aplicación de la integración por partes ha simplificado la integral original, pero la integral del
miembro derecho aún no se ajusta a la regla básica de integración. Entonces, para evaluar esa integral
puedes aplicar nuevamente la integración por partes. En esta ocasión, haz u = 2x.
u = 2x ⇒ du = 2dx,
La integración por partes produce ahora:
∫2 xcos xdx = 2xsenx
−∫2senxdx
2cos
. C x
xsenx + + =
2 2
dv = cos x dx ⇒ v = ∫ cos x dx = sen x.
Al combinar estos dos resultados escribimos
2
2
∫ x senxdx = −x
cos x + 2xsenx
+ 2cos
x + C.
Donde C es la suma de 1 2 C C + .
EJEMPLO 5: Encuentra ∫e
x dx
x cos .
Solución: Haz
x
u = e .
Y la integración por partes ∫ uv −∫
∫
e
x
u = e
x
⇒
x
du = e dx,
dv = cos x dx ⇒ v = cos x dx = sen x .
udv = vdu produce:
x
x
cos x dx = e sen x − ∫ e sen x dx + C
Aplicando nuevamente la integración por partes:
x
u = e
∫
x
x
e cos x dx = e sen x −
1
⇒
∫
x
du = e dx,
dv = sen x dx ⇒ v = sen x dx = −cos
x .
x
x
[ − e cos x + e cos x dx]
∫
∫
x
x
x
= e sen x + e cos x − e cos x dx + C ,
pasando la integral del miembro derecho de la igualdad hacia el lado izquierdo y factorizando tenemos:
x
x
2 e cos x dx = e ( sen x + cos x)
+ C
∫
∫
+ C
1 x
= e ( sen x + cos x)
+ C.
2
ln( x + 1)
EJEMPLO 6: Encuentra ∫ dx.
x + 1
Solución:
1
u = ln( x + 1)
⇒ du = dx,
x + 1
− 1
Segunda integración por partes
2
2
dv = ( x + 1)
dx ⇒ v = ( x + 1)
dx = 2(
x + 1)
∫
− 1
1
2

Aplicando el teorema de integración por partes∫ udv = uv −∫
vdu obtienes:
ln( x + 1)
∫ dx = 2(
x + 1)
ln( x + 1)
− 2∫
x + 1
=
1
2
2(
x + 1)
1
2
ln( x + 1)
− 2
1
( x + 1)
x + 1
∫
( x + 1)
− 1
2
1
2
+ C,
Integrando ésta última integral por cambio de variable obtienes:
Para saber más y
enriquecer el tema,
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1
2
= 2(
x + 1)
1
2
= 2(
x + 1)
ln( x + 1)
− 4(
x + 1)
(ln( x + 1)
− 2)
+ C.
1
2
+ C
+ C,
INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando la
técnica de integración por partes y entrégaselas a tu profesor para su revisión.
1∫
xe x 2
dx =
−6x 6)∫ xe
dx =
2) ∫ e x dx =
x 3
cos 7) ∫ sec x dx =
2 3x
3) ∫ x e dx =
2
8) ∫ x ln x dx =
4) ∫ t ln t dt =
9) ∫ x 1 + x dx =
5)∫ x dx =
2
ln( 3 )
10) ∫ sen t dt =
2
EJERCICIO 4
TAREA 3
Pág. 69
Integral definida
63

64
Cálculo integral II
¡Ojo! Recuerda que
debes resolver la
autoevaluación y los
ejercicios de
reforzamiento; esto te
ayudará a enriquecer
los temas vistos en
clase.

Integral definida
INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida de las siguientes funciones usando los teoremas básicos.
3
1) ∫ ( 6x
− 3x
+ 8)
dx =
2
2) ∫ ( 5x
− 4)(
x − 4)
dx =
⎛ 1 3
⎞
3) ∫ ⎜ − + 9x
− 4x
− 4 ⎟ dx =
2
⎝ x x
⎠
2
4) ∫ ( 3x
− 7)
dx =
3
5) ∫ ( 5x
−1) dx =
6) ∫ (
7) ∫ (
e x
2
+ 5csc
x)
dx =
x + 1)
dx
TAREA 1
=
2
8) ∫ ( sen x + cos x + sec x − csc x cot x)
dx =
5 4 ⎛ 4x
− 5x
− 2x
+ 3 ⎞
9) ∫ ⎜
⎟
⎜
⎟
dx =
3
⎝ x ⎠
−2
3 2
−1
3
10) ∫ ( x − 3x
+ 2x
+ x − x + x + 1)
dx =
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
1
2
65

66
Cálculo integral II
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________

Integral definida
INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida usando la técnica de cambio de variable y verifica el
resultado por diferenciación.
1.- ∫ + x ) dx 2 ( ) 2 1 (
4
∫
2
2.- 9 − x ( −2x)
dx
3 4 2
3.- ∫ x ( x + 3)
dx
2 3 4
4.- ∫ x ( x −1) dx
2
5.- ∫ t t + 2dt
∫
3 2
6.- 5 x 1−
x dx
x
7.- ∫ dx 2 3
( 1−
x )
2
x
8.- ∫ dx 3 2
( 1+
x )
x
9.- ∫ dx
− x
2
1
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜
⎜1
+
t
⎟
⎜
t
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ 2
10.- dt
senx
∫ 3
11.- dx
cos
x
2
csc x
12.- ∫ dx 3
cot x
TAREA 2
3
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
67

68
Cálculo integral II
13.-∫
π senπxdx
3
14.- ∫ 4 x senx
15.- ∫sec(
1
x
16.- ∫ dx 2
cos x
4
dx
− x ) tan( 1−
x)
dx
dx
17.- ∫ 1 sen x + cos
+ x
dx
18.- ∫ 2 + sen x
dx
19.- ∫ 4sen
x − 3cos
x
dx
20.- ∫ 5 4sen
x + 3cos
− x
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________

Integral definida
INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida usando la técnica de integración por partes y verifica el
resultado por diferenciación.
1.- ∫
−2x xe dx
2.- ∫t
ln( t)
dt
3.- ∫ −3
x
x e dx
x
4.- ∫( x −1) e dx
2
5.- ∫
6.- ∫
x 3
sen
xdx
2
x cos xdx
e t
1
∫ 2
7.- dt
t
8.- ∫ xsec
2
xdx
∫ − 2
2
3
9.- x ( x 2)
dx
10.- ∫
3
x cos2
2
11.- ∫ x e
e x 2
12.- ∫ −
2x
dx
xdx
sen3xdx
4
13.- ∫ x senπxdx
3
14.- ∫ x ln xdx
15.- ∫ x 4 + xdx
TAREA 3
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
69

70
Cálculo integral II
2
16.- ∫ x e
17.- ∫ tan
− x
dx
−1 xdx
18.- ∫ xsen ( 3x
+ 1)
dx
19.- ∫ sen (ln x)
dx
xe x 2
20.- ∫ ( 2x
+ 1)
2
dx
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________

Integral definida
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la
opción que consideres correcta.
2
1. El resultado de la integral ∫ ( 5x
− 3x
+ 1)
dx
3 2
5x
3x
� − + 1+
C .
3 2
3 2
5x
3x
� − + x + C .
3 2
5x 3x
� − + x + C
3 2
3
3 2
� 5x
− 3x
+ x + C.
2. El resultado de la integral ∫
3
x − x
� + C .
2
x
� 2 x + C .
1 2
� x − ln x + C .
2
3
x
− x
�
3
+ C .
2
x
2
.
2
x −1 dx
x
=
es:
es:
2
2
3. El resultado de la integral ∫ (sec x − csc x)
dx es:
� sec x tan x + 2csc
xcot
x + C
� tan x + cot x + C .
� tan x − cot x + C .
2 .
3
3
sec x csc x
� − + C.
3 3
4. El resultado de la integral ∫
� x + 2 x + C .
� n x + C .
AUTOEVALUACIÓN
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
x + 1
dx
x
=
es:
71

72
Cálculo integral II
2 3
x + x
� 3 + C
2 3
x
3
2 3
� x + x + C.
3
5. El resultado de la integral ∫
.
3 2
( 4x
+ 3x
+ 2x
+ 1)
dx
� 12x + 6x
+ 2 + C
2
.
4 3 2
� 4 x + 3x
+ 2x
+ x + C .
4 3 2
� 12 x + 6x
+ 2x
+ C .
4 3 2
� x − x + x + x + C.
6. Para resolver la integral ∫ xe dx
x 2
� Teoremas básicos de integración directa.
� Diferenciación.
� Método de integración por partes.
� Método de cambio de variable.
es necesario utilizar:
7. Para resolver la integral ∫ xe dx
x2
es necesario utilizar:
� Teoremas básicos de integración directa.
� Diferenciación.
� Método de integración por partes.
� Método de cambio de variable.
3 4
8. El resultado de la integral ∫ x x + 5 dx por cambio de variable es:
1 4
3
2
� ( x + 5)
+ C
6
1
6
3
2
3
� ( 4x
) + C
1 4
3
2
3
� x ( x + 5)
+ C
6
3
2
2 4
� 3x
( x + 5)
+ C
9. El resultado de la integral ∫
1 7 1 6
� x ln x − x + C
7 42
5 1 6
� 6 x + x + C .
42
1 7 1 7
� x ln x − x + C
7 49
1 7 1 7
� x ln x + x + C
7 49
.
.
.
.
.
.
.
6
x ln
xdx
es:
por el método de integración por partes es:

10. Resultado de la integral ∫
1 5x−6
1 5x−6
� xe − e + C
5 25
5 2 5x
−6
� x e + C .
2
2
x 5x
−5
� e + C .
2
1 5x−6
1 5x−6
� xe + e + C
5 5
.
5x−6
xe dx
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE
.
por el método de integración por partes es:
� Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te
invitamos a continuar con esa dedicación.
� Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es
necesario que nuevamente repases los temas.
� Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es
insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu
profesor.
Integral definida
Consulta las
claves de
respuestas en la
página 103.
73

74
Cálculo integral II

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios.
I) Encuentra el resultado de las siguientes integrales mediante el uso de teoremas básicos.
2
1. ∫ ( sen x − 2x
) dx.
2. ∫ (sec + −1)
.
2
x x dx
3. ∫ 6dx .
x
2
4. ∫ x +
3
x −
5. ∫
− 81
dx.
9
2
2x
+ 5x
− 7
dx.
3
x
II) Encuentra las siguientes integrales por partes, verifica tu respuesta a través de diferenciación.
2
1. ∫ x sen3xdx.
2. ∫ cos 2 .
2 x xdx
x 2
3. ∫ ( x + e ) dx.
4. ∫ cos(ln x ) dx.
5. ∫ x x − 2 dx.
Integral definida
III) Encuentra las siguientes integrales por cambio de variable, verifica tu respuesta a través de
diferenciación.
2 3
1. ∫ 3x
cos x dx.
2 7
2. ∫ x ( x − 4)
dx.
t
3. dt.
3 10
−
4. ∫
2
∫ −
( t 3)
1
dx.
4 − x
5. ∫ x x − 2 dx.
EJERCICIO DE
REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
75

76
Cálculo integral II

Unidad 3
Teorema
fundamental del
cálculo y las
aplicaciones de
la integral
definida.
Objetivos:
El alumno:
Aplicará la integral definida y el teorema
fundamental del cálculo a la solución de
problemas de área bajo una gráfica en
situaciones de aplicación de las ciencias
naturales y sociales; a partir del
conocimiento de las propiedades de la
integral definida; mostrando una actitud
analítica, reflexiva y colaborativa.
Temario:
• La integral definida y sus
propiedades.
• El teorema fundamental del
cálculo y sus aplicaciones.
• Aplicaciones de la integral
definida.

78
Cálculo integral II
Cálculo de áreas
Mapa Conceptual de Unidad
Integral definida y
el teorema
fundamental del
cálculo
Se usan para
Aplicaciones
En problemas de
Ciencias naturales,
sociales y
administrativas

3.1.
INTEGRAL DEFINIDA.
3.1.1. Integral definida como el área bajo una curva.
Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
Dos problemas, ambos geométricos, motivaron las dos más grandes ideas del
cálculo. El problema de la tangente nos condujo a la derivada. El problema del
área nos llevará a la integral definida.
Por ejemplo si queremos calcular el área bajo la función f ( x)
= 3 en el intervalo
comprendido entre x = 0 y x = 4 como se muestra en la siguiente figura:
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
y
Como te puedes dar cuenta el área a la que se hace referencia, es el área de un
rectángulo de largo 4 unidades y ancho 3 unidades, por lo que su área entonces
es de 12 u 2 .
De la misma manera el área bajo la función f ( x)
= x en el intervalo
comprendido entre x = 0 y x = 6 de acuerdo a la figura.
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
x
x
79

80
Cálculo integral II
( b)(
h)
( 6)(
6)
2
El área correspondiente del triángulo es A = = = 18u
.
2 2
En el caso de estos ejemplos surgieron figuras de polígonos cuya fórmula para
calcular el área de cada uno de ellos es conocida. Sin embargo si queremos
2
calcular el área bajo la función f ( x)
= x entre x = 0 y x = 2 ,
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
y
Como puedes observar el área sombreada bajo la curva ya no es un polígono
conocido del cual conozcas su fórmula para calcular el área.
El problema de asignar el área bajo una curva como en la figura anterior requiere de
otras herramientas, tales como aproximar el área bajo la curva mediante
rectángulos. Dicha aproximación puede ser considerada por rectángulos
circunscritos (es decir, rectángulos por encima de la curva) o por rectángulos
inscritos (rectángulos por debajo de la curva). Por ejemplo si consideramos el
rectángulo por encima de la curva de base 2 y altura 4 como se observa en la
figura:
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
y
El área aproximada sería de 8 u 2 , que obviamente no es una buena aproximación al
área sombreada debido a que es mayor. Ahora si dividimos el intervalo de 0 a 2 en
dos subintervalos de longitud 1, entonces tendríamos dos rectángulos de base 1
cada uno, pero ahora consideremos también alturas diferentes para cada uno tales
2
como f ( 1)
y f ( 2)
, es decir, como f ( x)
= x entonces las alturas de los
2 2
rectángulos son f ( 1)
= ( 1)
= 1 y f ( 2)
= ( 2)
= 4 respectivamente.
x
x

Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
Observa que las alturas de los rectángulos que están por encima de la curva
corresponde a la función evaluada en el extremo derecho de cada subintervalo. Por
lo tanto el área correspondiente es la suma de las áreas de ambos rectángulos,
esto es,
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
y
A = f ( 1)(
1)
+ f ( 2)(
1)
= ( 1)(
1)
+ ( 4)(
1)
2
= 5u
Como te puedes dar cuenta la aproximación del área es mejor que en el caso
anterior. Luego entonces, si este procedimiento lo continuamos haciendo la
aproximación al área va a ser cada vez mejor, es decir, si dividimos el intervalo de 0
a 2 en n (donde n puede tomar cualquier entero positivo) subintervalos, entonces
el área del i-ésimo rectángulo (cuya base es el subintervalo con extremos x i−
1,
xi
,
con longitud ∆x = xi
− xi−1
y altura f ( xi
) ), está dada por:
A f xi
x ∆ = ) ( . De tal manera que el área aproximada es la suma (que
denotaremos con la letra griega sigma, ∑ ) de las áreas de los n rectángulos, y
la expresamos por:
n
A = f ( x ) ∆ .
1
∑ i= i x
Por ejemplo si el intervalo de 0 a 2 lo dividimos en n = 6 subintervalos, entonces
1
cada rectángulo tendría base de longitud igual a , (ya que el intervalo es de
3
longitud 2, dividido en 6 partes resultan 6 subintervalos de longitud un tercio) como
lo muestra la Figura 3.2.
x
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
−2
y
Fig. 3.2 Aproximación del área
bajo la curva por rectángulos
circunscritos.
81
x

82
Cálculo integral II
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
−2
y
Fig. 3.2 Área por debajo de
la curva mediante
rectángulos inscritos.
x
Entonces el área aproximada de acuerdo a la expresión anterior es:
⎛ 1 ⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 6 ⎞⎛
1 ⎞
A = f ⎜ ⎟⎜
⎟ + f ⎜ ⎟⎜
⎟ + f ⎜ ⎟⎜
⎟ + f ⎜ ⎟⎜
⎟ + f ⎜ ⎟⎜
⎟ + f ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠⎝
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝
3 ⎠
⎛ 1 ⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 9 ⎞⎛
1 ⎞ ⎛16
⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 25 ⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 36 ⎞⎛
1 ⎞
= ⎜ ⎟⎜
⎟ + ⎜ ⎟⎜
⎟ + ⎜ ⎟⎜
⎟ + ⎜ ⎟⎜
⎟ + ⎜ ⎟⎜
⎟ + ⎜ ⎟⎜
⎟
⎝ 9 ⎠⎝
3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝
3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝
3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝
3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝
3 ⎠ ⎝ 9 ⎠⎝
3 ⎠
1 4 9 16 25 36 91
2
= + + + + + = = 3.
3703u
.
27 27 27 27 27 27 27
Como se esperaba la aproximación es mejor que las anteriores. Ahora imagínate
que podemos dividir el intervalo en una infinidad de subintervalos y no
necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes, e inclusive
con rectángulos por debajo de la curva, donde la altura sería ahora la función
evaluada en el extremo izquierdo de cada subintervalo. Luego entonces el
procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el contexto de límite, tal como
se hizo con la derivada. Es decir el área aproximada tanto por debajo de la curva
(ver Fig. 3.2) como por encima de la misma es:
Área =
n
lim ∑ n→∞
i=
1
f ( x ) ∆x.
Esto es, cuando aproximamos un área por rectángulos inscritos y circunscritos las
sumas de las áreas de los rectángulos tanto por debajo de la curva como por
encima de la misma, coinciden en un valor. Pero obviamente este procedimiento es
muy engorroso llevarlo a cabo cada vez que quieras calcular el área bajo una curva.
Por tal razón es preciso introducir una definición que nos facilitará el cálculo, dicha
definición es la de integral definida.
Definición de una integral definida
Si f está definida en el intervalo cerrado [a,b] y existe el límite
n
lim ∑ ∆ →0
i=
1
f ( c ) ∆x
entonces f es integrable en [a,b] y el límite se denota por
lim
∆ →0
∑
n
i=
1
f ( c ) ∆x
=
i
Es preciso aclarar que la definición anterior es hasta cierto punto muy intuitiva, si
tienes oportunidad de consultar un libro de cálculo de nivel superior te darás cuenta
que para comprender bien el concepto de integral definida, se requiere de
definiciones más elaborados tales como sumas de Riemann, particiones
irregulares, etc. Para nuestro fin es suficiente la anterior definición.
Es importante notar que las integrales definidas y las indefinidas son identidades
diferentes. Una integral definida es un número mientras que una integral indefinida
es una familia de funciones.
i
i
b
a
∫
i
i
f ( x)
dx.
El límite se llama integral definida de f de a a b. El número a es el límite
inferior de integración; el b es el límite superior.

Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
De la misma forma que en las derivadas, existen teoremas que nos permiten
calcularla de manera práctica y sencilla, en el caso de la integral definida también
se cuenta con herramientas que facilitan su cálculo, tal es el caso del teorema
Fundamental del Cálculo integral, el cual enunciamos a continuación.
3.2.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CÁLCULO.
En el semestre pasado estudiaste cálculo diferencial, introducido con el problema
de la recta tangente, y hasta ahora el cálculo integral, introducido con el problema
del área. En este punto, ambos problemas parecen no estar relacionados, pero
existe una conexión muy cercana. Esa conexión se expresa en un teorema que con
toda propiedad se llama Teorema Fundamental del Cálculo.
De modo informal, el teorema señala que la derivación e integración (definida) son
operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación.
∆y
Cuando se define la pendiente de una recta tangente se usa el cociente ∆x
(la
pendiente de la recta secante). De igual modo, cuando se define el área de una
región bajo una curva se utiliza el producto
∆ y∆x
(el área de un rectángulo). El teorema fundamental del cálculo expresa que
los procesos para hallar límites (usados para definir la derivada y la integral
definida) conservan esta reacción inversa.
TEOREMA: Teorema Fundamental del Cálculo.
Si una función f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y F es una
antiderivada de f sobre el intervalo [a,b], entonces
b
f ( x)
dx = F(
b)
− F(
a).
Las siguientes directrices pueden ayudarte a entender el uso del teorema
fundamental del cálculo.
1.- Asegúrate de que sea posible encontrar una antiderivada de f; entonces tiene
una forma de evaluar una integral definida sin tener que usar el límite de una suma.
2.- Cunado apliques el Teorema Fundamental del Cálculo, es conveniente usar la
siguiente notación:
b
a
∫
b
f ( x)
dx = F(
x)
= F(
b)
− F(
a)
3
∫
Por ejemplo, para evaluar ∫ 1
3
x dx,
puedes escribir
4 3
3
3 x
∫ x dx =
1 4 1
4 4
3 1
= −
4 4
81 1 80
= − = = 20.
4 4 4
3.- No es necesario incluir una constante de integración C en la antiderivada, ya
que
b
b
f ( x)
dx = F(
x)
+ C
∫
a
a
a
[ ]
a
[ F ( b)
+ C]
− [ F(
a + C]
= )
= F( b)
− F(
a)
.
Si quieres saber
acerca de la
demostración de
este teorema
consulta en Internet
la página
http://www.mat.uson
.mx/eduardo/calculo
2/
83

84
Cálculo integral II
y
6
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
5
4
3
2
1
−2
−3
−4
Fig. 3.3 La integral definida de
y=|2x-1| sobre [0,2] es 5/2.
x
EJEMPLO 1: Evaluación de una integral definida.
Evalúa cada integral definida utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.
2
2
a) ∫ ( x
1
− 3)
dx
b) ∫ x dx
4
1 3 c)
π
2
sec xdx
Solución:
a)
3
2
⎡
2 x
∫ ( x − 3)
dx = ⎢
1
⎣ 3
3
3
⎤ 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2
− 3x⎥
= ⎜ 3(
2)
⎟ ⎜ 3(
1)
⎟
⎜
− − = ⎜ − 6⎟
− ⎜ − 3⎟
= − .
1 3 ⎟ ⎜
−
3 ⎟
⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3
b)
4
∫ 3
1
4
⎡ 3
2 ⎤
4 1
3
3
2
2
2
3 3⎢
x
x dx = ⎥
∫ x dx = = 2(
4)
− 2(
1)
= 14.
1 ⎢ 3 ⎥
⎣ 2 ⎦
∫
π
4 2
4
c) sec xdx = tan x = 1−
0 = 1.
2
0
0
2
0
π
0
x
x
x 2 2 0
d) ∫ 2e
dx = 2∫
e dx = 2[
e ] 0 = 2(
e ) − 2(
e ) = 14.
77 − 2 = 12.
77.
e)
x
+ x −1
dx =
2
x
2
e e
∫ ∫
1 1 2
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜
⎜1+
− ⎟ dx = ⎜ x + ln x + ⎟
⎝ x x ⎠ ⎝ x ⎠
⎛ 1 ⎞
= ⎜
⎜e
+ 1+
⎟ −
⎝ e ⎠
1
( 1+
0 + 1)
= 4.
08 − 2 = 2.
08.
En el ejemplo (c) es importante aclarar que al momento de evaluar la integral,
debes verificar que tu calculadora esté programada en radianes.
En los ejemplos subsecuentes haremos uso del Teorema Fundamental del Cálculo
a la solución de problemas de cálculo de áreas.
EJEMPLO 2: Para encontrar el área que comprende un valor absoluto.
2
Evalúa ∫ 2x −1
dx,
utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.
0
Solución: Si usas la figura y la definición de valor absoluto, puedes escribir de
nuevo el integrando como sigue:
⎧
⎫
⎪−
( 2x
−1),
x < 1
⎪
2x
−1
=
2
⎨
⎬
⎪ 2 −1,
≥ 1 .
x x
⎩
2 ⎪
⎭
Ahora puedes escribir de nuevo la integral en dos partes.
2
0
1
2
∫ x −1
dx = ∫ − ( 2x
−1)
dx + ∫ ( 2x
− 1
0
2
e
1
2
∫ 4
2 1)
dx
=
[ ] [ ] 2
1
2
2
2
− x + x + x − x
0
2 ⎛ ⎞
⎛
⎜ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎟
⎛ 1 ⎞
= − −
⎜ ⎜
⎟ + (
⎟
⎜⎜
⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ 2
⎠
⎝⎝
2 ⎠
⎟ ⎛ 1 1 ⎞
⎛ 1 1 ⎞
= ⎜
⎜−
+ ⎟ − ( 0 + 0)
+ ( 4 − 2)
− ⎜ −
⎝ 4 2 ⎠
⎝ 4 2 ⎠
5
= .
2
1
2
0
1 ⎞
2
⎠
() () ⎟ ⎟
2
2
0 + 0)
+ ( 2 − 2)
−
⎜⎜
⎟ −
2

Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
La Figura 3.3 muestra el área determinada por la función y las rectas verticales
que es de 5/2.
EJEMPLO 3: Para encontrar área comprendida por una función polinomial.
Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de 2 3 2,
2
y = x − x + el
eje x y las rectas verticales x = 0 y x = 2 , como se muestra en la Figura 3.4.
Solución: Observe que y>0 sobre el intervalo [0,2].
= − +
2
2
Área ( 2x
3x
2)
dx
∫
0
3 2 ⎡2x
3x
⎤
= ⎢ − + 2x
3 2
⎥
⎣
⎦ 0
⎛16
⎞
= ⎜ − 6 + 4⎟
− 0 − 0 + 0
⎝ 3 ⎠
10
= .
3
2
( )
EJEMPLO 4: Para encontrar área comprendida por una función lineal.
Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de y = x el eje x y las
rectas verticales x = −2
y x = 0 , como se muestra en la Figura:
Solución: Observa que y < 0 (es decir, está por debajo del eje de las x ) sobre
el intervalo [-2,0].
Área
= ∫− 0
2 dx x
2
0
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣
x
⎛ 0 ⎞
= ⎜ ⎟ −
⎝ 2 ⎠
2 ⎦ −2
( 2)
= −2.
4
3
2
1
Integra entre 0 y 2
Encuentra la antiderivada
Aplica el teor. fundamental
Simplifica
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
y
Integra entre -2 y 0
Encuentra la antiderivada
Como te puedes dar cuenta el resultado de la integral es negativo, esto se debe a
que el área sombreada se encuentra por debajo del eje x . Evidentemente el área
de una región no puede ser negativa, el signo (-) resultante de una integral
definida, nos indicará gráficamente que el área bajo la curva se encuentra por
debajo del eje x .
x
Aplica el Teor. Fundamental
5
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
Fig. 3.4 El área de la región
acotada por la gráfica de y, el
eje x, x=0 y x=2, es 10/3.
y
85
x

86
8
7
6
5
4
3
2
1
Cálculo integral II
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
y
ci
Fig. 3.5. El área de la región
acotada está dada por
x
EJEMPLO 5: Para encontrar área comprendida por una función lineal.
Encuentra el área de la región acotada por la gráfica de
rectas verticales x = −2
y x = 2 .
Solución:
Área
= ∫− 2
2 dx x
2
2
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ 2 ⎦ −2
x
= 2 − 2 = 0
( ) ( ) .
y = x el eje x y las
Elabora la gráfica correspondiente para que te des cuenta de por qué el resultado
del área es cero.
Como pudiste observar en los ejemplos anteriores las integrales definidas pueden
ser positivas, negativas o cero. Para que una integral definida pueda interpretarse
como un área, la función f debe ser continua y no negativa sobre [a,b], como se
indica en el siguiente teorema. (La demostración de este teorema no se hará aquí,
pero es muy clara, simplemente hay que usar la definición de área que se dio en la
subsección anterior).
TEOREMA: La integral definida como el área de una región.
Si f es continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [a,b],
entonces el área de la región acotada por la gráfica de f, el eje
x y las rectas verticales x = a y x = b está dada por
= b
Área f ( x)
dx.
Como un ejemplo del teorema anterior, considera la región acotada por la gráfica
2
de f ( x)
= 4x
− x y el eje x , como se muestra en la Figura 3.5. En virtud de que
f es continua y no negativa sobre el intervalo cerrado [0,4], el área de la región es
= ∫ −
4
2
Área ( 4x
x ) dx.
0
En la siguiente sección estudiaremos una técnica directa para evaluar una integral
definida como ésta. Sin embargo, ahora puedes evaluar la integral definida en dos
formas: puedes usar la definición de límite o puedes comprobar si la integral
definida representa el área de una región geométrica común, digamos, de un
rectángulo, un triángulo o un semicírculo.
EJEMPLO 8: Áreas de figuras comunes y la integral definida.
Traza la región correspondiente a cada integral definida. Después evalúe cada una
de las integrales usando una fórmula geométrica.
) dx a 3
2
2
b ) ∫ ( x + 2)
dx ) 4 − x dx
∫ 3
1 4
0
∫
a
c ∫− 2

Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
Solución: En la Figura 3.6 se muestran los dibujos de cada región.
a) Esta región es un rectángulo de alto 4 y ancho 2.
3
∫ 4dx
= b×
h = 4(
2)
= 8.
1
b) Esta región es un trapecio de alto 3 y bases paralelas de longitudes 2 y 5.
1
La fórmula del área de un trapecio es ( 1 2).
2
b b h +
3 1
1
21
∫ ( x + 2)
dx = h(
b1
+ b2)
= ( 3)(
2 + 5)
= .
0 2
2
2
c) Esta región es un semicírculo de radio 2. La fórmula del área de un
1 2
semicírculo es π r
2
2
2 1 2.
1 2
∫ 4 − x dx = π r = π ( 2 ) = 2π
.
−2
2 2
y = 4y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Como ya mencionamos anteriormente, cada vez que quieras calcular un área
mediante una integral definida, no es necesario hacer este tipo de procedimientos,
basta con aplicar algunas de las técnicas de integración directa de la integral
definida.
EJERCICIO 1 INDIVIDUAL Evalúa la integral definida de la función algebraica. Emplea un
instrumento graficador para verificar tu resultado.
1. ∫ 1
0 2xdx
0
2. ∫ ( x − 2)
dx
−1
3. ∫ 7
2 3dv
1
2
4. ∫ ( t
−1
− 2)
dt
5.
3 1
3 v dv
∫−3 3
6. ∫ 2x − 3 dx
0
y
y = x+2; 0.000000

88
Cálculo integral II
TAREA 1
Página 95.
7. ∫ dx
x
8 2
1
3
2
8. ∫ x − 4 dx
9.
0
∫ −1
−2
u du
u
⎟ ⎛ 1 ⎞
⎜ − 2
⎝ ⎠
2
10. ∫ ( 2 − t ) t dt
0

3.3.
Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
DEFINIDA.
Existen muchas situaciones donde la cantidad que queremos calcular puede ser
expresada como una integral definida. Típicamente esto puede suceder cuando
la cantidad a calcular puede ser aproximada mediante la división de pequeños
rectángulos, resolviendo el problema aproximadamente para cada uno de esos
rectángulos, y entonces sumar esas aproximaciones. Esto es lo que hemos visto
a lo largo del desarrollo de este capítulo.
Esta sección tiene como objetivo aplicar la teoría vista en relación a la integral
definida en disciplinas como Física, Geometría, Economía, etc.
EJEMPLO 1: Un problema de Ciencias Sociales.
La densidad de población de Ringsburg está en función de la distancia del
centro de la ciudad: a r millas del centro, la densidad es P = f (r)
gentes por
milla cuadrada. Ringsburg tiene un radio de 5 millas. Escribe una integral
definida que exprese el total de la población de Ringsburg.
Solución: Queremos hacer la partición del poblado de Ringsburg y estimar la
población en cada pieza resultante de la partición. Si tomamos la partición de la
región en línea recta, la densidad de la población podría variar en cada una de
las piezas resultantes, ya que ésta depende de la distancia del centro de la
ciudad. Queremos que la densidad de la población sea lo más cercanamente
constante en cada una de las piezas, tal que sea posible estimar la población
multiplicando la densidad y el área juntas. Por lo tanto tomamos piezas que son
anillos delgados alrededor del centro, a una distancia constante del mismo (ver
Figura 3.7), ya que el anillo es muy delgado, podemos aproximar su área
enderezando el anillo como si fuera un rectángulo delgado. (Ver Fig. 3.8) El
ancho del rectángulo es ∆ r millas, y su longitud es aproximadamente igual al
anillo de la circunferencia, 2πr millas, entonces su área es aproximadamente
2πr∆r mi 2 . De esta manera,
La densidad de población ≈ Densidad∗ Área.
Así
Población del anillo
2
2 ≈ ( f ( r)
gentes / mi )( 2πr∆r
mi ) = f ( r)
⋅2πr∆r
gentes .
Sumando sobre todos los anillos, tenemos
Población total ≈ ∑2π rf ( r)
∆r
gentes .
Como la suma se aproxima a la integral, entonces
Población total = ∫
5
Fig. 3.7. Ringsburg.
Cada pieza tiene un
ancho de y un largo
de
Fig. 3.8. Anillo de Ringsburg.
2π rf ( r)
dr gentes .
EJEMPLO 2: Un problema de población.
Encontrar la población total en Ringsburg del ejemplo 1 si la densidad de
población en la milla r está dada por
( )
1.
05r
170 .
P =
f
r
=
0
e
gentes
Solución: Usando el resultado del ejemplo previo, tenemos
89

90
Cálculo integral II
Fig. 3.9. Corte vertical de la
pirámide donde se relaciona
y . es el grosor de una
pieza horizontal de la
pirámide.
Población total = [ ]
5
1.
05r
π r 170e
∫
0
= 340π
2 dr
gentes .
340π
1.
05r
5
1.
05r
= ⎡re − e dr⎤
0
1.
05 ⎢⎣ ∫ ⎥⎦
1.
05r
⎡
5
1.
05 e ⎤
= 1017.
28⎢re
− ⎥
⎢ 1.
05 ⎥ 0
⎣
⎦
= e
1.
05
∫
5
0
re
1.
05r
dr
5
[ 1017.
28r
− 968.
838]
0
566[
( 5086.
4 − 968.
838)
− ( 0 − 968.
838)
]
= 190.
= 969,
294.
90gentes.
EJEMPLO 3: Un problema de volumen.
Calcula el volumen, en pies cúbicos, de la gran pirámide de Egipto, cuya base
es un cuadrado de 755 pies y su altura es de 410 pies; cuyo volumen esta dado
por la expresión
2 ⎡⎛
755 ⎞ ⎤
V = ∑ s ∆h
= ∑ ⎢⎜
⎟(
410 − h)
⎥ ∆h
⎣⎝
410 ⎠ ⎦
2
3
pies .
Solución: Primero determinaremos de donde salió esa expresión del volumen.
La pirámide está construida de una serie de capas que inician desde la base de
la misma. Cada capa tiene una base cuadrada con un alto que denotaremos
como ∆ h , por supuesto esta altura es muy pequeña para cada capa de la
pirámide. La primera capa, la de la base, es una losa cuadrada de 755 pies por
755 pies por ∆ h pies. Como nos movemos a lo alto de la pirámide, las capas
tienden a ser más cortas en longitud. Sea s la longitud de la base, entonces el
volumen de cada capa es aproximadamente s ∆h
2 3
pies , donde s varía de
755 pies desde la capa de la base hasta 0 pies para la capa de la punta.
El volumen total de la pirámide es la suma de todos los volúmenes de las losas,
s ∆h
2
. Ya que cada capa es tiene una altura diferente h , debemos expresar s
como una función de h tal que cada término de la suma dependa solamente de
h . Si hacemos un corte de la pirámide a lo largo de su alto desde la base hasta
la punta , obtenemos la sección triangular dada en la Figura 3.9. Por semejanza
de triángulos, tenemos
s =
( 410 − h)
755 410 . De esta manera
s = ( 755/
410)(
410 − h)
, y el volumen total, V , es aproximadamente
2 ⎡⎛
755 ⎞ ⎤
V ≈ ∑ s ∆h
= ∑ ⎢⎜
⎟(
410 − h)
⎥ ∆h
⎣⎝
410 ⎠ ⎦
2
3
pies .
Como el grosor de cada capa tiende a cero, la suma da la integral definida.
Finalmente, ya que h varía de 0 a 140, la altura de la pirámide, tenemos

2
h=
410 ⎡⎛
755 ⎞ ⎤ ⎛ 755 ⎞ 410
2
∫ ⎢⎜
⎟(
410 − h⎥
dh = ⎜ ⎟ ∫ ( 410 − h)
dh
h=
0
0
⎣⎝
410 ⎠ ⎦ ⎝ 410 ⎠
2
3
2
755 ( 410 ) 410
⎛ ⎞ ⎡ − h ⎤ 1 ⎛ 755 ⎞ 3 1 2
= ⎜ ⎟
= ⎜ ⎟ ( 410)
= ( 755)
( 410)
410
⎢−
3
⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 0 3⎝
410 ⎠ 3
3
= 77, 903,
416.
67 ≈ 78 millones pies .
EJEMPLO 4: Calculando el trabajo hecho.
2
Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
Una cadena uniforme de 28 m de largo que tiene una masa de 20 kg está
colgando del techo de un edificio. ¿Qué tanto trabajo se requiere aplicar para
jalar la cadena hasta el techo del edificio?
Solución: Ya que la masa de la cadena es 20 kg, su peso es (20 kg)(9.8 m/seg 2 )
=196 newtons, puede parecer que la respuesta sería (196 newtons)( 28
m)=5488 joules. Pero recuerda que no toda la cadena se tiene que mover los 28
m, los eslabones que están cerca del techo se mueven menos.
Dividamos entonces la cadena en pequeñas secciones de longitud ∆ y , cada
una de ellas pesa 7 ∆ y newtons. (Una longitud de 28 m pesa 196 newtons, así 1
m pesa 7 newtons). Si ∆ y es pequeña, todas las secciones de la cadena serán
jaladas aproximadamente la misma distancia, llamemos y , a la fuerza de
gravedad que va en contra de la fuerza de 7 ∆ y newtons. De esta manera, el
trabajo hecho sobre una de las secciones pequeñas de la cadena es
aproximadamente:
( 7∆y
newtons)( y metros) = 7 y∆y
joules .
Como ∆ y tiende a cero, obtenemos la integral definida. Ya que y varía de 0 a
28 m, el trabajo total realizado es
28 7 28
2
W = ∫ ( 7y)
dy = y = 2744 joules .
0 2 0
EJEMPLO 5: Aplicando la integral definida en economía.
Encontrar el valor presente y el futuro de una entrada constante de $100 dólares
por año sobre un período de 20 años, asumiendo una tasa de interés del 10%
compuesto continuamente.
Solución: El valor presente, $P, de un pago futuro $B, es la cantidad que debería
ser depositada al día de hoy en una cuenta bancaria para producir exactamente
$B en la cuenta a un tiempo pertinente en el futuro.
La expresión del valor presente cuando el interés es compuesto y continuo está
expresado por
T
−rt
Valor presente = P(
t)
e dt,
donde r es la tasa de interés compuesto, t es el tiempo y B es la cantidad
depositada. Por otro lado el valor futuro, $B, de un pago $P, es la cantidad que
debería crecer si es depositada en una cuenta bancaria a un cierto interés en un
tiempo pertinente. La expresión del valor futuro cuando el interés es compuesto y
continuo está expresado por
Valor futuro =
T
r(
T −t
)
P(
t)
e dt.
∫
0
∫
0
91

92
Cálculo integral II
Fig. 3.10. Región plana
que se hace girar sobre el
eje x para formar el sólido
que se va a retirar de la
esfera.
Valor presente =
∫
0
20
100e
⎛
dt = 100 ⎜
⎜−
⎝
−0.
1t
e
0.
1
−0.
1t
20
−2
= 1000(
1−
e
0
100
0
20
2 −0.
1
100e
e dt
0
⎞
⎟
⎠
0.
1(
20−t
)
Valor futuro ∫ e dt = ∫
2⎛
= 100e
⎜
⎜−
⎝
= 20
−0.
1t
e
0.
1
EJEMPLO 6: Un problema en economía.
⎞
⎟
⎠
20
0
2
= 1000e
( 1−
e
−2
) ≈
) ≈
$ 6389.
06.
$ 864.
66.
¿Cuál es la relación entre el valor presente y el valor futuro del ejemplo previo?
Explica tu respuesta.
Solución: Ya que
el valor
−2
presente = 1000(
1−
e ) ≈ $ 864.
66 y
el valor
2 −2
futuro = 1000e
( 1−
e ) ≈ $ 6389.
06.
Puedes ver que el valor futuro es
valor futuro = ( valor ) .
2
presente e
La razón de esto es que el monto a pagar es equivalente a un pago inicial de
$864.66 a un tiempo t = 0.
Con una tasa de interés del 10%, en 20 años ese
monto habrá crecido a un valor futuro de
rt
0.
1(
20)
864.
66 864.
66
2
$ 6389.
02.
B = Pe = e = e
EJEMPLO 7: Un problema de fabricación.
Un fabricante hace un orificio a través del centro de una esfera metálica de 5
pulgadas de radio. El orificio tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen
del anillo metálico resultante?
Solución: Puedes imaginar el anillo como si fuera generado por un segmento del
2 2
círculo cuya ecuación es x + y = 25 , como se ilustra en la Figura 3.10. En
virtud de que el radio del orificio es 3 pulgadas, puedes hacer y = 3 y resolver la
2 2
ecuación x + y = 25 para determinar que los límites de integración son
x = ± 4 . Por consiguiente, los radios interior y exterior son r ( x)
= 3 y
R( x)
− x
2
= 25 y el volumen se obtiene por
V = π
2
2
4
2
2
2
( R(
x)
) − ( r(
x)
) ] dx = ( 25 − x ) − ( 3)
dx
b
∫ [ π
a
∫−
4 ⎢⎣
⎥⎦
= π
4
∫− 4
⎡
2
( 16 − x ) dx
3 ⎡ x ⎤ 4
= π ⎢16x
− ⎥
⎣ 3 ⎦ −4
256π 3
= pu lgadas
.
3
≈
⎤

Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
EJERCICIO 2 INDIVIDUAL Resuelve los siguientes problemas de aplicación de
la integral definida.
1.- Volumen de un tanque de combustible. Un tanque colocado en el ala de un
avión jet se forma al hacer girar la región limitada por la gráfica de
1 2
y = x 2 − x
8
y el eje x alrededor del mismo eje, (vea la Figura 3.11), donde
x y y están expresados en metros. Calcula el volumen del tanque.
2. Una cadena de 20 pies de longitud y peso de 5 libras por pie, yace enrollada
en el piso. ¿Cuánto trabajo se necesita para levantar un extremo de la cadena a
una altura de 20 pies de manera que quede extendida por completo?
2
3. Una función de costo marginal está definida por c '(
x)
= 3x
+ 8x
+ 4 , y el
costo fijo es de $6.00. Determina:
a) La función costo total correspondiente.
b) El costo total dentro de los primero 3 años.
c) ¿Cuál es el costo total entre el segundo y quinto año?
4. para un artículo particular, la función de ingreso marginal es
Si x son las unidades demandadas. Determina:
a) La función ingreso total.
b) ¿Cuál es el ingreso total dentro de los primeros cinco años?
i'( x)
15 − 4x
= .
c) ¿Cuántas unidades demandadas se requieren para que el ingreso total sea
máximo?
d) ¿Cuál es el máximo ingreso?
Fig. 3.11 Tanque
de combustible.
TAREA 2
Página 97.
93

94
Cálculo integral II
¡Ojo! Recuerda que
debes resolver la
autoevaluación y los
ejercicios de
reforzamiento; esto te
ayudará a enriquecer
los temas vistos en
clase.

Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
INSTRUCCIONES: Evalúa las siguientes integrales definidas mediante el teorema fundamental del cálculo.
Recuerda usar los diferentes métodos de integración. Entra a la página
http://integrals.wolfram.com para comprobar tus respuestas.
1
1. ∫ −
2. ∫
3.
4.
1
∫
∫
5. ∫
6.
2
0
1
4
9
2 3
x ( x + 1)
dx
2 3
2x x + 1dx
1
dx
2x
+ 1
1
x ( 1+
x )
1 2
1
2
π
∫ 2
7. ∫ −
8.
9.
10.
11.
dx
( x −1)
2 − x dx
2x
cos dx
0 3
4
2
π
2
∫−π
2
π
2
∫−π
2
2 3
x ( x + 8)
dx
cos xdx
senxcos
xdx
∫ sen
2
0
2
2 x cos 2xdx
4 ⎡ x ⎤
∫ ⎢(
x + 1)
− ⎥dx 0
⎣ 2 ⎦
1
2 2
12. ∫ [( 1−
x ) − ( x −1)]
dx
−
1
6 ⎡ −x
x ⎤
3
13. ∫ ⎢4
( 2 ) − ⎥dx 0
⎣ 6 ⎦
⎡ 3
3 ⎛ x ⎞ x ⎤
14. ∫ ⎢⎜
− x⎟
− ⎥dx
2
⎢
⎜ ⎟
⎣⎝
3 ⎠ 3 ⎥⎦
2
15. ∫ −
2
TAREA 1
2
[( x + 2x
+ 1)
− ( 2x
+ 5)]
dx
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente Fecha
95

96
16.
∫
Cálculo integral II
1
0
[( x −1)
3
3
− ( x −1)]
dx
3
17. ∫ [ 3(
x − x)
− 0]
dx
0
6
2
2
18. ∫ [( x − 4x
+ 3)
− ( −x
+ 2x
+ 3)]
dx
0
1
2 3
19. ∫ [ x − x ] dx
0
6
2
20. ∫ [( x − 6x)
− 0]
dx
0
21. ∫ 4
π
0
π
22. ∫ 2
π
4
sec
sen
23. ∫ e (ln
1
24. ∫ −
π
4
π
4
25. ∫ 2 ln
1
3
2
x)
x
cot
xe x
x dx
x dx
2
dx
x dx
dx
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________

TAREA 2
Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente Fecha
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas de aplicación.
1. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la
función f (x)
describe la razón de ventas cuando pasaron x años desde que el producto se presentó en el
mercado por primera vez. Se sabe que f ( x)
= 2700 x + 900 si 0 ≤ x ≤ 5 . Calcule las ventas totales
durante los primeros cuatro años.
2. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la
máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f (x)
pesos al año donde
f ( x)
= 1000 + 5000x
.
a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?
b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola?
Para saber más y
enriquecer el tema, visita el
sitio
http://dieumsnh.gfb.umich.
mx/INTEGRAL/
http.//www.fca.unl.edu.ar/In
tdef/AplicacionesEconomia
.htm
97

98
Cálculo integral II

Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de
la opción que consideres correcta.
3
2
1. Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo el valor de la integral definida ∫ ( 3x
− x + 6)
dx es:
−
� 54 �
� 48 �
� 45 �
� 84
2. El resultado de la integral definida ∫ π
� 0 �
� 1�
�
� − 1
No existe �
0
cos dx x
2
3. Determina el área de región comprendida entre la función h( x)
= f ( x)
− g(
x)
, donde f ( x)
= x −1
y
g ( x)
= −3x
− 2 , y las rectas x = 0 y x = 3 .
� 6 �
� 57 �
� 25. 5 �
� 18
4. La función de costo marginal de un fabricante es CM ( q)
= 0.
6q
+ 2 . Si la producción actual es q = 80
unidades por semana, ¿cuánto más costará (en dólares) incrementar la producción a 100 unidades por
semana.
� $ 2,
100 �
� $ 1,
520 �
� $ 1,
120 �
� $ 5,
280
5. Índice de severidad. En un análisis de la severidad en el tránsito, Shonle considera cuánta aceleración
puede tolerar una persona en un choque sin que se presenten en ella lesiones serias. El índice de severidad
se define como sigue:
T
∫
índice de severidad =
0
5
2
dt
α ,
Donde α se considera una constante implicada con la aceleración media ponderada y T es la duración del
choque. El índice de severidad es:
� T 2
5
α �
5
� α T
2 �
� T 5
2
α �
� α T
AUTOEVALUACIÓN
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
1
99

100
Cálculo integral II
4
6. El resultado de la integral definida ∫ −
−4 x dx es:
� 0 �
� −16 �
� 8 �
� − 8
7. Para que la integral definida pueda ser interpretada como un área, es decir, que el valor de la integral sea
positivo. La función f en el intervalo [a,b] debe ser:
� Continua y negativa .
� Discontinu a y positiva .
� Discontinu a y negativa .
� Continua y positiva .
8. Dentro de las propiedades de la integral definida, la integral ∫ b
f ( x)
dx es igual a:
a
� − ∫
b
f ( x)
dx �
a
� − ∫
a
f ( x)
dx �
b
� ∫ −b
f ( x)
dx �
−a
� ∫ −
b
f ( x)
dx
a
9. Dentro de las propiedades de la integral definida, la integral ∫ a
f ( x)
dx es igual a:
No existe �
�
� a �
� 0 �
� f (x)
6
2
10. El resultado de la integral definida ∫ 2x x + 3 dx es:
1
38
� �
3
� 157. 03 �
38
� − �
3
70
�
3 ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE
Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te
invitamos a continuar con esa dedicación.
Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es
necesario que nuevamente repases los temas.
Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es
insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu
profesor.
a
Consulta las
claves de
respuestas en la
página 103.

Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida
INSTRUCCIONES: Resuelve las siguientes integrales y problemas, y preséntalos a tu profesor.
I. Evalúa las siguientes integrales.
2
1. ∫ −
2. ∫ −
2
π
π
2
( 4x
+ 5)
dx
(cos x + sen x)
dx
5 1
3. ∫ dx
3 x − 2
4. ∫ e
x dx
1 ln
1
e x
3
5. ∫1 2
x
dx
π
2 sen x
6. ∫ dx
0 1+
cos x
7. ∫
EJERCICIO DE
REFORZAMIENTO 1
6
3
2
2
(cos x + sen x)
dx
II. Resuelve los siguientes problemas.
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
1. Para cierta población supongamos que la función l (x)
representa el número de personas que
alcanzan la edad x en cualquier año. Esta función se llama función de la tabla de vida. Bajo
condiciones apropiadas, la integral ∫ +n x
l ( t)
dt da el número esperado de gente en la población
x
que tiene exactamente x y x + n , inclusive. Si l( x)
= 10,
000 100 − x , determina el número
de gente que tiene exactamente entre 36 y 64 años inclusive. Da tu respuesta al entero más
cercano, ya que respuestas fraccionarias no tienen sentido.
∫ −
10
4
2
2. En un estudio sobre mutación genética, aparece la siguiente integral x dx . Evalúa la
0
integral.
3. El economista Pareto ha establecido una ley empírica de distribución de ingresos superiores que
dN −B
da el número N de personas que reciben x o más dólares. Si = −Ax
, donde A y B
dx
son constantes, encuentra una expresión que te represente el número total de personas que
reciben $ 100 o más dólares.
− 1
101

102
Cálculo integral II

Claves de Respuestas
UNIDAD 1
1. A
2. C
3. A
4. B
5. A
6. D
7. A
UNIDAD 2
1. B
2. C
3. B
4. A
5. D
6. C
7. D
8. A
9. C
10. A
UNIDAD 3
1. B
2. A
3. C
4. C
5. A
6. A
7. D
8. B
9. C
10. A
103

104
Glosario
Recuerda que tienes que ordenar los conceptos alfabéticamente. (a...z)

� GONZALEZ Cabrera Víctor M. “Cálculo 4000”, Ed. Progreso, S.A. de C.V.
1997.
� HAEUSSLER Ernest, JR.- PAUL Richard S. “Matemáticas para Administración,
Economía, Ciencias Sociales y de la vida”, Ed. Prentice-Hall. 1997.
� HOWARD Antón. “Calculus with analytic geometry”, John Wiley & Sons, Inc.
1980.
� HUGHES-Hallet Deborah-GLEASON Andrew M. “Calculus”, John Wiley &
Sons, Inc. 1994.
� LARSON Ron - HOSTETLER Robert P. “Cálculo diferencial e integral”,
McGraw-Hill Interamericna. 2002.
-http://www.tahc.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag1.htm
-http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2
-http://www.matharticles.com
Bibliografía General
105