CBC Matemática (51)

CBC
Matemática (51)
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PROGRAMA ANALÍTICO 1
:: UNIDAD 1
Números Reales y Coordenadas Cartesianas
Representación de los números reales en una recta. Intervalos de
Distancia en la recta real.
Representación de puntos en el plano.
Distancia entre dos puntos del plano.
:: UNIDAD 2
Funciones polinómicas
Definición y ejemplos. Dominio e imagen. Representación gráfica.
Ceros de una función. Conjuntos de positividad y de negatividad. Crecimiento y decrecimiento. Extremos
locales.
Función lineal. Gráfico de una función lineal. Rectas en el plano. Pendiente. Intersección de rectas.
Funciones cuadráticas. Gráfico. Determinación de ceros. Imagen de una función cuadrática. Vértice y eje de
simetría de una parábola. Intersección entre rectas y parábolas. Problemas de aplicación.
Funciones polinómicas. Ceros. Factorización. Noción de continuidad. Teorema de Bolzano para funciones
continuas. Determinación de intervalos de positividad y de negatividad de funciones polinómicas.
:: UNIDAD 3
Funciones racionales
Funciones homográficas. Noción de límite en el infinito y de límites infinitos. Asíntotas horizontales y
verticales de funciones racionales.
Composición de funciones. Funciones inversas. Dominio y gráfico. Ejemplos.
:: UNIDAD 4
Funciones trigonométricas y exponenciales
Definición de las funciones trigonométricas. Gráficos. Propiedades. Ceros, imagen, amplitud y período.
Positividad y negatividad. Valores máximos y mínimos. Aplicaciones.
Funciones exponenciales y logarítmicas. Estudio de ambas funciones a través de sus gráficos. Dominio e
imagen. Asíntotas. Aplicaciones al crecimiento de poblaciones.
:: UNIDAD 5
Derivadas
Cociente incremental. Definición de derivada. Interpretación geométrica y cinética. Recta tangente.
Reglas de derivación.
Aplicaciones a la construcción de curvas.
:: UNIDAD 6
Integración
Primitivas. Métodos de integración: integración por partes y sustitución. Cálculo de integrales definidas.
Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow.
Aplicación al cálculo de áreas y a problemas de mecánica.
1 http://www.cbc.uba.ar/dat/catedras/mate/mate51.html
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Ejercicios de examen ordenados por tema según la unidad a la que corresponden.
Como ocurre generalmente en matemática, para poder realizar ejercicios de la unidad 2
se necesita previamente conocer y dominar los temas de la unidad 1, para trabajar con
la unidad 3, los temas de la unidad 1 y 2 y así sucesivamente.
Primer parcial
Unidad 1
1. Sean P = (9, -3) y Q = (1, ). Determinar todos los valores de para los cuales la
distancia entre P y Q es 10.
2. Hallar analíticamente todos los valores de para que la distancia de A = (3, 0) a
P = ( , ) sea 3.
3. Escribir como un intervalo o una unión de intervalos el conjunto
4. Escribir el conjunto como un intervalo o una unión de intervalos.
5. Sea Q = (0,3). Hallar todos los puntos de la forma P = ( , ), tales que la distancia
entre P y Q sea .
6. Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto
7. Hallar analíticamente todos los puntos del eje tales que su distancia al punto (-6, 1) es
igual a 10.
8. Hallar analíticamente las coordenadas de todos los puntos de la recta que
están a distancia 1 del punto (0; 0).
9. Dadas escribir como intervalo o unión de intervalos el
conjunto .
10. Sean y el punto donde el gráfico de corta al eje . Determinar todos los
puntos del gráfico de que están a distancia de .
Unidad 2
1. Sean y el vértice del gráfico de . Hallar la distancia entre y el
punto
2. Sea Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P = (2,3) y por el vértice de la
parábola que es el gráfico de
4. Sea y P el punto donde el gráfico de corta al eje x. Sea V el vértice del
gráfico de la función cuadrática
Calcular la distancia entre los puntos P
y V.
5. Hallar los ceros e intervalos de positividad de la función
6. Sea la función cuadrática cuyo gráfico pasa por los puntos (-4, 0), (5, 0) y (0, -5), y sea
Dar el conjunto de positividad de .
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7. Sean y la función lineal tal que y . Encontrar y
todos los puntos del plano en que se cortan los gráficos de y .
8. 2 Sean la función lineal tal que y , y Hallar
el conjunto imagen de .
9. Dadas y hallar de modo que . Para
el valor de hallado, encontrar todos los puntos de intersección de los gráficos de y .
10. Hallar la función cuadrática que tiene y conjunto de positividad
.
11. Sea Determinar y sabiendo que la abscisa del vértice del gráfico de
es y que la distancia entre los ceros de es 7.
12. Encontrar la función polinómica de grado 3 cuyo gráfico pasa por (-3, 0), (-2, 0), (-1, 5) y
(3, 0) y escribir los conjuntos de positividad y de negatividad de .
13. Sea la función cuadrática Determinar el valor de para que
tenga un solo cero. Para el valor de hallado determinar los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento de .
14. Sea V el punto de intersección de las rectas de ecuaciones: e .
Encontrar la función cuadrática tal que su gráfico tiene vértice V y pasa por el punto
(2, 0).
15. Sean la función lineal tal que y y . Hallar
el conjunto imagen de .
16. Determina el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de
11 .
17. Determina la función polinómica de grado 3 cuyo gráfico corta al eje en los puntos (-4,0),
(1,0) y (2,0), y corta al eje en (0,-4).
18. Dada hallar el valor de sabiendo que tiene un cero en .
Para el valor de encontrado, indicar conjuntos de ceros e intervalos de positividad y de
negatividad de .
19. Sean y la función cuyo gráfico tiene vértice y pasa por el punto
Encontrar todos los puntos de intersección de los gráficos de y .
20. Sea el punto (-2,5) y el vértice de la parábola Hallar la función lineal
cuyo gráfico pasa por los puntos y .
Unidad 3
1. Dada , calcular el valor de tal que la recta de ecuación sea
asíntota horizontal de . Para el valor de encontrado, hallar todas las asíntotas de .
2. Sea Hallar y para que las rectas de ecuación y sean
asíntotas de .
2 Tanto el ejercicio 8 como el ejercicio 15 están relacionados con composición de funciones, tema perteneciente a la unidad 3.
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3. Sean y Dar las ecuaciones de todas las
asíntotas de la función .
4. Sea y Hallar para que sea un cero de Para el valor
de encontrado dar las ecuaciones de las asíntotas de .
5. Calcular las ecuaciones de todas las asíntotas de . .
6. Sean con y . Hallar el valor de para que
la función tenga por asíntota vertical a la recta de ecuación . Para el valor de
encontrado, calcular
7. Sea f(x) la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos (1,3) y (0,5) y
. Dar las ecuaciones de las asíntotas de
8. Calcular tal que tenga asíntota horizontal . Para el valor de
encontrado, hallar todas las asíntotas de .
9. Sean y la función inversa de . Calcular y dar las ecuaciones de
todas las asíntotas de .
10. Sean . Hallar las ecuaciones de todas las asíntotas de .
Unidad 4
1. Calcular la función inversa de . Indicar el dominio de y el de .
2. Determinar los conjuntos de positividad y de negatividad de .
3. Sea . Hallar y dar su imagen.
4. Sea . Determinar sabiendo que , calcular y dar el dominio
y la imagen de .
5. Sea . Calcular , la función inversa de .
6. Sea . Hallar y calcular el dominio de y el dominio de .
7. Sean ; y . Calcular
8. Hallar los ceros de en el intervalo .
9. Sea Determinar el valor máximo de y encontrar todos los
en los que alcanza dicho valor máximo.
10. Se sabe que tiene un cero en . Determinar el valor de e
indicar, para el valor de encontrado, la imagen de .
11. Sea . Calcular los ceros de que pertenecen al intervalo .
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12. Sean y . Dar la imagen de .
13. Sean y . Hallar los tales que .
14. Hallar todos los tales que .
Segundo parcial
Unidad 5
1. Sea . Determinar el valor de para el cual la recta tangente al
gráfico de en el punto de abscisa 0 es paralela a la recta dada por .
2. Sea . Hallar el punto del gráfico de donde la recta tangente es
horizontal. Dar la ecuación de dicha recta.
3. Sea . Hallar el punto del gráfico de en el cual la ecuación de la recta
tangente es .
4. Sea Hallar el valor de para el cual la recta tangente al gráfico de
en el punto de abscisa es paralela a la recta de ecuación . Para el valor
de encontrado, dar la ecuación de dicha recta tangente.
5. Sea Hallar los tales que .
6. Hallar el punto P tal que la pendiente de la recta tangente al gráfico de
en el punto P sea
. Escribir la ecuación de la recta tangente en dicho punto.
7. Sea . Dar la pendiente de la recta tangente al gráfico de en el punto de
abscisa .
8. Hallar el punto P tal que la ecuación de la recta tangente al gráfico de en el
punto P es .
9. En la función existe un tal que la ecuación de la recta
tangente al gráfico en dicho punto es . Hallar .
10. Sea Hallar para que la recta tangente al gráfico de en
tenga pendiente 11.
11. Sea . Determinar el dominio, las asíntotas verticales, los intervalos de
crecimiento y de decrecimiento y los máximos y los mínimos relativos de .
12. Sea . Determinar dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y
extremos locales de .
13. Sea . Hallar el dominio, la ecuación de la asíntota vertical, los intervalos de
crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de . Graficar
aproximadamente.
14. Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los máximos y mínimos
relativos de . Graficar aproximadamente.
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15. Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y determinar los máximos y
mínimos relativos de .
16. Sea . Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y
los máximos y los mínimos relativos de .
17. Sea . Hallar dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y
máximos y mínimos relativos de .
18. Sea . Hallar máximos y mínimos relativos, intervalos de crecimiento y de
decrecimiento, ecuaciones de las asíntotas y hacer un gráfico aproximado de .
Unidad 6
1. Calcular .
2. Calcular .
3. Calcular .
4. Calcular .
5. Calcular .
6. Calcular .
7. Calcular .
8. Calcular .
9. Calcular .
10. Calcular .
11. Hallar el área de la región del primer cuadrante encerrada por los gráficos de
, y el eje .
12. Hallar el área de la región encerrada por los gráficos de y , para
.
13. Calcular el área de la región limitada por los gráficos de y .
14. Calcular el área de la región encerrada entre los gráficos de y .
15. Hallar el área de la región encerrada por las curvas e .
16. Calcular el área de la región encerrada entre el eje , los gráficos de y
la recta .
17. Hallar el área de la región encerrada por las curvas e .
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18. Hallar el área de la región determinada por y el eje .
19. Calcular el área de la región encerrada por las curvas y
20. Sea . Encontrar el área de la región encerrada entre el gráfico de y el eje
.
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Soluciones
Unidad 1
1. a = - 9
2. k = 0 ; k = 3
3. (-1/2; 0)
4. (-∞; 2)(6; +∞)
5. k = 0 ; k = 5
6. (0; 1/12]
7. P1 = (0; -7) ; P2 = (0; 9)
8. P1 = (0; -1) ; P2 = (4/5; 3/5)
9. (-∞; 4][6; +∞)
10. P1 = (-11; -5) ; P2 = (-1; 5)
Unidad 2
1. d = 2
2. I + = (-∞; -3)(2; +∞) ; I - = (-3; 0)(0; 2)
3. y = -3x + 9
4. d =
5. C 0 = {-5; 0; 2} ; I + = (-∞; -5)(2; +∞)
6. C + = (-4; 2)(5; +∞)
7. g(x) = 4x – 12; P1 = (1; -8) ; P2 = (3; 0) ;
P3 = (-4; -28)
8. fog(x) = - x 2 + 4x – 2 ; Im fog = (-∞; 2]
9. m = 4; P1 = (1; 3) ; P2 = (1/2; 1)
10. y = -3/5·(x + 8)(x – 2)
11. b = 3; c = -10
12. f(x) = -5/8·(x + 3)(x + 2)(x – 3);
C + = (-∞; -3)(-2; 3); C - = (-3; -2)(3; +∞)
13. c = 18; IC = (-3; +∞) ; ID = (-∞; -3)
14. f(x) = 5(x – 1) 2 – 5
15. h(x) = - x 2 +3x + 3; Im h = (-∞; 21/4]
16. C + = (-∞; -3)(0; 3)(11/2; +∞);
C - = (-3; 0)(3; 11/2)
17. y = -1/2·(x + 4)(x – 1)(x – 2)
18. ] =a = 12; C 0 = {-4; 0; 1}; C + = (-∞; -4)(0;
1); C - = (-4; 0)(1; +∞)
19. P1 = (3; 21) ; P2 = (1/4; 29/4)
20. y = (2/5)x + 29/5
Unidad 3
1. a = - 3; A.V. en x = 3 ; x = - 3
2. a = 2; b = 49
3. A.V. en x = 1; A.H. en y = 2
4. a = - 3; A.V. en x = ½ ; A.H. en y = - 3
5. A.V. en x = -3; A.H. en y = 1
6. k = 4; h(x) = + 4; h -1 (x) = ;
Dom h -1 = IR – {4}; Im h -1 = IR – {-3/2}
7. h(x) = ; A.V. en x = 7/4 ;
A.H. en y =0
8. a = 6; A.V. en x = 2; x = - 2
9. f -1 (x) = ; A.V. en x = - 2 ;
A.H. en y = - 6
10. h(x) = ; A.V. en x = - 11/3 ;
Unidad 4
A.H. en y = 2/3
1. f -1 (x) = ; Dom f = (1/5; +∞) ;
Dom f -1 = IR
2. C + = (-∞; -3)(4; +∞); C - = (-3; 4)
3. f -1 (x) = 3e 5x – 4; Im f -1 = (-4; +∞)
4. k = 3; f -1 (x) = 1 + ln ; Dom f -1 = (6;
+∞); Im f -1 = IR
5. f -1 (x) = .
6. f -1 (x) = 2 + ln ; Dom f = IR;
Dom f -1 = (3; +∞)
7. h -1 (5)= 2/3
8. C 0 = {π/2; 3π/2}
9. Máximo en – 3 ; x = {3π/8; 7π/8}
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10. a = 6 ; Im f = [- 9; 3]
11. C 0 = {-13π/12; -5π/12; 11π/12; 19π/12;
35π/12}
12. h(x) = 4.sen(3x + π/4) + 3 ; Im h = [-1; 7]
13. h(x) = 3.sen(2x) – 1 ; x [0; 2] = {π/4;
5π/4}
14. S = {x/xIR: x = kπ + π/12 ; x = kπ +
11π/12 ; kZ}
14. IC = (- 6; 6) ; ID = (-∞; -6)(6; +∞); máx.
rel.: (6; 5184) ; mín. rel.: (-6; -5184)
Unidad 5
1. b = 3/10
2. P = (-2; 7)
3. P = (-3; -7)
4. a = 3 ; y = 5x + 4
5. x = 1/3 ; x = 2/3
6. P = (6; ln(72)) ; y = x – 1 + ln(72)
7. 41/5
8. P = (-5; -1)
9. x = - 2
10. a = - 7/2
11. Dom f = IR – {3} ; A.V. en x = 3 ; IC = (-∞;
1)(5; +∞) ; ID = (1; 3)(3;5) ; máx. rel.:
(1; -4) ; mín. rel.: (5; 4)
12. Dom f = IR; IC = (-∞; -1)(0; +∞) ; ID =
(-1; 0); máx. rel.: (-1; 1/e) ; mín. rel.: (0; 0)
13. Dom f = IR – {3}; A.V. en x = 3; IC = (-∞;
0)(6; +∞) ; ID = (0; 3)(3;6) ; máx. rel.:
(0; 0) ; mín. rel.: (6; 12)
15. IC = (-∞; -3 )( 3; +∞); ID = (-3; 3);
máx.rel.: (-3; 16/e 2 ) ; mín.rel.: (3; -8e 4 ).
16. IC = (3; +∞) ; ID = (-∞; 3); máx.rel.: ;
mín.rel.: (3;0).
17. Dom f = (3; +∞); IC = (3; e + 3); ID = (e +
3; +∞) máx.rel.: (e + 3; 1/e); mín.rel.: .
18. IC = (-2; 2) ; ID = (-∞; -2)(2; +∞);
máx.rel.: (2; 21/4) ; mín.rel.: (-2; 19/4).
Unidad 6
1. ;
2. -2cos( + 3) + x 5 /5 + C
3. e 2x + (4x + 1) 4/3 + C
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4. 2 ln(x 2 – x + 4) + C
5. 2/5(x – 2) 3/2 (x + 3) + C
6. x 2 + (7x 2 + 9) 3/2 + C
7. x 6 – 10 cos(-4 + ) + C
8. 1/4 sen(x 4 ) – cos (x) + C
9. 9(x 2 + 5) 2/3 + C
10. e x (5 – 3x) + C
11. A ≃ 11,73 u 2 .
12. A ≃ 9,29 u 2 .
13. 125/6 u 2 .
14. 81/2 u 2 .
15. 70/3 u 2 .
16. A ≃ 6,33 u 2 .
17. 5/6 u 2 .
18. A ≃ 0,69 u 2 .
19. 128/3 u 2 .
20. 8 u 2 .
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