APLICACIONES DE LA INTEGRAL Volumen de un sólido de ...

La longitud del gráfico de f considerada el intervalo [a, b] es:
b
L =
∫
1 +
a
2
( f '(
x)
) dx
Ejemplo:
Queremos encontrar la longitud del arco de la curva de ecuación
entre los puntos (1,1) y (4,8).
3 / 2
y = x comprendido
Aplicando directamente el resultado anterior:
4
4
3 / 2
⎛ 3 1/ 2 ⎞
9 8 ⎛
2 13 ⎞
L = + ⎜ ⎟ = + = ⎜
⎟
∫
1 x dx
−
⎝ ⎠
∫
1 x dx 10
3 /
2
4 27
(se sugiere verificar).
⎝ 8 ⎠
1
1
Área de una superficie de revolución
Supongamos que rotamos en torno al eje x el gráfico de una función positiva como la de
la figura. Cada parte de la curva de longitud Δl
genera al girar en torno al eje x una
figura que podemos asemejar a un rectángulo.
∆l
2π f(x)
Las dimensiones de ese “rectángulo” son Δl
de ancho y 2πf
( x)
de largo. De ese modo
es que cada tira tiene un área Δ á = 2π f ( x)
Δl
2
Como, a su vez, Δl
= 1 + ( f '( ~ x )) Δx
2
Tendríamos que Δá
= 2π f ( x)
1+
( f '( x)
) Δx
, por lo que