Grafs i complexitat - dEIC

6. Sigui Z n el circuit de longitud n ≥ 3. Comproveu que f(Z n , 3) = 2 n +2(−1) n i demostreu,
per inducció sobre n, que
f(Z n , t) = (t − 1) n + (−1) n (t − 1)
7. Sigui G el graf simètric format per dos grafs H i K que tenen en comú una única aresta
(v i , v j ) i els dos vèrtexs v i , v j . Siguin f(G, t), f(H, t) i f(K, t), respectivament, els polinomis
cromàtics per a G, H i K. Deduïu una expressió per a f(G, t) en funció de f(H, t) i
f(K, t).
8. Demostreu que en tot graf G(V, A) amb |A| ≥ 1 la suma dels coeficients del polinomi
cromàtic val sempre zero.
9. Per pintar el mapa comarcal de Catalunya, els infants de l’Escola Bressola disposaven només
de quatre colors. Tot i això, en Joan va poder pintar totes les comarques a excepció del
Gironès. Aquesta delimita amb el Baix Empordà, La Selva, el Pla de l’Estany i la Garrotxa,
pintades de color blau, verd, groc i roig, respectivament. Partint de la coloració actual,
proposa un mètode que permeti en Joan pintar el Gironès i, amb això, aconseguir pintar el
mapa comarcal de Catalunya amb 4 colors.
10. Demostreu que tot graf pla pot ésser pintat usant 6 colors, sense fer cap referència al teorema
dels 4 colors ni al teorema dels 5 colors.
14