Grafs i complexitat - dEIC

Grafs i complexitat
Exercicis
Curs 2009/10
Enginyeria en Informàtica
Escola d’Enginyeria, UAB

1 Introducció i fonaments
1. Sigui G un graf amb n vèrtexs i m arestes tal que tots els vèrtexs tenen grau k o k + 1.
Demostreu que si G té n k vèrtexs de grau k i n k+1 vèrtexs de grau k + 1, aleshores
n k = (k + 1)n − 2m.
2. És cert que tot graf G(V, A) sense llaços amb |V | > 1 conté, pel cap baix, dos vèrtexs que
tenen el mateix grau? Per què?
3. Reunits en una conferència d’alt nivell, els presidents dels estats A, B, C, D, E, F, G i H intenten
decidir quin d’ells s’encarregarà d’organitzar la propera reunió, de vital importància
per aprovar els estatuts d’un projecte comú de gran transcendència. Es vol que l’organitzador
estigui amb bona sintonia amb el major nombre de presidents d’aquests estats i, per
aquest motiu, decideixen escollir com a organitzador el president que s’hagi reunit de manera
no oficial més vegades amb altres presidents en el darrer any. Comença el recompte i A
diu que s’ha reunit amb 6 dels presents, B, C, D i E afirmen que s’han reunit amb 5, F amb 2,
i G i H amb 1. Quan tot sembla indicar que l’organitzador serà A, el president B afirma que
algun dels presents no ha dit la veritat i, per tant, s’hauria de repetir el recompte especificant
les trobades que ha fet cadascú. En aquest moment, el president A abandona la reunió visiblement
molest i acusa el president B de dubtar de la seva honorabilitat i conspirar contra la
integritat del seu país. Un cop ha abandonat la sala, B assegura a la resta del presents que
pot demostrar que algun dels presidents no deia la veritat i, per a confirmar-ho, els demana
que diguin si van reunir-se amb A. Efectivament, només ell, G i H s’havien reunit amb A
el darrer any i, per tant, aquest no havia fet sis reunions, sinó tres. Els altres presidents,
sorpresos per la capacitat de B, decideixen que aquest organitzi la reunió. El president B
accepta l’encàrrec amb un lleu somriure interior.
(a) Podia B demostrar realment que algun dels presents no deia la veritat?
(b) Creus que B és honest quan accepta organitzar la reunió?
4. Determineu si existeix un graf que tingui un vèrtex de grau 5, un de grau 4, un de grau 1,
dos vèrtexs de grau 3 i tres de grau 2.
5. Un pont és una aresta tal que, si s’elimina, el graf passa a tenir més components. Demostreu
que si tots els vèrtexs d’un graf simètric G tenen grau parell aleshores G no conté cap pont.
6. Els següents dos grafs són isomorfs entre ells perquè existeix una correspondència bijectiva
entre els vèrtexs que preserva les adjacències.
2

x 1 x 2
1
5 6
x 3 x 4
4
x 5 x 6
3
G 1 G 2
2
Digueu quina és aquesta correspondència bijectiva i doneu un tercer graf que sigui també
isomorf als dos anteriors.
7. Entre les seqüències de nombres que es mostren a continuació hi ha les seqüències de graus
dels vèrtexs corresponents als grafs simètrics G 1 , G 2 , G 3 i G 4 . Sabent que no tenen llaços,
que G 1 no pot ser connex, que G 2 és complet i que G 3 és un arbre, assigneu a cada graf la
seva seqüència.
s 1 = 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5 s 2 = 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2 s 3 = 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 3
s 4 = 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4 s 5 = 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7 s 6 = 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 8
8. Un bosc és un graf simètric no connex on cada component és un arbre. Si G(V, A) és un
bosc amb 26 vèrtexs i 21 arestes, quants components té?
9. Demostreu que tot arbre que té més d’un vèrtex conté, pel cap baix, dos vèrtexs de grau 1.
10. Demostreu que la molècula C n H 2n+1 OH és un arbre per a tot valor natural de n. (Recordeu
que la valència d’un àtom és el nombre d’àtoms amb qui es pot enllaçar i que la valència del
carboni és 4, la de l’oxigen 2 i la de l’hidrogen 1.)
11. Hi ha cap graf pla i connex amb tots els vèrtexs de grau 4 i totes les regions delimitades per
4 arestes?
12. Demostreu que tot graf G(V, A) amb |A| < 9 o |V | < 5 és pla.
13. Demostreu que no hi ha cap graf pla que tingui 5 regions de manera que cada dues regions
siguin adjacents.
14. Podem aconseguir que K 6 esdevingui pla eliminant dues de les seves arestes? I si en podem
eliminar tres?
15. Sigui G(V, A) pla on la regió més petita està formada per k ≥ 3 arestes. Demostreu que
|A| ≤
k(|V | − 2)
k − 2
16. Sigui G un graf pla, connex, amb 16 arestes i tal que el grau de cada vèrtex no és inferior a
4. Quantes regions tindrà una representació plana de G?
3

17. Donat el següent graf no dirigit,
4
7
2 3
5
1
6
doneu la representació mitjançant matriu d’adjacència i mitjançant llistes d’adjacència.
18. Indiqueu com es pot calcular el grau d’un vèrtex a partir de la matriu d’adjacències i a partir
de la llista d’adjacències. Indiqueu, també, el nombre d’operacions elementals que caldria
fer.
19. Com pot detectar un programa els grafs complets i els seus complementaris a partir de la
matriu d’adjacències?
20. Completeu la taula següent, indicant per a cada entrada, quin tipus de representació seria
més adequada (matriu d’adjacències o llista d’adjacències) i el nombre d’operacions elementals
que caldria fer per a cada un dels problemes proposats, en un graf d’ordre n, mida
m i on g i indica el grau del vèrtex i.
Problema Representació Operacions
Comprovar si el vèrtex i és adjacent al vèrtex j
Calcular el grau del vèrtex i
Afegir una aresta entre el vèrtex i i el vèrtex j
Comprovar si el graf és nul (no té arestes)
Eliminar l’aresta entre el vèrtex i i el vèrtex j
Calcular el nombre d’arestes del graf
Comprovar si el graf és regular
4

2 Connectivitat, arbres i camins
1. Dibuixeu un graf de sis vèrtexs en el qual siguin diferents tres arbres generadors: el de cost
mínim, el de camins de distància mínima des de v 1 i el de camins de cost mínim des de v 1 .
2. Dibuixeu els arbres amb seqüència de Prüfer:
(a) 1,2,3,4,5,6
(b) 1,1,1,1,1,1,1
(c) 6,6,6,6,6,6,6
(d) 2,2,2,2,2,4,4,4,4
(e) 3,4,5,2,2,3,4,5,11
3. Trobeu les seqüències de Prüfer dels següents arbres:
2
3
4
2 6
6
G 1
1
5
7
8
7 1
G 2
5 3
8
4
4. Donat un graf simètric G(V, A) dissenyeu un algorisme polinomial per a decidir si G és
connex que recorri els vèrtexs per amplada prioritària. Avalueu-ne la complexitat.
5. Sigui G un graf simètric i connex. Dissenyeu un algorisme polinomial per a determinar si
G és bipartit. Avalueu-ne la complexitat.
6. Sigui G un graf simètric. Dissenyeu un algorisme polinomial per a determinar quants components
té G. Avalueu-ne la complexitat.
7. Donat un graf simètric G(V, A) dissenyeu un algorisme per a determinar si G és connex que
recorri els vèrtexs per fondària prioritària. Avalueu-ne la complexitat.
8. Una pagesa té una garrafa de 8 litres plena de vi, i disposa només de dues garrafes buides de
3 i 5 litres respectivament. Per a mesurar de manera exacta una quantitat, l’única possibilitat
que té és abocar el contingut d’una garrafa cap a una altra fins que la primera es buida
completament o la segona s’omple del tot.
Plantegeu en termes de grafs (és a dir, descriviu quin és el graf i quin problema de grafs
es vol resoldre) els problemes següents, indicant la solució, el mètode que s’utilitza per a
trobar-la i l’ordre en què s’exploren els vèrtexs.
5

(a) Es vol determinar si és possible repartir el vi en dues parts iguals.
(b) Es vol trobar el mínim nombre de passos que cal fer per a repartir el vi en dues parts
iguals.
(c) L’esforç que cal fer per aixecar una garrafa és proporcional a la quantitat de vi que
conté. Es vol determinar la manera de repartir el vi en dues parts iguals de manera que
l’esforç total per a aconseguir-ho sigui el menor possible.
9. Un llop, un xai i un bròquil es troben al marge esquerre d’un riu, i el barquer del riu els vol
passar al marge dret d’un en un. El llop i el xai no poden quedar sols per raons evidents,
i el mateix passa amb el xai i el bròquil. Com es pot organitzar el trasllat? Plantegeu el
problema en termes de grafs.
10. Un procés de manufactura d’una joia comença amb un tros de plata en brut. Aquesta plata
s’ha de tallar, polir, foradar i marcar convenientment. Convé tallar-la abans de fer-li els
forats i polir-la abans de marcar-la. Suposem que per a cada joia tallar-la demana una unitat
de temps; polir-la també; marcar-la requereix dues unitats de temps si la peça no ha estat
tallada, i quatre si ho ha estat. Finalment, fer els forats comporta tres unitats de temps si
la peça no està polida, cinc unitats si ja ho està però no marcada, i set unitats si ja està
marcada.
Usant un esquema de treball basat en els grafs, es demana trobar la seqüència correcta
d’activitats que permet realitzar el procés en el mínim temps possible.
11. Una empresa suïssa d’aviació va ampliar l’estiu passat el seu negoci, obrint vols diaris entre
6 ciutats. Aquesta taula dóna les distàncies entre aquestes 6 ciutats:
Berlín Dublín Helsinki Ginebra Praga Palerm
Berlín − 1530 1430 1139 348 2533
Dublín 1530 − 2665 1570 1819 3440
Helsinki 1430 2665 − 2381 1739 4007
Ginebra 1139 1570 2381 − 948 1990
Praga 348 1819 1739 948 − 2294
Palerm 2533 3440 4007 1990 2294 −
(a) Per motius meteorològics, avui els vols de les següents línies no s’enlairaran, ni en
un sentit ni en l’altre: Praga/Dublín, Praga/Ginebra, Palerm/Helsinki, Palerm/Ginebra,
Berlín/Dublín i Berlín/Helsinki. Utilitza algun dels algorismes que coneixes per trobar
la manera d’anar de Dublín a Praga recorrent la mínima distància possible.
(b) L’empresa entra en crisi i ha de tancar algunes línies. Determina quines línies tancaries
si es vol mantenir la possibilitat de volar des de qualsevol ciutat a qualsevol altra fent
que la distància total de les línies que es mantenen sigui la menor possible.
12. Set computadors estan interconnectats per una xarxa de baixa velocitat. La taula següent
dóna els temps (en milisegons) que tarden els missatges a recórrer cada segment de la xarxa:
6

Segment (A,B) (A,C) (A,D) (B,C) (C,D) (B,E) (B,F) (D,F) (E,F) (E,G) (F,G)
Temps 5 4 4 3 2 4 2 3 2 3 4
L’administrador de la xarxa, situat en el punt C, ha d’enviar diàriament missatges a tots els
ordinadors. Indicant el tipus d’arbre generador que es vol trobar, el mètode utilitzat per a
obtenir-lo i els passos seguits, determineu la subxarxa per la que caldria enviar el missatge
si:
(a) Es vol minimitzar el temps total que es necessita per a enviar el missatge per la xarxa.
(b) El missatge és urgent i, per tant, es vol fer arribar el més ràpidament possible a tots els
ordinadors.
7

13. La taula següent recull la distància (en milles) entre diverses ciutats de l’estat d’Indiana
(USA):
Bloomington Evansville Fort Wayne Gary Indianapolis South Bend
Evansville 119 −− −− −− −− −−
Fort Wayne 174 290 −− −− −− −−
Gary 198 277 132 −− −− −−
Indianapolis 52 168 121 153 −− −−
South Bend 198 303 79 58 140 −−
Terre Haute 58 113 201 164 71 196
Es vol construir un sistema de carreteres que comuniqui aquestes set ciutats. Suposant que
el cost de construcció d’una milla de carretera està fixat, determineu quines carreteres s’han
de construir perquè el cost total de la construcció sigui mínim. La solució és única o hi ha
més d’una configuració de carreteres amb cost total mínim? Justifiqueu la resposta.
14. Un viatjant treballa en un petit grup de 7 illes de l’arxipèlag malai. Cada dia s’hauria de
desplaçar a totes les illes diverses vegades. El bitllet per anar d’una illa a una altra és vàlid
per a tot el dia. Aquesta taula mostra el valor del bitllet entre les illes que estan comunicades
directament:
Illes Kabia Kabaena Butung Tuk. Muna Alor Atauro
Kabia 11 5 5
Kabaena 7
Butung 4 5 8
Tukangbesi 6 10 6
Muna 13 5
Alor
Atauro
Quina és la forma més econòmica en què pot viatjar per totes les illes? A quan puja la
despesa en transport? Quin arbre generador heu fet servir?
15. Utilitzant el mètode de Floyd trobeu el camí de cost mínim entre cada parell de vèrtexs en
el graf dirigit representat per la matriu de costos
⎛
C(G) = ⎜
⎝
0 5 1 5
∞ 0 ∞ 4
∞ 3 0 1
3 1 ∞ 0
⎞
⎟
⎠
8

3 Circuits eulerians i circuits hamiltonians
1. En els escacs, estudieu si és possible determinar un recorregut tancat (circuit) per a un
cavall, tal que realitzi damunt del tauler (8 x 8) tots els moviments possibles una vegada (es
considera que saltar d’una casella i a una altra j és el mateix moviment que fer-ho de la j a
la i).
2. Formuleu en termes de grafs: en el joc dels escacs, es vol saber si és possible per a un cavall
recórrer les 64 caselles del tauler passant una vegada, i només una, per cadascuna d’elles.
Si el tauler fos n x n amb n senar, seria possible el recorregut? Per què?
3. Quantes vegades (com a mínim) s’ha d’aixecar el llapis del paper per dibuixar la figura sense
repetir cap línia? Justifiqueu la resposta en termes de grafs.
4. Determineu un camí eulerià pel graf següent:
1 2
4
3
7
5
6
8
9
5. Caracteritzeu els grafs següents per tal que tinguin circuit eulerià, és a dir, que siguin eulerians.
(a) El graf T n corresponent a un arbre de n vèrtexs.
(b) El graf complet K n .
(c) El graf Z n corresponent al circuit de n vèrtexs.
9

(d) El graf bipartit complet K x,y .
(e) El multigraf G(V, A) amb |V | = 7 i seqüència de graus dels vèrtexs S 7 = (2, 4, 4, 4, 4, 6, 8).
6. Caracteritzeu els grafs del problema anterior per tal que tinguin camí eulerià.
7. Doneu, en cada apartat, un exemple de graf connex que verifiqui:
(a) És eulerià i hamiltonià.
(b) És eulerià i no hamiltonià.
(c) No és eulerià i sí que és hamiltonià.
(d) No és ni eulerià ni hamiltonià.
10

8. Resoleu, mitjantçant el mètode d’Edmonds el problema del carter xinès per al graf següent.
3
v 1
✓ ✓✓❙ ❍
❍
❍
4 ❙ 1 ❍1
❍
✓
❙ ❍
v 5 2 v 3 v 5
❙
✓
1 ❙
✓
❙ ✓✟ ✓ ✟✟✟✟✟✟❍
4
1
v 4
9. Sigui G(V, A) simètric i no eulerià. Demostreu que en la solució al problema del carter
xinès cap aresta no serà recorreguda mai més de dues vegades. Podem afirmar el mateix si
G és dirigit?
10. En el joc del dòmino:
(a) És possible obtenir una seqüència circular que contingui totes les fitxes?
(b) El mateix que abans, si prescindim de totes les fitxes que contenen 6 punts en un dels
costats.
(c) El mateix que en (a) si el joc conté totes les fitxes que es poden formar usant 0 punts,
1 punt, . . ., N punts.
(d) En el dòmino tradicional, si eliminem la fitxa 1 2 i la 3 4 , és possible obtenir una
seqüència (circular o no) que contingui totes les altres fitxes?
11. Considereu un tambor magnètic que té 16 sectors diferents. Per a saber en cada moment
en quina posició es troba, es col . loquen 4 terminals sensors perpendicularment damunt de
4 sectors consecutius. Cada sensor s’activa quan té a davant un sector fet d’un material
conductor.
Com es podria fer la distribució de material conductor i no conductor damunt dels sectors
de manera que, a partir de la informació dels sensors, es pugui conèixer la posició relativa
del tambor?
12. Considereu que un servei de publicacions ha rebut N llibres per a imprimir i, a continuació,
enquadernar. Siguin respectivament p i i e i el temps necessari per a imprimir i enquadernar
l’i-èsim llibre. Suposeu que es verifica que donats dos llibres qualssevol l i i l j es compleix
sempre que p i < e j o bé que p j < e i . Considereu que es disposa d’una màquina per a
la impressió i una altra per a l’enquadernació. Formeu una seqüència d’impressió dels N
llibres on la màquina d’enquadernar estigui treballant, de forma continuada, des del moment
que s’ha acabat d’imprimir el primer llibre fins que s’ha acabat d’enquadernar el darrer.
13. Reunits a l’estació de Plaça Catalunya, els inspectors del metro de Barcelona volen fer un
recorregut que visiti totes les estacions i torni a l’estació d’origen.
11

(a) Proposeu un mètode per a determinar el recorregut més ràpid possible.
(b) Proposeu un mètode per a determinar un recorregut que, tot i que potser no és òptim,
no superi en un 50% el temps del circuit òptim.
(c) Quin dels dos mètodes anteriors creus que haurien d’utilitzar els inspectors?
14. En el següent graf simètric, determina un circuit que passi, com a mínim, un cop per cada
vèrtex, de manera que el cost d’aquest circuit no sigui superior al 50% del cost del circuit de
cost mínim. Indiqueu els passos seguits i el cost total. És la solució un circuit hamiltonià?
v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6
v 1 − 15 30 10 − 65
v 2 − 50 30 − −
v 3 − 35 − −
v 4 − 40 60
v 5 − 50
v 6
−
15. Determineu si el graf següent és hamiltonià. Si ho és, assenyaleu el circuit hamiltonià, si no
ho és, demostreu-ho usant algun criteri general.
16. Demostreu que el graf següent no té circuit hamiltonià
12

4 Coloració
1. Un dels problemes típics de coloració consisteix en col . locar vuit reines en un tauler d’escacs
de manera que cap d’elles no n’amenaci cap altra. (Hi ha 92 maneres diferents de fer-ho.)
Plantegeu el problema en termes de grafs.
2. Es volen assignar freqüències de ràdio a set emissores diferents. Cal tenir en compte que
si dues emissores estan a una distància inferior a 100 quilòmetres, hauran de disposar de
freqüències diferents per tal que no hi hagi interferències. La taula següent indica a quines
distàncies estan situades les emissores. Quantes freqüències caldran per tal de poder fer
l’assignació? Resoleu el problema mitjançant la cerca dels conjunts independents maximals
(Bron i Kerbosch).
A — 79 175 220 60 30 50
B 79 — 85 175 50 160 115
C 175 85 — 90 200 220 75
D 220 175 90 — 210 220 35
E 60 50 200 210 — 65 130
F 30 160 220 220 65 — 155
G 50 115 75 35 130 155 —
3. Considereu totes les assignatures de segon cicle en uns estudis superiors. Suposeu que, per
a cadascuna, s’ha d’escollir un dia per a fer l’examen final, i que es disposa d’una relació de
tots els estudiants que hi són matriculats.
Plantegeu en termes de grafs el problema si volem fer una distribució dels exàmens que
prengui el nombre mínim de dies, de manera que cap estudiant no estigui matriculat de dues
assignatures que tenen assignat el mateix dia.
4. Coloreu de manera òptima els següents grafs. Justifiqueu que la coloració és òptima i que,
per tant, no podríeu haver colorat el graf amb menys colors.
G 1
G 2
G 3
5. Determineu f(K 2,5 , t) tot considerant les propietats del graf.
13

6. Sigui Z n el circuit de longitud n ≥ 3. Comproveu que f(Z n , 3) = 2 n +2(−1) n i demostreu,
per inducció sobre n, que
f(Z n , t) = (t − 1) n + (−1) n (t − 1)
7. Sigui G el graf simètric format per dos grafs H i K que tenen en comú una única aresta
(v i , v j ) i els dos vèrtexs v i , v j . Siguin f(G, t), f(H, t) i f(K, t), respectivament, els polinomis
cromàtics per a G, H i K. Deduïu una expressió per a f(G, t) en funció de f(H, t) i
f(K, t).
8. Demostreu que en tot graf G(V, A) amb |A| ≥ 1 la suma dels coeficients del polinomi
cromàtic val sempre zero.
9. Per pintar el mapa comarcal de Catalunya, els infants de l’Escola Bressola disposaven només
de quatre colors. Tot i això, en Joan va poder pintar totes les comarques a excepció del
Gironès. Aquesta delimita amb el Baix Empordà, La Selva, el Pla de l’Estany i la Garrotxa,
pintades de color blau, verd, groc i roig, respectivament. Partint de la coloració actual,
proposa un mètode que permeti en Joan pintar el Gironès i, amb això, aconseguir pintar el
mapa comarcal de Catalunya amb 4 colors.
10. Demostreu que tot graf pla pot ésser pintat usant 6 colors, sense fer cap referència al teorema
dels 4 colors ni al teorema dels 5 colors.
14