Texto de lectura de masa, momentum y energia relativistas

MASA, MOMENTUM y ENERGÍA (Relatividad Especial)C.O. Dib * , apuntes para la asignatura FIS-140, UTFSMDepto de Física, Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso, Chile(ΩDated: Abril 2009)Cuando se comienza a estudiar Mecánica, conceptos como posición, velocidad y fuerza son fácilesde comprender y muy intuitivos. Aceleración suele ser un concepto un poco más sutil, pero despuésde pensar un poco, también se puede entender. Sin embargo, trabajo y energía son conceptos másdifíciles de entender y explicar. Ahora que estudiamos la teoría de la relatividad, en vez de aclararse elpanorama, parece volverse más confuso. El concepto de masa, que creíamos tener inconfundiblementeclaro, no es sólo una medida de la inercia sino también una forma más de energía (energía en reposo).En este artículo queremos revisar y ordenar estos conceptos, y a la vez aprender a usarlos en cálculos.I. REPASOSA. Repaso: El MomentumEl momentum (cantidad de movimiento) es la cantidaddinámica por excelencia en la descripción Newtonianadel movimiento de un objeto. La velocidad es más simplede comprender en forma intuitiva, porque se puede vercon nuestros propios ojos. No es tan directo visualizarel momentum, aunque está directamente relacionado conla velocidad, pero es conveniente usarlo porque, a diferenciade la velocidad, tiene un carácter dinámico (relacionadoa la causa del movimiento). En la aproximaciónno-relativista, el momentum de una partícula de masa mque se mueve con velocidad ⃗v respecto a un observadordado es:⃗p = m ⃗v. (1)Lo esencial en la dinámica del movimiento está en que losobjetos interactúan, y esa interacción altera su posicionesespaciales en función del tiempo.Cada interacción entre un par de objetos significa unafuerza sobre uno de los objetos y una fuerza igual y opuestasobre el otro (ésta es la Tercera Ley del Movimientode Newton).B. Repaso: el carácter de la fuerzaLa definición de la acción de un cuerpo sobre otro (fuerza)está dada por la forma como ese cuerpo altera su movimiento,visto desde un sistema de referencia inercial: lafuerza es la tasa de cambio del momentum:⃗F = d⃗pdt . (2)Esto es la Segunda Ley de Newton. A veces hay confusiónpara entender si esto es la definición de fuerza (dp/dt esla fuerza) o es una ley dinámica (dp/dt tiene el mismovalor que la fuerza). En realidad, la segunda visión esvacía si no logramos saber qué es ⃗ F independientementede esa ecuación... y en verdad, no podemos conocer ⃗ F independientementede esa ecuación, al menos en principio,de modo que ésta es, en verdad, la definición de fuerza.¿Cómo puede ser entonces la ecuación anterior una definiciónde ⃗ F y a la vez una ley de movimiento? La claveestá en el principio de superposición: si una partícula interactúacon varios otros cuerpos a la vez, la acción total(fuerza) sobre la partícula es la superposición (suma vectorial)de cada una de las acciones (fuerzas) por separado(como si las otras no estuvieran). Con este principio, puedoconstruir primero mis teorías de interacción (fuerzas)observando el movimiento de las partículas debido a cadainteracción por separado –uso la ec. (2) como definiciónde ⃗ F – y luego usar el conocimiento de esas fuerzas ensituaciones posteriores para deducir el movimiento de laspartículas –uso la ec. (2) como ley de movimiento.Ejemplo: Tenemos dos partículas, de masa conocida, concarga eléctrica. Podemos descubrir que hay una interacciónentre ellas viendo cómo aceleran. Después de unaserie de experimentos, midiendo cargas y aceleraciones yusando la ecuación (2), podemos deducir la ley de fuerzaeléctrica (ley de Coulomb). De ahí en adelante, cada vezque tenemos partículas con carga eléctrica conocida, podemosahora deducir el movimiento (en vez de medirlo)usando la misma ecuación (2).De acuerdo al principio de superposición, y una vez queconocemos las leyes de interacción, la cantidad ⃗ F queaparece en la ec. (2) es la suma de todas las fuerzas (interacciones)actuando sobre el objeto (es decir, la fuerzaneta sobre el objeto):* Derechos reservados. Reproducción total o parcial del materialrequiere permiso del autor.∑i⃗F i = ⃗ F neta = d⃗pdt . (3)

2B. Energía y TrabajoC. Repaso: Conservación del Momentumm⃗v1⃗p = √ = mγ⃗v, γ ≡ √1 − v2 /c 2 1 − v2 /c . (7) Analicemos un poco más la expresión para el cambio de2energía cinética. Supongamos que el objeto parte del re-La tercera ley de Newton es una forma de expresar laconservación de momentum en un sistema mecánicamenteaislado (sistema de cuerpos sin interacción con cuerposexternos al sistema mismo). En un sistema de variaspartículas interactuantes, si la fuerza sobre la partícula idebido a la partícula j es F ⃗ ij , debido a la tercera ley deNewton tenemos queAunque el momentum no sea exactamente m⃗v sino mγ⃗v,aún podemos usar la misma Ec. (2) para definir la fuerza.La dinámica descrita por la ecuación vectorial (2) puedeser integrada a lo largo del camino de la partícula, entredos puntos A y B cualesquiera. Encontramos así dosnuevos conceptos que resultan muy útiles: el trabajo y laenergía cinética. En Mecánica, el trabajo, denotado porW (“work”), matemáticamente es una integral del movimientode un cuerpo; específicamente, es la integral de⃗F ji = −F ⃗ ij . (4)camino de la fuerza a lo largo del movimiento:La tasa de cambio de momentum de la partícula i es∫ Bentonces:W = ⃗F · d⃗r. (8)Ad⃗p idt = ∑ ⃗F ij (5) Comprender intuitivamente la idea de trabajo a partir dejesta integral no es fácil. Lo mejor es postponer esta comprensiónintuitiva hasta que descubramos un poco más lay por lo tanto la tasa de cambio del momentum total es: utilidad de esta definición: desde el punto de vista práctico,esta definición nos permite encontrar una integral deld ∑⃗p i = ∑ ∑movimiento[1].⃗F ij = 0. (6)dti i jEl Trabajo definido en la Ec. (8) permite a su vez definiruna cantidad llamada Energía; la energía resulta serEsta expresión se anula porque las fuerza se cancelande a pares. Esto significa que el momentum total de unsistema aislado es constante (ley de conservación del momentum).una cantidad que trasciende el ámbito de la mecánica pura,y llega a ser clave en la dinámica de cualquier sistemafísico, incluyendo química, termodinámica y campos electromagnéticoso de cualquier otro tipo: aparece así unaII. DINÁMICA RELATIVISTAley de conservación fundamental: la conservación de laenergía. Por ahora, veamos sólo el aspecto mecánico deesto.Partiendo de la Ec. (8), podemos expresar W como unaintegral sobre el momentum:Cuando el movimiento relativo entre los cuerpos es dealtas velocidades (cercanas a la velocidad de la luz), algunosde los tratamientos anteriores fallan, y por lo tanto ⃗F = d⃗p∫ B ∫ Bdeben ser revisados.dt −→ W = d⃗p⃗F · d⃗r =AA dt · d⃗r∫ B∫d⃗pB=A dt · ⃗v dt = d⃗p · ⃗v. (9)AA. Momentum relativistaPor otro lado, siendo ⃗p = mγ⃗v, se deriva que d⃗p =mγd⃗v + mγ 3 vdv ⃗v/c 2 , y por lo tanto ⃗v · d⃗p = mγ 3 vdv.Así, la integral en Ec. (8) queda:El momentum de un objeto (es decir aquella cantidadconservada cuando el sistema no está sujeto a fuerzas externas),expresado en términos de la velocidad del objeto, W = ⃗F · d⃗r = mγ 3 vdv = mc 2 γ ∣ B (10)∫ B ∫ BAAA.no es en general lo que aparece en la Ecuación (1). Esaes una buena aproximación sólo si la velocidad es muchomenor que c. Si uno insiste en usar esa expresión,La integral de la izquierda es el trabajo hecho por la fuerzaque actúa sobre el objeto. El trabajo es la energía quedescubrirá que el momentum así definido no es una cantidadconservada. La expresión general para el momen-debe gastar un agente externo para producir el cambiode movimiento del objeto.tum que se conserva en los procesos de interacción (y quese conserva en cualquier sistema de referencia) para unapartícula de masa m y velocidad ⃗v es:La expresión de la derecha es el cambio de energía cinética.Así, el trabajo es la energía transferida desde el agenteexterno al objeto en cuestión.

3poso, en cuyo caso la energía cinética inicial es nula y elcambio de energía cinética es simplemente su valor final:Einstein propuso considerar queE K = mc 2 γ − mc 2 . (11)E = mc 2 γ (12)es la Energía Total del objeto. En particular, cuando elobjeto está en reposo, su energía es mc 2 (Energía en Reposo).Lo importante de esta definición no es que hayamosmultiplicado la masa por la constante c 2 . La verdaderautilidad de esto, como demostró Einstein, es queexisten procesos en los que esta energía (en reposo) setransforma a energía de otro tipo (cinética, calor, etc.) oviceversa.III.LA MASA COMO MEDIDA DE LAINERCIALa masa es la medida de la inercia de un objeto, pero¿qué es la inercia? Veamos.A. Masa y FuerzaClásicamente se define la inercia como la dificultad paraacelerar a un objeto al aplicarle una fuerza:⃗F = m⃗a. (13)Esta es, sin embargo una buena definición sólo a bajasvelocidades. Si consideramos la Eq. (2) como definiciónde fuerza y la Eq. (7) como definición de momentum, larelación entre fuerza y aceleración es un poco más complicadaque en la Ec. (13):⃗F = d⃗pdt= mγ d⃗v ⃗v v dv+ mγ3dt c 2 dt . (14)Separando los términos de aceleración en a v paralela a ⃗vy a c centrípeta o perpendicular a ⃗v, esto queda:⃗F = mγ 3 ⃗a v + mγ⃗a c . (15)EJERCICIO: demuestre esta relación a partir de laEc. (14), usando la definición de aceleración ⃗a = d⃗v/dt,la descomposición ortogonal ⃗a = ⃗a v + ⃗a c , y la definiciónde la parte paralela: ⃗a v = (⃗a · ˆv)ˆv, donde ˆv = ⃗v/v es elvector unitario en dirección de la velocidad.Esta relación complicada, donde las fuerzas longitudinalesy centrípetas producen distintas respuestas de aceleración,hace que la definición de inercia en términos dela fuerza se vuelva un poco rebuscada. En este curso nousaremos relaciones tipo fuerza vs. aceleración; nos concentraremosmás en relaciones de momentum y energía.10864202 4 p 6 8 10Figura 1: Energía vs. momentum para masas m = 0, 2 y 5(usamos c = 1) .B. Masa y Energía-MomentumUna definición más simple y general (aunque menos intuitiva)de la inercia en términos de la masa se puedehacer en términos de la energía y el momentum. Usandolas definiciones E = mc 2 γ y ⃗p = mγ⃗v, se deduce que:E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 . (16)Así, la masa determina el valor de la energía para un valordado de momentum. La inercia es, entonces, la medidade cómo cambia la energía en función del momentum.En la figura 1 se muestra la relación E vs. p para distintosvalores de masa. Para momentum y energía muygrandes, la masa no es significativa: E ∼ pc. En cambio,para p pequeño (es decir pc ≪ mc 2 ), el comportamientode la energía como función del momentum depende de lamasa: a medida que p crece, la energía crece más lentamentemientras mayor sea la masa. Podemos expandir Evs. p para p pequeño (límite no-relativista): la curva seaproxima a una parábola:E = √ √m 2 c 4 + p 2 c 2 = mc 2 1 + p2m 2 c 2 (17)≈ mc 2 + p22m .El último término es justamente la energía cinética comofunción del momentum p, en su aproximación norelativista:para un momentum dado, la energía cinéticaes menor mientras más grande sea la masa.EJERCICIO: Considere un electrón (masa: m e c 2 ≈ 0, 51MeV) y un protón (masa: m p c 2 ≈ 938 MeV). Claramente

4la energía en reposo del protón es mucho mayor que ladel electrón.Considere ahora un aumento de momentum desdep = 0 hasta p = 10 eV/c tanto para el electróncomo para el protón (este es un momentum muchomenor que mc en ambos casos). Encuentre elaumento de energía cinética de cada uno de ellos.Compare.ppM 1m 2v 1v 2Figura 2: Explosión (no relativista) con dos fragmentos, unomás pesado que el otro. Note que los momentos son igualesy opuestos, mientras que la velocidad de la masa menor esmayor, al igual que su energía cinética.Haga lo mismo, pero para un momentum p = 1MeV/c.IV.COLISIONES Y DESINTEGRACIONESNuevamente lo mismo, pero para un momentump = 100 MeV/c. Compare la energía cinética delas partículas con sus respectivas masas. Calculeademás las velocidades de las mismas, en unidadesde c.Finalmente, haga lo mismo pero para p = 10 GeV/c(recuerde: Mega = 10 6 , Giga = 10 9 ).C. Masa y Conservación de MomentumComo acabamos de ver, para un valor dado de momentum,la energía cinética es menor mientras mayor seala masa. Una partícula extremadamente pesada puedeadquirir un momentum considerable, aunque su energíacinética se mantenga muy pequeña.Ejemplo no-relativista: Tomemos el caso de la desintegraciónde una partícula, modelada como un par demasas unidas con un resorte comprimido, en reposo. Alsoltarse las masas, el resorte entrega su energía al parde partículas, que se alejan en direcciones opuestas. Pero¿cuál se lleva más energía? Como el momentum se conservay es cero inicialmente, entonces al final las masastienen momentum igual y opuesto. La conservación de laenergía, por otro lado, exige queE r = p22m + p22M , (18)donde E r es la energía inicial (energía potencial en elresorte comprimido). Como p es el mismo para amboscuerpos, el de masa mayor tendrá una energía cinéticaproporcionalmente menor. En el caso límite m ≪ M, lamasa más liviana se lleva casi toda la energía:E 1K = p22m ≈ E r;Este ejemplo es muy importante.E 2K = p22M ≪ E K1. (19)A. Choques elásticos e inelásticosEn una colisión de partículas, el momentum y la energíatotal siempre se conservan.Cuando además se conserva la energía cinética total, sedice que el choque es elástico. Si la energía cinética no seconserva, se dice que el choque es inelástico.Un sistema macroscópico está formado por millones demillones de átomos. En tal caso, si sólo se puede medirla energía cinética de cuerpos grandes y no las energíasque se van al movimiento individual de cada uno de losátomos (energía interna o calor), usualmente se dirá queen los choques inelásticos la energía no se conserva, peroen rigor, la energía siempre se conserva: en una colisióninelástica lo que no se conserva es la energía cinética,porque hay una parte de la energía que se transforma enotra cosa (energía interna, calor o masa); por lo tanto,si uno sólo mide energía cinética, el balance no le va acuadrar.En un sistema subatómico, que es un sistema de pocaspartículas, no hay ninguna forma de energía que quedesin contabilizarse. Lo que es calor o energía interna enun cuerpo grande, aquí se ve claramente como parte delmovimiento. Incluso en los casos inelásticos, en los quela energía cinética no se conserva, se puede contabilizarexactamente cuánta energía se transformó a otra formano-cinética (como energía de enlace molecular, enlace nuclearo masa).B. Masa y Energía internaEn rigor relativista, la masa de un cuerpo, sea éste simpleo compuesto, es su relación entre energía total y momentumtotal:√Mc 2 = ET 2 − (p T c) 2 (20)Siempre es posible encontrar un sistema de referencia enel cual el momentum total del cuerpo es cero: p T = 0.

5Ese sistema de referencia se llama Sistema Centro deMomentum (CM) para ese cuerpo. Si el cuerpo es simplementeuna sola partícula, ésta está en reposo. Si elcuerpo es un conjunto de partículas interactuantes, cadauna se puede estar moviendo, pero de modo tal que lasuma de los momenta es cero.En ese sistema, la energía total del cuerpo es la masa delmismo:p T = 0 ⇒ E T = Mc 2 (21)Si se trata de una sola partícula, el caso es trivial. Sien cambio el cuerpo es un conjunto de partículas interactuantes,la masa del cuerpo contiene no sólo la masade las partículas constituyentes, sino también la energíacinética que pueda tener cada una (en el sistema de referenciaen que p T = 0), como también la energía potencialde interacción entre cada par de partículas. Note que estoes profundo: la masa del conjunto, que es una medida dela inercia, en verdad depende de la interacción entre laspartículas constituyentes!EJERCICIO: Considere un átomo de Hidrógeno, que consistede un electrón ligado en torno a un protón, mutuamenteatraídos por interacción eléctrica. Las masasdel protón y electrón son m p = 938, 27 MeV/c 2 y 0,51MeV/c 2 . Como el protón es mucho más masivo, en el sistemacentro de momentum éste practicamente no se mueve.El electrón, en cambio, se mueve en torno al protóncon 13 eV de energía cinética y además es atraído porel protón con una energía potencial negativa de 26 eV(energía potencial negativa significa 26 eV menor que laenergía potencial que tendría si estuviera infinitamentelejos –tomada como cero por referencia). Determine lamasa del átomo de Hidrógeno.EJERCICIO: Este ejercicio es similar al anterior, pero enun caso nuclear: considere un núcleo de deuterio, formadopor un protón y un neutrón. La masa del neutrón es939,63 MeV/c 2 (la masa del protón está en el ejercicioanterior). La energía de enlace entre protón y el neutrónes de 2.2 MeV (esto significa una energía menor en 2.2MeV al caso cuando protón y neutrón están muy lejos).Determine la masa del núcleo de deuterio.Note que si la energía de enlace fuera aún mayor, el núcleosería más liviano!C. Ejemplos de ColisionesEJERCICIO 1: Dos partículas de masa m cada una, seacercan a velocidad v una contra la otra y chocan, quedandodespués del choque una sola partícula de masa M(esto podría ser un sistema ligado de las dos partículasoriginales, o simplemente otra partícula, distinta de lasincidentes).Cuál es el valor de la masa M (en términos de m yv) para que esto ocurra?Si resolvió bien, la masa M debería ser mayor que2m. Es eso razonable? De dónde proviene la energíapara la masa adicional?EJERCICIO 2: Transforme el caso anterior a un sistemade referencia en el que una de las partículas incidentesestá en reposo (un sistema “moviéndose”junto con esapartícula).Determine la velocidad de la otra partícula incidente.Determine la velocidad de la partícula final.Qué masa tiene la partícula final en este caso?EJERCICIO 3: Considere el mismo caso anterior, peroresuelva el problema de colisión desde el comienzo, esdecir, considere una partícula de masa m y con velocidadv ′ (que suponemos conocida) que choca con otra igual queestá en reposo.Usando leyes de conservación, determine la velocidady la masa de la partícula final. Coincide suresultado con lo calculado anteriormente?EJERCICIO 4: Considere ahora el proceso revertido: unapartícula de masa M en reposo se desintegra en dos fragmentosiguales de masa m cada uno. Determine la velocidad(o energía) de los fragmentos.EJERCICIO 5: Considere la colisión de las dos partículasdel ejercicio 1, incidiendo una contra la otra con velocidadv, pero al final del choque, esta vez quedan cuatropartículas de masa m en vez de una sola de masa M.Cuál es el mínimo valor de la energía de cadapartícula incidente para lo cual esto es posible?Cuál es el mínimo valor de v? Cómo se muevenlas partículas finales en tal situación?Para velocidades v mayores que ese mínimo, cómoserá el movimiento de las partículas finales? Existenmuchas configuraciones de movimiento o sólo una?EJERCICIO 6: Haga las transformaciones del ejercicio 5a un sistema en el que una de las partículas incidentesestá en reposo.Haciendo las transformaciones, encuentre la mínimaenergía de la partícula incidente para que ocurrala creación del par.Describa la configuración de movimiento de laspartículas finales en tal caso.Si la energía de la partícula incidente es mayor queese mínimo, cómo se mueven las partículas finales?Es una única configuración o hay muchas posibles?

6EJERCICIO 7: Resuelva el caso del ejercicio 6 desde elprincipio, usando las leyes de conservación.V. TEMAS AVANZADOSEstos no son temas más difíciles; sólo son avanzados porquepueden dejarse fuera de un primer estudio de Relatividad,y porque para estudiarlos se requiere haber cubiretolos temas anteriores. Los incluimos porque ayudan,a quien le interese el tema, a clarificar los temas de laRelatividad.que un observador cualquiera medirá un tiempo dt y undesplazamiento dx entre esos eventos, y otro observadormedirá en general otro tiempo dt ′ y otro desplazamientodx ′ entre esos mismos eventos, pero todos los observadorescalcularán el mismo tiempo propio dτ entre dichoseventos.dτ = √ dt 2 − dx 2 /c 2 = √ dt ′2 − dx ′2 /c 2 . (26)Ese tiempo propio es además, por supuesto, el tiempo dtque mide aquel observador para el cual los dos eventosestán en la misma posición (es decir, para quien midadx = 0).A. InvariantesEn la teoría de la Relatividad, un concepto muy útil y a lavez muy simple es el de Invariante. Un invariante es unacantidad que tiene el mismo valor en todos los sistemas dereferencia (es decir, es invariante bajo transformacionesde Lorentz).B. Tiempo propioConsideremos dos eventos en el espacio-tiempo. La distanciaespacial entre los dos eventos, |∆⃗r|, claramente noes un invariante (recuerde la contracción de la longitud).El tiempo entre los dos eventos, ∆t, tampoco es un invariante(recuerde la dilatación del tiempo).Sin embargo, el llamado intervalo(∆s) 2 = (c∆t) 2 − (∆x) 2 − (∆y) 2 − (∆z) 2 (22)sí es invariante bajo transformaciones de Lorentz. En particular,cuando esta cantidad es positiva, corresponde al(cuadrado de) tiempo propio entre los eventos. Veamoseso.Para una partícula en movimiento, cuando el tiempoavanza en dt, las posiciones cambian en dx = v x dt,dy = v y dt y dz = v z dt, y por lo tanto el intervalo ds 2es:√ds = (cdt) 2 − (v x dt) 2 − (v y dt) 2 − (v z dt) 2 (23)√=cdt 1 − (vx 2 + vy 2 + vz)/c 2 2 (24)=cdt/γ v , (25)donde γ v es el factor γ asociado a la velocidad de lapartícula. Así, ds/c es precisamente el tiempo propiotranscurrido para la partícula, que llamaremos dτ.El tiempo propio entre dos eventos es una cantidad invariantebajo transformaciones de Lorentz, en el sentido deC. Cuadrivectores e InvariantesComo sabemos, un evento cualquiera se describe enun sistema S por las coordenadas de espacio-tiempo(ct, x, y, z). El mismo evento se describe en otro sistemade referencia S ′ , que se mueve con velocidad V en dirección+x respecto a S, por coordenadas (ct ′ , x ′ , y ′ , z ′ ), queestán relacionadas con las coordenadas en S medianteuna transformación de Lorentz:ct ′ = γ(ct − βx) (β ≡ V/c)x ′ = γ(x − βct) (27)y ′ = yz ′ = z.Toda cantidad de cuatro componentes que se transformesegún esta regla de transformación de un sistema a otro,se denomina un cuadrivector.Es fácil comprobar que la cantidad c 2 t 2 − x 2 − y 2 −z 2 ≡ c 2 t 2 − |⃗r| 2 , asociada al cuadrivector de evento,es invariante bajo transformación de Lorentz; es decir,c 2 t ′2 − |⃗r ′ | 2 , correspondiente al mismo evento pero descritoen coordenadas de otro sistema, tiene exactamenteel mismo valor que c 2 t 2 − |⃗r| 2 . A este tipo de cantidad sele llama un invariante.Debido a que las transformaciones de Lorentz son relacioneslineales en las coordenadas, la diferencia de dos eventostambién es un cuadrivector, es decir (cdt, dx, dy, dz)descrito en S se transforma con Lorentz a S ′ según:cdt ′ = γ(cdt − βdx)dx ′ = γ(dx − βcdt) (28)dy ′ = dydz ′ = dz.Se puede concebir a las transformaciones de Lorentz enforma análoga a las rotaciones en el espacio. Las rotacionesmezclan las componentes de un vector (ej. las componentesdx, dy, dz del vector desplazamiento d⃗r), pero

7dejan invariante el módulo (|d⃗r| 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ).En forma similar, las transformaciones de Lorentz mezclanlas componentes de un cuadrivector (ej. el cambio deevento (cdt, dx, dy, dz)), pero dejan invariante la cantidadllamada intervalo: ds 2 ≡ (cdt) 2 − |d⃗r| 2 .EJERCICIO: Considere un pasajero dentro de un tren,sentada, comiéndose una manzana. Respecto a un observadoren Tierra, el tren se mueve a velocidad V y elpasajero se demora ∆t en comerse la manzana.Según el observador en Tierra, defina las coordenadas(t, x) de los eventos: (a) el pasajero comienzaa comerse la manzana; (b) el pasajero termina decomerse la manzana (ojo: según el observador enTierra, los dos eventos no ocurren en el mismo lugar:el pasajero se va moviendo junto con el tren!).Transforme los eventos al sistema de referencia deltren. Compruebe que las posiciones de los dos eventosson iguales (mismo valor de x ′ ) según el sistemadel tren.Con lo anterior, determine el intervalo de tiempoentre los dos eventos según el tren. Ese es, claramente,el tiempo propio para comerse una manzana.Compruebe que el intervalo (∆s) 2 es justamenteel cuadrado del tiempo propio. En otras palabras,no necesitaba usar las transformaciones de Lorentzpara determinar el tiempo propio: bastaba calcularel intervalo.Además de los eventos, existen otros cuadrivectores, comoveremos a continuación .D. Transformación de Lorentz del Momentum y laEnergíaUsando la definición de momentum y energía en términosde la velocidad y usando la transformación de velocidades,uno puede deducir la transformación de la energía yel momentum de una partícula. El cálculo es engorroso,pero el resultado es simple: la energía y el momentum deuna partícula forman un cuadrivector, es decir se transformande un sistema a otro con las tranformaciones deLorentz:E ′(= γp ′ xc = γp ′ yc = p y c)E − β p x c( )p x c − β Ep ′ zc = p z c (29)donde, como de costumbre, β = V/c y γ = 1/ √ 1 − β 2 .Note que, para igualar dimensiones, no usamos p sino pc.EJERCICIO: Haga la demostración de las transformaciones(29) usando las transformaciones de velocidades.Hay una forma más fácil de derivar esta transformación.Considere una partícula moviéndose con velocidadcualquiera ⃗v = (v x , v y , v z ) según un sistema S. Amedida que pasa el tiempo, la partícula pasa sucesivamentede un evento (t 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) a otro (t 2 , x 2 , y 2 , z 2 )= (t 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) + (dt, dx, dy, dz). Aquí, dx = v x dt, dy =v y dt y dz = v z dt son las componentes del desplazamientode la partícula en el intervalo de tiempo dt.Sabemos que una diferencia de eventos como(dt, dx, dy, dz) se transforma de sistema como uncuadrivector, de acuerdo a la Ec. (28).Por otro lado, el invariante asociado a (dt, dx, dy, dz) es(cdτ) 2 = (cdt) 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 . Es fácil demostrar quedτ no es otra cosa que el tiempo propio entre los eventos:cdτ =cdt √ 1 − (dx/cdt) 2 − (dy/cdt) 2 − (dz/cdt) 2√=cdt 1 − v2c 2=c dtγ v(30)donde γ v es el factor Gamma relacionado con la velocidadde la partícula en el sistema S (no confundir con γ de laEq. (28), que corresponde a la velocidad V relativa entrelos sistemas). Siendo dτ invariante, eso significa quedτ = dt = dt′ . (31)γ vDividiendo cada ecuación en (28) por dτ y usando (31)en cada lado, tendremos:)cγ v′ = γ(cγ v − β γ v v x)γ vv ′ x′ = γ(γ v v x − β cγ vγ ′ vγ vv ′ y′ = γ y v yγ vv ′ z ′ = γ z v z , (32)de modo que (cγ v , γ v ⃗v) es también un cuadrivector, aligual que (cdt, d⃗r). Multiplicando este cuadrivector pormc (donde m es la masa de la partícula), obtenemos:(mc 2 γ v , mγ v ⃗v c) = (E, ⃗pc) (33)Es decir, la energía y el momentum forman un cuadrivector.Cuál es el invariante asociado a este cuadrivector? lamasa, por supuesto:E 2 − (pc) 2 = (mc 2 ) 2 , (34)o más precisamente, la energía en reposo al cuadrado.EJERCICIO: Considere una partícula que tiene momentumen dirección +x, de valor p x , y energía E, segúncierto observador S.

8Usando las definiciones de momentum y energía entérminos de la masa y velocidad de la partícula,compruebe que la velocidad de la partícula en elsistema S es v x = p x c 2 /E.Ahora suponga que conoce la masa m y la velocidad dela partícula, v x , en cierto sistema S (suponga v y = 0).Usando las definiciones de momentum y energía entérminos de la masa y velocidad de la partícula,compruebe que √ E 2 − p 2 c 2 es, en efecto, la masade la partícula, en la forma mc 2 (energía en reposo).Usando las transformación de velocidades, determinela velocidad v ′ x de esta partícula en un sistemaS ′ , que se mueve con velocidad V (en sentido X)respecto a S.Encuentre la energía E ′ y el momentum p ′ x eneste nuevo sistema. Compruebe que la cantidad√E′2− p ′2 c 2 sigue siendo la energía en reposo.EJERCICIO: Suponga que tenemos una partícula de masam, vista en en reposo en un cierto sistema S. Supongaque hay otro sistema, S ′ , que se mueve con velocidad Ven dirección del eje X positivo respecto a S.Con qué velocidad se mueve la partícula respecto aS ′ ?Use las transformaciones de Lorentz para convertirel cuadrivector energía-momentum de la partículavisto en S, (mc 2 ,⃗0) al cuadrivector visto en S ′ .Compruebe que la energía de la partícula en S ′ esla de una partícula de masa m con velocidad V .Compruebe, de la misma forma, que el momentumde la partícula visto en S ′ no es cero, sino el quetiene una partícula de masa m con velocidad v x =−V .Compruebe que el invariante de energía-momentumes m 2 c 4 , visto por S o S ′ (es invariante!).EJERCICIO: Suponga que tenemos una partícula de masam que se mueve respecto a un sistema S con velocidadv x en sentido del eje X positivo. Suponga otro sistema,S ′ , que se mueve respecto a S con velocidad V , tambiénen sentido X positivo.Use las transformaciones de Lorentz para transformarla energía y la componente x del momentumal sistema S ′ . Compruebe que esto es consistentecon las transformaciones de velocidades.E. Sistema CM (Centro de Momentum)En todo sistema de partículas se puede definir la EnergíaTotal del sistema E T (que incluye la energía de cadapartícula y las energías de interacción) y el MomentumTotal del sistema ⃗p T , mediante la suma de todas lasenergías y todos los momenta de las partículas del sistema,respectivamente.Claramente (E T , ⃗p T c) es un cuadrivector, y el invarianteasociado es algo que veremos a continuación.A menos que las partículas sean todas de masa cero ytodas tengan el mismo momentum, siempre es posibleencontrar un sistema de referencia en el cual el momentumtotal sea cero. A este sistema de referencia se lellama Sistema Centro de Momentum (no confundacon centro de masa, que es un punto; el sistema CM noes un punto sino un sistema de referencia).En este sistema, la energía total se llama energía de centrode momentum, E CM , y debe corresponder al invariantede Energía-momentum total:E 2 CM = E 2 T − (p T c) 2 . (35)Por qué? Primero, porque esta cantidad es invariante,como sabemos; por otro lado, si usamos la expresión anterioren el sistema CM, tendremos que el momentumtotal es cero, de modo que el invariante es puramente laenergía en el CM.EJEMPLO: Para un sistema de dos partículas de masam 1 y m 2 y momentum p 1x y p 2x (sólo en el eje X) vistasen el laboratorio, calculemos la energía de centro de momentum.Nos podríamos preguntar por la velocidad delsistema de centro de momentum (C.M.) según el laboratorio,y luego hacer la transformación de Lorentz de laenergía. Sin embargo, eso no es necesario, porque sabemosque la energía de C.M. corresponde al invariante delcuadrivector momentum total.Para no ahogarnos con detalles, vamos a usar c = 1.Así, √ las energías de las partículas en el Lab. son E 1 =m21 + p 2 1x y E 2 = √ m 2 2 + p2 2x . Luego, el invariante deenergía-momentum total es:E 2 CM = (E 1 + E 2 ) 2 − (p 1x + p 2x ) 2 . (36)Listo. Aún así, todavía podemos preguntarnos conqué velocidad se mueve el sistema CM respecto al laboratorio.Para responder eso, podemos pensar en el sistema completode partículas como un solo cuerpo con energía totalE tot y momentum total p x tot . Luego, podemos usar el resultadode que, para una partícula con esa energía y esemomentum dado, la velocidad está dada por:V x = p x totE tot c2 (37)También podemos usar el concepto de cuadrivector demomentum total: como es un cuadrivector, se transformabajo Lorentz en la forma que conocemos. Busquemos

9entonces el sistema de referencia en el que el momentumlineal se anula. Según Lorentz, en el sistema ’S ′ queestamos buscando cumple con:c p ′ xtot = 0 = γ(c px tot − β E tot ). (38)Así encontramos nuevamente la velocidad V requeridapara el sistema CM:V = p x totE tot c2 . (39)F. Masa y Energía de EnlaceAhora podemos hacer un nuevo alcance de lo que es lamasa, en términos de energía.En un sistema ligado de varias partículas, la energía delsistema es la suma de la masa y energía cinética de cadapartícula más la energía potencial de interacción.E (sist) = ∑ i(m i c 2 + E K i ) + E int . (40)Para que las partículas formen un sistema ligado estable,la energía del sistema, vista por el C.M. (sistema dereferencia en el que el momentum total es cero), debe sermenor que la suma de las masas de las partículas componentes(de esta forma, las partículas no pueden separarseindefinidamente, a menos que se les entregue energía adicional):E (sist)CM< ∑ im i . (41)A la diferencia entre estas cantidades se le llama laenergía de enlace, E b (“binding energy”), que es laenergía que se debe entregar al sistema para desligarlo:E (sist)CM= ∑ im i − E b . (42)La energía del sistema junto con su momentum forman elcuadrivector de energía-momentum total del sistema. Enel C.M., este cuadrivector es p (sist) = (E (sist)CM , ⃗0) (la energíadel sistema es E (sist)CMy el momentum total es cero,por definición del C.M.). Como p (sist) es un cuadrivector,sus componentes son distintas para otro observador,según las transformaciones de Lorentz. Esto significa quepara el otro observador, la energía del sistema será engeneral mayor que en el C.M. y el momentum será distintode cero. Sin embargo, la norma del cuadrivector esun invariante:(E (sist) ) 2 − |⃗p (sist) | 2 = [E (sist)CM ]2 . (43)Este invariante, [E (sist)CM ]2 , corresponde entonces a la masadel sistema ligado: es la correcta medida de la inercia delsistema ligado ante agentes externos. Recuerde que lainercia o masa M es aquella cantidad que relaciona laenergía con el momentum de un objeto:E 2 − |⃗p| 2 = M 2 , (44)y eso es exactamente lo que está ocurriendo aquí. Laenergía de enlace efectivamente reduce la masa del sistemaligado con respecto a la masa de las componentes.En la mayoría de los fenómenos químicos (enlaces atómicosy moleculares) la energía de enlace molecular es muypequeña (∼ electron-Volts) comparada con la masa delas moléculas (∼ Giga electron-Volts). Para detectar estecambio de masa necesitaríamos medir masas con unaprecisión de 10 −9 (una parte en mil millones), de modoque para todos fines prácticos la masa que se mide enlos procesos químicos no cambia (se habla de la ley deconservación de masa). Sin embargo en procesos nucleares,la energía de enlace suele ser una fracción 10 −3 dela masa. Esto es una parte en mil. Este cambio de masasí se puede notar.EJEMPLO: una partícula alfa, o núcleo de Helio-4 (estadoligado de dos protones y dos neutrones) tiene unamasa menor que la masa de los dos protones y dos neutrones:m α = 3726, 371 [MeV ]m p = 938, 272 [MeV ]m n = 939, 565 [MeV ] . (45)Tenemos entonces que la energía de enlace en la partículasalfa es:E b = 2m p + 2m n − m α = 29, 303[MeV ], (46)es decir, el 0, 79 % de la masa de la partícula alfa esenergía de enlace.EJEMPLO: el deuterón (núcleo de deuterio o hidrógenopesado), es un estado ligado de un protón y un neutrón.La masa del deuterón es m d = 1875, 612 [MeV ], de modoque la energía de enlace en este caso es:E b = m p + m n − m d = 2, 225[MeV ], (47)es decir, el 0, 12 % de la masa del deuterón es energía deenlace.EJEMPLO: Consideremos la desintegración natural delneutrón. El neutrón no es una partícula estable por sí sola.Sólo se estabiliza si está ligada dentro de un núcleo.Un neutrón libre decae al cabo de un tiempo (vida media)de 14, 8 [min]. Lo que resulta de la desintegración es unprotón, un electrón (m e = 0, 511 [MeV ]) y un neutrino(m ν → 0). La energía liberada en el proceso es, entonces:E liberada = m n − m p − m e ≈ 0, 782 [MeV ]. (48)¿En qué forma aparece esta energía liberada en el estadofinal? La energía liberada es energía cinética de laspartículas finales (protón, electrón y neutrino).

10VI. DIGRESIÓN MATEMÁTICA:CUADRIVECTORES Y PRODUCTO PUNTOTal como se define el producto punto de vectores, ⃗a ·⃗b =a x b x + a y b y + a z b z , que es una cantidad invariante bajorotaciones, y mediante esta operación se define el módulode un vector |⃗a| 2 = ⃗a · ⃗a, así también podemos definir unproducto punto de cuadrivectores en el espacio-tiempo:u·v = u t v t −⃗u·⃗v, que es invariante bajo transformacionesde Lorentz y que permite definir la norma (invariante) deun cuadrivector como u 2 = u · u.Todo lo anterior vale para cualquier observador. Expresemosahora los cuadrivectores en el sistema de laboratorio,donde p = (m,⃗0) y ⃗ k ·⃗k ′ = E f Ef ′ cos θ (θ es el ángulo delfotón final respecto al inicial). Esto queda:mE f − mE ′ f − E f E ′ f (1 − cos θ) = 0. (53)Reescribiendo la energía de los fotones en términos dela longitud de onda, tenemos la expresión de Compton(ponga Ud. los factores de c donde corresponda para hacerconcordar las dimensiones físicas):VII.EJEMPLOS AVANZADOSλ ′ − λ = h (1 − cos θ). (54)mA. Fórmula de ComptonB. Retroceso del Átomo en la EmisiónVeamos la deducción de la fórmula de Compton para elcambio de longitud de onda de rayos gamma que chocancon electrones libres en reposo.El efecto Compton demuestra que la radiación electromagéticainteractúa con la materia no como una onda,sino como un haz de fotones (partículas de masa cero).En el sistema de laboratorio tenemos inicialmente unelectrón en reposo, contra el que choca un fotón deenergía E f = hc/λ. Después del choque, tenemos unfotón con energía menor, Ef ′ = hc/λ′ , y un electrón queretrocede en alguna dirección debido al impacto.Definamos los cuadrivectores de momentum:foton inicial k = (E f , ⃗ k)electron inicial p = (m,⃗0)foton final k ′ = (E ′ f , ⃗ k ′ )electron final p ′ = (E ′ e, ⃗p ′ ) (49)Las ecuaciones de conservación de energía y momentumse pueden escribir en una sola expresión en términos decuadrivectores:p + k = p ′ + k ′ . (50)Esto se ve bastante resumido, pero ¿servirá de algo? Estamosbuscando una expresión para la energía del fotónfinal en función de la energía inicial y el ángulo entre losfotones. No nos interesa la direccionalidad del electrón final.Entonces tomemos el cuadrado de su cuadrimomentum,que es igual a su masa (al cuadrado), sin referenciaa su dirección:p ′ = p+k−k ′ −→ p ′2 = p 2 +k 2 +k ′2 +2p·k−2p·k ′ −2k·k ′ .(51)Esto se simplifica porque p 2 = p ′2 = m 2 es la masa de loselectrones, y k 2 = k ′2 = 0 es la masa nula de los fotones.Así lo anterior queda:p · k − p · k ′ − k · k ′ = 0. (52)Este ejemplo requiere de un conocimiento básico de físicaatómica.Un electrón en un estado excitado dentro del átomo decaeal estado básico emitiendo un fotón (éste es el procesopor el cual emiten luz las ampolletas de mercurio, desodio o los tubos fluorescentes). Supongamos que el saltode energía entre niveles átomicos es ∆E. ¿Qué energíatendrá el fotón emitido?En forma ingenua uno diría también ∆E: la pérdida deenergía del átomo se convierte en la energía del fotón emitido.En rigor, esto es incorrecto: una parte de la energíadebe aparecer como energía cinética de retroceso del átomodebido a la conservación del momentum: si el átomoestá inicialmente en reposo, cuando el fotón sale con unmomentum p hacia adelante, el átomo debe retrocedercon un momentum igual p pero hacia atrás, de modo queel momentum total se conserve.Sin embargo, pesar de que tanto el fotón como el átomotienen un momentum de la misma magnitud, la energíacinética no se reparte por igual: casi toda la energía se lalleva el fotón, porque el átomo es muy pesado (comparadocon ∆E). Hagamos el cálculo.Sea un átomo en reposo con masa M, que emite un fotónal caer un electrón entre dos niveles con diferencia deenergía ∆E. Determinemos la energía del fotón emitido.Por conservación de momentum, el átomo final y el fotóndeben tener momentum igual y opuesto. Sea su valor p.La conservación de energía implica que la energía totalinicial Mc 2 es igual a la energía final del átomo, más laenergía del fotón. La energía del fotón es simplemente pc,pero la energía del átomo en su estado final requiere deuna explicación. Siendo que el átomo inicial pierde unaenergía ∆E, el átomo en su estado final debe tener unamasa (energía en reposo) menor que la inicial precisamenteen esa cantidad: (Mc 2 − ∆E). Así, su energía total,incluyendo la cinética, debe ser √ (Mc 2 − ∆E) 2 + (pc) 2 .

La conservación de la energía, por lo tanto, establece que: que es análoga a la ec. (18) del ejemplo anterior. Nuevamentefotón!) de la ecuación de energía:pcMc 2 ∼ ∆EMc 2 ∼ 10−9 . (60)∆E = p22M + pc, (57)Mc 2 = √ (Mc 2 − ∆E) 2 + (pc) 2 + pc. podemos aproximar: siendo pc pequeño comparado(55) con Mc 2 , entonces el primer término de la derecha, quees la energía cinética del átomo final, puede despreciarse,Hay que despejar pc. Se puede hacer directamente con y quedamos con la solución pc = ∆E, que fue nuestra primeraestimación. El siguiente nivel de aproximación es nofuerza bruta, pero vamos a hacerlo “con estilo”. Noteque si ∆E es cero, entonces pc debe ser cero para que despreciar la energía cinética del átomo completamente,se satisfaga la ecuación (cualquier valor positivo de pc sino usar pc = ∆E en el numerador:hace que el lado derecho sea mayor que el izquierdo).Ahora, si ∆E no es cero pero es suficientemente pequeño,entonces pc también debe ser pequeño. Los valores típicosen este proceso atómico son Mc 2 ∼ GeV y ∆E ∼ eV ,∆E = (∆E)2 + pc,2Mc2 (58)es decir que ∆E es menor que Mc 2 en un factor 10 −9 .Consecuentemente, expandamos el lado derecho para ∆Ey pc pequeños:Mc 2 ≈ √ (Mc 2 ) 2 − 2Mc 2 ∆E + (pc) 2 + pc (56)de modo que la energía del fotón es:pc = ∆E − (∆E)22Mc 2 , (59)≈ Mc 2 − ∆E + p22M + pc.la cual es, efectivamente, un poco menor que ∆E. Entodo caso la corrección es pequeña, porque la energíacinética del átomo es claramente menor que la del fotón:Así llegamos al límite no-relativista (excepto para el11[1] En general, las leyes de movimiento son diferenciales, esdecir, describen los cambios de las variables de movimiento(posición o velocidad) ante un incremento de tiempoinfinitesimalmente pequeño. Las integrales de movimientoson expresiones que acumulan esos pasos infinitesimalesde tiempo, relacionando las variables de movimiento entredos instantes, inicial y final, bien separados.[2] Arthur Beiser, Concepts of Modern Physics, fifth ed., cap.1: Relativity.[3] Paul Tipler, Physics for Scientists and Engineers, thirded., extended, Worth Publishers, 1991. Cap. 34: Relativity.[4] Paul Tipler, Física para la Ciencia y la Tecnología, cuartaed., editorial Reverté, 2001. Cap. 39: Relatividad.[5] D. Halliday, R. Resnick and K. Krane, Physics, fourthed., John Wiley & Sons, Inc., 1992. Cap. 21: The SpecialTheory of Relativity.