Diapositivas Unidad 2 - DEPI

Sistemas InteligentesUnidad 2Lógica Difusa

Definición Lógica Difusa• Extensión de la Lógica Multivaluada que estárelacionada y fundamentada en la teoría deConjuntos Difusos, según esta teoría el grado depertenencia de un elemento a un conjunto va aestar determinado por una función depertenencia, que puede tomar todos los valoresreales comprendidos en el intervalo [0,1].

Historia• Aristóteles consideraba que existían ciertosgrados de veracidad y falsedad. Platón habíaconsiderado grados de pertenencia.• En el siglo XVIII el filósofo y obispo anglicanoIrlandés, George Berkeley y David Humedescribieron que el núcleo de un concepto atraeconceptos similares. Hume creía en la lógica delsentido común, éste es el razonamiento basadoen el conocimiento que se adquiere en formaordinaria

• El filósofo y matemático británico Bertrand Russell,a principios del siglo XX estudió las vaguedadesdel lenguaje, concluyendo con precisión que lavaguedad es un grado.• El filosofo austríaco Ludwing Wittgenstein estudiólas formas en las que una palabra puede serempleada para muchas cosas que tienen algo encomún.• La primera lógica de vaguedades fue desarrolladaen 1920 por el filósofo Jan Lukasiewicz. Visualizólos conjuntos con un posible grado de pertenenciacon valores entre 0 y 1.

• El filósofo cuántico Max Black define en 1937 elprimer conjunto difuso mediante una curva querecogía la frecuencia con la que se pasaba de unestado a su opuesto, su idea pasó totalmenteinadvertida dado que iba en contra del empirismológico que para entonces prevalecía entre losfilósofos de la ciencia.• En los años sesentas Lofti Zadeh, basado en lasideas de Black, creó el concepto de lógica difusa, quecombina los conceptos de la lógica clásica y de losconjuntos de Lukasiewicz mediante la definición degrados de pertenencia.

Conjuntos Clásicos Vs. Conjuntos Difusos• Definición de conjuntos clásicos según Cantor“...Entendemos por conjunto cualquier reunión en untodo M de determinados objetos bien distinguidos mde nuestra intuición o pensamiento...”• Esto significa que la existencia del conjunto dependede la determinación precisa de cuales elementospertenecen y cuales no a dicho conjunto (Dedekind)

• En los conjuntos difusos la pertenencia de unelemento a un conjunto no es tan drástica. Elelemento puede tener un grado de membrecíaa dicho conjunto.• Los conjuntos clásicos se pueden representarde 3 formas:1. Nombrando los elementos del conjunto.A={a, e, i, o, u}2. Definiendo una expresión que los miembroscumplan:A={x | x es una letra vocal}

3. Definido por una función característicaA( x)1x A 0x A AEsta función mapea los elementos del conjuntouniverso a los elementos del conjunto {0,1}.Para cada ( x)1entonces x es miembro de AAx A(x)a 1b 0e 1u 1w 0i 1

• En los conjuntos difusos la función característicamapea los elementos al intervalo real [0,1]• Formalmente:Sea X conjunto universo clásico tal que x sean suselementos, esto esx X. Un conjunto difuso A lodefinimos mediante:A = { ( x, A (x) ) | x X }donde A(x) es la función de membrecía.

Ejemplos:A: Conjunto de los hombres jóvenesB: Conjunto de los hombres mayoresC: Conjunto de los hombres viejos• Cada uno de los conjuntos no posee límitesclaros y se pueden representar medianteconjuntos difusos.• Los conjuntos difusos son una forma derepresentar imprecisión e incertidumbre

Funciones de Membrecía

Tipos de Funciones de Membrecía• En general se puede utilizar cualquier funcióncontinua que mapee los elementos de un conjuntouniverso clásico dado a elementos al intervalo [0,1],las más comunes son:• Sigmoides• Diferencia entre dos sigmoides• Guassianas• Splines• Triangulares

Sigmoide

Diferencia entre 2 Sigmoides

Gaussiana

Splines

Triangular

¿Cómo Elegir la Función de Membrecía?• Hay varias formas, el método a elegirdepende de la aplicación en particular.• El método más sencillo es el Horizontal.• Se basa en las respuestas de N expertos.• La pregunta tiene el siguiente formato:¿Puede ser x considerado compatible con el concepto A?• Sólo se acepta un “si” o “no” por respuesta,luegoA(x)=(Respuestas afirmativas)/N

• VerticalOtros Métodos• Método de comparación de parejas (Saaty,1980)• Métodos basados en la especificación delproblema• Métodos basados en la optimización deparámetros• Métodos basados en agrupaciones difusas(fuzzy clustering)• Algoritmo “Fuzzy Isodata” (Bezdek,1981)

Ejemplo• Supongamos que una persona cualquieradesea ir a tomar un café a una cafeteríatradicional, que el café sea barato y que lacafetería quede cerca de su casa.• La persona dispone de 4 lugares conocidos.• La persona tiene sed.• Aquí podemos distinguir tres conjuntos difusos:1. Café barato2. Cafetería tradicional3. Cercanía a su hogar

Consideraciones• Para él :• Una café barato es uno que cueste alrededor de$10.00 o menos.• Una cafetería tradicional es un local que al menostenga 5 años funcionando.• Que quede cerca de su casa es que no quede amás de 10 cuadras.• Según las preferencias del individuo se puedenconstruir los siguientes conjuntos difusos.

Conjunto: Café Barato

Conjunto: Cafetería Tradicional

Conjunto: Cercanía a Su Hogar

Características de las CafeteríasCosto ($) Años de servicio (años) CuadrasLocal 1 14 3 3Local 2 8 7 12Local 3 10 4 9Local 4 12.5 5 10• Debido al planteamiento debemos intersectarlos conjuntos.

Solución Clásica Vs. Difusa• La solución clásica impone que:• Precio del café=5 años• Cuadras

Solución Clásica Vs. DifusaCosto ($) Años de servicio CuadrasSoluciónclásicaLocal 1 0 0 1 0Local 2 1 1 0 0Local 3 1 0 1 0Local 4 0 1 1 0Costo ($) Años de servicio Cuadras Solución difusaLocal 1 0.2 0.5 1 0.2Local 2 1 1 0.6667 0.6667Local 3 1 0.875 1 0.875Local 4 0.5 1 1 0.5

Conclusiones del Ejemplo• Mediante la solución clásica el individuo se hubieraquedado en su hogar, lo cual no es “consistente” conla hipótesis “Tiene Sed”.• Mediante la solución difusa deducimos que elindividuo posiblemente hubiera ido al Local 3 adisfrutar su café.

Operaciones Estándar SobreConjuntos Clásicos• Las operaciones estándar en los conjuntosclásicos son 3:1. UniónEjemplo:A={a,e,i,o,u}B={b,c,d}AUB={a,e,i,o,u,b,c,d}A B A U B A U B1 1 1 max(1,1)=11 0 1 max(1,0)=10 1 1 max(0,1)=10 0 0 max(0,0)=0

• IntersecciónEjemplo:A={1,2,3}B={2,3,4,5}A B={2,3}A BA BAB1 1 1 min(1,1)=11 0 0 min(1,0)=00 1 0 min(0,1)=00 0 0 min(0,0)=0• ComplementoEjemplo:Xx | xN x 5A={1,2,3}Comp(A)={4}A Comp(A)1 00 1

Operaciones Estándar SobreConjuntos Difusos• La extensión natural para las operacionessobre conjuntos difusos está dada por:• Unión difusa estándarAB( x) max A(x),B(x)• Intersección difusa estándarAB( x) min A(x),B(x)• Complemento difuso estándarCompA ( x)1A(x)

Representación Gráfica

Mas Operaciones Difusas• Las operaciones estándar no son las únicasgeneralizaciones posibles.• Para cada una de las tres operaciones estándar,existen diversas clases de funciones las cuales sepueden calificar como generalizaciones de lasoperaciones de conjuntos clásicos.• Para las uniones difusas son llamadas t-conormas.• Para las intersecciones difusas son llamadas t-normas.

Complementos Difusos• Dado un conjunto difuso A definido en X,tal que x X, por definición el complemento de A se puedeinterpretar como el grado en que x no pertenece a A.• Comp= C : [0,1] [0,1]• Los complementos deben satisfacer los siguientesaxiomas:• AxC1: C(0)=1 y C(1)=0• AxC2: a, b0,1 si a b entonces Ca C(b)• AxC3: C es una función continua.• AxC4: C es involutiva CC a) a Para cada a [0,1]

Tipos de complementosComplemento Expresion Rango parámetrosTipo umbralClase SugenoClaseYagerClase deGeneradoresIncrementalesC ( a)CCC( a)101 1 a( a) 1aa t a t1 2 1a( a)2a 1a0 t 1 1, 0, 0

Intersecciones Difusas: T- normas• La intersección de dos conjuntos A y B es unaoperación binaria sobre el intervalo unitarioi : 0,10,10,1AB ( x) i A(x),B(x) • Una t-norma satisface los siguientes axiomas:• Axioma i1: i(a,1) a• Axioma i2: b d i( a,b) i(a,d)• Axioma i3: i( a,b) i(b,a)• Axioma i4: i( a,ib,d) i(ia,b , d)• Axioma i5: i es una función continua• Axioma i6: i(a,a) a• Axioma i7: a1 a2b1 b2 i( a1,b1) i(a2,b2)

a,b 0,1Tipos de t-normasT-norma Expresion Rango parámetrosProducto Algebraicoi(a,b)abDiferencia LimitadaInterseccióndrásticaYagerSchweizer & Sklari( a,b) max(0, a b1)acuando b i( a,b) bcuando a 0otrocaso11 1 1a 1 i( a,b)1min1,bip p( a,b) max 0, a b 11 p 0p 0

Uniones Difusas: T- conormas• La unión de 2 conjuntos A y B es una operaciónbinaria sobre el intervalo unitariou : 0,10,10,1AB ( x) u A(x),B(x) • Una t-conorma satisface los siguientes axiomas:• Axioma i1: u(a,0)=a (Condición de frontera)• Axioma i2: b≤d implica que u(a,b)≤u(a,d) (monotonicidad)• Axioma i3: u(a,b)=u(b,a) (conmutatividad)• Axioma i4: u(a,u(b,d))=u(u(a,b),d) (asociatividad)• Axioma i5: u es una función continua.• Axioma i6: u(a,a)>a (superidempotencia)• Axioma i7: a 1 < a 2 y b 1 < b 2 implica que u(a 1 , b 1 ) < u(a 2 , b 2 )

a, b 0,1Tipos de t-conormasT-conorma Expresion Rango parámetrosSuma Algebraicou ( a,b) a b a bSuma LimitadaUnión drásticaYagerSchweizer & Sklaru( a,b) min( 1, ab)acuando bu ( a,b) bcuando a1otro caso1 a 00u( a,b) min1,b 0p1 a 1bu( a,b)1max 0,1p1pp 0

Combinación de Operaciones• En la teoría de conjuntos clásica, las operaciones deunión e intersección son duales con respecto alcomplemento en el sentido de que satisfacen las leyes DeMorgan.AB ABAB AB• Sería deseable que esta dualidad fuera satisfecha paralos conjuntos difusos, pero solo algunas combinacionesde t-normas, t-conormas y complementos difusos puedensatisfacer la dualidad.• Se dice que una t-norma i y una t-conorma u son dualescon respecto a un complemento difuso c si y solo sic( i(a,b)) u(c(a),c(b))y c(u(a,b)) i(c(a),c(b))• Estas ecuaciones describen las leyes de Morgan paraconjuntos difusos.y

Combinación de Operaciones• Hacemos la tripleta ‹i,u,c› denotar que i y u sonduales con respecto a c y hacemos quecualquiera de esas tripletas sea llamada tripletadual.• Ejemplos de t-normas y t-conormas duales conrespecto al complemento estándar c s :• ‹min(a,b),max(a,b),c s ›• ‹ab,a+b-ab, c s ›• ‹max(0,a+b-1),min(1,a+b), c s ›• ‹i min (a,b),u max (a,b), c s ›

Operaciones de Agregación• Son operaciones mediante las cuales se puede llevarvarios conjuntos difusos a uno sólo.• Formalmente, una operación de agregación sobre nconjuntos difusos (n≥2) esta definida por la función:h:[0,1] n [0,1]• Aplicada a los conjuntos A 1 , A 2 ,…, A n definidos sobreX, la función h produce un conjunto difuso agregadoA operando sobre los grados de membrecía de estosconjuntos para cada x Є X tal que:A(x)=h(A 1 (x), A 2 (x),…, A n (x))• Una clase de operaciones de agregación es la media1generalizada h( A1,A2,...,An A) 1A2n....An

• Operadores OWA (Ordered weighted averagingoperation)Sea W w1, w2,..., w n un vector de pesos tal quenw i0,1 i N y w i1i1Una operación OWA es la funciónh wA1 A2... An w1b1 w2b2....wnbn W,Bdonde B es una permutación del vector A en elcual los elementos son ordenados tal quebi b j si i j para algún par i,j NEjemplo: Para x=x0W=(0.5,0.2,0.3) A=(0.2,0.7,0.9) B=(0.9,0.7,0.2)H=0.5*0.9+0.2*0.7+0.3*0.2=0.65

Variables Lingüísticas• Una variable lingüística es caracterizada por unaquíntuplax , T(x),X,G,dondex: Variable base (nombre de la variable)T(x): Conjunto de términos lingüísticos de x querefieren a la variable base.X: Conjunto universo.G: Es una regla sintáctica (gramática) para generartérminos lingüísticos.M: Es una regla semántica que asigna cada términot T con su significado.M

Ejemplo de Variable Lingüística• La velocidad puede ser interpretada como una variablelingüística.• T(velocidad) podría serT(velocidad)={lento, moderado, rápido, muy lento, mas omenos rápido, ...}• Cada término es caracterizado por un número difusodefinido sobre un conjunto universal X=[0,100]• A cada valores lingüísticos se le asigna un númerodifuso por medio de una regla semántica:• Lento como “una velocidad menor a 40 Km/h”• Moderado como “una velocidad cercana a 55 Km/h”• Rápido como “una velocidad alrededor de 70 Km/h”

Ejemplo de Variable Lingüística

Ejemplo de Variable Lingüística• Podemos encontrar el número difuso “muy lento”o “mas o menos lento” a partir de “lento”.muy Lento (x) Lento( mas o menospLento)(x)( x)p 1pLento (x) 0 p 1

Controladores Difusos

Implicaciones Difusas• Caso clásico pq es interpretado como• La interpretación completa de la implicación materialpq cuantifica el grado de verdad en que laproposición q es por lo menos tan verdadera comop.1 Si ( p)( q) p q0 ( p) (q)Otrocaso p q1 1 10 1 10 0 11 0 0p q

• Usando la interpretación de la implicaciónpodemos definir la implicación difusapq pq p qPuede ser extendida por el operador deKleene-DienesA( x) B(x) max 1A(x),B(x)• Existen varios operadores de implicacióndifusa, uno de los más utilizados en lapráctica es el de MandaniA( x) B(x) min A(x),B(x)

Otros Operadores de Implicación DifusaNombre DefinciónEarly ZadehLukasiewiczLarsenEstándar estrictaGödelGainesYagerx ymax 1 x,min( x,y)min 1,1 x yx y1 Si x y 0Otro caso1Si x y yOtro caso1Si x yyOtro caso xxy

Teoría del Razonamiento Aproximado• Fue introducida por Zadeh. Provee un potentemecanismo para razonar con informaciónimprecisa o incierta.• La más importante regla de inferencia es elModus Ponens Generalizado (GMP).• Modus Ponens clásico dice:PremisaHechoConsecuenciaSi p entonces qpq• Que puede ser interpretado como: Si p esverdadero y pq es verdadero entonces q esverdadero.

• La inferencia difusa de la implicación estábasada en la regla composicional deinferencia.PremisaHechoConsecuenciaRegla composicional de inferenciaDonde B’ está determinado por la siguientecomposiciónQue está dada porB'( v)Si x está en A entonces y está en Bx está en A'y está en B'B'supuUminA'ABA'( u),A B(u,v),v V

• En casos prácticos se utiliza la composiciónsup-T, donde T es una t-normaB'( v)supuUTA'(u),A B(u,v),vV

PropiedadesPropiedad BásicaSi x está en A entonces y está en Bx está en Ay está en BTotal indeterminaciónSi x está en A entonces y está en Bx no está en Ay está indeterminadoSubconjuntoSi x está en A entonces y está en Bx está en A' Ay está en BSuperconjuntoSi x está en A entonces y está en Bx está en A'y está enB' BSi la presión es grande entonces el volumen es pequeñopresion es grandevolumen es pequeñoSi la presión es grande entonces el volumen es pequeñopresión no es grandevolumen indeterminadoSi la presión es muy grande entonces el volumen es pequeñopresión es grandevolumen es pequeñoSi la presión es muy grande entonces el volumen es muy pequeñopresión es grandevolumen es pequeño

Métodos de Defuzificación• La salida de un proceso de inferencia es unconjunto difuso, en procesos en línea serequieren usualmente valores crisp(verdadero o falso).• Algunos operadores de defuzificación son:• Operador centro de gravedad (Centroide):z 0• Primer máximo(Som):zjA zA zjjz0 min z | A(z) max A(w)w

• Criterio del máximo z0 z | A(z) max A(w)w• Media de máximos (Mom): Se calcula la media delos valores que maximizan a un conjunto difuso A• Centro de Area: Se calcula el valor que iguala elárea de A que queda a la derecha y a la izquierdaz0A(x)dx• Ultimo máximo(Lom): Se calcula el mayor valor delos que maximizan A• Bisector: Retorna el bisector del área dedefuzificación de Az0A(x)dx

Mecanismos de Inferencia• Asumamos por simplicidad que un sistemaposee 2 reglas de la forma:R1: Si x está en A1 e y está en B1 entonces z está en C1tambiénR2: Si x está en A2 e y está en B2 entonces z está en C2Hecho: x es x o e y es y oConsecuencia: z es C

Mecanismo de Mandani• La implicación difusa es modelada por el operador deMandani y la sentencia conectiva “también” por eloperador max.• Procedimiento:• Primero los niveles de cada regla A ( x ) B ( y )12 A2( x0) B2( y0)• Luego la salida del sistema mediante10• Para luego obtener una salida crisp mediante algúnmétodo de defuzificación1C( w)C( ) C( w)12 201w

Mecanismo de Tsukamoto• Todos lo términos linguísticas deben tener funcionesde membresía monótonas• Procedimiento:• Primero los niveles de cada regla( x) B2 A2( x0) B2( y0)• Los mecanismos de control crispmediante las ecuaciones1A10son calculados 1 C( z 1) 2 C( z 2)• Luego se encuentra el valor crisp de salida del sistemamediante1z12z2z0 11( y20)z 1y z 2

Mecanismo de Sugeno y Takagi (1985)R1: Si x está en A1 e y está en B1 entoncestambiénR2: Si x está en A2 e y está en B2 entoncesHecho: x es x e y es y0Consecuencia:• Procedimiento:• Primero2• Luego se computa• Y la salida crisp0z 01zA1A( x20( x) B01) B( y20( y1 p1x0 q1y0z01z12z 122)0)zzz12 p1 x q1 p2 x q22 p2x0 q2y0 y y

Mecanismo de Larsen• La implicación difusa es modelada por eloperador de Larsen (producto usual) y lassentencias “también” por el operador max• Procedimiento:• Calcular( x( x• La función de salida12A1A20) B0) B• Y el valor crisp se obtiene por defuzificación1( y20( yC( w)C( ) C( w)12 21w)0)

Modelo de un Control de Temperaturapara un Procesador de una PC• Entradas al sistema• Temperatura: Medida con un termómetro en grados• Carga del procesador: Medida en porcentaje• Salida del sistema• Velocidad del ventilador en RPM• El modelo se realizó para un procesador queposee un ventilador con velocidad máxima de5000 rpm.

Conjunto Difuso: Temperatura

Conjunto Difuso: Carga del Procesador

Conjunto Difuso: Velocidad del Ventilador

• Reglas:• R1: IF Temperatura es Alta y Procesamiento AltoTHEN Velocidad Alta• R2: IF Temperatura es Alta y Procesamiento NormalTHEN Velocidad Alta• R3: IF Temperatura es Media y Procesamiento AltoTHEN Velocidad Media• R4: IF Temperatura es Media y Procesamiento NormalTHEN Velocidad Media• R5: IF Temperatura es Baja y Procesamiento AltoTHEN Velocidad Baja• R6: IF Temperatura es Baja y Procesamiento NormalTHEN Velocidad Baja

• Como mecanismo de inferencia se utiliza elmecanismo de Mandani• Como método de defuzificación se probaronvarios disponibles en el software Matlab• Centroid• Bisector• Mom• Som• Lom

Resultadosx0 (º) y0 (%)Vel centroide Vel Bisector Vel Mom Vel Som Vel Lom(kRPM) (kRPM) (kRPM) (kRPM) (kRPM)5 5 1,117 1,100 1,100 0,000 2,000120 100 3,883 3,900 4,000 3,000 5,00070 70 2,500 2,500 2,500 2,000 3,00090 70 3,883 3,900 4,000 3,000 5,00085 70 3,566 3,650 4,000 3,000 5,00070 95 2,500 2,500 2,500 2,000 3,00040 95 1,117 1,100 1,000 0,000 2,00080 85 3,384 3,400 3,500 2,000 5,000

Conclusiones del Modelo• Hay que combinar los métodos de defuzificaciónpara obtener mejores resultados.• Probar otros mecanismos de inferencia.• Realizar mediciones para optimizar el proceso ylas funciones de membrecía, interiorizarse másen el problema.

¿Cuándo Usar la Lógica Difusa?• Según Sur y Omron (1997) en procesos complejos, si noexiste un modelo de solución sencillo.• En procesos no lineales.• Cuando haya que introducir la experiencia de un operador“experto” que se base en conceptos imprecisos obtenidosde su experiencia.• Cuando ciertas partes del sistema a controlar sondesconocidas y no pueden medirse de forma fiable.• Cuando el ajuste de una variable puede producir eldesajuste de otras.• En general cuando se desea representar y operar conconceptos que tengan imprecisión o incertidumbre.

Desventajas de la Lógica Difusa• Estabilidad:No hay garantía teórica que un sistema difuso notenga un comportamiento caótico y deje de serestable. Aunque tal posibilidad parece ser baja debidoa los resultados obtenidos hasta ahora.• Capacidad de aprender:Son sistemas sin memoria, no poseen lacapacidad de aprender.• La determinación de las funciones demembrecía y las reglas no son sencillas enmuchas ocaciones.

Desventajas de la Lógica Difusa• Existe la mala concepción de que la lógicadifusa es algo “mágico” sin fundamentomatemático.• Verificación de los modelos y sistemasdifusos expertos requiere de gran cantidadde pruebas.

Aplicaciones Históricas• En 1974 Mandani diseñó el primer sistema de controldifuso experimental para un motor de vapor.• En 1980 una compañía danesa (F.L.Smidth & Co.A/S) usa teoría difusa para control de un horno decemento.• En 1980 Fuji Electric Co. Ltda (Japón) implementa unsistema de inyección química para plantaspurificadoras de agua.• En 1987 empieza a funcionar el ReguladorAutomático De las Operaciones De Trenes Del MetroDe Sendai (Japón) diseñado por el equipo Hitachi,éste hace el viaje más cómodo al controlar lasaceleraciones y frenadas en función del número depasajeros.

Aplicaciones Históricas• En 1990 empiezan en Japón las aplicacionesdomésticas, tales como:• Lavadoras fuzzy.• Ollas cocineras de Arroz (Cocedora de arroz de lamarca Zojirushi).• Cámaras de video y fotográficas.• Y muchas otras.

Aplicaciones Generales• Control de sistemas: Control de tráfico de vehículos,Control de compuertas en plantas hidroeléctricas ytérmicas,ascensores, etc...• Predicción y optimización: Predicción de terremotos,optimización de horarios, etc....• Reconocimiento de patrones y Visión porComputadora: Seguimiento de objetos,reconocimiento de caracteres y de objetos,compensación de vibraciones, etc..• Sistemas de información y conocimiento: Bases dedatos, sistemas expertos, etc...