Unidad I (Documento en revisiÃ³n v-1.0) I. CONFIABILIDAD. 1.1 ...

Unidad I 

(Documento en revisión v-1.0) 

I. CONFIABILIDAD. 

1.1. INTRODUCCION. 

La habilidad para predecir circuitos y sistemas confiables está llegando a 

incrementar su importancia debido al conocimiento de la gente y por la 

exigencia de productos para el gobierno o aplicaciones especiales. 

En la mayoría de los casos los esfuerzos están concentrados sobre la 

predicción de la probabilidad de fallas catastróficas. Ya que la probabilidad de 

falla de un circuito o sistema causada por el deterioro gradual de un subsistema 

o componente se le ha mostrado un interés secundario. 

1.2. TIPOS DE FALLAS. 

Una falla puede ser completa o parcial. Si nosotros observamos un circuito o 

sistema con respecto al tiempo como función y finalmente falla, veremos que el 

circuito o sistema puede fallar de dos formas: 

- Por falla catastrófica ó 

- Por falla por degradación. 

Fallas catastróficas.- Son caracterizadas como el inicio de fallas completas 

y fallas repentinas o una combinación de ambas. 

Falla completa.- Es la falla resultante de la desviación de característica(s) 

fuera de los límites especificados, tales como causar una completa carencia de 

la función requerida. 

Falla repentina.- Falla que no puede ser predecida o anticipada por un 

análisis. Similar a una falla aleatoria. Es una falla cuya causa y/o mecanismo 

hacen su tiempo de ocurrencia impredecible. 

Fallas por degradación.- ó también llamadas fallas de corrimiento. 

1.- Falla marginal. La cual es parcial y repentina. Se presenta en un tiempo t=0, 

cuando el artículo se acaba de terminar y carecen de historia o pasado y hacen 

imposible su predicción o anticipación. 

2.- Falla gradual.- Falla que puede ser anticipada por un previo análisis. 

3.- Falla parcial.- Es el resultado de la desviación en características fuera de los 

límites especificados pero no tales como causar completa pérdida de las 

funciones requeridas. 

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA Elaborado por: M.C. José Rivera Mejía 

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1.3. CONCEPTOS BASICOS. 

CONFIABILIDAD: 

Es la probabilidad de que un dispositivo, funcionará sin falla sobre un período 

de tiempo especificado. 

IEEE (diccionario) 

Es la probabilidad de que un producto deberá ejecutar su función, sin falla, 

bajo condiciones especificadas para un período de tiempo especificado. 

INGENIERIA DE CONFIABILIDAD. 

Es la función de la ingeniería la cual provee las herramientas teóricas y 

prácticas para predecir, diseñar, probar y demostrar la confiabilidad de partes, 

componentes y sistemas y asegurar sus requerimientos y optimizar su 

seguridad, disponibilidad y niveles de calidad. 

CONFIABILIDAD (Y) CALIDAD 

-En el dominio de tiempo 

-En el dominio de la población 

-Una medida o índice de la estabilidad del -Un significado ó índice de 

comportamiento con respecto al tiempo. confianza de un producto para 

especificaciones aplicadas y 

estándares de errores por mano 

de obra. "workmanship". 

Razones para diseñar o establecer programas con confiabiliadad: 

- En el futuro cercano (o en la actualidad), solo permanecerán negocios 

o compañías que conozcan y sean capaces de controlar la 

confiabilidad de sus productos. 

- La complejidad de los productos necesitan componentes mas 

confiables. 

- Los clientes y el público serán mas conscientes de la confiabilidad. 

- El mundo industrial está introduciendo prácticas de ingeniería de 

confiablilidad, para estar a la cabeza de la competencia, todas las 

industrias necesitan programas de confiabilidad. 

- Todas las compañías han iniciado a anunciar que sus productos son 

confiables para incrementar sus ventas. 

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1.4. LA FUNCION DE CONFIABILIDAD R(t). 

La función de confiabilidad es: t 

R(t) = 1 - ∫o f(x)dx (1.1) 

f(x) .- Es tiempo-a-falla (función de densidad de probabilidad de falla) ó 

también conocida como distribución del tiempo-a-falla. 

Esta es la fracción de un gran número de dispositivos idénticos puestos en 

operación en un tiempo t=0, que sobreviven en el intervalo (0,t). Cuando R(t) es 

usado en el sentido predictivo. La distribución binomial provee la estimación de 

los grados de correspondencia para ser esperados entre la actual fracción de 

sobrevivencia en un experimento real y el valor predecido por R(t). 

CONFIABILIDAD COMO UNA FUNCION DEL TIEMPO. 

En la definición de confiabilidad hablamos acerca de "un periodo de tiempo 

especificado". Podemos considerar el tiempo como una variable independiente y 

la confiabilidad como una variable dependiente, a la cual nos referiremos como 

la función de confiabilidad R(t). 

TRES COSAS QUE SERAN VERDADERAS EN CASOS REALES: 

1.- Influenciados por la definición de confiabilidad, R(t) deberá ser una función 

decreciente con el tiempo. 

2.- Influenciados por la definición de confiabilidad, R(t) no está definida para 

valores de tiempo negativo. Sin embargo, por razones físicas la función R(t) 

debe tener una derivada de primer orden en t=0+. Esto pone las bases para las 

más amplias aproximaciones usadas en la evaluación de la confiabilidad de un 

sistema. 

3.- Esto debe ser así, por razones físicas, para cualquier tipo de artículo o 

dispositivo existe un punto en tiempo Τ con la propiedad que R(t)=0 cuando t>Τ. 

R(t) Y LA FUNCION DE DISTRIBUCION DE TIEMPO DE VIDA F(t). 

De nuevo, regresando a la definición de confiabilidad, la cual declara que la 

confiabilidad de un producto es la probabilidad de que un producto funcionará 

sin falla sobre (1) un periodo de tiempo especificado ó (2) durante una cantidad 

de uso especificado. Considerando primero el caso donde el periodo de tiempo 

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ha sido especificado, es decir t=0 a t=to, ó R(to). Además la confiabilidad en un 

tiempo t=to, es también la probabilidad que el tiempo de vida de un producto 

exceda a to. En otras palabras 1-R(to) es igual al valor de la función de 

distribución de tiempo de vida en un tiempo to, F(to). Así llegamos a un 

importante resultado: 

F(to) = 1-R(to) (1.2) 

Si nosotros realizamos una prueba de vida sobre algún producto (ejem.: 

medir su tiempo de falla) nosotros podemos estimar F(t). Una consecuencia de 

los resultados anteriores es que la estimación en el mismo tiempo es una 

estimación de 1 - R(t). Considerando el caso donde la cantidad de utilidad µ ha 

sido especificada, µ=µo. Entonces la confiabilidad R(µo) puede ser interpretada 

como la probabilidad de que un artículo falle después de una cantidad de usos el 

cual es mayor que µo. En otras palabras, 1 - R(µ) es la función de distribución 

para la cantidad de usos que el artículo o dispositivo puede trabajar sin falla. 

F(µ) = 1 - R(µ) (1.3) 

1.5. HISTOGRAMA DEL TIEMPO DE VIDA. 

Ahora trataremos de estimar la función de distribución del tiempo de vida 

F(t)., con un producto hecho de la misma manera, bajo similares circunstancias 

el cual deberá ejecutar una función requerida bajo condiciones especificadas. 

Una forma obvia sería la siguiente: 

- Seleccionar "N" artículos representativos y montarlos sobre idénticas 

condiciones de prueba donde deberán ejecutar la función requerida. 

- Medir el tiempo de falla t1, t2,...,tN para cada N artículo y hacer un histograma 

mostrando el número de artículos nf(t) el cual tiene falla ó presentan falla en un 

tiempo menor o igual a t. 

Si las fallas son eventos estadísticamente independientes y N es grande, el 

histograma deberá ser una buena aproximación a F(t). El procedimiento descrito 

es sano y ampliamente usado, sin embargo éste sufre de dos desventajas: 

1.- La prueba es costosa porque N tiene que ser grande. 

2.- El tiempo que esto lleva para estimar F(t) presenta serios problemas. 

Ahora, ¿ que tan grande debe ser N ?, considere que deseamos estimar 

F(t) en algún tiempo en particular t=to. Debemos basar nuestra estimación 

solamente sobre el número de fallas nf(t) fuera de los N artículos probados y no 

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darle importancia a cualquier información previa que tengamos respecto ha 

F(to). Nosotros tenemos que darnos cuenta que nf(t) es una variable estocástica 

con función de densidad binomial: 

n N-n 

B[nf(to) = n ; N , F(to)] =(N!/n!(N-n)!) F(to) [1-F(to)] (1.4) 

El valor esperado de la frecuencia observada, nf(to)/N es: 

La varianza de nf(to)/N es: 

E{nf(to)/N} = F(to) (1.5) 

Var[nf(to)/N] = E {[nf(to)/N - F(to)]²} = [1 - F(to)]F(to)/N (1.6) 

De acuerdo con el teorema DeMoivre-Laplace para un valor grande de N, 

B[nf(to) ; N , F(to)] tiende a una densidad normal teniendo el mismo valor 

esperado y varianza como la densidad binomial. 

Recordando que una variable normalmente distribuida tiene el 95.4% de 

probabilidad de que el valor obtenido sea menor a 2σ con respecto al valor 

medio. Entonces para N grandes: 

_______________ 

Prob[| nf(to)/N - F(to) | < 2√[ 1 - F(to)]F(to)/N ] > 95% (1.7) 

ESTIMACION DE LA FUNCION DE CONFIABILIDAD. 

Relacionando el posible mecanismo de falla tal como la evaporación o 

difusión de material, oxidación, fractura mecánica debido al esfuerzo interno, 

rompimientos debido a vibraciones etc.. Mucha información puede obtenerse de 

artículos que fallan en "pruebas destructivas". También el estudio de 

degradación de artículos es informativo. El análisis deberá ser forzado para 

hacer declaraciones acerca de la relación donde no toda la información 

relevante es disponible, la respuesta en la cual es máximamente vaga (también 

llamada mínimamente perjudicial), puede ser seleccionada debido a la carencia 

de información. 

1.6. TIEMPO PROMEDIO DE VIDA (tiempo promedio entre falla). 

Para un periodo de tiempo especificado en la vida de un artículo es el valor 

medio de la longitud del tiempo entre las fallas consecutivas, calculadas como la 

relación del tiempo acumulado de observación al número de fallas bajo 

condiciones especificadas: 

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MTBF = Tiempo acumulado de observación / Número de fallas (1.8) 

El MTBF implica muchos años, por eso se debe buscar la manera de 

acelerar la prueba. Debemos ejecutar nuestras pruebas de tal manera que la 

degradación de 1 Hr. de prueba corresponda a la degradación de X Hrs. cuando 

el producto ejecuta la función requerida bajo condiciones especificadas. 

X es llamado factor de aceleración y deberá ser tan grande como la seguridad lo 

permita ya que este acelerará el proceso fundamental del mecanismo de falla 

dominante. Algunos factores acelerantes pueden ser: la temperatura, el 

esfuerzo, etc.. 

Por ejemplo, para equipos eléctricos una prueba acelerada puede obtenerse 

incrementando el voltaje de operación normal. Después aplicamos la siguiente 

ley escalar (C.M. Ryerson, "Acceptance Testing" in Reliability Handbook, 

McGraw Hill): 

3 

t/tA = (VA/V) (1.9) 

Donde: 

t = Tiempo real de vida. 

V = Voltaje de operación normal. 

tA = Tiempo de la prueba acelerada. 

VA = Voltaje de la prueba acelerada. 

Las pruebas de vida aceleradas son muy útiles, pero se debe tener mucho 

cuidado para poder asegurar que los resultados obtenidos no son erróneos. 

RAZON DE FALLA.- Es la razón en la cual la falla ocurre durante el tiempo 

del período de la vida util de un producto (razón de falla constante). λ (lamda), es 

el simbolo usado para representar la razón de falla y es el recíproco de el tiempo 

promedio entre falla (MTBF): 

λ = 1 / MTBF (1.10) 

Una forma burda de calcular la confiabilidad de sistemas sin redundancia (si 

falla un componente el sistema falla) es: 

λ = ∑ njλj (1.11) 

j 

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1.7. MODELOS DE FALLAS CATASTROFICAS. 

En esta sección trataremos con el problema generado cuando el analista de 

la confiabilidad o el diseñador quiere hacer un modelo matemático de la 

probabilidad de una falla catastrófica para algún producto. La función con la cual 

estamos especialmente relacionados es con Rc=Rc(to), la probabilidad de que 

un producto funcionará sin falla desde t=0 a t=to. 

Nosotros queremos nuestro modelo para obtener ciertas propiedades, del 

cual las tres mas importantes son: 

1.- EL NIVEL DE COMPLEJIDAD. Deberá ser tan bajo como sea posible y 

deberá estar respaldado por los datos disponibles. En otras palabras un modelo 

teórico para los datos experimentales deberá tener algunos parámetros 

ajustables como sean posibles. 

2.- El diseñador quien está en la tarea de seleccionar una función Rc deberá 

incluir en el modelo todo lo que conozca acerca del mecanismo el cual causa 

que el producto falle. 

3.- El modelo deberá concordar con experiencias pasadas en productos 

similares. 

1.7.1. LA FUNCION DE DISTRIBUCION ESCALON. 

Una simple función de distribución del tiempo de vida es la función escalón. 

Figura 1.1.- Respuesta de una función escalón. 

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Con esta distribución todos los artículos tienen el mismo tiempo de vida; el 

tiempo común es T. La distribución es principalmente de interés teórico. Esta 

puede ser encontrada donde el único mecanismo de falla consiste de un 

agotamiento de algún ingrediente vital, donde el ingrediente originalmente 

estuvo presente en cada producto en la misma cantidad y donde además el 

agotamiento considerado como una función del tiempo es el mismo en todos los 

artículos, por ejemplo: los focos. 

1.7.2. LA DISTRIBUCION ESCALERA. 

Con esta distribución F(t) tiene la forma de una escalera de "s" pasos. La 

distribución corresponde al caso en donde el tiempo de vida de un artículo tiene 

precisamente uno de los "s" valores, t1, t2,....ts y donde la probabilidad de falla 

en t=ti es Pi. definida como: 

s 

∑ Pi =1 (1.12) 

i=1 

y el tiempo promedio de vida es: 

s 

MTBF =∑ Piti (1.13) 

i=1 

y 

F(t)=0 para 0 ≤ t < t1 

y 

n 

F(t) = ∑ Pi para tn ≤ t < tn+1 

i=1 

y 

F(t) = 1 para t > ts 

Figura 1.2.- Función de distribución escalera. 

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La expresión de confiabilidad (fig.1.2) es: 

R(t)=1 para 0 ≤ t < t1 

y n 

R(t) = 1 - ∑ Pi para tn ≤ t < tn+1 

i=1 

y 

R(t) = 0 para t > ts 

Esta distribución también es sólo de interés teórico. Y puede encontrarse en 

donde el mecanismo de falla es el agotamiento de algún ingrediente vital, similar 

a la distribución escalón. 

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1.7.3. LA DISTRIBUCION EXPONENCIAL. 

La función exponencial es útil para estimar R(t) en pequeños valores de t. 

Las expresiones de confiabilidad (fig. 1.3), considerando λ positiva (ya que no 

existen valores negativos de t) son: 

-λ t 

F(t) = 1 - e (1.14) 

-λ t 

R(t) = e (1.15) 

Figura 1.3.- La distribución exponencial. 

Integrando la ecuación 1.15 encontramos el tiempo promedio de vida 

MTBF = 1/λ . La distribución exponencial es considerada como un patrón de falla 

puramente aleatorio. Por lo cual, esto significa que los instantes de falla ocurren 

de acuerdo a un proceso poisson. El proceso esta caracterizado por las 

siguientes propiedades: 

1.- El proceso es fijo en el tiempo y las ocurrencias futuras del evento 

aleatorio son independientes de sus ocurrencias pasadas. 

2.- La ocurrencia simultánea de dos o mas eventos es excluida. 

La probabilidad de que m eventos poisson ocurran durante cualquier 

intervalo de tiempo t es: 

-λ t m 

Pm(t)= e (λ t) / m! (m=0,1,2,...) (1.16) 

La probabilidad de que no ocurran eventos en (0,t) es la Exp(-λ t). 

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1.7.4. LA DISTRIBUCION GAMMA (Erlang). 

Para t>0 la distribución Gamma tiene la siguiente función de densidad: 

k-1 

f(t) = λ (λt) exp(-λt) / Γ(k) (1.17) 

Γ(k) → Distribución Gamma. Γ(k)=(k-1)!, donde k es un entero positivo. 

f(t) es ilustrada en la Fig. 1.4. R(t) toma la forma: 

k-1 j 

R(t) = ∑ exp(-λt)(λt) / j! (1.18) 

j=0 

Figura 1.4.- Función de distribución Gamma. 

La distribución Gamma es una extensión natural de la distribución 

exponencial. Derivada de considerar el tiempo en llegar al K-ecimo proceso 

Poisson ó por considerar la convolución de k-veces de la distribución 

exponencial con si misma. 

El tiempo promedio de vida (MTBF) = k/λ (1.19) 

La distribución Gamma puede encontrarse cuando la falla de un producto se 

presenta exactamente por k choques ó golpes. Cada uno de los cuales ocurren 

de acuerdo a los dos postulados de un proceso poisson. De aquí que R(t) sea la 

sumatoria de las probabilidades de que el sistema reciba los choques 0,1,2....(k- 

1). Si k=1, La distribución Gamma se reduce a la función exponencial. 

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1.7.5. LA DISTRIBUCION WEIBULL. 

Las expresiones para la distribución Weibull son listadas abajo y la f(t) es 

ilustrada en la Fig. 1.5. 

β−1 β 

f(t) = (β/η)(t/η) exp [-(t/η) ] (1.20) 

y 

β 

R(t) = exp [-(t/η) ] (1.21) 

distribución Weibull. 

Figura 1.5.- La función de 

Esta distribución fué discutida por Weibull en 1951. Después fue utilizada 

para describir eventos como fallas en bulbos y fallas en el cojinete de las pelotas 

de baseball. Esta distribución es útil en fallas causadas por exceso de esfuerzo ó 

potencia en el punto de rompimiento del producto. Actualmente tiene otras 

aplicaciones que mas tarde serán discutidas. 

Con β=1 la distribución Weibull se reduce a la distribución exponencial. 

1.7.6. LA DISTRIBUCION NORMAL LOGARITMICA. 

La distribución normal logarítmica ha demostrado ser útil en la descripción de 

distribuciones de fallas bajo las siguientes condiciones: 

- Si el tiempo de falla está asociado con una gran incertidumbre, por ejemplo; 

la varianza de la distribución es una fracción grande del MTBF y el uso de 

la distribución normal es difícil. 

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- La distribución normal logarítmica es ampliamente utilizada en Ingeniería de 

confiabilidad para describir fallas por fatiga, fallas inciertas o 

desconcertantes. 

Las expresiones para la distribución normal logarítmica se listan abajo y la 

función de densidad se muestra en la fig.1.6. 

R( 

t) 

= ∫ 

t 

∞ 

1 

σ 

2πσ 

e 

⎡ 

⎢ 

⎢⎣ 

− 

1 

2 

( log µ −µ 

) 

σ 

2 

2 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

dµ 

(1.22) 

f 

( t) 

= 

1 

t 

2πσ 

e 

⎡ 

⎢ 

⎢⎣ 

− 

1 

2 

( log µ −µ 

) 

σ 

2 

2 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

(1.23) 

Figura 1.6. Función de distribución Norma Logarítmica. 

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1.8. CURVA CARACTERISTICA DE LA VIDA DE UN PRODUCTO. 

Figura 1.7. Curva característica de la vida de un producto. 

CAUSAS DE FALLA DURANTE PERIODO INFANTE: 

a).- 

b).- 

c).- 

d).- 

e).- 

f).- 

Uniones ó sellos pobres. 

Uniones de soldadura pobres. 

Conexiones pobres. 

Superficies contaminadas o sucias. 

Impurezas químicas en metales o aislantes. 

Posición incorrecta de partes. 

CAUSAS DE FALLA DURANTE EL PERIODO DE VIDA UTIL: 

a).- 

b).- 

c).- 

d).- 

e).- 

f).- 

g).- 

h).- 

Esfuerzo de un sistema fuera de lo especificado. 

Ocurrencia de cargas aleatorias mas altas de lo esperado. 

Defectos que se escapan de los métodos de detección. 

Errores humanos en el uso. 

Fallas de aplicación ó aplicaciones inadecuadas. 

Abuso. 

Causas inexplicables. 

"Por que Dios quiso". 

CAUSAS DE FALLA DURANTE EL PERIODO DE FIN DE VIDA: 

a).- 

b).- 

c).- 

d).- 

Corrosión u oxidación. 

Rotura o fuga de aislantes. 

Fricción o fatiga. 

Rompimiento en plásticos. 

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PROBLEMAS: 

1).- La vida de un componente esta exponencialmente distribuida, con una 

razón de falla de 0.002 fallas por 10000 Hrs. de operación. ¿ Cuál es la 

confiabilidad para 1000 Hrs. de operación ?. 

De la ecuación 1.15: 

R(t) = exp(-λt) 

R(t) = exp(-(0.002/10000)1000) 

R(t) = 99.98% 

2).- El MTBF de una computadora es 3100 Hrs. ¿ Cuál es la probabilidad de 

falla si el sistema es usado por 3100 Hrs.?. 

Sustituyendo la ecuación 1.10 en 1.15: 

R(t) = exp(- t/MTBF) 

R(t) = exp(- 3100/3100)= 36.79% 

De la ecuación 1.2: 

F(t) = 1 - R(t) 

F(t) = 1 - 0.3679 

F(t) = 63.21% 

3).- En una prueba de confiabilidad, 2000 sistemas fueron probados durante 

500 Hrs. cada uno, con un total de ocho fallas durante la prueba. ¿ Cuál es la 

confiabilidad de un sistema para un uso de 1000 Hrs. ?. 

MTBF = (2000)500/8 = 125,000 

R(t) = exp(- t/MTBF) = exp(- 1000/125000) = 99.2% 

4).- Un componente tiene una razón de falla constante de 0.0005 fallas por 

hora. ¿ Cuál es la confiabilidad para 1000 Hrs. de operación ?. Y ¿ Cuál es el 

MTBF para éste componente ?. 

R(t) = exp(-λt) = exp(- 0.0005(1000)) 

R(t) = 0.60653 = 60.65% 

MTBF = 1/λ = 1/0.0005 

MTBF = 2000 Hrs. 

5).- Considere que una gran instalación tiene un MTBF de 5000 Hrs. Con 

éste sistema ¿ Cuál es el número máximo de horas que la instalación puede 

usarse con una confiabilidad del 99% ?. 

R(t) = exp(-t/MTBF) 

t = - MTBF ln R(t) 

t = - (5000)(ln(0.99)) 

t = 50.25 Hrs. 

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1.9. CONFIABILIDAD COMBINACIONAL. 

1.9.1. EL DIAGRAMA A BLOQUES DE CONFIABILIDAD. 

En casos mas prácticos la confiabilidad de un sistema está determinada a 

través del uso de un diagrama a bloques de confiabilidad para el sistema. El 

diagrama a bloques de un sistema es obtenido por la descomposición del 

sistema en partes, el cual está hecho de uno ó mas subsistemas ó 

componentes. Cada parte del sistema se representa por un bloque y la relación 

con las otras partes es conectada por líneas entre los bloques. 

1.9.2. LA CONFIGURACION SERIE. 

La configuración mas simple y mas común en análisis de confiabilidad es la 

configuración serie fig.1.8. 

Cuando un bloque i funciona correctamente, a este estado le llamamos xi, 

Cuando funciona incorrectamente le llamaremos xi. 

La probabilidad de que un bloque i funcione correctamente desde t=0 a t=to 

es Ri(to) ó confiabilidad del bloque i en t=to. 

Si el número de bloques en la configuración serie es n. La confiabilidad del 

sistema Rs es la unión de la probabilidad de que los n bloques estén en buen 

estado y Rs es la función "and" ó Y de x1, x2 ,....., xn: 

Figura 1.8.- Configuración serie. 

(1.24) 

Rs = P(x1x2x3...xn) 

Considerando términos estadísticamente independientes: 

Rs = Rx1Rx2Rx3...Rxn (1.25) 

Hablando de un sistema exponencialmente distribuido: 

Rs = exp -(λ1+λ2+λ3+.......+λn) t (1.26) 

La probabilidad de falla Ps=(1-Rs), es la unión de la probabilidad de que uno 

o más de los n bloques fallen. Y es la función "or" ó la suma de x1, x2 ,....., xn: 

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1 - Rs = P(x1+x2+x3+...+xn) (1.27) 

P(x1x2x3.....xn) + P(x1+x2+x3+...+xn) = 1 (1.28) 

Expandiendo la ecuación 1.27 del lado derecho tenemos que: 

1 - Rs = [P1(x1) + P2(x2)+....+ Pn(xn)] - [P12(x1x2)+P13(x1x3)+...... 

n-1 

+ Pij(xixj) +.........+P(n-1)n(xn-1xn)] +.....+ (-1) P12...n(x1x2...xn) (1.29) 

i≠j 

Los términos a la derecha son = 2^n -1 


1 - Rs = [P1(x1) + ....+ Pn(xn)] - [P1(x1)P2(x2)+....+ Pn-1(xn-1) Pn(xn)] +..... 

n-1 

+ (-1) [P1(x1)P2(x2)..........Pn(xn)] (1.30) 

La máxima confiabilidad de una configuración serie Rs es igual ó menor que 

la confiabilidad que el "n" bloque menos confiable: 

Rs max. = min [Pi(xi)] (1.31) 

n 

Rs min = 0 ó Rs min = 1 - ∑ Pi(xi) (1.32) 

i=1 

En el caso donde uno o más bloques fallen. 

1.9.3. LA CONFIGURACION PARALELO. 

Considere el sistema con la propiedad de que el sistema funcionará 

únicamente con que un bloque esté en buenas condiciones. Como el de la 

fig.1.9. La confiabilidad de n bloques en paralelo es la función "or": 

Rp = P(x1+x2+x3+...+xn) (1.33) 

Figura 1.9.- Configuración paralelo. 

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Expandiendo el lado derecho de la ecuación 1.33 tenemos: 

Rp = [P1(x1) + P2(x2)+....+ Pn(xn)] - [P12(x1x2)+P13(x1x3)+...... 

n-1 

+ Pij(xixj) +.........+P(n-1)n(xn-1xn)] +.....+ (-1) [P12...n(x1x2...xn)] (1.34) 


Rp = [P1(x1) + ....+ Pn(xn)] - [P1(x1)P2(x2)+....+ Pn-1(xn-1) Pn(xn)] +..... 

n-1 

+ (-1) [P1(x1)P2(x2)..........Pn(xn)] (1.35) 

La probabilidad de falla (1-Rp) de una configuración en paralelo es la unión 

de la probabilidad de que los n bloques esten malos: 

1 - Rp = P(x1x2x3...xn) (1.36) 

La mínima confiabilidad de una configuración en paralelo Rp min es igual a la 

confiabilidad del bloque más confiable: 

Rpmin =max[Pi(xi)] (1.37) 

i=1....n 

La máxima confiabilidad sería: 

n 

Rp max = 1 ó Rp max = ∑ Pi(xi) (1.38) 

i=1 

Resumiendo lo anterior para dos bloques: 

La probabilidad de falla: 

P(x) = 1 - P(x) (1.39) 

P(x) = [1 - P(x1)] [1 - P(x2)] (1.40) 

P(x) = 1 - P(x1) - P(x2) + P(x1)P(x2) (1.41) 

La probabilidad de no falla: 

P(x) = 1 - P(x) (1.42) 

P(x) = P(x1 + x2) = P(x1) + P(x2) - P(x1)P(x2) (1.43) 

En términos de confiabilidad: 

Rp = R1 + R2 - R1R2 (1.44) 

Rp = exp(-λ1t) + exp(-λ2t) - exp -(λ1+λ2) t (1.45) 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(18)



Ejemplo: 

¿ Cuál será el MTBF para 750 Hrs. de trabajo para el siguiente sistema 

(fig.1.10): 

"A" 

"B" 

Figura 1.10.- Diagrama a bloques de la confiabilidad de un sistema. 

RsA = (0.99)(0.99) = 0.9801 

RpA = (1 - (1 - 0.9801)(1 - 0.98) = (1 - (0.0199)(0.02)) = 0.999602 

RpB = (1 - (1 - 0.98)(1 - 0.97) = (1 - (0.02)(0.03)) = 0.9994 

Rt = (0.999602)(0.9994) = 0.9990 = 99.90 % 

Sustituyendo la ecuación 1.10 en la 1.15: 

MTBF = - t / ln(R(t)) 

MTBF = 750 / ln(0.9990) = 749,624.94 Hrs. 

1.10. CONFIGURACION DE UNA FORMA MAS GENERAL. 

Con frecuencia la estructura natural de un sistema práctico será tal que el 

correspondiente diagrama a bloques de confiabilidad no podrá ser analizado por 

los conceptos de la configuración serie y paralelo. En tal caso el diseñador 

deberá aplicar técnicas más generales como los métodos de: 

Inspección. 

Espacio-Evento 

Grupos de Corte y Liga 

Arbol de fallas 

Estos métodos son utilizados en conjunto con el teorema de bayes' que se 

expresa así: 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(19)



R = P(sistema funcione|xi)P(xi) + P(sistema funcione|xi)P(xi) (1.46) 

En otras palabras la confiabilidad del sistema puede ser determinada 

estableciendo la confiabilidad del sistema cuando el bloque i es bueno y cuando 

es malo P(xi) y P(xi). 

P(xi) + P(xi) = 1 (1.47) 

1.10.1. EL METODO DE INSPECCION. 

Cuando el número de bloques es pequeño, podemos expresar el evento de 

que el sistema funcione satisfactoriamente como "S" y el evento de que no 

funcione satisfactoriamente como "S", definidos por una expresión "booleana" 

por simple inspección. 

Figura 1.11.- El diagrama a bloques de confiabilidad muestra 

un sistema encadenando el punto S1 al punto S2. 

Considerando el sistema de la Fig.1.11: 

S = (A + (B+C)D)E (1.48) 

S = A( 

BC + D) 

+ E 

(1.49) 

La confiabilidad de el sistema Rs puede ser expresada como P(s) ó P(ŝ). 

1.10.2. EL METODO ESPACIO EVENTO. 

La idea de este método es simple y directo: 

1.Listar todos los estados en el cual el sistema puede encontrarse. 

2.Determinar cuales estados son favorables. Estados donde el sistema 

funciona satisfactoriamente. 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(20)



3.Determinar la probabilidad de cada uno de los estados favorables. La suma 

de las probabilidades de los estados favorables es la probabilidad que el 

sistema opere satisfactoriamente. Esto es la confiabilidad del sistema. 

Considerando el sistema de la figura 1.11, el sistema estará en uno y 

solamente uno de los 32 estados posibles (2^5=32), si los etiquetamos desde 

Eo a E31, donde E se entiende como evento, serían: 

Eo = abcde E1 = abcde E2 = abcde E3 = abcde 

E4 = abcde E5 = abcde E6 = abcde E7 = abcde 

E8 = abcde E9 = abcde E10= abcde E11= abcde 

E12= abcde E13= abcde E14= abcde E15= abcde 





Por inspección encontramos que: 

y 

11 estados son favorables 

21 estados son desfavorables 

La confiabilidad del sistema R es determinada por la suma de las 

probabilidades de los 11 eventos: 

R = P(E0) + P(E2) +P(E4) + P(E6) + P(E8) + P(E10) +P(E12) + P(E14) 

P(E16) + P(E20) +P(E24) (1.50) 

El método Espacio-Evento no está restringido exclusivamente a la situación 

donde los estados de los bloques son variables binarias. Si el sistema de la 

fig.1.11 tuviera tres estados posibles, el sistema estará en uno y solamente uno 

de los 243 estados posibles (3^5=243). 

1.10.3. METODO DE GRUPOS DE CORTE Y LIGA. 

Un diagrama a bloques de confiabilidad esta formado por un grupo de 

bloques. Por un grupo de corte deberá entenderse como un subconjunto de 

bloques con la siguiente propiedad: "si todos los bloques en uno o mas de los 

grupos de corte fallan, el sistema fallará". Inspeccionando la figura 1.11, 

podemos asegurar que el sistema fallará en el caso de que ocurra cualquiera de 

los siguientes eventos: abc, ad y e. Si le llamamos s al sistema cuando falle, 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(21)



la expresión lógica para s es: 

s = abc + ad + e (1.51) 

Rs = 1 - P(s) (1.52) 

Rs = 1 - P(abc + ad + e) (1.53) 

Una alternativa para el uso del grupo de corte es el grupo de liga. Un grupo 

de liga es un subgrupo de bloques con la siguiente propiedad: "Si todos los 

bloques en un grupo de liga funcionan correctamente, el sistema funcionará 

correctamente". Inspeccionando el sistema de la figura 1.11, podemos asegurar 

que el sistema funcionará en el caso de que ocurra, cualquiera de los siguientes 

estados: ae, bde y cde. La expresión "s" que define el evento cuando el 

sistema funciona correctamente es: 

Rs = P(s) 

s = ae + bde + cde (1.54) 

Rs = P(ae + bde + cde) (1.55) 

1.10.4. METODO DEL ARBOL DE FALLA. 

En la construcción de un diagrama del árbol de falla, el sistema es modelado 

en términos de los modos de falla usando compuertas lógicas "and" y "or". El 

diagrama de falla de esta forma llega a ser un diagrama de flujo con símbolos 

lógicos integrados. La fig. 1.12 muestra el diagrama del árbol de falla para el 

sistema de la fig.1.11. 

Figura 1.12.- Diagrama del árbol de falla del sistema de la fig.1.11 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(22)



1.11. REDUNDANCIA. 

Cuando una unidad en particular (o bloque) de un sistema está propenso a 

fallar, la confiabilidad del sistema puede aumentarse a través del uso de 

"REDUNDANCIA" . Existen dos formas de aplicar la redundancia; la 

redundancia activa y la redundancia pasiva. 

1.11.1. REDUNDANCIA ACTIVA . 

Por redundancia activa entenderemos un arreglo igual como el ilustrado por 

un sistema en paralelo (fig. 1.13). Aquí el término de redundancia está ilustrado 

por los bloques B1, B2, y B3 que operan simultáneamente y a plena carga. 

El sistema tiene las siguientes características: 

Figura 1.13.- Redundancia activa. 

1.- A la probabilidad de que un bloque ó canal falle, la llamaremos la 

probabilidad (1-p). 

2.- Si las tres fallas son estadísticamente independientes y la probabilidad de 

falla es la misma para los tres canales de comunicación, entonces las 

redundancia activa Rar será: 

3 

Rar=1 - (1-p) (1. 54) 

Si generalizamos la ecuación anterior para "n" idénticos canales en paralelo 

Rar será: n 

Rar = 1 - (1-p) (1.55) 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(23)



1.11.2. REDUNDANCIA PASIVA. 

Otro tipo de redundancia se presenta cuando para ejecutar la función 

requerida se realiza de la siguiente forma: 

1.- Considerando el ejemplo de los n bloques, estos no funcionan hasta que 

se necesiten. 

2.- Se cambia a otro bloque cuando el que estaba activado falla. La ventaja 

de éste arreglo es que los bloques inactivos están menos propensos a 

fallar, que los bloques que están bajo carga. 

Redundancia pasiva. 

Figura 1.14.- 

La confiabilidad de una configuración con redundancia pasiva Rsr es difícil de 

determinar ya que depende de la confiabilidad de la conmutación del sistema y 

sobre el dispositivo el cual sensa cuando un bloque falla. Sin embargo, debemos 

determinar Rsr bajo las siguientes cuatro consideraciones: 

1.- El sistema de conmutación cambia muy rápido y no falla. 

2.- El detector sensa muy rápido y no falla. 

3.- Los elementos pasivos están trabajando bien. 

4.- Las fallas en los bloques en operación, tienen un espacio en el tiempo 

como si estuvieran controladas por un proceso poisson. 

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Pag.(24)



Bajo estas consideraciones, la probabilidad de no falla en un tiempo t=to, 

puede expresarse de dos formas: 1) la probabilidad p, confiabilidad del bloque ó, 

2) La probabilidad de que no ocurra un evento poisson: 

Po(t) = exp(-λto) ó λto=ln p (1.56) 

Sustituyendo la ecuación 1.56 en 1.16 obtenemos la probabilidad de que no 

ocurra un evento poisson: 

m 

Pm= p (-ln p) / m! (1.57) 

Considerando la redundancia pasiva teniendo un bloque funcionando y (n-1) 

sin operar (pasivos), la confiabilidad del sistema es: 

n-1 

Rsr = ∑ Pm (1.58) 

m=0 

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1.12. PRUEBAS DE CONFIABILIADAD A UN DISEÑO. 

MTBF OBSERVADO (θ).- Es igual a el tiempo de operación total de el equipo 

dividido entre el número de fallas relevantes. 

MTBF DE PRUEBA BAJO (θ1).- Es un valor el cual es inaceptable y el plan de 

prueba estándar deberá ser rechazado, con una alta probabilidad. 

MTBF DE PRUEBA ALTO (θ0).- Es un valor aceptable de MTBF y el plan de 

prueba estándar deberá ser aceptado, con una alta probabilidad. 

RELACION DE DISCRIMINACION (d).- Es un parámetro estándar de la prueba 

el cual establece el plan de prueba envuelto y esta definido como: 

d = θ0 0 / θ1 (1.59) 

RIESGO DEL CONSUMIDOR (β).- Es la probabilidad de aceptar un equipo con 

un verdadero MTBF igual al MTBF de prueba bajo θ1. 

RIESGO DEL PRODUCTOR (α).- Es la probabilidad de rechazar equipos con un 

verdadero MTBF igual al MTBF de prueba alto θ0. 

CRITERIO DE RECHAZO: 

d=k 

CRITERIO DE ACEPTACION: 

A = (k +1)(1 - α) / 2kα (1.60) 

B = β/(1 - α) (1.61) 

PUNTOS DE TRUNCACION: 

(Término de la prueba por fallas). 

(X² 1-α ; 2R)/(X² β ;2R) ≥ θ1 1 / θ0(1.62) 

(Término de la prueba por tiempo). 

T = θ0 (X² 1-α; 2R)/2 (1.63) 

INTERSECCION DE ACEPTACION (a): 

PENDIENTE DE LA ECUACION (b): 

a = lnB / ln(θ0 0 / θ1) (1.64) 

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Pag.(26)



INTERSECCION DE RECHAZO (c): 

b = (1/θ1 - 1/θ0) / ln(θ0 0 / θ1) (1.65) 

c = lnA / ln(θ0 0 / θ1) (1.66) 

LINEA DE ACEPTACION = a + bt 

(1.67) 

LINEA DE RECHAZO = c + bt (1.68) 

EJEMPLO: 

Diseñar una prueba de confiabilidad con los siguientes parámetros: 

α, β = 0.2 

θ0 = 1700 

θ1 = 850 

d= 2 

Criterio de rechazo = A = (k +1)(1 - α) / 2kα α = (2+1)(1-0.2)/2(2)(0.2) = 3 

Criterio de aceptación = B = β/(1 - α) = 0.2/(1-0.2) = 0.25 

Puntos de truncación: 

(X² 1-α ; 2R)/(X² β ;2R) ≥ θ1 1 / θ0 = 1/k = 0.5 

Ahora buscamos en la tabla de la X²chi-cuadrada los puntos 1-α y β (0.8 y 

0.2 respectivamente), hasta que la relación de estas variables den un valor igual 

o mayor que θ1 1 / θ0. 

X²; (1-α) / X² β = 

β = (0.8)/0.2 = 10.307/19.311 = 0.533 2R=15 

= 9.497 / 18.151 = 0.5216 2R=14 

= 8.634 / 16.985 = 0.5083 2R=13 

= 7.807 / 15.812 = 0.4937 2R=12 

2R=13; R = 6.5 

No de fallas = 7 

T = θ0 (X² 1-α; 2R)/2 = 1700(9.467)/2 = 8046.95 hrs. 

La prueba deberá ser truncada en 7 fallas ó 8047 horas. 

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INTERSECCION DE ACEPTACION = a = lnB / ln(θ0 0 / θ1) = ln .25 / ln2 = -2 

PENDIENTE DE LA ECUACION = b = (1/θ1 - 1/θ0) / ln(θ0 0 / θ1) 

= (1/850 - 1/1700)/ln(1700/850) 

= 0.0008486 

INTERSECCION DE RECHAZO (c): 

c = lnA / ln(θ0 0 / θ1) = ln 3 / ln 2 = 1.585 

LINEA DE ACEPTACION = a + bt = -2 + 0.0008486 t 

LINEA DE RECHAZO = c + bt = 1.585 + 0.0008486 t 

En la fig. 1.15 se muestra la gráfica de esta prueba. 

Figura 1.15.- Gráfica de la prueba de confiabiliad. 

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Pag.(28)



1.12.1. LIMITES DE CONFIANZA SOBRE EL MTBF OBSERVADO. 

FORMULAS PARA LA PRUEBA TERMINADA POR FALLAS: 

2T 2r MTBF 

MLL = ---------------------- = ---------------------- (1.69) 

X² α /2 ; 2r X² α /2 ; 2r 

2T 2r MTBF 

MUL = -------------------------- = ---------------------- (1.70) 

X² 1 - (α /2) ; 2r X² 1 - (α /2) ; 2r 

FORMULAS PARA LA PRUEBA TERMINADA POR TIEMPO: 

2T 2r MTBF 

MLL = ------------------------ = ---------------------- (1.71) 

X² α /2 ; 2r+2 X² α /2 ; 2r+2 

2T 2r MTBF 

MUL = --------------------------- = ----------------------- (1.72) 

X² 1 - (α /2) ; 2r X² 1 - (α /2) ; 2r 

Donde: 

T = Tiempo de prueba total del producto bajo prueba. 

MLL = Límite bajo de confianza sobre el MTBF. 

MUP = Límite superior de confianza sobre el MTBF. 

X² = Distribución de la Chi-cuadrada. 

α = Nivel de riesgo. 

r = Número de fallas. 

ejemplo: 

Los siguientes datos fueron obtenidos de una prueba de confiabilidad. La 

prueba fue terminada por fallas. Encuentre con un 90% los límites de confianza 

inferior y superior para el MTBF ? 

Tiempo de falla en horas por unidad: 750, 3780, 500, 975, 200, 300 

T = 750 + 3780 + 500 + 975 + 200 + 300 = 6505 Horas. 

2T / (X² α /2 ; 2r) < M < 2T / (X² 1 - (α /2) ; 2r) 

1-α = 90% = 0.90 α = 1 - 0.9 = 0.1 

α/2 = 0.05 1 - (α/2) = 0.95 

Ahora buscamos la Chi-cuadrada de los valores 0.05 y 0.95 con 12 grados 

de libertad y obtenemos: 

90% = 2 ( 6505) / 21 < M < 2(6505)/5.23 

90% = 619.52 < M < 2487.57 

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Pag.(29)



1.13. LA DISTRIBUCION WEIBULL. 

La distribución Weibull es aplicable en el análisis de fallas tempranas, en el 

periodo de infancia del producto. 

Los dos parámetros para la distribución Weibull pueden determinarse 

dibujando los tiempos de falla sobre una gráfica en papel especial. Para 

acomodar los datos Weibull sobre una línea recta, primero a la expresión Weibull 

ecuación 1.21: 

β 

R(t) = exp [-(t/η) ] (1.73) 

le aplicamos el logaritmo natural y obtenemos: 

β 

(t/η) = ln(1/R) (1.74) 

aplicando de nuevo el logaritmo tenemos: 

β 

ln(t/η) = ln ln(1/R) 

reacomodando términos: 

ln(t)=1/β ln ln (1/R) + ln(η) 

lnln(1/R) =β ln(t) - βlnη (1.75) 

La ecuación anterior tiene la forma de y = mx + b, donde y = 1/R y x = ln(t). 

Recordando que F(t) = 1 - R(t) y sustituyendola en la ecuación 1.75: 

ln (ln ( 1 / (1-F)) = β ln(t) - βlnη (1.76) 

F(t) puede encontrarse utilizando la ecuación de Bernard's para rangos 

medios: 

F(t) = (i -0.3) / (n + 0.4) (1.77) 

i = número de falla. 

n = número total de fallas 

1.13.1. USO DEL PAPEL ESPECIAL PARA LA DISTRIBUCION WEIBULL. 

Para encontrar los dos parámetros de la distribución Weibull se procede de la 

siguiente forma: 

1.- F(t) se dibuja sobre el eje "Y". 

2.- En ele eje "X" se dibuja el tiempo de falla. 

3.- La pendiente m, se obtiene dibujando un triángulo a la derecha de la línea 

recta, con un lado horizontal de longitud unitaria. La longitud del eje 

_____________________________________________________________________________ 


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vertical será el valor de la pendiente. 

4.- El valor de η es estimado utilizando la ecuación 1.76, cuando F=0.632 

(λt=1, 1-F= exp(-1) ó F=0.632) produciendo t=η. 

ejemplo: 

A seis sistemas se les hizo una prueba de vida y los siguientes tiempos de 

falla fueron reportados: 120, 400, 800, 1400, 2600 y 5000 horas 

respectivamente. Usando el método gráfico, encuentre el parámetro de forma (β) 

y la característica de vida (η) por la distribución Weibull. Y la probabilidad de 

supervivencia del producto para un periodo de uso de 700 horas. 

Primero encontramos F(t) utilizando la ecuación 1.77: 

F(t) = (i -0.3) / (n + 0.4) 

Para la falla número uno: 

R.M. = (1-0.3)/(6 +0.4) = 10.94 % 

Para las fallas número 2,3,4,5 y 6: 

R.M. = (2-0.3)/(6 +0.4) = 26.57 % 

R.M. = (3-0.3)/(6 +0.4) = 42.19 % 

R.M. = (4-0.3)/(6 +0.4) = 57.81 % 

R.M. = (5-0.3)/(6 +0.4) = 73.44 % 

R.M. = (6-0.3)/(6 +0.4) = 89.06 % 

Podemos crear una tabla como la siguiente: 

Falla No Hora de falla % de rango medio 

1 120 10.94 

2 400 26.57 

3 800 42.19 

4 1400 57.81 

5 2600 73.44 

6 5000 89.06 

Ahora procedemos a dibujar las horas de falla contra el correspondiente 

porciento de rango medio (fig.1.16). 

De la gráfica obtenemos que: 

η = 1800 Hrs. 

β = 0.77 

β 0.77 

R(t) = exp [-(t/η) ] = exp [-(700/1800) ] = 0.61 

R(t) = 61 % 

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Figura 1.16.- Estimación gráfica de los parámetros de la distribución Weibull. 

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1.14. CONFIABILIDAD DE UN SISTEMA EN GENERAL CON RESPECTO AL 

TIEMPO. 

En esta sección debemos discutir tres métodos de una forma general por el 

cual Rs(t) puede ser calculada, para un sistema en general. Estos métodos son: 

El modelo de Markov, el de Convolución y el de Montecarlo. 

Considerando un sistema de tres bloques, éste puede tener cualquier forma 

de las mostradas en la fig. 1.17. 

FIGURA 1.17.- Cuatro formas posibles de un sistema con tres bloques. 

El sistema esta en uno y sólo uno de los siguientes estados: 

So = abc S1= abc S2 = abc S3 = abc 

S4 = abc S5= abc S6 = abc S7 = abc 

Entonces el sistema tiene la siguiente propiedad: "El sistema siempre esta en 

uno y sólo uno de los n finitos estados, S0, S1,...... Sn-1 el cual son mutuamente 

exclusivos. 

Debemos asumir que el sistema esta en el estado So en t=0. 

El estado So para t=0, Rs(t=0) = 1. 

El estado S7 para t→∞, Rs(t →∞)=0 

La figura 1.18 muestra que pasará si el sistema esta en el estado So y uno de 

los bloques falla (líneas continuas) y las líneas discontinuas si dos bloques 

fallan. 

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Pag.(33)



Figura 1.18.- El sistema con tres bloques estará en uno y sólo uno de estos ocho estados. 

- Cuando un bloque falla S0 → S4 o S2 o S1 

- Cuando dos bloques falla S0 → S3 o S5 o S6 

Tomando en cuenta las consideraciones anteriores y si le llamamos Ni(t), 

i=0,1...7, al número de sistemas el cual en el tiempo t están en el estado i, 

podemos expresar la probabilidad de que un sistema este en Si en el tiempo t 

como: 

Pi(Si, t) = lim (Ni(t)/N) (1.78) 

N→∞ 

Esto es ilustrado en la fig. 1.19. Tambien podemos recordar, fig. 1.20, que en 

cualquier momento del tiempo: 

7 

∑Pi(Si, t) = 1 (1.79) 

i=0 

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Figura 1.19.- Forma de las probabilidades de estar en los estados So o S7. 

Figura 1.20.- La figura ilustra las ocho funciones de probabilidad Pi(Si,t)=1,...,7. 

El área sombreada muestra Rs(t) = Po(So,t)+P1(S1,t)+P2(S2,t). 

1.14.1. EL MODELO DE MARKOV. 

Los modelos de Markov son funciones de dos variables aleatorias: el estado del 

sistema x y el tiempo de observación t. 

Cualquier modelo de Markov está definido por un conjunto de probabilidades P ij 

que dependen de los estados i y j, y es completamente independiente de todos 

los estados pasados, excepto del último estado i. 

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Pag.(35)



PROCESO POISSON 

Las ocurrencias de eventos (falla) son discretas y el tiempo es continuo, así, el 

modelo es de estados-discretos y tiempo-continuo. 

Las condiciones básicas necesarias para derivar el modelo del proceso Poisson 

son: 

1. La probabilidad de que ocurra una transición del estado n al estado n+1 

en un tiempo ∆t es λ∆t. Las ocurrencias son irreversibles. 

2. Cada falla es independiente de todas las otras fallas. 

3. La probabilidad de transición de dos o más ocurrencias en el intervalo de 

tiempo ∆t es despreciable. Haciendo uso de la propiedad de 

independencia de falla, que describe la probabilidad de ocurrencias en el 

intervalo ∆t como el producto de la probabilidad de cada ocurrencia es 

(∆t)(∆t). 

Deseamos resolver a probabilidad de n ocurrencias en el tiempo t y generar un 

conjunto de ecuaciones de diferencias que representen las probabilidades de los 

estados y las probabilidades de transición. La probabilidad de que n ocurrencias 

tengan lugar en el tiempo t es: 

Para el caso de cero ocurrencias en el tiempo t + ∆t: 

P 

( x = n, t) = P ( t) ( 1) 

n 

( t + ∆t) = ( − λ∆t) P ( ) ( 2) 

P0 1 

0 

t 

Para el caso de una ocurrencia: 

( t + ∆t) = ( λ∆t) P () t + ( 1− λ t) P () t ( 3) 

P1 0 

∆ 

1 

De forma general: 

P 

n 

( t ∆t) = ( λ∆t) P () t + ( 1− λ∆t) P () t 

( 4) 

+ 

n−1 

para 

n 

n = 1,2,3,.... 

Si reacomodamos la ecuación (2) y tomamos los límites de ambos lados de la 

ecuación cuando ∆t→0: 

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Pag.(36)



P0 

lim = 

∆t→0 

dP0 

dt 

() t 

( t + ∆t) − P ( t) 

= P 

∆t 

0 

= 

• 

0() t = −λP0 

() t 

lim - 

∆t→0 

( λP 

() t ) ( 5) 

0 

Para la ecuación (4): 

lim 

∆t 

→0 

dPn 

dt 

= 

() t 

P 

n 

( t + ∆t) − P ( t) 

= P 

∆t 

n 

= 

lim 

∆t 

→0 

• 

n() t = λPn 

−1() t − λPn 

() t , 

( λP 

() t − λP 

() t ) ( 6) 

n−1 

para n = 1,2,...n 

Estas ecuaciones son un conjunto completo de ecuaciones diferenciales, con 

condiciones iniciales que describen el proceso. 

Ejemplo: Si no hay fallas al inicio del proceso: 

Si inciamos en el estado 3 en t=0: 

t=0, n=0 

P 0 (0)=1 

P 1 (0)= P 2 (0)=...= P n (0)=0 

P n (0)=P 1 (0)= P 2 (0)=...= 0 

P 3 (0)=1 

n 

MODELO DE MARKOV 

Definimos todos los estados mutuamente exclusivos del sistema. Por ejemplo, 

para un sistema de 1 bloque: 

S 

S 

0 

1 

= X 

= X 

1 

1 

Los estados del sistema en t=0 se llaman estados iniciales, y los estados de 

equilibrio se llaman estados finales. El conjunto de ecuaciones de estados de 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(37)



Markov describen las transiciones probabilísticas desde los estados iniciales 

hasta los estados finales. 

Las probabilidades de transición deben obedecer las siguientes reglas: 

1. La probabilidad de transición de un estado a otro en el tiempo ∆t es Z(t)∆t. 

Z(t) es el hazard asociado con dos estados en particular. Si todos los Z(t) 

son constantes, Z i (t)=λ i y el modelo se llama homogéneo. Si cualquier Z(t) 

está en función de t, el modelo es llamado no homogéneo. 

2. La probabilidad de que suceda más de una transición en el tiempo ∆t es 

infinitesimal, por lo que se desprecia. 

Para el sistema de 1 bloque: 

P 

P 

S0 

S1 

( t + ∆t) = [ 1− 

Z( t) 

∆t] PS0 

() t 

( t + ∆t) = [ Z( t) 

∆t] P () t + P () t 

S0 

S1 

Esto se puede resumir en una matriz de transiciones: 

Estados finales 

Estados iniciales S 0 S 1 

S 0 1-Z(t)∆t Z(t)∆t 

S 1 0 1 

La matriz tiene la propiedad de que la suma de cada renglón debe ser la unidad. 

P 

P 

S0 

S1 

dPS0 

dt 

dPS1 

dt 

( t + ∆t) 

− P ( t) 

( t + ∆t) − P ( t) 

() t 

() t 

∆t 

∆t 

+ Z 

= 

Z 

S0 

S1 

Z 

() t P () t 

() t P () t 

() t P () t = 0 

( 7) 

S0 

() t P () t 

( 8) 

S0 

= −Z 

= 

S0 

S0 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(38)



Una forma fácil de caracterizar el modelo de Markov es de una manera gráfica, 

compuesto de nodos que representan los estados del sistema y las ramas se 

etiquetan con probabilidades de transición. 

1-Z(t)∆(t) 

1 

P S0 

Z(t)∆(t) 

P S1 

Podemos utilizar un algoritmo simple para escribir las ecuaciones (6) y (7) por 

inspección de la gráfica de nodos y ramas del sistema: 

La derivada de la probabilidad de cualquier nodo (estado) es igual a la 

suma de las transiciones que llegan al nodo. Cualquier factor de ganancia 

unitaria del mismo lazo se hace cero. Ejemplo: Sistema de un bloque 

Si resolvemos las ecuaciones (6) y (7) por medio de la transformada de Laplace: 

sP 

P 

S 

S 0 

df 

dt 

() t 

s 

= sF(s) − f 

() 0 

s 

f() t = F( s) 

dPS0 

() t 

= −Z() 

t dt 

PS0 

() t 

dPS0 

() t 

+ Z() t dt = 0 

PS0 

() t 

0() s − PS 

0(0) 

+ zPS 

0() 

s 

()( s s + z) = P () 0 = 1 

() s 

S 0 

1 

= 

s z 

P S 0 

+ 

= 0 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(39)



P 

S1 

P 

S0 

−Z() t t −λt 

() t = e = e 

() t 

− Z() t PS 

0() 

t = 0 

() s − P () 0 = zP () s 

dPS1 

dt 

sPS 

1 S1 

z 

PS 

1 

= 

s( 

s + z) 

z 

PS 

1() 

s = = 

s( 

s + z) 

A = 1, B = -1 

1 1 

PS 

1() 

s = − 

s s + z 

S 0 

A 

s 

B 

+ 

s + z 

−Z(t)t 

−λt 

() t = 1− 

e = 1− 

e 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(40)



SISTEMA DE DOS BLOQUES: 

Estados : 

S0 = X1X2 

S1 

= X1X2 

S0 

= X1X2 

S0 

= X1X2 

Diagrama: 

1-Z 13 (t)∆t 

1-(Z 01 +Z 02 )∆t 

Z 01 (t)∆t 

S 1 

Z 13 (t)∆t 

1 

S 3 

S 0 S 2 

Z 02 (t)∆t 

Z 23 (t)∆t 

Matriz de transiciones: 

1-Z 23 (t)∆t 

ESTADOS 

ESTADOS FINALES 

INICIALES S 0 S 1 S 2 S 3 

S 0 1-(Z 01 +Z 02 )∆t Z 01 (t)∆t Z 02 (t)∆t 0 

S 1 0 1-Z 13 (t)∆t 0 Z 13 (t)∆t 

S 2 0 0 1-Z 23 (t)∆t Z 23 (t)∆t 

S 3 0 0 0 1 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(41)



Utilizando el algoritmo para determinar las ecuaciones diferenciales del sistema, 

tenemos que: 

dPS0 

dt 

dPS1 

dt 

dPS2 

dt 

dPS3 

dt 

() t 

() t 

() t 

() t 

= − 

= 

= 

= 

Z 

Z 

Z 

[ Z () t + Z () t ] P () t 

01 

02 

13 

01 

() t P () t − Z () t P () t 

S0 

() t P () t − Z () t P () t 

S0 

() t P () t − Z () t P () t 

Solucionando este sistema de ecuaciones diferenciales, obtenemos: 

S1 

02 

13 

23 

23 

S0 

S1 

S2 

S2 

donde: 

P 

P 

P 

P 

S0 

S1 

S2 

S3 

−( λ1+λ2 

) 

() t = e 

t 

[ ] 

1 

−λ3t 

−( λ1+λ2 

) 

() t = 

e − e 

λ 

1 

t 

[ ] 

2 

−λ4t 

−( λ1+λ2 

) 

() t = 

e − e 

λ 

1 

λ 

+ λ 

2 

λ 

+ λ 

2 

() t = 1− 

[ P () t + P () t + P () t ] 

S0 

t 

− λ 

− λ 

3 

4 

S1 

S2 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(42)



λ 

λ 

λ 

λ 

1 

2 

3 

4 

= 

= 

= 

= 

Z 

Z 

Z 

Z 

01 

02 

13 

23 

() t 

() t 

() t 

() t 

CONCLUSIONES: 

A partir de estos resultados, podemos ver las diferentes combinaciones de dos 

bloques, y la confiabilidad resultante: 

Configuración en serie: 

X 1 X 2 

R 

Configuración en paralelo: 

S 

−( λ1+λ2 

)t 

() t = P () t = e 

S0 

X 1 

X 2 

R 

() t = P () t + P () t P () t 

P S0 S1 

+ 

S2 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(43)



Para el sistema de la figura 1.17: 

Si aplicamos el mismo razonamiento para los siete estados obtendremos 

siete ecuaciones diferenciales más de primer orden: 

d(P0(S0,to))/dt = -P0(S0,to)Z0,1(to) - P0(S0,to)Z0,2(to) - P0(S0,to)Z0,4(to) 

d(P1(S1,to))/dt = P0(S0,to)Z0,1(to) - P1(S1,to)Z1,3(to) - P1(S1,to)Z1,5(to) 

d(P2(S2 ,to))/dt = P0(S0,to)Z0,2(to) - P2(S2,to)Z2,3(to) - P0(S0,to)Z2,6(to) 

d(P3(S3,to))/dt = P1(S1,to)Z1,3(to) + P2(S2,to)Z2,3(to) - P3(S3,to)Z3,7(to) 

d(P4(S4,to))/dt = P0(S0,to)Z0,4(to) - P4(S4,to)Z4,5(to) - P4(S4,to)Z4,6(to) 



d(P7(S7,to))/dt = P3(S3,to)Z3,7(to) + P5(S5,to)Z5,7(to) + P6(S6,to)Z6,7(to) 

1.14.2. EL MODELO DE CONVOLUCION. 

Considerando ahora el problema de calcular la probabilidad de un sistema en 

el estado j en el tiempo t. 

Con el modelo que se desea describir introduciremos dos importante 

cambios: Zj,k es ahora una función de τj, el tiempo consumido en Sj. 

En otras palabras basaremos el método de convolución en la siguiente 

suposición. 

Suposición.- La probabilidad de que el sistema esté haciendo una transición 

de Sj a Sk en un intervalo de tiempo infinitesimal entre to y (to + dt) es Zjkdt, 

donde Zjk es una función de Sj, Sk y τj es el tiempo empleado en Sj pero 

independiente de to y la forma en que el sistema llega Sj. 

Para hacer simple la siguiente descripción utilizaremos el ejemplo del 

diagrama de estados de la fig. 1.18. 

En principio, todas las ocho funciones Pj(Sj,t) son determinadas de la misma 

manera. Para mostrarlo determinaremos P3(S3,t). 

1.- Enumeramos todas las posibles formas en el cual el sistema en el tiempo 

t puede arribar a Sj. 

2.- Determinamos la probabilidad de que el sistema siga estos caminos (tal 

evento es mutuamente exclusivo). 

3.- Agregamos o sumamos la probabilidad de cada una de las formas de 

llegar a Sj. La suma es Pj(Sj,t), en el ejemplo es P3(S3,t). 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(44)



Haciendo los pasos anteriores para el ejemplo: 

1). En t=0 todos los sistemas están en So y tienen tres distintos caminos 

W0→3 , W0→1→3 y W0→2→3 por el cual el sistema puede llegar a S3. 

a).- W0→3, El sistema puede permanecer el tiempo τ0,3 en So después del 

cual en el intervalo de tiempo τ0,3 a (τ0,3 + dt) hace la transición a S3. 

Después de la transición el sistema estará en S3 hasta t. 

b).- W0→1→3, El sistema puede permanecer τ0,1 en So, después hace la 

transición a S1, permaneciendo τ0,3 en S1. Un tiempo después hará la 

transición a S3, permaneciendo ahí hasta t. 

c).- W0→2→3, El sistema puede permanecer τ0,2 en So, después hace la 

transición a S2, permaneciendo τ2,3 en S3. Un tiempo después hará la 

transición a S3, permaneciendo ahí hasta t. 

2). La probabilidad de que el sistema siga W0→3 , W0→1→3 y W0→2→3, 

será: P0→3(t) , P0→1→3(t) y P0→2→3(t). Primero determinamos P0→3(t) la cual 

es la probabilidad de que un evento compuesto ocurra y consiste de tres 

eventos: 

_ El primer evento, es que el sistema permanezca en So hasta el tiempo τ0; 

el evento toma un espacio en la probabilidad Ro(τ0): 

τ0 7 

Ro(τ0) = exp - [ ∫ ∑ Zo,i(ξo)dξo] (1.86) 

0 i=1 

_ El segundo evento, es que el sistema hizo una transición desde S0 a S3 en 

el intervalo de tiempo desde τ0 a (τ0 + dτ0) el evento toma un espacio en la 

probabilidad: 

R2(τ0) = Z0,3 (τ0) dτ0 (1.87) 

_ El tercer evento, es que el sistema permanezca en S3 desde τ0 hasta t. 

Como una consecuencia de la suposición 3. El tercer evento toma un espacio en 

la probabilidad R3(t - τ0). Recordando que el único estado que podemos 

alcanzar de S3 es S7: 

t - τ0 

R3(t - τ0) = exp [- ∫ Z3,7(ξ3)dξ3] (1.88) 

0 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(45)



Para cualquier valor de τ0 entre 0 y t los tres eventos (estadísticamente 

independientes) brindarán un sistema desde S0, S3 vía W0→3. 

La unión de la probabilidad de los tres eventos consecutivamente es el 

producto de sus probabilidades. Así P0→3(t) puede calcularse por la siguiente 

forma: 

t 

P0→3(t) = ∫ Ro(τ0)R3(t - τ0)Z0,3 (τ0) dτ0 (1.89) 

0 

Determinación de P0→1→3(t).- Considerando el periodo en que el sistema 

permanezca en S0, S1, S3 es τ0, τ1 y (t - τ0 - τ1) . La probabilidad de que el 

sistema permanezca en S1 para un periodo de tiempo τ1 es R1(τ1): 

τ1 

R1(τ1) = exp -[∫ [ Z1,3(ξ1) + Z1,5(ξ1) + Z1,7(ξ1)]dξ1] (1.90) 

0 

Ahora determinamos P1→3(t) como la probabilidad de un evento compuesto 

que consiste de tres eventos estadísticamente independientes de la misma 

forma como P0→3(t): 

_ Primero, el sistema permanecerá τ1 unidades de tiempo en S1. Esto pasa 

bajo la suposición 3 con probabilidad R1(τ1). 

_ Segundo, en el intervalo de tiempo de (τ0 + τ1) a (τ0 + τ1 + dτ1) el sistema 

hizo una transición desde S1 a S3; este evento toma un espacio en la 

probabilidad; Z1,3 (τ1) dτ1. 

_ Finalmente, el sistema estará en S3 desde (τ0 + τ1) hasta el tiempo t. Con 

probabilidad R3(t - τ0 - τ1). 

Así que la unión de probabilidad es el producto de sus probabilidades: 

t - τ0 

P1→3(t) = ∫ R1(τ1)R3(t - τ0 - τ1)Z1,3 (τ1) dτ1 (1.91) 

0 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(46)



Por integración de todos los posibles valores de τ0 obtenemos la probabilidad 

deseada P0→1→3(t): 

t 

P0→1→3(t) = ∫ P1→3(t,τ0)R0(τ0)Z0,1 (τ0) dτ0 (1.92) 

0 

La probabilidad P0→2→3(t) puede determinarse de la misma forma que 

P0→1→3(t). 

3). Sumando las tres posibilidades obtenemos la probabilidad de encontrar 

un sistema en S3 en el tiempo t: 

P3(S3,t) = P0→3(t) + P0→1→3(t) + P0→2→3(t) (1.93) 

1.14.3. EL METODO DE MONTE CARLO. 

La idea básica de este método es simular un gran número de sistemas y ver 

cómo y cuándo ellos cambian de estado con el tiempo. Este método será 

discutido mas tarde. 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(47)



1.15. EL DISEÑO MATEMATICO. 

Antes de iniciar cualquier diseño, debemos visualizar que el proceso de 

diseño consiste de tres fases que se interrelacionan: 

1.- El estudio de que puede realizarse, física y económicamente (estudio de 

factibilidad, "feasibility"). 

2.- Fase preliminar del diseño. 

3.- Fase detallada del diseño. 

Fase preliminar del diseño. Debemos tener en mente que nuestro objetivo 

es un diseño matemático, el cual involucra técnicas computarizadas para 

resolver el problema. 

El primer paso en la fase preliminar del diseño, depende del diseñador, quien 

selecciona la topología mas prometedora tomando como base el estudio de 

realizabilidad. 

El resto del diseño preliminar es ejecutado sobre una topología fija. El 

diseñador debe seleccionar valores para los componentes de tal manera que se 

obtenga el mejor circuito, deberá considerar la variación de los componentes y 

sus efectos ambientales. "Esta es la parte del diseño que se pretende 

implementar en una computadora". En la figura 1.21 se muestra una figura 

idealizada para las primeras dos fases del diseño. 

1.15.1. EL CONCEPTO DE UN SISTEMA. 

Nosotros definimos un sistema como un ensamble de componentes, unidos 

por alguna forma de interacción regular. 

Para nuestro caso los componentes son: resistencias, capacitores, diodos, 

transistores, circuitos integrados, etc.. 

En esta sección trataremos a un diseño como un sistema al que le 

definiremos sus entradas y sus salidas. 

La definición de una entrada es: Cualquier estímulo, o cualquier factor cuyo 

cambio involucra algún tipo de respuesta. 

Para nuestro propósito es conveniente trabajar con tres grupos de entradas 

llamadas: 

1. Parámetros de los componentes. Determinadas por el diseño. 

2. Condiciones de operación de los componentes. Determinan el estado del 

circuito en términos de su frecuencia de operación y los parámetros del 

medio ambiente. 

3. Entradas externas. Son las entradas verdaderas como voltaje, potencia, 

fuentes de alimentación, etc.. 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(48)



Figura 1.21.- (a) Estructura idealizada del proceso de un diseño. 

(b) Estructura común del proceso de un diseño. 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(49)



Listado de las entradas de un circuito electrónico. 

1. Parámetros de los componentes. 

2. Condiciones de operación: 

- Temperatura 

- Humedad 

- Vibración 

3. Entradas externas. 

- Fuentes de corriente y voltaje 

- Impedancia interna de la fuentes. 

- Ruido en las fuentes. 

- Potencia de las fuentes de voltaje. 

- Impedancia de la carga. 

- Inductancias y capacitancias parásitas. 

Una entrada aplicada a un sistema dará un resultado, el cual depende del 

sistema y la entrada. El resultado es llamado salida del sistema y las posibles 

salidas del sistema las dividiremos en dos: 

1. Salidas primarias. 

2. Salidas secundarias. 

Listado de salidas de un circuito electrónico . 

1. Salidas primarias: 

- Ganancia 

- Ancho de banda 

- Impedancias de entrada y salida 

- Frecuencia de oscilación 

- Distorsión 

- Linealidad 

- Salida de voltaje 

- Rizo de voltaje 

- Figura de ruido 

- Consumo de potencia 

- Peso 

- Volumen 

- Precio 

- Confiabilidad 

2. Salidas secundarias: 

- Voltajes a través de los componentes 

- Corrientes en los componentes 

- Potencia disipada en los componentes 

. - Temperaturas de unión . 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(50)



1.15.2. ESPECIFICACIONES DEL CIRCUITO. 

En el primer paso de la fase preliminar del diseño, se listan todas las 

entradas y salidas propias del circuito. El segundo paso es poner restricciones; 

como los límites superior e inferior de las salidas del circuito, las condiciones de 

operación y las entradas externas . El listado de estas variables con sus 

respectivos límites constituyen las especificaciones. 

Las restricciones sobre las variables de salida primarias son dictadas en 

parte por los requerimientos que iniciaron el proceso del diseño. Para el resto de 

las salidas el diseñador deberá analizarlas y poner restricciones razonables. Los 

requerimientos originales del diseño asignarán los parámetros de las 

condiciones de operación y las entradas del sistema. 

En un diseño en general el número de salidas será: y1, y2,....,yk, restringidas 

a valores fijos, mientras que el resto de las salidas yk+1, yk+2, ... ym tendrán un 

rango de valores permitidos, definidos por sus restricciones. Las restricciones 

también son establecidas a los parámetros de los componentes x1, x2,....,xn, a 

las condiciones de operación y a las entradas externas w1, w2,....,wp. 

La formulación matemática del problema del diseño en general es: 

x1,min ≤ x1 ≤ x1,min 

x2,min ≤ x2 ≤ x2,min (1.94) 

......................................... 

xn,min ≤ xn ≤ xn,min 

Para los parámetros de las condiciones de operación y las entradas externas: 

w1,min ≤ w1 ≤ w1,min 

w1,min ≤ w1 ≤ w1,min (1.95) 

................................ 

wp,min ≤ wp ≤ wp,min 

Ahora encontramos un conjunto de parámetros de los componentes x1, 

x2,....,xn, tales que: 

y1(x1, x2,....,xn ; w1, w2,....,wp) = y10 

y2(x1, x2,....,xn ; w1, w2,....,wp) = y20 (1.96) 

.......................................................... 

yk(x1, x2,....,xn ; w1, w2,....,wp) = yk0 

yk+1,min ≤ yk+1(x1, x2,....,xn ; w1, w2,....,wp) ≤ yK+1,max 

yk+2,min ≤ yk+2(x1, x2,....,xn ; w1, w2,....,wp) ≤ yK+2,max 

................................................................................................................... 

ym,min ≤ ym+1(x1, x2,....,xn ; w1, w2,....,wp) ≤ ym,max 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(51)



El conjunto de los parámetros de los componentes, las condiciones de 

operación y las entradas externas satisfaciendo todas las restricciones de las 

salidas para cualquier combinación darán una solución realizable al problema 

del diseño. 

Para ilustrar el concepto de la solución realizable, consideraremos el caso de 

únicamente dos variables de entrada y dos variables de salida. Este caso es 

ilustrado en la fig. 1.22. 

Figura 1.22.- Ilustración del concepto de un diseño, mostrando la región de la 

solución realizable con m=n=2 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(52)



1.16. MODELO MATEMATICO DE LA CONFIABILIADAD DE 

CORRIMIENTO Rd(t). 

La confiabilidad de un sistema depende de las fallas catastróficas y de las 

fallas por corrimiento. 

El evento de un sistema con éxito, significa que no falle el sistema, la 

definición de confiabiliadad representa la unión del evento de no falla 

catastrófica (nfc) y no falla por corrimiento (ndf). 

R(t) = P[ncf y ndf en el intervalo de tiempo (0,t)] (1.97) 

Aplicando la regla del producto para probabilidad condicional, podemos 

escribir que: 

R(t) = P[ndf en (0,t) | ncf en (o,t)] P[ncf en (0,t)] (1.98) 

c 

R(t) = Rd(t)Rc(t) (1.99) 

La confiabilidad aqui es definida como el producto de una confiabilidad por 

corrimiento condicional Rd(t) y una confiabiliadad catastrófica Rc(t). 

Consideramos que las fallas catastróficas y las fallas por corrimiento son 

independientes unas de otras. Entonces la confiabilidad por corrimiento 

condicional se convierte en una probabilidad incondicional: 

R(t) = Rd(t)Rc(t) (1.100) 

Entonces la confiabilidad ahora puede escribirse como: 

R(t)=P[ncf en (0,t) | ndf en (o,t)] P[ndf en (0,t)] (1.101) 

Considerando n las variables de entrada de un sistema, dependientes del 

tiempo x = [x1(t),x2(t),............xn(t)] y m las salidas y = [y1(t),y2(t),......,ym(t)]. 

Además, si consideramos que el sistema es ensamblado con componentes 

similares y observamos algunos de sus componentes en el tiempo t. Los valores 

de la n variables de entrada pueden considerarse variables aleatorias. La 

función de la unión de densidad de probabilidad de todas las entradas es: 

f(x,t) = f[x1(t),x2(t),............xn(t)]. En el caso donde todas las entradas variables 

son independientes f(x,t) es simplemente el producto de las funciones de 

densidad individuales: 

f(x,t)=f1(x1,t)f2(x2,t)...........fn(xn,t) (1.102) 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(53)



Para el caso de dos entradas n=2, f(x,t) se ilustra en la fig. 1.23. Para 

encontrar la probabilidad de encontrar x1 entre dos límites especificados y 

simultáneamente x2 entre otros dos límites, es necesario integrar doblemente la 

unión de la función de densidad de probabilidad entre los dos pares de valores 

especificados. Esto corresponde a calcular el tamaño del volumen entre la unión 

de la función de probabilidad y el plano (x1,x2), el cual tiene como base el 

rectángulo definido por el rango de x1 y el rango de x2. 

FIGURA 1.23.- Función de la unión de la densidad de probabilidad para dos 

variables estadísticamente independientes. 

Cuando se tienen n entradas variables, la unión de la función de densidad de 

probabilidad, puede ilustrarse por una superficie en el espacio (n+1), esto 

significa que las probabilidades pueden ser ilustradas por volúmenes de 

dimensión (n+1). 

Ahora Γx define la región de x valores bajo consideración. La probabilidad 

de encontrar x = [x1(t),x2(t),............xn(t)] en esta región es: 

∫ f(x)dx (1.103) 

Γx 

Si Γx incluye todos los valores posibles de x, la ecuación 1.103 es la unidad. 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(54)



Las salidas y1,y2,......,ym son forzadas a situarse dentro de los límites 

especificados. Si Γy es la región en el espacio de los parámetros de entrada, 

donde los valores verdaderos de las m variables de salida satisfacen las salidas 

forzadas. Considerando un sistema con dos entradas obtenemos la fig.1.24. 

FIGURA 1.24.- Ilustración del problema de diseño para dos entradas y dos 

salidas n=m=2. 

Para encontrar la probabilidad de que un sistema no falle debido al 

corrimiento de x, en el ejemplo de un sistema con dos entradas, debemos 

integrar la unión de las funciones de densidad de probabilidad de las dos 

variables de entrada sobre la región sombreada de la fig.1.24. La región es 

definida como Γxy. Podemos decir que Γxy es la intersección de Γx y Γy . 

En el caso general de varias variables de entrada y varias variables de 

salida, la probabilidad de que un sistema (o circuito) reúna todas las 

especificaciones es: 

RΓ (t) = ∫ f(x,t)dx (1.104) 

Γxy 

En el tiempo t=0, RΓ(0) es la probabilidad de que un sistema recién fabricado 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(55)



reúna las especificaciones de salida. 

Entonces RΓ(t) es la probabilidad de que un dispositivo deberá funcionar sin 

falla, debido al corrimiento de los componentes desde un tiempo cero hasta un 

tiempo t. Esto es, RΓ(t) es una expresión para la confiabilidad de corrimiento 

Rd(t): 

Rd(t) = ∫ f(x,t)dx (1.105) 

Γxy 

Escribiendo la ecuación de Rd(t) de una forma mas general: 

Rd(t) = ∫ f(x)dx (1.106) 

Γxy 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(56)



1.17. METODOS PARA CALCULAR LA CONFIABILIDAD DE CORRIMIENTO 

DE UN SISTEMA. 

La integración de la integral múltiple para la confiabilidad de corrimiento, es 

posible únicamente en casos simples que raramente son de interés práctico. 

Además existen cuatro situaciones que incrementan la confiabilidad de un 

sistema: 

1. Todas las variables de salida son funciones lineales de las variables de 

entrada; las variables de entrada son estadísticamente independientes. 

2. Todas las variables de salida son funciones lineales de las variables de 

entrada; las variables de entrada son dependientes estadísticamente. 

3. Algunas o todas las variables de salida son funciones no lineales de las 

variables de entrada; las variables de entrada son estadísticamente 

independientes. 

4. Algunas o todas las variables de salida son funciones no lineales de las 

variables de entrada; las variables de entrada son dependientes 

estadísticamente. 

Existen cuatro técnicas las cuales pueden ser utilizadas para calcular la 

probabilidad (confiabilidad) de corrimiento de un sistema: 

1. Aproximación normal. 

2. Convolución. 

3. Método de mapeo directo. 

4. El método de Monte Carlo. 

1.17.1. LA APROXIMACION NORMAL. 

Si yi = (x1,x2,............xn) , i=1,2,..........,m. es la función de salida. 

Expandiendo cualquier función alrededor de su posible solución en un punto 

multidimensional (x1,0,x2,0,............xn,0) (aplicando la serie de Taylor): 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(57)



∞ 

y(x1,x2,............xn)= ∑ 1/k! [(x1 - x1,0) ∂/∂ x1 + (x2 - x2,0) ∂/∂ x2 + ............. 

k=0 

+ (xn - xn,0) ∂/∂ xn]k y(x1,x2,............,xn) (1.107) 

y → es cualquier variable de salida. 

∂ → indica la diferenciación parcial. 

Todas las derivadas son evaluadas en el punto: 

(x1,............xn) = (x1,0,............,xn,0) 

Considerando: µi= E(xi) = xi0 y (∆xi) n = (xi - µi)n 

y conservando sólo términos de primero y segundo orden: 

y(x1,x2,............xn) 

= y(µ1,µ2,.......,µn) 

+ [( ∂y/∂ x1)∆x1 + ( ∂y/∂ x2)∆x2 + ........... + ( ∂y/∂ xn)∆xn] 

+1/2 [( ∂ 2 y/∂ x 2 1)(∆x1) 2 + ( ∂ 2 y/∂ x 2 2)(∆x2) 2 + ........... + ( ∂ 2 y/∂ x 2 n)(∆xn) 2 ] 

+ [(∂ 2 y/(∂x1∂x2))∆x1∆x2 + (∂ 2 y/(∂x1∂x3))∆x1∆x3+ ........... 

+ (∂ 2 y/(∂xi∂xj)) ∆xi∆xj + ..........+ (∂ 2 y/(∂xn-1∂xn))∆xn-1∆xn] (1.108) 

i



n 

n n 

var(y) = σ2y = ∑ b2iσ2i + 2 ∑ ∑cov(xi,xj) (1.111) 

i=1 i=1 j=1 

i



entre sus valores nominales (ejem: φi = xi/xinom) entonces: 

∆yi= ai + biφi+ciφ²i (i=1,......,n) (1.114) 

Considerando una variable de entrada y una variable de salida. Y 

refiriéndonos a la la fig.1.25 para la discusión: 

Figura 1.25.- Mapeo de la función de densidad de probabilidad para una variable de 

entrada y una variable de salida. 

La probabilidad de la función de densidad para la entrada normalizada φi se 

muestra en el 4º cuadrante, definida por: 

0 para φi < 1 - λ1/2 

f(φi) = 1/l para 1 -λ1/2 ≤ φi ≤ 1 + λ1/2 

0 para φi > 1 + λ1/2 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(60)



La curva que relaciona la salida con la entrada es determinada evaluando los 

tres puntos de la curva (los tres puntos determinan ai, bi y ci de la Ec. 1.114): 

- Un punto es calculado usando el valor nominal de x1, que es, φ1=1. 

- Los otros dos puntos son determinados utilizando los valores de entrada: 

φ1=1+τ1 y φ1=1-τ1 

donde τ1 < λ1/2 típicamente τ1 = λ1/3 

Estos tres valores de y(φ1) así calculados son: y(1), y(1 + τ1) = y(1) + β1 

y(1 - τ1) = y(1) - α1 . 

Los incrementos ∆y=y(φ1) - y(1) → son usados como las variables 

dependientes. 

y 

La curva ∆y es ahora aproximada con una parábola, con ele eje vertical en el 

plano (φ1,∆y): 

donde: 

∆y = - C1 + C2((φ1 -1 )/τ1 - C3)² (1.115) 

C1 = ( α1 - β1)² / 8(α1 - β1) 

C2 = ( α1 + β1)/2 

C3 = ( α1 - β1)/2( α1 + β1) 

El resultado es mostrado en el segundo cuadrante. 

Integrando la función de la densidad entre los límites: ∆ymin =ymin - y(1) y 

∆ymax = ymax - y(1), obtenemos la probabilidad de éxito del circuito: 

∆ymax 

P(ymin < y < ymax) = ∫ f(∆y)d(∆y) (1.116) 

∆ymin 

La ecuación anterior puede calcularse por medio de integración numérica 

utilizando una computadora. 

Para preparar el método de convolución usando mas de una variable de 

entrada, introduciremos una aproximación discreta para la probabilidad de la 

función de densidad de probabilidad sobre cualquiera de los intervalos ∆. 

∆y será considerada como una variable aleatoria discreta con valores 

múltiplos de un incremento ∆, ∆ se selecciona de forma que f(∆y) no cambie 

rápidamente. 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(61)



Los valores discretos de ∆y son llamados k∆, donde k es un entero de rango 

-∞ a +∞ . Con cada valor de k∆ es asociada una probabilidad discreta Pk(∆y) 

de los valores continuos de ∆y, que caen en el rango de (2k - 1)∆/2 a 

(2k + 1)∆/2: 

(2k + 1)∆/2 

Pk(∆y) = ∫ f(∆y)d(∆y) (1.117) 

(2k - 1)∆/2 

Los valores de las probabilidades discretas son mostradas en la fig. 1.25. La 

probabilidad de "y" dentro de sus límites especificados, puede aproximarse 

sumando las probabilidades discretas dentro de estos rangos. Por ejemplo para 

la fig. 1.25 la sumatoria es: 

2 

P(ymin < y < ymax) ≈ ∑ Pk (1.118) 

k=-1 

La exactitud deseada puede obtenerse reduciendo los incrementos ∆. 

1.17.3. EL METODO DE MAPEO DIRECTO. 

Es un método directo para calcular la probabilidad de éxito de un circuito 

cuando dos o mas variables de salida son involucradas. Para ilustrar el método 

consideraremos el caso lineal, de variables de entrada estadísticamente 

independientes y un sistema con dos variables de salida (m=2). 

Las salidas y1 y y2 son funciones lineales de las entradas estadísticamente 

independientes x1,x2,......xn. 

Para simplificar la presentación, cada variable de entrada tomará tres valores 

discretos, su valor nominal y sus límites de tolerancia, y le asignaremos a cada 

valor una cierta tolerancia. 

Por medio de la fig.1.26 ilustraremos el método variando la variable de 

entrada normalizada φ1: 

- Los puntos (y10 , y20) en el plano (y1, y2) corresponden a las salidas cuando 

todas las variables de entrada tienen su valor nominal. 

- Incrementando φ1 a su límite superior y manteniendo todas las otras 

entradas constantes, obtenemos el punto No. 2. 

- El punto número 3 refleja el resultado de decrementar φ1 a su límite inferior. 

- La probabilidad de alcanzar el punto 1 es la probabilidad de que todas las 

variables de entrada inicien en su valor nominal. 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(62)



- La probabilidad de iniciar en el punto 2 es la unión de la probabilidad de que 

φ1 inicie en su límite superior y el resto de las entradas en su valor nominal. 

Similar al punto 3. 

- Las otras variables de entrada se varían en forma similar alrededor de los 

puntos 1,2 y 3. Con cada punto se asocia una probabilidad. Por ejemplo; la 

probabilidad de obtener el punto 6 es la unión de la probabilidad de que φ1, φ2 

estén en sus límites superiores. 

FIGURA 1.26.- Espacio de los parámetros de salida para m=2, en el plano (y1,y2). 

El obtener los puntos y probabilidades es relativamente simple, porque 

resultan de la relación lineal entre las variables de salida (y1, y2) y las variables 

de entrada. 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(63)



1.17.4 EL METODO DE MONTECARLO 

Con el uso de las computadoras el método de montecarlo ha logrado 

incrementar su uso en la simulación de problemas. 

La aplicación que debemos tener en mente, es la simulación en la 

computadora de un proceso el cual toma un espacio (nace) en la corrida de un 

producto. El circuito o sistema es ensamblado usando componentes tomados 

aleatoriamente de sus contenedores. Los parámetros de estos componentes 

siguen alguna función de densidad dentro de los límites de tolerancia. 

Trasladando este problema a una computadora: 

El primer paso, es escribir un programa en la computadora para calcular el 

valor verdadero de los 'm' parámetros de salida como una función de los valores 

verdaderos de los 'n' parámetros de entrada. 

El segundo paso, es obtener o postular la forma de la función de densidad 

de probabilidad para los valores de los parámetros de entrada. 

Dentro de la computadora un generador de números aleatorios es usado 

para obtener valores de estas densidades. Después de obtener un conjunto de 

valores verdaderos de entrada, son metidos en el programa y los verdaderos 

parámetros de salida son calculados. Si cualquier valor de la salida viola los 

límites especificados el circuito es rechazado. 

El mismo procedimiento es realizado una y otra vez, cuando un número 

adecuado de circuitos ha sido simulado de esta manera, el resultado es 

estimado calculando el número de circuitos aceptados Ns entre el total del 

número de circuitos simulados N: 

Rd = Y = Ns/N (1.119) 

El resultado estimado es una variable aleatoria con distribución binomial. El 

método de Montecarlo nos da una mejor estimación de Rd mas un intervalo de 

confianza. 

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL. 

Al aplicar el método de Montecarlo, el resultado de cada circuito es 

almacenado dentro de dos grupos mutuamente exclusivos: éxito o falla, 

aceptación o rechazo. Si la verdadera probabilidad de éxito es p, la probabilidad 

de exactamente Ns éxitos en N intentos independientes es: 

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Pag.(64)



La ecuación anterior es conocida como; densidad de probabilidad binomial 

para una prueba de Bernulli, con valor medio y varianza igual a: 

Media E(Ns) = Np 

Varianza Var(Ns) = Np(1-p) (1.121) 

La cantidad 'p', es el resultado verdadero o probabilidad de un circuito con 

éxito, que estamos tratando de evaluar. El estimador para p es p: 

p = Número de éxitos / Número de intentos 

Sin embargo el valor de p, en general, difiere algunas veces de p. Por eso en 

la figura 1.27 se muestran los intervalos para un 95% de confianza. 

El uso de la gráfica es fácil: 

- Con el valor estimado o calculado de p en el eje X se dibuja una línea 

vertical hacia arriba hasta interceptar el par de curvas pertenecientes al 

particular tamaño de muestra. 

- Se proyectan estas dos intersecciones horizontalmente hasta el eje Y. De 

esta forma obtenemos el intervalo para el parámetro estimado. " La probabilidad 

es 0.95 que el intervalo dibujado de esta manera incluya el parámetro". 

Ejemplo: 

Si N=250, Errores =50 

La probabilidad de error = Errores/N=50/250=0.2 

Usando la fig. 1.27, podemos decir con probabilidad de 0.95: "La probabilidad 

verdadera de error está incluida en el intervalo de 0.15 a 0.27". 

FIGURA 1.27.- Intervalos del 95% de confianza para una variable distribuida 

binomialmente. 

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Pag.(65)



IMPORTANCIA DEL PRINCIPIO DE MUESTREO. 

Para poder demostrar la importancia del principio de muestreo primero 

necesitamos una medida útil de la eficiencia de dos métodos de Montecarlo. 

Definimos ER como la eficiencia del método 2 relativa a la eficiencia del 

método 1. 

ER = n1σ²1 / n2σ²2 (1.123) 

donde: 

n1, n2 → Unidades de tiempo de cálculo empleadas por el método 1 y 2 

respectivamente, Comúnmente puede ser el tamaño de la 

muestra. 

σ²1, σ²2 → Varianza del método 1 y del método 2. 

Considerando el ejemplo de la ganancia de un amplificador "A", que se 

define por el valor de dos resistencias: 

A= (R1 + R2)/R1 (1.124) 

Si a R1 y R2 les damos los valores nominales de 20Ω y 500Ω 

respectivamente y un 10% de tolerancia. El valor nominal de A=26. 

Los valores de R1 y R2 son llamados X1 y X2 los cuales tienen una función 

de densidad de probabilidad f1(X1) y f2(X2), Si consideramos que X1 y X2 

tienen una distribución uniforme (no deseada en casos reales): 

f(X1) = 1/4 para 18 < X1 < 22 

f(X1) = 0 para X1≤18 y X1≥22 (1.125) 

f(X1) = 1/100 para 450 < X1 < 550 

f(X1) = 0 para X1≤450 y X1≥550 (1.126) 

y = (X1+X2)/X1 (1.127) 

Si deseamos que el valor verdadero de la amplificación 'y' sea mayor que 

23.5 y menor que 28.5 entonces: 23.5 < y < 28.5. 

METODO 1: METODO CRUDO DE MONTECARLO (DE APROXIMACION 

DIRECTA) 

Cada vez que seleccionamos un par de valores de (X1, X2) aleatoriamente, 

calculamos el valor correspondiente a 'y', y observamos si éste se encuentra en 

el rango de interés. Seleccionamos N pares de valores aleatorios de X1 y X2, 

_____________________________________________________________________________ 


Pag.(66)



correspondientes a N puntos aleatorios que caerán dentro del rectángulo 

'BDGIB' de la fig. 1.28. 

Si Ns de los pares tienen un resultado 'y' dentro de 23.5 a 28.5, significa que 

los Ns puntos correspondientes están localizados dentro del hexágono 

'JCDFHIJ'. De acuerdo con las ecuaciones 1.125 y 1.126 Ns tiene una densidad 

binomial: 

donde p=0.75 

Y1 = N / Ns y E(Y1)=N(0.75) (1.129) 

Varianza Var(Ns) = Np(1-p)= (3/16)N (1.130) 

FIGURA 1.28.- Espacio bi-dimensional de los parámetros de entrada. 

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Pag.(67)



METODO 2: IMPORTANCIA DEL MUESTREO 

Para entender la aplicación de la importancia del muestreo debemos explorar 

algunas ideas sobre la región en donde 23.5



ER = (3/16)N / (1/16)N = 3 

O sea que, el método de muestreo resultó 3 veces mas eficiente que el 

método de aproximación directa. 

ESTIMACION DE LA DIFERENCIA DE RESULTADOS. 

Cuando tenemos dos diseños y queremos decir cuál es el mejor, Si el diseño 

A tiene como resultado Ya y el diseño B tiene como resultado Yb, es suficiente 

calcular (Ya - Yb) con tal exactitud que la diferencia en signo sea correcta. 

Cuando el tamaño de la muestra N es razonablemente grande Ya y Yb, están 

binomialmente distribuidos. 

La siguiente tabla muestra el número de circuitos el cual deben ser 

simulados usando el diseño A y después usando el diseño B. Luego el diseñador 

puede decir con un nivel de confianza del 95%, cual de los dos diseños tiene el 

mas alto resultado o la mas alta confiabilidad: 

Diferencia en el El mayor de los Tamaño 

resultado (Ya-Yb) resultados Ya, Yb de la muestra 

-------------------------------------------------------------------------------------------------- 

0.90 68 

0.10 

0.80 100 

-------------------------------------------------------------------------------------------------- 

0.90 235 

0.05 

0.80 375 

-------------------------------------------------------------------------------------------------- 

0.99 797 

0.01 

0.90 5060 

-------------------------------------------------------------------------------------------------- 

Tamaño de la muestra para cálculos de resultados, por el método 

de Montecarlo. El nivel de confianza es del 95%. 

ejemplo: Si el resultado mayor es conocido y es de 90%. Considerando el 

caso en donde la verdadera diferencia del resultado es de el 5%. Entonces 

aplicando la tabla anterior, podemos decir con un 95% de confianza, El tamaño 

de la muestra para una verdadera probabilidad de éxito es de N=235. 

Podemos observar de la tabla anterior; que entre menor sea la diferencia del 

resultado es mayor el número de circuitos que se deben simular. 

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Pag.(69)



1.18. BASES PARA LA PREDICCION DE RESULTADOS Y CONFIABILIDAD 

POR CORRIMIENTO. 

Para el análisis estadístico que queremos realizar, es necesario que 

tengamos datos que describan las funciones de densidad de probabilidad en el 

tiempo de producción, t=0, y de la vida de los componentes. 

En general, datos para la distribución de los parámetros de los componentes 

en t=0, deben ser suministrados obligatoriamente, por los fabricantes de 

componentes. 

1.18.1. COMPONENTES DISCRETOS. 

La forma de la función de densidad, para la mayoría de los parámetros de los 

componentes discretos es aproximadamente "Normal" (Gaussiana), cuando 

dejan la línea de producción. 

Por ejemplo: Para resistencias de carbón, cuya distribución de densidad es 

mostrada en la fig.1.29. 

- La población normal en la fig.1.29a, muestra que los límites de tolerancia 

para resistencias con un 10% de tolerancia, están entre +/- 3σ. del valor medio 

de la distribución normal. Esto ocurrirá en una producción estable de la cual se 

obtendrá una alta calidad de componentes, en el que sólo un 3/10% de la 

población caerá fuera de los límites establecidos (+/- 3σ). 

- Para resistencias del 1%, los límites de tolerancia están situados de 

acuerdo con la fig. 1.29b (+/- 1σ) y para resistencias del 5% son mostrados por 

la fig.1.29c (+/- 2σ). 

FIGURA 29.- Función de la distribución de probabilidad para resistencias de carbon. 

a) Distribución Normal truncada. b) Resistencias al 1% c) resistencias al 5% 

d) Resistencias al 10%. 

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Proceso de selección similar es utilizado para transistores, en donde la base 

es la ganancia de corriente. 

Como mencionamos al principio, los fabricantes deben publicar información 

detallada sobre la distribución de los parámetros en el tiempo t=0. 

Ocasionalmente también muestran el corrimiento de los parámetros como una 

función del tiempo. Ejemplos son ilustrados en las siguientes figuras: 

FIGURA 1.30.- Corrimiento de los parámetros de los componentes con respecto al 

tiempo. 

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1.18.2. CIRCUITOS INTEGRADOS. 

Primeramente consideraremos los factores que intervienen en la tolerancia 

de un circuito integrado. Los parámetros de cualquier elemento integrado son 

determinados por las propiedades de el material del cual los elementos están 

hechos y por las tres dimensiones de sus capas. 

La tolerancia en circuitos integrados usualmente es mayor que la de los 

componentes discretos. Pero, los circuitos integrados tienen algunas ventajas 

con respecto al problema de la tolerancia: 

- En un circuito integrado los cambios en varias de las propiedades de las 

capas son graduales. 

- Todos los componentes de un C.I. trabajan a una temperatura similar 

durante su operación. 

La ganancia de corriente en transistores integrados es inversa al ancho de su 

base. La fig.1.31 muestra una distribución para resistencias de película 

delgadas y de la ganancia de corriente en transistores. 

Actualmente, la mayoría de los fabricantes en las especificaciones de sus 

componentes incluye la información suficiente del comportamiento de los C.I. 

con respecto a variaciones como temperatura, fuentes de alimentación, razón de 

falla etc. 

Figura 1.31.- Distribución para resistencias de película delgada o ganancia de 

corriente en transistores. 

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Unidad I (Documento en revisiÃ³n v-1.0) I. CONFIABILIDAD. 1.1 ...

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