IntegraLAB: Un software para integración de funciones y solución ...

SISTEMAS E INFORMÁTICAIntegraLAB: Un software para integraciónde funciones y solución de ecuacionesdiferenciales por métodos numéricosRecepción: Agosto de 2006 / Aceptación: Noviembre de 2006(1)Edgar Ruiz LizamaRESUMENEl trabajo presenta el diseño eimplementación de un software que tiene pornombre IntegraLAB el cual sirve como unaherramienta para resolver problemas deintegración de funciones y solución deecuaciones diferenciales ordinariasaplicando métodos numéricos. El softwareha sido probado en cuanto a sus resultadostomando funciones cuyos resultados sonconocidos y presentados en la literaturasobre métodos numéricos y luegocontrastados con los obtenidos o devueltospor IntegraLAB, encontrado precisión yexactitud en conformidad con los resultadosesperados.Palabras Clave: Software para integración,métodos de integración numérica,graficación de funciones, java.INTEGRALAB: A S OFTWARE FORFUNCTIONS' INTEGRATION AND SOLUTIONOF DIFFERENTIAL EQUATIONS THROUGHNUMERICAL METHODS.ABSTRACTThis work presents the design andimplementation of a software whose name isIntegraLAB, which can be used as a tool tosolve functions' integration problems, and forthe solution of ordinary differential equationsthrough applying numerical methods. As forits results, the software has been testedtaking functions whose results are known,and have been presented in literature aboutnumerical methods, and then contrasted withthose obtained or given back by IntegraLAB.Accuracy and exactness have been foundaccording to the expected results.Key words: Integration Software, numericintegration methods, functions graphitizing,java.ELPROBLEMAEl problema es la creación de un software que sirva como herramientapara resolver problemas de integración de funciones y ecuaciones diferencialesordinarias aplicando métodos numéricos.SITUACIÓNACTUALLa aplicación de los métodos numéricos a problemas de ciencias e ingenieríaempleando herramientas computacionales es significativa. Los productossoftware como MATLAB de MathWorks, MATCAD, EUREKA,SOLVER, y TOOLKIT son muy utilizados.OBJETIVOSObjetivo generalEl objetivo general es escribir un software que aplique métodos numéricosen la solución de problemas de integración de funciones y ecuacionesdiferenciales ordinarias.Objetivos especifícos1. Escribir un software de calidad acorde con los principios de la Ingenieríade software.2. Simplificar el empleo de un método numérico aplicado a la evaluaciónde la integral de una función o la solución de una ecuación diferencialordinaria. Por ejemplo; utilizando una calculadora de mano, obteneruna solución podría tomar algunos minutos. El software elaborado deberáobtener la solución en pocos segundos, reduciendosustancialmente las tareas de cálculo o proceso.JUSTIFICACIÓN DEL SOFTWARELos programas software que existen en el mercado son hechos por compañíasinternacionales, no existiendo productos similares desarrolladosen el país. Por ello se asume el reto de escribir un software nacional, decalidad que sirva como herramienta en la resolución de problemas deintegración de funciones y de ecuaciones diferenciales ordinarias, utilizandolos algoritmos que proveen los métodos numéricos, las estructurasde datos y la ingeniería del software.(1) Magíster en Informática. Profesor del Departamento de Ingeniería de Sistemas e Informática, UNMSM.E-mail: eruizl@unmsm.edu.peInd. data 9(2), 200661

SISTEMAS E INFORMÁTICA>>> IntegraLAB: Un software para integración de funciones y solución de ecuaciones diferenciales por métodos numéricosPERFIL DEL USUARIOIntegraLAB es un software de propósito específico,dirigido a la solución de problemas ciencias e ingenieríaque tengan que ver con el cálculo de integralesy resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.Por ello los usuarios del software deberán tener elsiguiente perfil:1. Conocimiento de los métodos numéricos y susaplicaciones, lo cual implica también conocimientobásico del cálculo diferencial e integral.2. Saber formular adecuadamente la ecuación o funciónque resuelve un problema.3. Tener capacidad para el análisis e interpretacióncorrecta de la solución que entregue el software.ESTRATEGIA DE SOLUCIÓNEl entorno de desarrollo para el software es el modográfico utilizando: el lenguaje de programación Java,los conceptos de compiladores y sus algoritmos, lasestructuras de datos y la utilización de los métodosnuméricos para resolver la integración de funciones yla solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.CRITERIOS DE ACEPTACIÓN1. Teniendo problemas y/o funciones conocidas se usaránsus resultados como testigos, para confrontarloscon los resultados que entregue el programa.2. El tiempo de proceso de cálculo debe ser mínimo.3. Facilidad y simplicidad de uso del software.DISEÑO DEL SOFTWARE IntegraLABPara el diseño del software IntegraLAB, se consideranlos principios de abstracción, modularidad, ocultamientode la información, estructura y verificación.El diseño de pantalla del menú principal (ver la figura1) contiene las siguientes opciones: Archivo, Edición,Integración, EDO’s y Ayuda.El menú 1: Archivo; contiene las opciones: Nuevo,Abrir, Guardar, Salir.El menú 2: Edición; contiene las opciones: Cortar,Copiar, Pegar y Colorear.El menú 3: Integración; contiene las opciones:Newton-Cotes, Gauss-Legendre y Gauss-Laguerre.El menú 4: EDO’s; contiene las opciones: Básicas,y Sistemas EDO’s.El menú 5: Ayuda; contiene las opciones: Ayuda yAcerca de.Al elegir la opción: Integración, Newton-Cotes se tienela ventana que muestra la figura 2, donde se presentala solución a la raíz cuadrada de x en el intervalo [0,4]por el método del trapecio compuesto con n =10 .Si por el contrario se elige la opción Integración,Gauss-Legendre produce la salida mostrada en lafigura 3.Figura 7. Ventana principal de IntegraLAB.62Ind. data 9(2), 2006

SISTEMAS E INFORMÁTICAEdgar Ruiz L. >>>Figura 2. Menú Integración Newton-Cotes.Figura 3. Menú Integración Gauss-Legendre.El software IntegraLAB, posee un ambiente que permitevisualizar la gráfica de una función. El archivoGraphDialog.java se encarga de graficar funciones.La figura 4 presenta una ejecución para la funciónsin(3.141459*x) en el intervalo [0,4].IMPLEMENTACIÓN DEL SOFTWAREIntegraLAB es un software que ha sido escrito entres grandes clases a saber:a) La clase Parserb) La clase IntegraLAB yc) La clase GraphDialog.La clase ParserPara evaluar expresiones, se hace uso de las técnicasutilizadas en el diseño de compiladores. La descripcióncompleta de esta clase se encuentra en [10].La clase IntegraLABLa clase IntegraLAB permite elaborar la interfase deusuario GUI. Esta hace uso de los paquetes swing.*,awt.*, io.*, que Java posee. Con ellos se construyela Ventana de ejecución del software, junto con susmenús y las diversas opciones que han sido mostradasen el diseño del software IntegraLAB. Allí tambiénse encuentra el código en Java de los métodosde integración y solución de ecuaciones diferencialesordinarias que se utilizan.La clase NewtonDialogEsta clase permite presentar el cuadro de diálogoque permite insertar o introducir en cuadros de texto:la función a integrar, los límites de integración,número de intervalos. Adicionalmente permite escogerlas opciones (Trapecio, Simpson 1/3, Simpson3/8 y Boole), finalmente presenta la solución o respuestaencontrada por el algoritmo seleccionado enopciones.La función miembro algor( ) se encuentra sobrecargaday permite la selección de los algoritmos numéricos,escritos para el software. En las figuras 5, 6,7, 8 y 9; se presenta el código de cada uno de losmétodos numéricos empleados por esta clase.// Algoritmos numericos implementadosdouble algor(int metodo,double a,double b,int n){ double y=0;switch(metodo){case 1: y = trapecio(a,b,n); break;case 2: y = simpson13(a,b,n); break;case 3: y = simpson38(a,b,n); break;case 4: y = boole(a,b,n); break;}return y;}Figura 4. Graficando una función.Figura 5. Función miembro algor.Ind. data 9(2), 200663

SISTEMAS E INFORMÁTICA>>> IntegraLAB: Un software para integración de funciones y solución de ecuaciones diferenciales por métodos numéricosprivate double trapecio(double a,double b,int n){ double h = (b-a)/n;double x;Parser p = new Parser(lexema);double suma = 0;for(int i=1;i

SISTEMAS E INFORMÁTICAEdgar Ruiz L. >>>double algor(double a,double b,int n){ double[][] x=new double[7][4];double[][] w=new double[7][4];x[2][1]=0.577350269189626; w[2][1]=1.000000000000000;x[3][1]=0.000000000000000; w[3][1]=0.888888888888888;x[3][2]=0.774596669241483; w[3][2]=0.555555555555555;x[4][1]=0.339981043584856; w[4][1]=0.652145154862546;x[4][2]=0.861136311594053; w[4][2]=0.347854845137454;x[5][1]=0.000000000000000; w[5][1]=0.568888888888889;x[5][2]=0.538469310105683; w[5][2]=0.478628670599366;x[5][3]=0.906179845938664; w[5][3]=0.236926885056189;}x[6][1]=0.238619186083197; w[6][1]=0.467913934572691;x[6][2]=0.661209386466265; w[6][2]=0.360761573048139;x[6][3]=0.932469514203152; w[6][3]=0.171324492379170;Parser p=new Parser(lexema);double suma;double y=0,c,d,z;c=0.5*(a+b); d=0.5*(b-a);z=d*x[n][1];if(Math.floor(n/2)!= Math.floor((n+1)/2))suma=d*w[n][1]*p.getValue(z+c);elsesuma=d*w[n][1]*(p.getValue(-z+c)+ p.getValue(z+c));for(int i=2;i

SISTEMAS E INFORMÁTICAEdgar Ruiz L. >>>private double rk2(double a,double b,double y0,int n){double h=(b-a)/n;double x=a,y=y0;double k1,k2;Parser p=new Parser(lexema);arreglo=new String[n+1];arreglo[0]=decimales2.format(x)+" "+ decimales5.format(y);for(int i=1;i

SISTEMAS E INFORMÁTICA>>> IntegraLAB: Un software para integración de funciones y solución de ecuaciones diferenciales por métodos numéricosdouble algor(double a,double b,int n,double y0,double z0){ // RK4 para sistema de ecuaciones EDOdouble h=(b-a)/n;double x=a,y=y0,z=z0;double k1,k2,k3,k4;double q1,q2,q3,q4;Parser p1 = new Parser(lexema1);Parser p2 = new Parser(lexema2);arreglo = new String[n+1];arreglo[0]=decimales2.format(x)+" "+decimales5.format(y)+" "+ decimales5.format(z);for(int i=1;i

SISTEMAS E INFORMÁTICAEdgar Ruiz L. >>>El constructor de GraphPanel permite especificar los elementosdel gráfico, tales como, cadena a evaluar y loslimites del gráfico; e invocar al método graph( ) para construirel gráfico. La figura 23 presenta este constructor.El método graph( ), permite construir el gráfico en elobjeto g a Graphics; su algoritmo se presenta en elpseudo código de la figura 24.PRUEBAS DEL SOFTWARELas pruebas son de suma importancia para todo proyectosoftware y permiten observar si los resultadoso respuestas entregados por el software son o no losesperados o correctos.Las pruebas hechas a IntegraLAB, se realizan parapublic GraphDialog(Frame owner){ super(owner, "Graph", true);JTextField funcionText;JTextField aTest;JTextField bTest;final JButton goOK;final JButton btOK;panel=new GraphPanel(lexema,limiteA,limiteB);getContentPane().add(panel, BorderLayout.CENTER);panel.setBackground(Color.cyan);JLabel lbl = new JLabel();JPanel p = new JPanel();Border b1 = new BevelBorder(BevelBorder.LOWERED);Border b2 = new EmptyBorder(5, 5, 5, 5);lbl.setBorder(new CompoundBorder(b1, b2));p.add(lbl);JPanel p3=new JPanel();p3.setBorder(new TitledBorder(new EtchedBorder(),”Datos”));JPanel p1=new JPanel();p1.add(new JLabel("f(x)"));// . . . continuaFigura 22. Tareas 1, 2 y 3 del constructor GraphDialog// panel para el grafico o curvaclass GraphPanel extends JPanel{ private Point2D last;private ArrayList lines;private ArrayList points;private double scalaX, scalaY, max, min;private String lexema;private double a, b;private DecimalFormat decimales4 =new DecimalFormat("0.0000");private static final double Dx = 0.005;private static final double X0 = 50,Y0 = 50;private static final double ANCHO = 400, ALTO = 250;public GraphPanel(String lexema, double a,double b){ this.lexema = lexema;this.a = a;this.b = b;graph();}Figura 23. La clase GraphPanel y su constructorAlgoritmo graph ( )Computar puntos del graficoComputar escala para X y para YDeterminar el primer punto del graficoGraficar todos los puntos en modalidad animada en el panel.End graph( )Figura 24. Pseudo código para graph( )Ind. data 9(2), 200669

SISTEMAS E INFORMÁTICA>>> IntegraLAB: Un software para integración de funciones y solución de ecuaciones diferenciales por métodos numéricoscada método numérico implementado; pero por cuestionesde espacio solo se presentan dos de integracióny dos de ecuaciones diferenciales ordinarias.Para ello se emplean funciones tomadas de las referenciascomo funciones testigo y luego se comparanestos resultados con los entregados porIntegraLAB.MÉTODOS DE INTEGRACIÓNPrueba para el método del TrapecioPara probar este método se toma como función testigo,el ejemplo 4.1 [Nakamura S., Pág. 111-112]. Alejecutar IntegraLAB, y escoger la opción integración,Newton-Cotes, y luego el método del trapecio paraEjemplo 4.1: El cuerpo de revolución que se muestra en la figura 25, se obtiene al girar la curva dada2por y = 1+( x / 2) ,0 ≤ x ≤ 2 , en torno al eje x. Calcule el volumen utilizando la regla extendida deltrapecio con N = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. El valor exacto es I = 11.7286. Evaluar el error para cada N.YXX = 0X = 2Figura 25: Un cuerpo de revolución(Solución)El volumen está dado porDonde,I2= ∫0f ( x)dx2⎛ ⎞( ) ⎜ ⎛ x ⎞f x = π 1+⎟⎜ ⎟2⎝ ⎝ ⎠ ⎠2A continuación aparecen los cálculos para N = 2 y 4:N = 2: h = 2 /2 = 11I = f (0) + 2 f (1) + f (2) = 0.5π1+2(1.5625) + 42= 12.7627[ ] [ ]N = 4: h = 2 / 4 = 0. 50.5I = [ f (0) + 2 f (0.5) + 2 f (1) + 2 f (1.5) + f (2)]2= 11.9895Las integraciones con los demás valores de N se presentan en la tabla 1Tabla 1: Resultados de aplicar el método del trapecioN h I h E h2 1. 12.7627 -1.03414 0.5 11.9895 -0.26098 0.25 11.7940 -0.065416 0.125 11.7449 -0.016332 0.0625 11.7326 -0.004064 0.03125 11.7296 -0.0010128 0.015625 11.7288 -0.0002Valor exacto 11.7286Error absoluto E hSe puede observar que el error decrece en forma proporcional a2h .70Ind. data 9(2), 2006

SISTEMAS E INFORMÁTICAEdgar Ruiz L. >>>Cuadro 1. Resultados de IntegraLAB * para el método del trapecioN H I h E h1.12.76270.511.98960.2511.79400.12511.74500.062511.73270.0312511.72960.01562511.7289248163264128(*) Se han redondeado los resultados a cuatro dígitos significativos-1.0341-0.2610-0.0654-0.0164-0.0041-0.0010-0.0003la función 3.14159*(1+(x/2)^2)^2; en un intervalo de[0,2], con tamaños de N diferentes en cada corrida;se tiene el cuadro 1. Como se observa los resultadosentregados por el software son los esperados y laspequeñas discrepancias se atribuyen a los efectosproducidos por los errores de redondeo.Prueba para Simpson 3/8 y la Regla de BoolePara probar Simpson 3/8 se toma el Ejemplo 7.2[Mathews, John; pag.377]xEjemplo 7.2. Queremos integrar la función f ( x)= 1+e− sen(4x)en el intervalo [a,b]=[ 0,1].Para ello vamos aplicar las fórmulas de las regla del trapecio, regla de Simpson 1/3, regla de Simpson3/8 y la regla de Boole.(Solución)Para la regla del trapecio tenemos h = 1 y el resultado es1 1∫ f ( x)dx ≈ ( f (0) + f (1))021= (1.00000+0.72159) = 0.860792Para la regla de Simpson tenemos h = 1/ 2 y el resultado es1 1/ 2 1∫ f ( x)dx ≈ ( f (0) + 4 f ( ) + f (1))0321= (1.00000+4(1.55152) + 0.72159) = 1.321286Para la regla de Simpson 3/8 tenemos h =1/ 3y el resultado es1 3(1/ 3) 1 2∫ f ( x)dx ≈ ( f (0) + 3f( ) + 3f( ) + f (1))083 31= (1.00000 + 3(1.69642) + 3(1.23447) + 0.72159) = 1.314408Para la regla de Boole tenemos h =1/ 4 y el resultado es1 2(1/ 4)1 1 3∫ f ( x)dx ≈ (7 f (0) + 32 f ( ) + 12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1))0454 2 41= (7(1.00000) + 32(1.65534) + 12(1.55152)90+ 32(1.06666) + 7(0.72159) = 1.30859El valor exacto de esta integral definida es21e−4cos(4) − sen(4)∫ f ( x)dx = = 1.3082506046426...17eAsí que la aproximación 1.30859 dada por la regla de Boole es la mejor.Ind. data 9(2), 200671

SISTEMAS E INFORMÁTICA>>> IntegraLAB: Un software para integración de funciones y solución de ecuaciones diferenciales por métodos numéricos−xCuadro 2. Resultados de IntegraLAB para f ( x)= 1+e sen(4x)Método numérico Resultado Ih E hTrapecioh =1, n = 10.8607939604744832 0.4474566441681168Simpson a 1/3h =1/ 2 , n = 2 1.3212758322698817 -0.0130252276272817Simpson a 3/8h =1/ 3 , n = 31.3143968149336276 -0.0031462102910276Booleh =1/ 4 , n = 41.3085919215646966 -0.0003368611004366Los resultados al ejecutar la función 1+eXp(0-x)*sin(4*x) en el software IntegraLAB se presentanen el cuadro 2.Se observa que los resultados son los esperados ysimilares a los de la función testigo.MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONESDIFERENCIALESORDINARIASPrueba para el método de HeunPara probar el método de Heun se utiliza el ejemplo9.6 [Mathews, John; pag.484 ]. La función ingresadaEjemplo 9.6: Vamos a usar el método de Heun para resolver el problema' t − yy = en [ 0,3]con y ( 0) = 121 1 1y a comparar las soluciones obtenidas con h =1, , , y .2 4 8En la figura 26, se muestran las gráficas de las dos primeras soluciones dadas por el método de Heun− t / 2y la gráfica de la solución exacta y(t)= 3e−2+ t . En la tabla 3 se recogen los valores de lascuatro soluciones en algunos nodos. Un cálculo típico, que hacemos con el tamaño de pasoh = 0.25 , sería0 −1f ( t0 , y0)= = −0.5,p1= 1.0 + 0.25( −0.5)= 0.87520.25 − 0.875f ( t1,p1)== −0.3125,2y = 1.0 + 0.125( −0.5−0.3125)= 0.89843751La iteración continúa hasta que lleguemos al último pasoy ( 3) ≈ y12 = 1.511508 + 0.125(0.619246 + 0.666840) = 1.672269yh = 1h = 1/21.0y = y(t)0.5t0.00.5 1.0 1.52.0Figura 26: Comparación de las soluciones obtenidas con el método de Heun con diferentes'tamaños de paso para y ( t − y)/2 0 ,3 con la condición inicial y ( 0) = 1.= en [ ]'y = ( t − y)/ 2 [ 0,2]y( 0) = 172Ind. data 9(2), 2006

SISTEMAS E INFORMÁTICAEdgar Ruiz L. >>>Tabla 3. Comparación de las soluciones obtenidas con el método de Heun con diferentes tamaños'de paso para y ( t − y) / 2 0 ,2 con la condición inicial y ( 0) = 1.= en [ ]tk0.00.1250.250.3750.500.751.001.502.002.503.00h = 1 h = 1/ 2 h = 1/ 4 h = 1/ 81.00.875001.1718751.7324221.00.843750.8310550.9305111.1175871.3731151.682121yk1.00.8984380.8380740.8140810.8221960.9201431.1068001.3625931.6722691.00.9433590.8977170.8624060.8368010.8123950.8202130.9178251.1043921.3602481.670076y ( t k)Exacto1.00.9432390.8974910.8620870.8364020.8118680.8195920.9171001.1036381.3595141.669390a IntegraLAB para esta prueba es (x-y)/2.El cuadro 3 presenta los resultados del software. Nuevamenteobservamos que los resultados entregadospor IntegraLAB son los esperados.La función ingresada a IntegraLAB para esta pruebaes: –y +x^2+1; con a = 0.0, b = 2.0, y el valor inicialción desde la línea de entrada.Prueba para el método de Runge-Kutta RK4Para probar Runge-Kutta de orden cuatro su utiliza elejemplo 3 [BURDEN Richard L. y FAIRES J. Douglas;pag 278-279].La función ingresada a IntegraLAB para esta pruebaes: –y +x^2+1; con a = 0.0, b = 2.0, y el valor inicialción desde la línea de entrada. Nuevamente los resultadospresentados en el cuadro 4 son los esperados.CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONESIntegraLAB es un software desarrollado en JAVA loque permite independencia de la plataforma; por loque puede ejecutarse en sistemas operativos distintos.Utiliza un parser para el manejo de funciones, demodo tal que cada función a evaluar es analizadadesde la línea de entrada.Cuadro 3. Resultados de IntegraLAB para evaluar por Heun con diferentes tamaños de paso para yen [0,3] con la condición inicial y( 0) = 1.'= ( t − y)/ 2tk0.00.1250.250.3750.500.751.001.502.002.503.00h = 1 h = 1/ 2 h = 1/ 4 h = 1/ 81.01.01.01.00.943360.89844 0.897720.862410.84375 0.83807 0.836800.81408 0.812400.87500 0.83105 0.82220 0.820210.93051 0.92014 0.917831.17188 1.11759 1.10680 1.104391.37311 1.36259 1.360251.73242 1.68212 1.67227 1.67008yky( t k)Exacto1.00.9432390.8974910.8620870.8364020.8118680.8195920.9171001.1036381.3595141.669390Ind. data 9(2), 200673

SISTEMAS E INFORMÁTICA>>> IntegraLAB: Un software para integración de funciones y solución de ecuaciones diferenciales por métodos numéricosEjemplo 3: Al aplicar el método de Runge-Kutta de orden cuatro para obtener aproximaciones a lasolución del problema de valor inicial'2y = y −t+ 1, 0 ≤ t ≤ 2, y(0)= 0.5,con h = 0.2,N = 10 y ti= 0. 2iobtenemos los resultados y los errores que se proporcionan en latabla 5.'2Tabla 5: Resultados de evaluar y = y −t+ 1, 0 ≤ t ≤ 2, y(0)= 0.5,con h = 0.2,N = 10 yt = 0. 2iitiValoresexactosy = y t )i( iMétodo de Runge-Kutta deorden cuatrowiErrory −iw i0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.00.50000000.82929861.21408771.64894062.12722952.64085913.17994153.73240004.28348384.81517635.30547200.500000000.82929331.21407621.64892202.12720272.64082273.17989423.73234014.28340954.81508575.305363000.00000530.00001140.00001860.00002690.00003640.00004740.00005990.00007430.00009060.0001089Cuadro 4. Resultados de evaluar' 2y = y − t + 1, 0 ≤ t ≤ 2, y(0)= 0.5,utilizando IntegraLAB.ti0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0Valoresexactosy = y t )i( i0.50000000.82929861.21408771.64894062.12722952.64085913.17994153.73240004.28348384.81517635.3054720Método de Runge-Kutta deorden cuatrow0.500000000.82929331.21407621.64892202.12720272.64082273.17989423.73234014.28340954.81508575.3053630iErrory −i w i00.00000530.00001140.00001860.00002690.00003640.00004740.00005990.00007430.00009060.0001089Se utiliza la GUI de Java Swing, para lograr un diseñoamistoso al usuario. IntegraLAB posee un ambientede despliegue gráfico el mismo que permite graficaruna función desde la línea de entrada.Las pruebas realizadas para el software satisfacen losrequerimientos y objetivos previstos en su concepción.El desarrollo de IntegraLAB es una primera versiónpor tanto es susceptible de mejoras en un próximaversión.El alfabeto considerado en el parser para la evaluaciónde funciones contempla las variables x, y, z;pero podría ampliarse a otros caracteres alfabéticospara que reconozca como variables, por ejemplo r, s,t; o cualquier otro carácter alfabético o incluso unacadena de caracteres.El gráfico de funciones se realiza en el plano y parauna única función a la vez. Podría rescribirse la clasegraphDialog, para graficar en un mismo lienzo dosfunciones. Esto sería muy útil para visualizar el comportamientode un sistema de ecuaciones diferencialesordinarias con respecto al tiempo.REFERENCIASBIBLIOGRÁFICAS1. Burden R. L. y Faires J. D. (2002). Análisis Numérico.7ma. edición, International Thomsom Editores,S.A. de México, 839pp.74Ind. data 9(2), 2006

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