Sistemas DigitalesTeoremas del álgebra binaria• Teorema 7. Teorema del consenso. Paratodo a, b, c є ß• ab + āc + bc = ab + āc• (a + b) ● (ā + c) ● (b + c) = (a + b) ● (ā + c)• Teorema 8. Propiedad detransposición: para todo a, b, c є ß• ab + āc = (a + c) ●(ā + b)Teoremas del álgebra binaria• Teorema 9. Teorema de expansión deShannon.• Toda función de n variables se puede escribir como• f(x 1 , x 2 , …, x n ) = x 1 ●f(1, x 2 , …, x n ) + x 1 ’ ●f(0, x 2 , …, x n )• f(x 1 , x 2 , …, x n ) = [x 1 + f(0, x 2 , …, x n ) ]● [x 1 ’+ f(1, x 2 , …, x n ) ]• Teorema 10.• Para una función f de n variables, se cumple• x 1 + f(x 1 , x 2 , …, x n ) = x 1 + f(0, x 2 , …, x n )• x 1 ● f(x 1 , x 2 , …, x n ) = x 1 ● f(1, x 2 , …, x n )Otras álgebras <strong>Booleana</strong>s• Lógica proposicional• Elementos: Verdadero, Falso• Operaciones ^ (AND), v (OR), ~ (NOT)• Álgebra de conjuntos• Elementos: ⊂, ⊄• Operaciones unión (∪), intersección (∩)<strong>Algebra</strong> de conjuntos• Suma: unión de conjuntos (∪)• Multiplicación: intersección (∩) de conjuntos.• Conjunto vacío Ø: neutro de la unión• Conjunto universo U: neutro de la intersección• Para todo A, A U Ø = A y A ∩ U = A.• La unión y la intersección son conmutativas• Para cualquier par de conjuntos A, B se tiene queA ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A<strong>Algebra</strong> de conjuntos• La unión y la intersección de conjuntos sonasociativas• Para cualesquiera tres conjuntos A, B, C, se tiene:A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C y A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C• La unión de conjuntos es distributiva sobre laintersección, y la intersección es distributiva sobrela unión• Para cualesquiera tres conjuntos A, B, C, se tiene:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)• Existe conjunto complemento A c tal queA ∪ A c = U y A ∩ A c = ØDiagramas de Venn• De lo anterior se deducen los diagramas deVenn©2012 Mario Medina 4
Sistemas DigitalesDiagramas de Venn y álgebrade conjuntos• A continuación se muestra el conjunto A y sucomplemento A cDiagramas de Venn y álgebrade conjuntos• Usando diagramas de Venn, se ilustra la propiedadde distributividad de la unión sobre la intersecciónRelación entre álgebra <strong>Booleana</strong> ylógica proposicional• Estudiada por ClaudeShannon en su tesis deMaster en el M.I.T. (1937)• Conceptos básicos deldiseño electrónico digital• “Tesis de master másfamosa del siglo”©2012 Mario Medina 5