04-Algebra Booleana.pdf

Sistemas DigitalesAxiomas del álgebra binaria• Postulado 5: Distributividad. Para cualquierconjunto de elementos a, b, c є ßse cumple• a + (b ● c) = (a + b) ●(a + c)• a ● (b + c) = (a ● b) + (a ● c)• Postulado 6: Complementación.• a + a’ = 1• a ● a’ = 0Lemas del álgebra binaria• Lema 1. Los elementos0 y 1 son únicos• Lema 2. Para todo a є ßse tiene (Ley deidempotencia)• a + a = a• a ● a = a• Lema 3.Complementación• a + 1 = 1• a ● 0 = 0• Lema 4. Los elementos 0 y1 son distintos, y secumple que• 1’ = 0• 0’ = 1Lemas del álgebra binaria• Lema 5. El complemento ā del elemento a є ßes único.• Lema 6. Ley de involución. Para todo a є ßsetiene• (a’)’ = aTeoremas del álgebra binaria• Teorema 1. Propiedad de absorción: paratodo a, b є ß• a + ab = a• a ● (a + b) = aTeorema 2. Propiedad asociativa: para todo a,b, c є ß• (a + b) + c = a + (b + c)• (a ● b) ● c = a ● (b ● c)Teoremas del álgebra binaria• Teorema 3. Propiedad de absorcióngeneralizada: para todo a, b, c є ß• a ● [(a + b) + c] = [(a + b) + c] ● a = a• Teorema 4. para todo a, b є ß• a + āb = a + b• a ● (ā + b) = abTeoremas del álgebra binaria• Teorema 5. Para todo a, b є ß• ab + ab’ = a• (a + b) ●(a + b’) = a• Teorema 6. Leyes de De Morgan: para todoa, b є ß• a + b = a ● b• a ● b = a + b• Generalizaciónf (X, Y, K,Z, 0,1, + , •)= f(X, Y, K,Z,1, 0, •,+ )©2012 Mario Medina 3

Sistemas DigitalesTeoremas del álgebra binaria• Teorema 7. Teorema del consenso. Paratodo a, b, c є ß• ab + āc + bc = ab + āc• (a + b) ● (ā + c) ● (b + c) = (a + b) ● (ā + c)• Teorema 8. Propiedad detransposición: para todo a, b, c є ß• ab + āc = (a + c) ●(ā + b)Teoremas del álgebra binaria• Teorema 9. Teorema de expansión deShannon.• Toda función de n variables se puede escribir como• f(x 1 , x 2 , …, x n ) = x 1 ●f(1, x 2 , …, x n ) + x 1 ’ ●f(0, x 2 , …, x n )• f(x 1 , x 2 , …, x n ) = [x 1 + f(0, x 2 , …, x n ) ]● [x 1 ’+ f(1, x 2 , …, x n ) ]• Teorema 10.• Para una función f de n variables, se cumple• x 1 + f(x 1 , x 2 , …, x n ) = x 1 + f(0, x 2 , …, x n )• x 1 ● f(x 1 , x 2 , …, x n ) = x 1 ● f(1, x 2 , …, x n )Otras álgebras Booleanas• Lógica proposicional• Elementos: Verdadero, Falso• Operaciones ^ (AND), v (OR), ~ (NOT)• Álgebra de conjuntos• Elementos: ⊂, ⊄• Operaciones unión (∪), intersección (∩)Algebra de conjuntos• Suma: unión de conjuntos (∪)• Multiplicación: intersección (∩) de conjuntos.• Conjunto vacío Ø: neutro de la unión• Conjunto universo U: neutro de la intersección• Para todo A, A U Ø = A y A ∩ U = A.• La unión y la intersección son conmutativas• Para cualquier par de conjuntos A, B se tiene queA ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ AAlgebra de conjuntos• La unión y la intersección de conjuntos sonasociativas• Para cualesquiera tres conjuntos A, B, C, se tiene:A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C y A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C• La unión de conjuntos es distributiva sobre laintersección, y la intersección es distributiva sobrela unión• Para cualesquiera tres conjuntos A, B, C, se tiene:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)• Existe conjunto complemento A c tal queA ∪ A c = U y A ∩ A c = ØDiagramas de Venn• De lo anterior se deducen los diagramas deVenn©2012 Mario Medina 4

Sistemas DigitalesDiagramas de Venn y álgebrade conjuntos• A continuación se muestra el conjunto A y sucomplemento A cDiagramas de Venn y álgebrade conjuntos• Usando diagramas de Venn, se ilustra la propiedadde distributividad de la unión sobre la intersecciónRelación entre álgebra Booleana ylógica proposicional• Estudiada por ClaudeShannon en su tesis deMaster en el M.I.T. (1937)• Conceptos básicos deldiseño electrónico digital• “Tesis de master másfamosa del siglo”©2012 Mario Medina 5