7. CAPACITANCIA E INDUCTANCIA - Universidad de los Andes

7. CAPACITANCIA E INDUCTANCIAComo se puede apreciar en la ecuación anterior la energía almacenada en unintervalo de tiempo no depende de lo que pase con el voltaje en ese intervalo detiempo, sino de los valores inicial y final del voltaje. Esto nos permite encontrar unresultado muy interesante cuando aplicamos un voltaje de tipo AC a unacapacitancia en un periodo de tiempo T [t 0 , t 0 +T]:22[ v ( t + T ) − v ( ]1WC( t0 , t0+ T ) = C ⋅C 0Ct0)2Como la función AC es periódica tenemos que v t + T ) v ( ) , así que:WCC(0=Ct022[ v ( t + T ) − v ( ) ] 01( t0 , t0+ T ) = C ⋅C 0Ct0=2Esto nos muestra que una capacitancia es un elemento pasivo que no tienepérdidas de potencia: en una parte del ciclo AC absorbe potencia, pero en la otraparte del ciclo la suministra (devuelve la energía que almacenó sin perderla).7.2.5. RESPUESTA DC Y AC DE LA CAPACITANCIA EN ESTADO ESTABLEUna capacitancia en estado estable para una señal DC se comporta como uncircuito abierto, mientras que para una señal AC de muy alta frecuencia secomporta como un circuito cerrado.Para el caso de un circuito resistivo cualquiera con una capacitancia es posibleaislar la capacitancia y calcular el equivalente de Thévenin de las fuentes yresistencias, obteniendo un circuito serie con una fuente de voltaje Vt, unaresistencia Rt y la capacitancia C, como se muestra en la Figura 7-8.Figura 7-2Para encontrar la respuesta de este circuito, esto es Vc en función del tipo de señalde entrada formalmente deberíamos resolver la ecuación diferencial resultante, sinembargo como eso es tema del siguiente capítulo, por el momento vamos a ver demanera descriptiva qué pasa con señales de de entrada de tipo DC y señales demuy alta frecuencia.Para el caso de señal DC las cargas negativas (electrones libres) cercanos alterminal positivo de la fuente se ven atraídas hacia la fuente, generando unacorriente i c positiva en el sentido que se muestra en la Figura 7-8. Al mismo tiempolas cargas que parten del condensador hacia la fuente dejan unos espacios sincargas negativas, lo cual hace que la placa se cargue de manera positiva, respectoa la carga inicial. Simultáneamente las cargas atraviesan la fuente y se dirigenhacia el terminal negativo de la capacitancia. Como el dieléctrico no permite quepasen cargas de una placa a la otra, las cargas se almacenan en el terminalnegativo, aumentando así la carga negativa de dicha placa. Esto crea unadiferencia de potencial entre la carga positiva de una placa y la negativa de la otraplaca. Esta caída del voltaje que se produce a medida que se van acumulando lascargas, se iguala al voltaje de la fuente Vt, al punto que al ser iguales deja de128 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

7.2. CAPACITANCIAcircular corriente y se detiene el flujo de cargas. Así, a largo plazo (en estadoestable) el condensador queda cargado y con una caída de voltaje dada, pero sinque circule corriente. Por este motivo se dice que la capacitancia se comportacomo un circuito abierto para señal DC en estado estable, tal como se muestra enla Figura 7-3.Figura 7-3Para el caso AC ocurre algo similar, pero ahora la corriente o las cargas van en unsentido primero y en el otro después, de manera alternada. Esto hace que lasplacas se carguen y se descarguen permanentemente, al punto que nunca secargan y no se bloquea el paso de corriente como en el caso D.C. Si la frecuenciade la señal A.C. es muy grande las placas permanecerán descargadas, de maneraque no se genera una caída del voltaje en ellas, dando como resultado un voltajede cero en el condensador, como si hubiera un corto circuito. En este caso podráexistir una corriente del condensador no nula.Figura 7-47.2.6. CARGA Y DESCARGA DE LA CAPACITANCIALa Figura 7-3 mostraba el comportamiento de la capacitancia en estado estableante una señal de tipo D.C., pero ¿qué ocurre si abrimos el circuito en alguna parteen un tiempo to? La capacitancia no se cargará al máximo posible y el voltaje enella no será el voltaje de Thévenin Vt. Ahora el valor del voltaje será un valor dadoVc(t o ), y permanecerá en ese valor por tiempo indefinido.Figura 7-5Ahora la capacitancia cargada a un valor dado, que genera un voltaje Vc(t o ), laconectamos en un tiempo posterior t 1 a una resistencia Rt como se muestra en laFigura 7-9. Dado que existen cargas almacenadas en la capacitancia y que existeuna diferencia de voltaje en la capacitancia, y por tanto en la resistencia, se generauna corriente contraria a la que se tenía en el proceso de carga. Esta corriente alpaso por la resistencia disipa la energía que estaba almacenada en la capacitanciaAntonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 129

7. CAPACITANCIA E INDUCTANCIAen forma de calor, al punto que no hay más energía almacenada. Como las cargasalmacenadas en una placa pasan a la otra, hasta que se igualan, el voltaje en lacapacitancia se vuelve cero y deja de circular corriente.Figura 7-6Ejemplo 7-1 . Calculo de Thévenin para análisis de capacitancias.Para el circuito de la Figura 7-7 encontrar:a. El voltaje y la corriente en la capacitancia en estado estable si vo( t)= 20V.b. La amplitud del voltaje en las resistencias si la señal de entrada es de tipoAC con una amplitud de 10V y una frecuencia muy alta ( f → ∞)si C =10mF y R = 1kΩ.SoluciónParte a)Figura 7-7La siguiente figura muestra el equivalente de Thévenin del circuito resistivo(resistencias y fuente).En estado estable la capacitancia se comporta para una señal DC como un circuitoabierto.130 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

7.2. CAPACITANCIADe manera que el voltaje en la capacitancia será el de la fuente equivalente vistapor la capacitancia:20Vv C − ee= = 10V2Otra manera de verlo es utilizar directamente el modelo D.C. en estado estable dela capacitancia y reemplazarlo en el circuito original, tal como se muestra en lasiguiente figura:En este caso el voltaje en la capacitancia es el mismo de la resistencia de laderecha, el cual se puede calcular con un divisor de voltaje:⎛ R ⎞ ⎛ 1 ⎞vC−ee= vo 20V= 10VD. C.⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎝ R + R ⎠ ⎝ 2 ⎠La corriente en la capacitancia en estado estable para señal D.C. será cero pues elcircuito está abierto en la capacitancia.Parte b)La siguiente figura muestra el comportamiento de corto circuito para la capacitanciaante una señal de alta frecuencia.En este caso el voltaje del condensador es cero. Por tanto el voltaje de laresistencia de la derecha vR2, que está en paralelo con la capacitancia será 0V ysu corriente será 0A, ya que toda la corriente pasa por la capacitancia. De maneraque la resistencia superior experimenta toda la caída del voltaje de la fuente y elvoltaje en ella tendrá una amplitud de 10V. La amplitud de la corriente en la fuente,la resistencia superior y la capacitancia será: 10V/1kΩ = 1mA.Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 131

7. CAPACITANCIA E INDUCTANCIA7.2.7. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CARGAEn un circuito con varias capacitancias la carga total almacenada en todas lascapacitancias se mantiene constante en cualquier instante de tiempo. Esto esválido incluso en circuitos con cambios bruscos o con interruptores. De acuerdo aKCL la suma de corrientes de que entran a un nodo es igual a cero i ( t)= 0 ,m∑knk = 1de manera que si integramos la ecuación de KCL en un nodo tendremos que lasuma algebraica de cargas que entran en un nodo también es igual a cero:m∑k = 1qkn( t)= 0Usando la relación entre carga y voltaje tenemos:m∑k = 1CknVkn( t)= 0Como esta expresión es válida para cualquier instante de tiempo, lo será enparticular para dos tiempos t 0 y t 1 :m∑k = 1CknVknm( t0 ) = ∑CknVkn( t1)= 0k = 1En el caso de cálculos de condiciones iniciales en circuitos con cambios bruscos einterruptores es común analizar lo que ocurre un instante de tiempo antes ydespués de un tiempo dado to. Esto es lo que llamaremos el intervalo entre cero− +t . Así la relación anterior queda:menos y cero más [ ]0,t 0m∑k = 1CknVknm−+( t0 ) = ∑CknVkn( t0) = 0k = 17.2.8. EQUIVALENTE DE CAPACITANCIAS EN PARALELOFigura 7-8La Figura 7-8.a muestra dos capacitancias conectadas en paralelo. En este casolas relaciones entre voltaje y corriente en la fuente de voltaje serán similares a lade una sola capacitancia equivalente como se muestra en la Figura 7-8.b. Paraencontrar la capacitancia equivalente Ceq usamos el hecho de que los voltajes en132 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

7.2. CAPACITANCIAlas dos capacitancias y en la fuente son el mismo, por estar en paralelo, ademáscalculamos KCL para la figura a:v( t)= vC1(t)vC2( t)in=iin ( t)= iC1(t)+ iC2( t)dvC1(t)dvC2( t)dvin( t)dvin( t)iin( t)= C1 + C2= C1+ C2=1+2dt dt dt dtdvin( t)iin( t)= ( C + 1C2)dtPara la figura b tenemos:( C C )dvin( t)iin( t)= CeqdtComparando las dos últimas ecuaciones se concluye que la capacitanciaequivalente paralelo es:C eq= C 1+ C 2dvindt( t)7.2.9. EQUIVALENTE DE CAPACITANCIAS EN SERIEFigura 7-9La Figura 7-9.a muestra dos capacitancias conectadas en serie. En este caso lasrelaciones entre voltaje y corriente en la fuente de voltaje serán similares a la deuna sola capacitancia equivalente como se muestra en la Figura 7-9.b. Paraencontrar la capacitancia equivalente Ceq usamos el hecho de que las corrientesen las dos capacitancias y en la fuente son las mismas, por estar en serie, ademáscalculamos KVL para la figura a:iv( t)= i1(t)i2( t)in C=( t)= v1(t)v2( t)in C+Derivando la expresión anterior tenemos:dv ( t)dvC1(t)dvC2( t= +dt dt dtin)CCAntonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 133

7.3. INDUCTANCIALa ecuación anterior nos muestra una relación lineal entre el voltaje y la derivadade la corriente, tal como mencionamos en la introducción. El valor de la inductanciaL de cada elemento depende de varios factores, ya que existen distintos tipos deinductancias, en formas (solenoides, tiroides, etc.) y materiales para el núcleo (aire,ferromagnético etc.).En el caso sencillo de una inductancia en forma de solenoide la inductancia L estádada por la permeabilidad de núcleo μ, el número de vueltas N, el área transversalde cada vuelta A y la longitud l:2N AL = μlAsí mismo podemos calcular la corriente a partir del voltaje a través de lainductancia:1 tiL( t)= vLτ dτL∫ ( )−∞Esta ecuación se puede partir en dos integrales: una entre menos infinito y untiempo to y otra entre to y t. La primera integral representa entonces la corrienteinicial en to (asociado a la energía almacenada en la inductancia en to), para locual se asume que en menos infinito la corriente vale cero pues la inductancia aúnno existía:i ( t)=L1 to 1vLτ dτL∫ ( ) +−∞L∫ttov ( τ ) dτ1iL( t)=L LLL∫ )to1 tiL( t)= iL( to)+ vLτ dτL∫ ( )tot( i ( to)− i ( −∞)) + v ( τ dτ7.3.1. CONTINUIDAD DE LA CORRIENTE Y CAMBIOS BRUSCOSDe la expresión de la corriente en la inductancia en función del voltajeiL1 tt)= iL( to)+ vLτ dτL∫ ( )to( vemos que aunque el voltaje sea una funcióndiscontinua, la corriente será continua. Eso implica que la inductancia se opone alos cambios de corriente, aún cuando el voltaje tenga cambios bruscos.diL( t)Por otra parte dado que vL( t)= L un cambio brusco en la corrientedtaplicada a la inductancia tendrá como efecto un voltaje demasiado grande, el cualtrata de oponerse al cambio de la corriente para mantener la continuidad de lamisma.L7.3.2. POTENCIA Y ENERGÍA EN LA INDUCTANCIARecordemos que la potencia instantánea es el producto de la corriente por elvoltaje en cualquier instante de tiempo. Así la potencia en la inductancia será:Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 135

7. CAPACITANCIA E INDUCTANCIApLdiL( t)( t)= vL( t)⋅iL( t)= L ⋅ iL( t)dt7.3.3. ENERGÍA INSTANTÁNEA ALMACENADALa energía instantánea almacenada en un tiempo t, esto es entre el tiempo menosinfinito y t será:W ( t)=L∫t−∞p ( τ ) dτ=L∫t−∞v ( t)⋅ iLL( t)dτ=∫t−∞diL( τ )L ⋅ idτL( τ ) dτ= Lt∫ iL−∞diL( τ )( τ ) ⋅ dτdτW112212WL( t)= L ⋅iL( t)2iL( t )2iL( t )2L( t)= L∫⋅iL⋅ diL= L ⋅iL= L ⋅iL( t)− L ⋅iL( −∞iL( −∞)iL( −∞)Aquí hemos asumido nuevamente que en el tiempo menos infinito la corriente eracero.12)27.3.4. ENERGÍA ALMACENADA EN UN INTERVALO DE TIEMPOLa energía almacenada en un intervalo de tiempo [t 0 , t 1 ] será:W ( tL1222[ i ( t ) − i ( t ]iL( t1)2iL( t1)0, t1)= L∫⋅iL⋅ diL= L ⋅iL= L ⋅L 1 L 0)iL( t0)iL( t0)1222[ i ( t ) − i ( ]1WL( tt20, t1)= L ⋅L 1 L 0)Como se puede apreciar en la ecuación anterior la energía almacenada en unintervalo de tiempo no depende de lo que pase con la corriente en ese intervalo detiempo, sino de los valores inicial y final de la corriente. Esto nos permite encontrarun resultado muy interesante cuando aplicamos una corriente de tipo AC a unainductancia en un periodo de tiempo T [t 0 , t 0 +T]:22[ i ( t + T ) − i ( ]1WL( tt20, t0+ T ) = L ⋅L 0L 0)Como la función AC es periódica tenemos que i t + T ) i ( ) , así que:W ( tL, tL(0=Lt022[ i ( t + T ) − i ( ) ] 01+ T ) = L ⋅L 0Lt20 00=Esto nos muestra que una inductancia es un elemento pasivo que no tienepérdidas de potencia: en una parte del ciclo AC absorbe potencia, pero en la otraparte del ciclo la suministra (devuelve la energía que almacenó sin perderla).136 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

7.3. INDUCTANCIA7.3.5. RESPUESTA DC Y AC DE LA INDUCTANCIA EN ESTADO ESTABLEUna inductancia en estado estable para una señal DC se comporta como un cortocircuito, mientras que para una señal AC de muy alta frecuencia se comporta comoun circuito abierto.Para el caso de un circuito resistivo cualquiera con una inductancia es posibleaislar la inductancia y calcular el equivalente de Thévenin de las fuentes yresistencias, obteniendo un circuito serie con una fuente de voltaje Vt, unaresistencia Rt y la inductancia L, como se muestra en la Figura 7-11.Figura 7-11Para encontrar la respuesta de este circuito, esto es V L en función del tipo de señalde entrada formalmente deberíamos resolver la ecuación diferencial resultante, sinembargo como eso es tema del siguiente capítulo. Por el momento vamos aanalizar de manera descriptiva qué pasa con señales de de entrada de tipo DC yseñales de muy alta frecuencia.Para el caso de señal DC la derivada de la corriente respecto al tiempo, a largoplazo (estado estable) será cero, de manera que el voltaje en la inductancia escero, y se comporta como un corto circuito para señal D.C. en estado estable. Estose debe a que si no hay variaciones de la corriente, tampoco habrá un voltajeinducido. El circuito equivalente se muestra en la Figura 7-12.Figura 7-12Para el caso AC con una frecuencia muy alta (que tiende a infinito) la inductanciase comporta como un circuito abierto, de manera que la corriente se hace cero. Elcircuito equivalente se muestra en la Figura 7-13.Figura 7-13Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 137

7. CAPACITANCIA E INDUCTANCIA7.3.6. EQUIVALENTE DE INDUCTANCIAS EN SERIEFigura 7-14La Figura 7-14.a muestra dos Inductancias conectadas en serie. En este caso lasrelaciones entre voltaje y corriente en la fuente de voltaje serán similares a la deuna sola inductancia equivalente como se muestra en la El circuito equivalente semuestra en la Figura 7-14.b. Para encontrar la inductancia equivalente L eq usamosel hecho de que las corrientes en las dos inductancias y en la fuente son la misma,por estar en serie, además calculamos KVL para la figura a:iv( t)= iL1(t)iL2( t)in=( t)= vL1(t)vL2(t)in+Ahora reemplazamos por la relación del voltaje en la inductanciavL ( t)diL( t)= :L dtvindiL1(t)diL2( t)diin( t)diin( t)( t)= L1 + L2= L1+ L2=1+2dt dt dt dtPara la figura b tenemos:vin( L L )( t)=1+2dvin( t)dt( L L )diin( t)vin( t)= LeqdtComparando las dos últimas ecuaciones se concluye que la inductanciaequivalente paralelo es:L eq= L 1+ L 2diindt( t)138 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

7.3. INDUCTANCIA7.3.7. EQUIVALENTE DE INDUCTANCIAS EN PARALELOFigura 7-15La Figura 7-15.a muestra dos Inductancias conectadas en serie. En este caso lasrelaciones entre voltaje y corriente en la fuente de voltaje serán similares a la deuna sola inductancia equivalente como se muestra en la Figura 7-15.b. Paraencontrar la inductancia equivalente L eq usamos el hecho de que los voltajes en lasdos inductancias y en la fuente son los mismos, por estar en paralelo, ademáscalculamos KCL para la figura a:vi( t)= vL1(t)vL2( t)in=( t)= iL1(t)iL2( t)in+Derivando la expresión anterior tenemos:di ( t)diL1(t)diL2( t= +dt dt dtin)Ahora reemplazamos por la relación del voltaje en la inductanciavL ( t)diL( t)= :L dtdiindt( t)vl1(t)vl2( t)= +L L12vin( t)vin( t)= +L L12⎛ 1=⎜⎝ L11+L2⎞⎟v⎠in( t)Para la figura b tenemos:diindt( t)⎛ 1=⎜⎝ L11+L2⎞⎟v⎠in( t)v ( t)diin( t=L dtin)eqComparando las dos últimas ecuaciones se concluye que la inductanciaequivalente paralelo es:1 1 1= +L eqL L12Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 139

7. CAPACITANCIA E INDUCTANCIAEjemplo 7-2. Circuito DerivadorPara el circuito de la Figura 7-16 encontrar el voltaje a la salida del amplificador:SoluciónFigura 7-16La caída de voltaje en la capacitancia es:VFigura 7-17() t = V ( t) −V− ( t) = V ( t) − 0 V ( t)C inin=La corriente en el condensador, respetando la convención pasiva de signos, estádada por la siguiente expresión:dVCi () t = CdtKCL en el nodo inversor nos da:C=iC( t) dV ( t)C( t) + i ( t) = 0R( t)V0 − 0− iC() t = iR() t =RReemplazando la corriente de la capacitancia:dV− Cdt( t) V ( t)=in 0dVinV0() t = −RCdtComo se puede ver el voltaje en la salida del OPAM es la derivada de la entrada,multiplicada por una ganancia e invertida:R( t)indtin140 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

7.3. INDUCTANCIAV0dV() ( t ) int = −{ KInversor123 dtDerivadorEjemplo 7-3. Circuito integradorPara el circuito de la Figura 7-18 encontrar el voltaje a la salida del amplificador:Figura 7-18El voltaje en la capacitancia es:La corriente en la capacitancia es:VC10 dτC0T+() t = VC( ) + ∫ iC( τ )(1) i () t = −i() tCRVin= −R( t)(2)V0t+() t = VC() t = VC( 0 ) + ∫ iC( τ )1 t= 0 + ∫ − iC01 t Vin= −C∫0R1 t= − ∫ VinRC0R( τ )( τ )dτ( τ )dτdτ1C0dτAsí que el voltaje de salida en el OPAM es:V01RCt() t = − ( τ )∫0V indτComo se puede ver el voltaje en la salida del OPAM es la integral de la entrada,multiplicada por una ganancia e invertida:Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 141

7. CAPACITANCIA E INDUCTANCIAVt() t = −{ K V in( τ ) d42430 ∫τInversor 1 0Integrador7.4. SIMULACIONES7.4.1. CARGA DE UN CONDENSADORFigura 7-19DescripciónEsta simulación permite mostrar el comportamiento de un condensador de placasparalelas: la acumulación de cargas que parten de una placa para depositarse enla otra, el campo eléctrico que se origina en él y el comportamiento delcondensador en estado estable para una entrada DC.Uso educativoEsta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, paraestudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica.Una vez los estudiantes manejan los conceptos de capacitancia, carga acumulada,dieléctrico, campo eléctrico pueden interactuar con esta simulación variando elvoltaje de la fuente y observando cómo las cargas no pueden atravesar al interiordel condensador y se depositan las cargas en el condensador y se crea un campoeléctrico entre sus placas. Se observa que a medida que se acumulan las cargas142 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes

7.4. SIMULACIONESse produce una caída de voltaje en el condensador y cómo a largo plazo elcondensador de carga y deja de circular corriente por el circuito.7.4.2. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR CON CONDICIONES INICIALESFigura 7-20DescripciónEsta simulación permite mostrar el comportamiento de un condensador de placasparalelas: la acumulación de cargas que parten de una placa para depositarse enla otra tanto en el proceso de carga como en el de descarga para unas condicionesiniciales dadas, con o sin fuente.Uso educativoEsta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, paraestudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica.Una vez los estudiantes manejan los conceptos de capacitancia, carga acumulada,energía acumulada, dieléctrico, campo eléctrico pueden interactuar con estasimulación variando el voltaje de la fuente, el voltaje inicial en el condensadorproducido por la carga almacenada y observar cómo cambian las corrientes en losprocesos de carga y descarga y cómo afecta la respuesta del circuito el hecho deque exista un voltaje inicial positivo o negativo.Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 143