Clase 4 Matemática - TramixSakai ULP

Aportes de la Didáctica de la Matemática para pensar laenseñanzaAutoras: Graciela Chemello, Mónica Agrasar, Silvia Chara y Analía Crippa - EquipoÁreas curriculares del Ministerio de EducaciónDesde hace más de tres décadas se han divulgado en nuestro país numerosos aportesreferidos a la enseñanza de la Matemática, que dieron lugar a variadas experiencias endistintas escuelas y vienen orientando las políticas curriculares en el área desde hace variosaños, generando un enfoque concordante a través del tiempo. Este enfoque responde a lasdemandas sociales emergentes en relación con las competencias deseables a desarrollar enlos alumnos, y ha sido plasmado en diferentes documentos curriculares en cuyo análisis esnecesario seguir trabajando entre docentes, en espacios de trabajo común.Por ello, en esta clase desarrollaremos algunos puntos de partida generales incluidos enEnseñar Matemática en el segundo ciclo de los Cuadernos para el aula NAP, que han sidoelaborados a partir de diferentes trabajos de especialistas en Didáctica de la Matemática.EL TRABAJO MATEMÁTICO EN LA ESCUELADesde una perspectiva que entiende a la Matemática como una forma de producción, comouna cultura, incluimos a continuación algunas reflexiones extraídas de los mencionadosdocumentos, que permiten caracterizar la práctica matemática que consideramos pertinentepromover en las aulas.“Pensar la actividad matemática en la ciencia y en la escuelaEl conocimiento matemático, como ocurre con otros conocimientos y con las produccionesculturales en general, ha ido generándose y transformándose en diferentes momentos1

ellos) frente a los problemas que se les planteen, y que debatan para validarlos. Luego, con laintervención del maestro, los reconocerán como conocimientos que forman parte de laMatemática. Así, en la escuela, los niños deberían ser introducidos en la cultura matemática,es decir, en las formas de trabajar “matemáticamente”.Desde esta perspectiva, entendemos que saber Matemática requiere dominar losconocimientos de esta disciplina para utilizarlos como instrumentos en la resolución deproblemas, y también para definirlos y reconocerlos como objetos de una cultura.Reconsiderar el sentido de la Matemática en la escuelaLa concepción que cada persona se va formando de la Matemática depende del modo en queva conociendo y usando los conocimientos matemáticos. En este proceso, la escuela tiene unrol fundamental, ya que es allí donde se enseña y se aprende de un modo sistemático a usarla Matemática. El tipo de trabajo que se realice en la escuela influirá fuertemente en larelación que cada persona construya con esta ciencia, lo que incluye el hecho de sentirse o nocapaz de aprenderla.Cuando la enseñanza de la Matemática, en lugar de plantearse como la introducción a lacultura de una disciplina científica, se presenta solo como el dominio de una técnica, laactividad en el aula se limita a reconocer, luego de las correspondientes explicaciones delmaestro, qué definición usar, qué regla hay que aplicar o qué operación “hay que hacer” encada tipo de problema.Se aprende qué hacer, pero no para qué hacerlo ni en qué circunstancia hacer cada cosa.Esta enseñanza ha derivado en dificultades que ya conocemos: por una parte, aunquepermite que algunos alumnos logren cierto nivel de “éxito”, cuando el aprendizaje se evalúaen términos de respuestas correctas para problemas tipo, deja afuera a muchos alumnos queno se sienten capaces de aprender Matemática de este modo. Por otra parte, lo asíaprendido se demuestra claramente insuficiente en el momento en que se trata de usar losconocimientos para resolver situaciones diferentes de aquellas en las que se aprendieron.Otras veces, la actividad en el aula incluye la resolución de problemas diversos, y se pasa deuno a otro y a otro sin un trabajo reflexivo que vuelva sobre lo realizado.Trabajar solo resolviendo problemas, sin explicar o fundamentar “matemáticamente”,también es insuficiente. El trabajo que implica volver sobre lo realizado, por uno mismo o porlos compañeros, exige siempre una explicitación, un reconocimiento y una sistematización3

del conocimiento que se pone en juego en la resolución de los problemas, en las formas deobtenerlo y de validarlo. Sin este proceso, los conocimientos matemáticos aprendidos en laescuela (las nociones y las formas de trabajar en Matemática) no tendrán, a futuro, lasmismas posibilidades de reutilización, ya que quedarían asociados a su uso en algunos casosparticulares.En síntesis, “cómo” se hace Matemática en el aula define, al mismo tiempo, “qué”Matemática se hace, y “para qué” y “para quiénes” se la enseña, lo que plantea unadisyuntiva central en relación con la construcción de las condiciones que posibilitan el accesoa la Matemática de unos pocos o de todos.Priorizar un tipo de trabajo matemáticoResulta pues vital que prioricemos en la escuela, desde el momento en que los niños seinician en el estudio de la Matemática, la construcción del sentido de los conocimientos pormedio de la resolución de problemas y de la reflexión sobre estos, para promover así unmodo particular de trabajo matemático que esté al alcance de todos los alumnos y quesuponga para cada uno:• Involucrarse en la resolución del problema presentado, vinculando lo que se quiere resolvercon lo que ya se sabe y plantearse nuevas preguntas.• Elaborar estrategias propias y compararlas con las de sus compañeros considerando quelos procedimientos incorrectos o las exploraciones que no los llevan al resultado esperadoson instancias ineludibles y necesarias para el aprendizaje.• Discutir sobre la validez de los procedimientos realizados y de los resultados obtenidos.• Reflexionar para determinar qué procedimientos fueron los más adecuados o útiles para lasituación resuelta.• Establecer relaciones y elaborar formas de representación, discutirlas con los demás,confrontar las interpretaciones sobre ellas y acerca de la notación convencional.• Elaborar conjeturas, formularlas, comprobarlas mediante el uso de ejemplos o justificarlasutilizando contraejemplos o propiedades conocidas.• Reconocer los nuevos conocimientos y relacionarlos con los ya sabidos.• Interpretar la información presentada de distintos modos, y pasar de una forma derepresentación a otra según su adecuación a la situación que se quiere resolver.4

• Producir textos con información matemática avanzando en el uso del vocabularioadecuado”.Para generar en el aula un trabajo matemático de las características del que acabamos dedescribir es necesario diseñar actividades que den lugar a diferentes tipos de tareas porparte de los alumnos: algunas que prioricen la resolución, otras la comunicación en formaoral o escrita, otras la justificación, otras la formulación de preguntas. Cabe advertir que sibien el acento de dichas actividades puede estar puesto en un tipo de tarea particular, deningún modo implica dejar de lado las otras. Por ejemplo, las justificaciones deben estarpresentes en las distintas prácticas propias del quehacer matemático.Por otra parte, y con respecto a la construcción del sentido (…), dice Guy Brousseau: “Elsentido de un conocimiento matemático se define no sólo por la colección de situacionesdonde este conocimiento es realizado como teoría matemática; no sólo por la colección desituaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución, sino también por elconjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economías que procura, deformulaciones que retoma, etc.” (Brousseau, 1983: 170)Así, al seleccionar un conjunto de problemas para trabajar con una noción a enseñar, esnecesario advertir dos cuestiones. Por un lado, que se trata de un recorte entre muchosposibles respecto de una colección más amplia cuyo estudio demandará varios años deescolaridad. Precisar los criterios que fundamentan los distintos recortes en cada nivel deconcreción curricular, da lugar a la explicitación del propósito particular que orienta un nivel,un ciclo, un año, una unidad de trabajo. Por otro lado, que ese conjunto de problemas debeincluir aquellos que permiten analizar los límites de la noción en estudio, es decir, problemasen los que la noción no funciona como instrumento de resolución. Un ejemplo es el deconsiderar, en el conjunto de problemas para trabajar la noción de proporcionalidad,algunos donde esta relación no se cumpla (como es el caso de los problemas de costo deviajes en taxi, con un pago fijo por la bajada de bandera y luego un costo por kilómetro)Cabe destacar aquí en el nivel del aula que muchas veces, con la intención de no confundir alos alumnos, el maestro evita incluir este tipo de problemas para enseñar un contenido,cuestión que debemos tomar en los espacios de capacitación.5

Otro didacta, Roland Charnay, avanza sobre una primera descripción de los problemasmatemáticos que dan lugar a la construcción de sentido o, como él lo denomina, la“significación” de un conocimiento afirmando que “….la construcción de la significación deun conocimiento debe ser considerada en dos niveles:- un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son loslímites de este campo?- un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómofunciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado?” (Charnay, 1994:53)En cuanto a los niveles de significación, ningún proyecto de enseñanza debiera descuidar lapresencia de ambos de manera equilibrada. Un énfasis en el nivel de significación externa nocontribuye a los procesos de puesta en relación y generalización de las nociones en juego y,un énfasis en el análisis del funcionamiento de las herramientas, sin haber dadopreviamente lugar a su uso en contextos variados, obstaculiza la identificación de lassituaciones donde resultan necesarias.Por otra parte, Gerard Vergnaud despliega una caracterización de los tipos de conocimientoligados a la construcción de un concepto, poniendo a los “saberes hacer” en un pie deigualdad con los “saberes expresados” y considerando que lo que permite y lo que define laadquisición de un concepto es la acción en situación en la que ambos se ponen en juego. Élsostiene que “El saber-hacer no puede oponerse al saber, puesto que constituye su criterio yse fundamenta en él. Saber y saber-hacer son dos vertientes indisociables del pensamientoconceptual.”“Un concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en suaprendizaje y enseñanza. A través de las situaciones y de los problemas que se pretendenresolver es como un concepto adquiere sentido para el niño”. (Vergnaud, 1990 : 133-170)Estas ideas estuvieron presentes en la elaboración de diversas producciones curricularescomo los NAP y los diseños curriculares provinciales como también en distintos materialesde desarrollo curricular. En los diferentes documentos curriculares se plantea comoactividad principal de la clase de matemática la resolución de problemas y la reflexión sobrela misma, lo que involucra para el maestro tanto la elección de problemas desafiantes peroadecuados para los conocimientos de sus alumnos, así como una particular gestión de la6

una transformación de esos pasos -por ejemplo usando dobles o triples del x 10- en unnuevo problema intramatemático.En el mismo texto dice: “Los contextos tendrán que ser significativos para los alumnos, esdecir que implicarán un desafío que puedan resolver en el marco de sus posibilidadescognitivas y sus experiencias sociales y culturales previas. Asimismo, los conocimientosinvolucrados en el problema deberán cobrar interés para ellos y ser coherentes desde elpunto de vista disciplinar”. (Ministerio de Educación, 2003: 20)En relación con la significatividad habrá que poner el foco en la capacitación en doscuestiones. La primera es que no solo es significativo un contexto que aluda al mundocercano, a las experiencias de la vida cotidiana. También lo son aquellos contextos que loschicos conocen a través de cuentos, historias, viajes, programas de televisión, etc. Asimismopueden ser significativas las curiosidades, los “trucos” numéricos, los acertijos, siempre quelos saberes requeridos para abordar la pregunta sean aquellos que los alumnos conocen.La segunda cuestión es que, al elegir los contextos para elaborar problemas y formular laspreguntas, es importante revisar que las preguntas tengan sentido en sí mismas, es decir,que aludan a problemas reales o verosímiles. Muchas veces, las preguntas no atienden alsentido que tiene averiguar lo que se pide. Cabría preguntarse frente a ellas: ¿quién puedenecesitar saberlo? y ¿para qué? Por ejemplo: ¿cuántos años tienen entre la mamá y la hija?,¿cuántas manchas tiene una jirafa? Si pretendemos que los alumnos consideren que lamatemática nos provee de herramientas útiles para resolver “verdaderos problemas”,tendremos que cuidar que lo que se pregunta tenga sentido.Un contexto que podría ser utilizado en la clase de matemática es el de los juegos. Suinclusión va más allá de la idea de despertar el interés, pues permite a los alumnos resolverproblemas que tienen sentido y habilita a que “hagan Matemática, es decir elaborenestrategias propias, utilicen las representaciones que consideren adecuadas, discutan con suspares, expliquen sus ideas, den razones de sus procedimientos y resultados, confronten susproducciones con las de otros, acepten críticas y otros puntos de vista”. (Chemello, Agrasar,Chara, 2001: 4)11

Este recurso de enseñanza da lugar a plantear una considerable cantidad de problemas conuna dinámica que permite a los alumnos acordar resultados, y discutir procedimientos entreellos.En relación con este recurso, el foco de la intervención se suele poner no sólo en jugarefectivamente, sino también en analizar posibles estrategias de juego basadas en diferentesconocimientos, considerando variantes al cambiar “algo” en la situación: los materiales, laorganización del grupo, las reglas.Será también interesante elaborar con los docentes actividades para plantear a los niñosluego de jugar -algunas de juego simulado y otras intramatemáticas- y discutir a quéconclusiones, reglas, formulaciones podrían arribar los alumnos.Cuando se da lugar a este tipo de elaboración en el acompañamiento, las propuestas deactividades que plantean como tarea para los alumnos decidir cómo jugar, o decidir quiéngana, son más frecuentes que las que apuntan a analizar jugadas de otros, o a elaborar unaexplicación sobre por qué se jugó de cierta forma.A propósito de puntualizar el sentido de incluir juegos en la clase de Matemática, B. Charlotplantea:“Si por juego se designa una actividad donde el alumno realiza con placer -que no excluye elesfuerzo, sino que lo sostiene-, una actividad que permite un funcionamiento delpensamiento no condicionado por reglas exteriores vividas por el alumno como artificiales yarbitrarias, no tengo ninguna objeción. Además el alumno tiene derecho a que su actividadsea socialmente reconocida como un trabajo serio y no como un juego y se engañe a ciertosalumnos con la idea de que ellos juegan en la escuela en vez de trabajar!Pero si por juego matemático, se designa una actividad puntual no articulada alrededor deun campo de problemas, no anclado en el programa, sin proyecto intelectual ni institucional,ya no estoy de acuerdo. Estos momentos de aventura matemática no son para excluir, perono pueden constituir la base de un aprendizaje de las matemáticas. Este supone laarticulación entre situaciones, que para el maestro al menos, sean ricas de progresión futura.El alumno debe sentir que él progresa y el docente, por su lado, no puede librarse de todadependencia con los programas”12

Con relación al carácter de instrumento o de objetoComo dijimos anteriormente, otro aspecto a considerar en la selección de los problemas essi la noción que queremos trabajar al presentar el problema permite resolverlo, o si es unobjeto de estudio. Veamos como caracteriza estas dos nociones su autora, Regine Douady.“Para un concepto matemático, conviene distinguir su carácter “instrumento” y su carácter“objeto”. Por instrumento entendemos su funcionamiento científico en los diversosproblemas que permite resolver. Un concepto toma sentido por su carácter instrumento. Noobstante, ese carácter pone en juego las relaciones que mantiene con los otros conceptosimplicados en el mismo problema. Es decir, desde una óptica instrumental, no se puedehablar de un concepto sino de una red de conceptos que gravitan eventualmente alrededorde un concepto principal. También el aprendizaje deberá considerar tal conjunto.Diremos que un instrumento es un instrumento adaptado si interviene en un problema,justificando el uso del concepto del cual procede, por eficacia o necesidad. Un instrumentopuede ser adaptado a varios tipos de problema. Recíprocamente, varios instrumentospueden ser adaptados a un mismo problema. No obstante, cada uno tiene un cierto ámbitode validez (…)Por objeto, entendemos el concepto matemático, considerado como objeto cultural que tienesu lugar en una construcción más amplia, que es la del conocimiento inteligente en unmomento dado, reconocido socialmente.(…)La actividad principal en matemáticas, en el cuadro escolar, o en los centros de investigaciónprofesional, consiste en resolver problemas, en plantear cuestiones. El investigador puededeclarar resuelto un problema si puede justificar sus declaraciones según un sistema devalidación propio de las matemáticas. En este camino, crea conceptos que juegan el papel deinstrumentos para resolver problemas. Cuando pasa a la comunidad científica, el concepto esdescontextualizado para que pueda servir nuevamente. Se convierte así, en objeto de saber.”(Douady, 1983)En nuestro caso, al resolver un problema que requiera de la puesta en juego de unamultiplicación o una división, los cálculos funcionan como una “herramienta”, como uninstrumento matemático que permite dar respuesta a la pregunta. En cambio, siproponemos un problema que implica analizar dos cálculos con los mismos números13

ealizados con diferentes procedimientos, esos cálculos son “objeto de estudio”. Del mismomodo, “producir una manera de realizar un cálculo” también es un problema y las dosactividades de las páginas 7 y 8, “Descomponer para multiplicar” y “Dividir sin calculadora”son ejemplos de problemas donde los cálculos son objeto de estudio. Ambos tipos deproblemas deberían formar parte del proyecto de enseñanza. Con relación a los tipos de tareasEn los Cuadernos para el aula del Segundo Ciclo leemos:“Los niños podrán realizar diferentes tareas. En algunas ocasiones, trabajarán usando losconocimientos matemáticos de manera implícita, sin nombrarlos ni escribirlos, por ejemplo,al medir, construir, decidir cómo jugar o calcular. En otras, utilizarán los conocimientosmatemáticos de manera explícita: tendrán que describir cómo midieron o calcularon, quéinstrumentos usaron para construir y qué hicieron en cada paso, o producirán un instructivopara que otro construya una figura o realice un cálculo, explicarán por qué decidieron utilizarun procedimiento u otro, cómo pueden comprobar que un resultado es adecuado. Tambiéndarán razones para convencer a otro compañero de que los números encontrados o lasfiguras dibujadas cumplen con las condiciones del problema; tendrán que argumentar sobresi un procedimiento es o no correcto. En otras oportunidades, será el maestro el que presenteuna afirmación para que los alumnos discutan sobre su validez”.Análisis de problemasA continuación presentamos algunos problemas extraídos de las secuencias elaboradas paraeste curso, y realizamos un primer análisis atendiendo a lo que venimos desarrollando.Actividad para los alumnos: Deudas pendientesa) En una empresa lograron ahorrar en el año $78.000. Quieren saldar las 12cuotas pendientes de $2.500 de una maquinaria. Pagarán un bono a sus 32empleados de $ 1.200 a cada uno. Realizarán una fiesta de fin de año cuyo costoserá de $2.735. También tienen ahorrados del año anterior $ 24.400 ydepositado en una cuenta $11.000. Deciden ponerse al día con la deudaimpositiva de $4500 y para ello deberán pagar intereses de cuatro cuotas de $421. ¿Les alcanza para todos sus planes?b) Reunite con otros compañeros y compartan sus producciones- ¿Llegaron a los mismos resultados?14

- ¿Hicieron las mismas cuentas?- ¿Es posible ordenar los cálculos en grupos para hacerlos con una calculadorasin anotar resultados parciales?- ¿Hay una sola forma de hacerlo?El problema está planteado en un contexto extramatemático, dado que se trata de cálculosque usualmente se realizan en las empresas, y que son accesibles para los alumnos delSegundo Ciclo.En el inciso a) la tarea está centrada en resolver cálculos, para lo que es posible utilizardiversos procedimientos, pues las operaciones pueden ser realizadas inicialmente en formaseparada, para luego trabajar con los resultados, y también se puede armar una o dosexpresiones combinadas.Notemos que en este inciso, las operaciones y su orden surgen como herramientasnecesarias de resolución y que su uso no está explicitado en el enunciado del problema (porejemplo, expresando “tengan en cuenta el orden de las operaciones”), lo que favorece laconstrucción de sentido por parte de los alumnos.En el inciso b) se propone discutir acerca del orden en que se deben realizar una serie decálculos y sobre el uso del paréntesis, lo que permite explicitar relaciones que posiblementese hayan usado anteriormente de manera implícita. Este análisis implica la consideración delos cálculos y la forma de escribirlos como objeto de estudio.Otro aspecto a tener en cuenta es que los datos no se presentan en el orden en el que debenser usados, lo que llevará seguramente a la necesidad de leer varias veces el enunciado.15

Actividad para los alumnos: Descomponer para dividira) Para resolver el cálculo 936 : 9, a dos amigos se les ocurrieron distintasdescomposiciones.Juan: 900 : 9 + 36 : 9Pedro: 936 : 3 + 936 : 3 + 936 : 3¿Con quién estás de acuerdo? ¿O ambos son correctos? ¿Por qué?b) ¿Usarías alguna de esas descomposiciones para dividir 1890 : 9 o 468 : 9?c) ¿Cómo podrías descomponer 504 para que fuera fácil de dividir por 9? ¿Y 675?d) Pedro dice que se puede descomponer el dividendo en una suma si cadasumando es múltiplo de 9. Juan dice que no hace falta y le muestra esta cuenta,¿Quién tiene razón?1760 : 9 1700 + 60 / 9 .900 54 100 + 80 + 8 + 6 + 1 = 195800 672080728 145e) Para resolver 480 : 12, también se presentan dos maneras de descomponer elnúmero que divide (el divisor)480 : 12 = 480 : 10 : 2 480 : 12 = 480 : 4 : 3¿Es lo mismo? ¿Por qué?En este caso se trata de un problema planteado en contexto intramatemático, y la tareaconsiste en discutir resoluciones realizadas por otros: si es posible, o no, descomponer en16

sumandos el dividendo o el divisor. Luego se avanza en un análisis acerca de cómo elegir lossumandos para descomponer el dividendo y el divisor de modo que se facilite el cálculo. Esimportante tener en cuenta que, si bien lo que dice Pedro es cierto (sólo hay que tenercuidado y no olvidarse de los restos parciales) conviene elegir al menos un sumando que seamúltiplo para facilitar el cálculo y hacer menos aproximaciones. Notemos que en este casose prioriza un trabajo acerca de las propiedades de la división en cuanto objetos de estudio.Actividad para los alumnos: Haciendo etiquetasDos amigas recortan papel autoadhesivo para hacer etiquetas. Las dos hanrecortado etiquetas iguales a ésta (dibujo).Sol usó la tercera parte del papel que tenía y recortó una etiqueta como esta.Mili dice que usó la mitad de su papel que tenía.a) ¿Es posible que ambas tengan razón?b) Dibujá cómo podrían haber sido los papeles que tenían Sol y Mili.c) El papel que tenía Sol, o el que tenía Mili, ¿podrían haber sido como este?¿Por qué?d) Marcá en el rectángulo anterior cómo se podrían cortar 4 etiquetas iguales.¿Hay más de una posibilidad?17

En esta actividad se promueve un trabajo en el que se considera un único entero dividido enpartes iguales. La misma está planteada en un contexto extramatemático, ya que se trata deetiquetas que se recortan de un rectángulo inicial. Aquí, dos etiquetas de igual forma ytamaño resultan ser partes distintas (1/2 y 1/3 respectivamente) de enteros diferentes, loque puede obtenerse como conclusión al reconstruir cada uno de ellos. Esta reconstrucciónpodrá dar rectángulos distintos según como ubiquen las partes. Luego, habrá que compararun rectángulo dibujado con los obtenidos por los niños al hacer la reconstrucción, lo quepodrá o no dar el mismo dibujo y habrá que ver si se puede tratar del mismo papel o no.Finalmente, se pide obtener cuartos en un rectángulo, lo que permitirá obtener comoconclusión que partes iguales pueden tener diferentes formas.Notemos que las tareas que se promueven apuntan a justificar procedimientos realizadospor otros y a representar, específicamente a dibujar. En todas ellas la noción de fraccióncomo parte de un entero funciona como instrumento implícito.Actividad para los alumnos: Otros procedimientosI. a) Dibujá un cuadrilátero cuyas diagonales miden 4 y 7 cm., de modo quecada una corte a la otra en el punto medio.b) ¿Podés asegurar que la figura que dibujaste es igual a la que hicieron tuscompañeros sin verlas? ¿Por qué?II. a) Para que Mariana pudiera construir esta figura sin verla, los chicos escribieronestos mensajes. ¿Creés que alguno permite construir la figura? ¿Por qué?18

) ¿Qué información habría que agregar a cada mensaje para que la figura sea unromboide que se pueda superponer con el del dibujo?Se trata de una actividad planteada en contexto intramatemático, en la que las propiedadesde los cuadriláteros constituyen una herramienta implícita de resolución. En la primeraparte, la tarea consiste en realizar una construcción, y luego en discutir acerca de la unicidado no de la misma. Los alumnos deberán concluir que es posible construir tantoscuadriláteros como quieran, ya que hay “muchas” soluciones. En la segunda parte, sepromueven tareas que apuntan a la comunicación escrita y a la justificación, y permiterelacionar datos con cantidad de soluciones. En este caso las propiedades de las diagonalesdel romboide permitirán establecer las condiciones para que la construcción sea única.Los problemas y su gestión en clasePara que los alumnos puedan involucrarse en una práctica matemática como la quedescribimos, además de seleccionar problemas utilizando los criterios explicitados, esnecesario tener en cuenta otras condiciones: qué materiales pueden utilizarse, cómoorganizaremos la clase, que interacciones entre alumnos prevemos en función de laorganización propuesta, y cuáles serían las intervenciones que deberíamos realizar duranteel desarrollo de la clase. Para analizar estas cuestiones nos remitimos nuevamente a lalectura de los Cuadernos para el aula del Segundo Ciclo.19

“Las situaciones de enseñanzaEn algunas ocasiones, la tarea que se propone al alumno puede presentarse solo mediante elenunciado de un problema o con una pregunta para un conjunto bien elegido de cálculos ocon un interrogante que deba ser respondido a partir de una información publicada en eldiario o en un texto de Ciencias Naturales o de Ciencias Sociales. En otras ocasiones, habráque proporcionar los instrumentos de Geometría para realizar una construcción o losmateriales para un juego –por ejemplo dados y tablas para anotar puntajes, el croquis de unrecorrido, un mapa, etc. En todos los casos, una primera condición es asegurarnos de tenerdisponibles los materiales a utilizar.También habrá que anticipar cuál es el tipo de interacciones que queremos que se den paraorganizar distintos momentos de la clase: las de cada alumno y el problema, las de losalumnos entre sí y las de los alumnos con el maestro. Para ello, habrá que proponer, segúnconvenga y de manera no excluyente, momentos de trabajo en forma individual, enpequeños grupos o con toda la clase.………………………………………………………………………………………………………………….En Segundo Ciclo, es importante también que los alumnos comiencen a analizar el nivel degeneralidad que tienen las respuestas a los problemas que resuelven. Así, comprobar que sepueden obtener dos triángulos iguales plegando un cuadrado de papel glasé no es suficientepara afirmar que las diagonales de cualquier cuadrado son congruentes. Asimismo, habráque descubrir y explicitar que algunas afirmaciones son verdaderas en un campo numérico, opara un conjunto de figuras, y no lo son para otros. Por ejemplo, el producto de unamultiplicación es mayor que cualquiera de sus factores, siempre que se opera con númerosnaturales, pero esto no es cierto si, por ejemplo, los factores son números racionales menoresque 1.Al anticipar el desarrollo de la clase y prever las condiciones necesarias para que ocurran lasinteracciones que nos interesan, diseñamos una situación problemática a propósito delconocimiento que queremos enseñar. Esta situación incluye un conjunto de elementos yrelaciones que estarán presentes en la clase: el problema, los materiales, una ciertaorganización del grupo, un desarrollo con momentos para distintos intercambios. Alplanificar, también anticipamos los diferentes procedimientos y las representaciones quepodrán usar los alumnos, nuestras preguntas y las conclusiones matemáticas posibles.20

La gestión de la claseHemos planteado ya que, para que los alumnos desarrollen el tipo de trabajo matemáticoque buscamos promover, serán fundamentales las intervenciones del docente durante laclase.El trabajo de resolución de problemas que se propone en este enfoque genera muchas vecesinseguridad. Pensamos: ¿cómo voy a presentar este problema si no muestro antes cómohacerlo?, ¿cómo voy a organizar la clase si cada uno responde de una manera distinta? o¿cómo voy a corregir si hay distintos procedimientos en los cuadernos? Respecto de laprimera pregunta, para iniciar el aprendizaje de un nuevo conocimiento en el proyecto decada año escolar tendremos que presentar un problema asegurándonos de que todos hayancomprendido cuál es el desafío que se les propone. Para que cada alumno acepte ocuparsede él, es esencial generar el deseo de resolverlo. Este tipo de intervención, que busca que elalumno se haga cargo de la resolución, es siempre parte del inicio de la clase, pero puedereiterarse en distintos momentos, toda vez que sea necesario y oportuno. Es una invitaciónpara que el chico resuelva por sí solo y no una orientación sobre cómo debe hacerlo o quédebe hacer. Para comenzar, los niños lo resuelven de manera individual o en pequeñosgrupos, con diferentes procedimientos, según los conocimientos de los que dispone cadauno”Antes de seguir avanzando, consideremos como ejemplos dos problemas y la diversidad deprocedimientos que los alumnos podrían utilizar para resolverlos identificando losconocimientos puestos en juego.Chocolates en el cineAna festejó su cumple yendo al cine con sus amigas Vero y Luz. Llevaron 4chocolates para repartir en partes iguales entre las 3, sin que sobre nada. Dibujacómo pueden repartir los chocolates y escribí cuánto le toca a cada una.21

El reparto de chocolates, se puede pensar de varias formas, dando lugar a procedimientosdiferentes:Seguramente los chicos trabajarán sobre una representación rectangular o cuadrada, dadoel contexto del problema. En el primer procedimiento se piensa que cada chica come 1chocolate y la tercera parte de otro, en el segundo, recibe dos mitades y la tercera parte deotro y en el último, recibe una tercera parte de cada uno de los 4 chocolates. En los tresprocedimientos los conocimientos que los alumnos ponen en juego son la idea de divisióncomo reparto, la de dividir un entero en partes iguales y las de ½ y 1/3, fracciones que son laexpresión de una cantidad que es una parte de un todo. También las escrituras de la partepodrán ser distintas, aditivas, con palabras, sólo con fracciones unitarias, con fraccionesmayores que 1, entre otras, poniendo de manifiesto conocimientos diferentes“1 y 1/3” 1 + 1/3 ½ + ½ + 1/31/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 4/3 “cuatro terceras partes”Algunos alumnos podrían realizar procedimientos con errores marcando los tercios de laforma siguiente:Vemos que si bien se ha considerado que son tres partes, se ha obviado que el reparto debeser equitativo y por lo tanto las partes iguales.Envolver un regaloLas amigas de Ana le llevaron como regalito una tarjeta. La idea fue hacer unamitad cada una en su casa, y luego pegarlas sobre un rectángulo de cartulina quecompró Vero. Cuando se encontraron ambas se sorprendieron porque no podíanpegarlas en el rectángulo. ¿Qué pudo haber ocurrido?22

La no coincidencia de las partes para formar un único entero, pudo provenir de doscuestiones diferentes. Una de ellas es que no hicieran mitades del mismo rectángulo con loque las partes no resultaban de igual área.Otra cuestión es que cada amiga pensara en una mitad de forma distinta a la otra.A B CEn términos de conocimientos, se ponen en juego dos ideas relativas a la noción de fraccióncuando se consideran partes de cantidades: “para que las partes sean comparables entre sídeben referirse a una misma unidad” y “si bien la parte de una cantidad es independiente dela forma, dada una parte, siempre se pueden reconstruir enteros de la misma cantidad demagnitud, que no necesariamente tienen la misma forma”.En este caso (A, B, y C) se trata de tres enteros iguales, todas las partes “mitades” tienen lamisma área y distinta forma y si se combinan, por ejemplo, un triángulo de A y un cuadradode B se obtiene un entero de la misma área que el rectángulo original.Volviendo a la caracterización de la gestión de la clase, esta variedad de procedimientosdeberá ser objeto de debate y reflexión, tal como se explicita a continuación retomando eltexto incluido en los Cuadernos para el aula. Cabe señalar que este análisis de lo producidono necesariamente se realiza inmediatamente después de terminar de resolver. Porejemplo, algunos procedimientos podrían conservarse para ser retomados en otra clase.“…, habrá que dar lugar a un intercambio donde participen todos los alumnos y en el que sevayan explicando las diferentes aproximaciones al conocimiento que se quiere enseñar, ydebatir sobre ellas. Al analizar las diferentes soluciones, tendremos que valorizar de igual23

modo todas las producciones, ya sea que permitan o no arribar a una respuesta al problemaplanteado.Al dar lugar a la presentación y explicación de los procedimientos utilizados por los chicos, esnecesario animarlos a dar razones de lo realizado, a explicar por qué lo hicieron de ciertaforma, a argumentar sobre la validez de sus producciones. Esto les permitirá volver sobre loque han pensado, para analizar sus aciertos y errores, y controlar, de este modo, el trabajo.Alentarlos a hablar o participar a aquellos que no lo hacen espontáneamente significatrabajar suponiendo que los chicos pueden progresar y no que van a fracasar.En algún caso, recuperar todas las producciones escritas distintas, y presentarlas en conjuntopara compararlas y discutir cómo mejorar cada una, puede contribuir a “despersonalizar” lasmismas, focalizando el análisis en su validez o nivel de generalidad y no en los conocimientosde quienes las elaboraron. Así el “error” de unos se capitaliza en la reflexión de todos.Este trabajo incorpora a los alumnos en el proceso de evaluación en un lugar diferente delhabitual, donde quedan a la espera de la palabra del docente que les ratifica de inmediato silo que hicieron está bien o no. Si han asumido como propia la tarea de resolución, querránsaber si lo producido es o no una respuesta a la pregunta que organizó el quehacermatemático en el aula. El debate del conjunto de la clase dará por válida o no una respuesta,y llevará a la modificación de los procedimientos que conducen a errores.En un comienzo, las razones que los alumnos den al debatir se apoyarán en ejemplos,comprobaciones con materiales como plegar papeles o tomar medidas, entre otros casos,para luego avanzar hacia el uso de propiedades.A la vez, estas últimas se enunciarán con distintos niveles de generalidad; por ejemplo,pasaremos de: Podés hacer 4 + 3 y te da lo mismo que 3 + 4, en el Primer Ciclo, a: Al sumar esposible cambiar el orden de los números, en el Segundo Ciclo.Con la intervención del maestro, se reconocerán y sistematizarán los saberes que se vandescubriendo. Esta tarea de establecer relaciones entre las conclusiones de la clase y elconocimiento matemático al que se pretende llegar, introduciendo las reglas y el lenguajeespecíficos, y entre los conocimientos ya incorporados y los nuevos, es una tarea que estásiempre a cargo del maestro y que resulta imprescindible para que los alumnos identifiquenqué han aprendido.24

Para esto, no tenemos que basarnos en ningún esquema rígido. Esas intervenciones puedendarse en distintos momentos, siempre que sean oportunas; es decir que lleguen después deque los alumnos hayan desplegado sus propios razonamientos.El camino propuesto no implica diluir la palabra del maestro. Cuando los chicos estánresolviendo los problemas solos o con su grupo, el maestro podrá pasar cerca de cada uno,atendiendo lo que van haciendo, los términos que usan, lo que escriben, quiénes noparticipan y quiénes siguen atentamente –aun sin hablar– lo que hacen sus compañeros. Detal modo, el maestro tendrá un registro del conjunto de conocimientos que se despliegan enla clase. Esta información será fundamental para tomar decisiones en el momento deldebate: ¿qué grupo conviene que hable primero?, ¿cuáles tienen una respuesta similar?,¿qué procedimiento es el más potente para hacer avanzar el debate hacia el conocimientoque se espera enseñar? Esto permitirá optimizar el tiempo dedicadoa la puesta en común, de manera que no resulte tediosa para los alumnos ya que, cuando losprocedimientos son muy similares, bastará con tomar como objeto de análisis la producciónde uno solo de los grupos.El docente tampoco queda al margen del debate de la clase, puesto que es él quien loconduce. A veces, las conclusiones a las que los chicos llegan en conjunto son parcialmenteválidas. Allí, el maestro podrá decir, por ejemplo: Por ahora acordamos que resolvemos así;en la próxima clase lo seguiremos viendo. De esta manera, interviene en el proceso sinanticiparse, pero dejando marcas, planteando la provisoriedad de lo acordado o algunacontradicción que queda pendiente por resolver. Así, no invalidaremos el trabajo de la“comunidad clase”, pero dejaremos instalado que hay alguna cuestión que hay que seguirdiscutiendo.En relación con el modo de organizar la clase frente a las distintas respuestas y tiempos detrabajo de los niños, los docentes muchas veces planteamos situaciones para que seanresueltas por todo el grupo, lo que nos permite valorar, corregir, hacer señalamientos a lasintervenciones de los alumnos.Es cierto que es más fácil llevar adelante el trabajo colectivo sobre un único procedimiento,pero de este modo se corre el riesgo de que solo un grupo de alumnos participe activamentesiguiendo al maestro, mientras otros se quedan al margen de la propuesta; y aunque todos losiguieran, lo aprendido se limita a una única manera de pensar.25

La alternativa que proponemos a la organización habitual de la clase, según nuestrosobjetivos, será armar la actividad de distintas maneras: individual, por pares o grupos de másalumnos, y aun con distintos tipos de tareas para cada grupo o dentro del mismo grupo,alentando la movilidad de los roles y estando atentos a la posible configuración deestereotipos que, lamentablemente, algunas veces hacen que la discriminación se exprese enla clase de Matemática.Tanto los momentos de trabajo individual como los compartidos en grupo aportan al alumnoun tipo de interacción diferente con el conocimiento, por lo que ambos deberán estarpresentes en la clase.Muchas veces, cuando estamos a cargo de un plurigrado, separamos a los niños según elaño/grado que cursan, y vamos atendiendo a un grupo por vez.Sin embargo, a la hora de realizar adaptaciones a las actividades presentadas, es importantetener en cuenta el enfoque de enseñanza, de manera de no perder la riqueza de laspropuestas que ofrecemos. Por ejemplo, para alcanzar determinados aprendizajes, esindispensable generar espacios de debate en los que deberían participar alumnos quecompartan repertorios de conocimientos y niveles de análisis similares. Sin embargo, ocurremuy frecuentemente que en estos escenarios haya solo uno o que sean muy pocos losalumnos en alguno de los años/grados, lo que hace imposible organizar un verdadero debateentre ellos. En estos casos, proponemos agrupar niños de varios años/grados y organizaractividades con un contexto común, proponiendo una tarea distinta a cada grupo, de modoque los desafíos sean adecuados a los distintos conocimientos de los alumnos. Esto permiteque en el momento de la confrontación todos los alumnos puedan entender las discusionesque se generen e incluso puedan participar de las mismas, aunque no sean originadas por laactividad que le correspondió a su grupo. Por ejemplo, se podría proponer para gruposarmados con niños de 4º, 5º y 6º años/grados un juego como “La escoba del uno” 1 de cartascon fracciones, diferenciando la complejidad a la hora de analizar las partidas simuladas.En esta propuesta, el cuaderno o la carpeta tiene diferentes funciones: en él, cada chicoensaya procedimientos, escribe conclusiones que coinciden o no con su resolución y,eventualmente, registra sus progresos, por ejemplo, en tablas en las que da cuenta delrepertorio de cálculos que ya conoce. De este modo, el cuaderno o la carpeta resultan unregistro de la historia del aprendizaje y los docentes podemos recuperar las conclusiones quelos alumnos hayan anotado cuando sea necesario para nuevos aprendizajes.26

En este sentido, conviene además conversar con los padres que, acostumbrados a otros usosdel cuaderno, pueden reclamar o preocuparse al encontrar en él huellas de errores que paranosotros juegan un papel constructivo en el aprendizaje. De todos modos, es recomendablediscutir con el equipo de colegas de la escuela cómo se registra en el cuaderno la presenciade una producción que se revisará más adelante.También el pizarrón tiene diferentes funciones. Allí aparecerá todo lo que sea de interés parael grupo completo de la clase, por ejemplo: los procedimientos que queremos que losalumnos comparen, escritos por un representante del grupo que los elaboró o por el maestro,según lo que parezca más oportuno.Convendrá usar también papeles afiche o de otro tipo para llevar el registro de lasconclusiones, como tablas de productos, acuerdos sobre cómo describir una figura, etc., paraque el grupo las pueda consultar cuando sea necesario.Promover la diversidad de producciones es un modo de incluir a todos en el aprendizaje, degenerar confianza en las propias posibilidades de aprender y de poner en evidencia lamultiplicidad de formas de pensar frente a una misma cuestión, así como la necesidad deacordar cuáles se consideran adecuadas en función de las reglas propias de la Matemática.Es muy importante instalar en la escuela las condiciones necesarias para que los niñossientan que los errores y los aciertos surgen en función de los conocimientos que circulan enla clase, es decir que pueden ser discutidos y validados con argumentos y explicaciones. Es asícomo pretendemos que los chicos vayan internalizando progresivamente que la Matemáticaes una ciencia cuyos resultados y progresos se obtienen como consecuencia necesaria de laaplicación de ciertas relaciones y del debate entre quienes las plantean, y no como unapráctica de la adivinación o del azar o un saber que no sufre transformaciones.De todos modos, sabemos que seleccionar problemas y secuencias de actividades quepuedan ser abordadas por los alumnos de la clase con distintas herramientas, e intervenirconvenientemente para que todos puedan avanzar, supone para nosotros una dificultadmucho mayor que la de presentar un problema que la mayoría resuelve de la misma manera.Quizá nos dé un poco de tranquilidad saber que a trabajar en grupo se aprende y que, en elinicio de este aprendizaje, hay que tolerar una cuota de desorganización, hasta que losalumnos incorporen la nueva dinámica.Una cuestión ligada a la organización de la enseñanza que conviene tener en cuenta es la dearticular, en cada unidad de trabajo, algún conjunto de actividadesque formen una27

secuencia para desarrollar cierto contenido. El criterio que utilizamos al presentar algunosejemplos en el apartado “Propuestas para la enseñanza” es que en cada nueva actividad deuna misma secuencia se tome como conocimiento de partida aquel que haya sidosistematizado como conclusión en la anterior.Otra cuestión también ligada a la elaboración de una unidad de trabajo, y que permitemejorar el uso del tiempo de clase, es la articulación de contenidos. Algunos contenidosrelacionados con distintos NAP pueden abordarse en una misma unidad y aún en una mismasecuencia. Por ello, es conveniente tener en cuenta que la presentación de los NAP no indicaun orden de enseñanza y que, antes de armar las unidades, es indispensable tener unpanorama de la totalidad de la propuesta”.28

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