Interferencia y Socavamiento en Engranes.

Interferencia y Socavamiento en Engranes.José María Rico MartínezDepartamento de Ingeniería Mecánica.Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista.CP 36730, Salamanca, Gto., MéxicoTel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400.E-mail: jrico@salamanca.ugto.mxEstas notas tienen como objetivo analizar, a la luz de la estandarización de engranes, dosfenómenos que ocurren durante la operación y corte de los engranes, la interferencia yelsocavamiento que tienen un fundamento en común: El incumplimiento de la ley fundamentalde los engranes. Para que dos engranes transmitan movimiento de rotación uniformemediante deslizamiento, es necesario que el contacto entre los dientes de los engranes ocurrasiempre en las partes del perfil del diente, donde se tiene un perfil de involuta. Cuando estaley no se cumple se presentan los fenómenos indicados. Si los engranes ya han sido construidosy los materiales de ambos engranes son de dureza aproximadamente igual, se presenta elfenómeno de interferencia que consiste basicamente en que los engranes se “traban”. Si elincumplimiento de la ley fundamental del engranage ocurre durante la fabricación de uno de losengranes, donde usualmente el engrane que hace las veces de cortador es de una dureza muchomayor que el engrane que se va a cortar, se presenta el fenómeno de socavamiento o undercuttingque ocasiona que el engrane que se corta tiene dientes que presentan un “cuello”. Estacaracterística reduce la resistencia del diente a la fatiga y además reduce la relación de contacto,evidentemente estas situaciones van en detrimento de la capacidad de carga del engranage.1 Interferencia y socavamiento entre un engrane y unacremallera.En esta sección analizaremos el problema de la interferencia entre un engrane y una cremallera,posteriormente estos resultados se extenderán al problema de socavamiento cuando un engranese corta por el método de hobbing que es cinemáticamente equivalente al corte de un engranemediante una cremallera en el método empleado por la comapñia alemana Maag.La figura 1 muestra el apareamiento entre un engrane y una cremallera, una cremalleraes equivalente a un engrane de radio de paso infinito, como el adendo de ambos, engrane ycremallera es el mismo y el radio de paso de la cremallera es infinito, la posibilidad de que elcontacto entre engrane y cremallera ocurra en una porción del perfil del diente donde el perfilno sea de involuta, ocurrirá siempre en el flanco del diente del engrane de menor radio, en estecaso el engrane.La figura 1 muestra la razón del problema de interferencia y socavamiento, el contacto de lalínea de adendo de la cremallera, con el flanco del diente del engrane, ocurre para un valor delradio del engrane menor al radio base del engrane, determinado por el punto de interferenciaE. Es necesario recordar que por la propiedades de la curva involuta de un círculo, por debajodel radio base no hay perfil de involuta. De manera que es posible enunciar el siguiente resultadoTeorema. Una condición necesaria y suficiente para evitar la interferencia o el socavamiento1

Table 2: Número mínimo de dientes necesarios para que un engrane que se va cortar por elmétodo de hobbing o Maag no presente socavamiento.AGMA AGMA AGMA ASA Stub BS DIN DIN201.02 201.02 207.06φ =20 ◦ φ =25 ◦ φ =20 ◦ φ =14.5 ◦ φ =20 ◦ φ =20 ◦ φ =20 ◦ φ =20 ◦k 1.25 1.25 1.2 ∗ 1.157 1.0 1.25 1.157 1.167N 1 21.37 13.99 20.51 36.91 17.09 21.37 18.78 19.95N 1min 22 14 21 37 18 22 19 20Nota: El resultado marcado con un ∗ es aproximado pues el dedendo incluye, en este estándar,un término constante de 0.002.el método de shaping o Fellows que es cinemáticamente equivalente al corte de un engranemediante otro engrane.La figura 3 muestra el apareamiento entre dos engranes de diferente tamaño, la posibilidadde que el contacto entre los engranes ocurra en una porción del perfil del diente donde el perfilno sea de involuta, ocurrirá siempre en el flanco del diente del engrane de menor radio, conocidocomo piñon.Figure 3: Apareamiento entre dos engranes.Teorema. Una condición necesaria y suficiente para evitar la interferencia o el socavamientoentre dos engranes es que la intersección de radio de adendo del engrane mayor, este localizadoen el segmento determinado por los puntos de interferencia E 1 y E 2 .En un primer análisis, se determinará elnúmero mínimo de dientes que dos engranes del4

mismo tamaño, y por lo tanto del mismo número de dentes, deben tener para que no se presenteinterferencia. Posteriormente, este análisis se extenderá alanálisis de socavamiento durante elproceso de corte mediante el método de shaping o Fellows que es cinemáticamente equivalenteal corte de un engrane mediante otro engrane.Figure 4: Interferencia y socavamiento entre dos engranes del mismo tamaño.La condición numérica para evitar la interferencia o el socavamiento se muestra en la figura4. La condición necesaria para evitar la interferencia y socavamiento está dadapor(R p2 + a) 2 = R 2 o2 ≤ O 2 E 122 2= O 2 E 2 + E2 E 1 = R2b2 +(CSenφ) 2 = Rb2 2 +[(R p1 + R p2 )Senφ] 2 .(3)Sin embargo, en este caso los engranes son del mismo tamaño, por lo que R p1 = R p2 = R p ,demanera semejante R b1 = R b2 = R b y la desigualdad puede escribirse comooo(R p + a) 2 ≤ R 2 b2 +(2R p Senφ) 2 =(R p Cosφ) 2 +(2R p Senφ) 2 = R 2 p(1 + 3 Sen 2 φ). (4)SustituyendoR p + a ≤ R p1+3Sen 2 φ. (5)a ≤ R p1+3Sen 2 φ − 1R p =N2 P dy a = k P d. (6)donde, k es la constante que dividida entre en el paso diametral, P d proporciona el adendo, enel caso de la interferencia, y el dedendo, en el caso del socavamiento, la condición se reduce a 2kP d≤N2 Pd1+3Sen 2 φ − 1. (9)2 El mismo resultado se obtiene para engranes métricos, pero en este caso, la constante k se multiplica por elmódulo, m, de manera que la desigualdad dada por (9) se escribe comokm≤ Nm äÔ1+3Sen 2 φ − 1ç. (7)2de manera que despejando el número de dientes, se tiene que2 kN ≥ Ô (8)1+3Sen 2 φ − 15

Despejando el número de dientes en esta desigualdad, se tiene que2 kN ≥ Ô1+3Sen2 φ − 1(10)La siguiente tabla 3 muestra, para cada uno de los diferentes estandares, el número mínimode dientes necesarios para que dos engranes del mismo tamaño puedan aparearse sin interferencia.Table 3: Número mínimo de dientes necesarios para que dos engranes del mismo tamaño nopresenten interferencia cuando se aparean.AGMA AGMA AGMA ASA Stub BS DIN201.02 201.02 207.06φ =20 ◦ φ =25 ◦ φ =20 ◦ φ =14.5 ◦ φ =20 ◦ φ =20 ◦ φ =20 ◦k 1 1 1 1 0.8 1 1N 2 12.32 8.35 12.32 22.22 9.85 12.32 12.32N 2min 13 9 13 23 10 13 13La siguiente tabla 4 muestra, para cada uno de los diferentes estandares, el número mínimode dientes necesarios para que un engrane que se produce por el método de shapping oel método Fellows, que es equivalente al apareamiento entre dos engranes, no presente socavamientoen sus dientes, cuando el engrane que hace las veces de cortador y el engrane quese va a cortar tienen el mismo número de dientes. De nueva cuenta, en este caso la constantek que debe emplearse es la correspondiente al dedendo, b.Table 4: Número mínimo de dientes necesarios para que un engrane no presente socavamientocuando se corte mediante el método de shapping o Fellows que emplea un cortador formadopor un engrane del mismo tamaño.AGMA AGMA AGMA ASA Stub BS DIN DIN201.02 201.02 207.06φ =20 ◦ φ =25 ◦ φ =20 ◦ φ =14.5 ◦ φ =20 ◦ φ =20 ◦ φ =20 ◦ φ =20 ◦k 1.25 1.25 1.2 ∗ 1.157 1.0 1.25 1.157 1.167N 2 15.40 10.44 14.78 25.71 12.32 15.40 14.25 14.38N 2min 16 11 15 26 13 16 15 15Nota: El resultado marcado con un ∗ es aproximado pues el dedendo incluye, en este estándar,un término constante de 0.002.3 Determinación del número máximo de dientes con elque un piñon puede aparearse sin interferencia.Los resultados obtenidos en las dos últimas secciones generan un nuevo análisis. El mínimonúmero de dientes que dos engranes del mismo tamaño pueden tener para que no exista interferenciaes menor al mínimo número de dientes que un engrana debe tener para que sepueda aparearse con una cremallera sin interferencia. Entonces, es necesario determinar, paralos piñones cuyo número de dientes se encuentran entre estos dos límites,cualeselnúmeromáximo de dientes con el que un piñon puede aparearse sin que se presente interferencia.6

Como ya se indicó, la interferencia se presenta en el engrane más pequeño, la figura 5muestra un espuema del engrane y el piñon. Puede observarse que que el final del contactoentre la pareja de dientes ocurre en el punto de interferencia B = E 2 localizado en el radio basedel piñon.Figure 5: Interferencia y socavamiento entre dos engranes de diferente tamaño.La condición numéricaparaevitarlainterferenciasemuestraenlafigura5yestádadapor(R p1 + a) 2 = R 2 o1 ≤ O 1E 222 2= O 1 E 1 + E2 E 1 = R2b1 +(CSenφ) 2 = Rb1 2 +[(R p1 + R p2 )Senφ] 2 .(11)Sin embargo, sustituyendo los valores del radio base, de los radios de paso y del adendo, ladesigualdad puede escribirse como(R p1 + a) 2 ≤ R 2 b1 +[(R p1 + R p2 )Senφ] 2 =[R p1 Cosφ] 2 +[(R p1 + R p2 )Senφ] 2 . (12)o åN1è+2k 2 å 2 N1å≤2 P d 2 P dCosφèN1 + N 22+2 P dSenφè. (13)o[N 1 +2k] 2 ≤ [N 1 Cosφ] 2 +[(N 1 + N 2 )Senφ] 2 . (14)oN1 2 +4N 1 k +4k 2 ≤ N1 2 Cos2 φ + N1 2 Sen2 φ +2N 1 N 2 Sen 2 φ + N2 2 Sen2 φ (15)o4 N 1 k +4k 2 ≤ 2 N 1 N 2 Sen 2 φ + N2 2 Sen 2 φ (16)o, finalmenteN 1 ≤ N 2 2 Sen 2 φ − 4 k 24 k − 2 N 2 Sen 2 (17)φPara ilustrar el empleo de esta desigualdad, considere el caso del estándar AGMA 201.02que considera un ángulo de fase φ =20 ◦ , la Tabla 1, se sabe que el número mínimo de dientes7

que un engrane debe tener para que pueda aparearse con una cremallera, sin que se presenteinterferencia es de 18. Por otro lado, la Tabla 3, muestra que el número mínimo de dientesque una pareja de engranes iguales debe tener para que puedan aparearse entre si, sin que sepresente interferencia, es de 13. Entonces, una pregunta salta a la vista, cual es el númeromáximo de dientes con los que pueden aparearse los engranes que tienen 13, 14, 15, 16, 17.Table 5: Número máximo de dientes necesarios para que un piñón de 13 a 17 dientes diseñadomediante el estandar AGMA 201.02, φ =20 ◦ y k = 1 pueda aparearse sin interferencia.N 1 =13 N 1 =14 N 1 =15 N 1 =16 N 1 =17N 2 16.45 26.12 45.48 101.07 1309.86N 2max 16 26 45 101 13098