Análisis Diferencial de la Curva Involuta de un C´ırculo.

determinarán las segundas derivadas de las coordenadas de la curva involutad 2 xdψ 2 = rå d Cosψ− Senψdψ θå= dr Cosψè− Senψ − rå Senψè+ Cosψ + Cosψ dθdψ θθθ 2 (22)dψDebe notarse que, de las ecuaciones (12, 13), se tiene queèdθdψ = dθ dφdφdψ = Sec2 φtan 2 φ = 1Sen 2 φSustituyendo las ecuaciones (14, 23, 3) en la ecuación (22), se tiene queåd 2 xdψ 2 = r Cosψè− Senψ − rå Senψè+ Cosψ + Cosψθ θθθ 2 Sen 2 φå 2 Senψ è= −r + Cosψ 1+ 1 θθ 4Similarmente, la segunda derivada de y está dadapord 2 ydψ 2 = rå d Senψè+ Cosψdψ θå= dr Senψè+ Cosψ + rå Cosψ− Senψ − Senψ dθdψ θθθ 2 dψå= r Senψè+ Cosψ + rå Cosψè− Senψ −Senψθ θθθ 2 Sen 2 φå 2 Cosψ è= r − Senψ 1+ 1 θθ 4è(23)(24)(25)De la figura 1, el vector unitario normal, a la curva involuta, en el punto P ,está dadoporê n = −Senθî + Cosθĵ. (26)Por lo tanto, la aceleración normal está dada pora n d2 x=dψ 2 î + d2 ydψ 2 ĵ · ê n = − d2 xdψ 2 Senθ + d2 ydψ 2 Cosθ= rå 2 Senψ è+ Cosψ 1+ 1 θθ 4 Senθ + rå 2 CosψθRecordando las identidades trogonométricas− SenψSenφ = Sen(θ − ψ) =SenθCosψ − Cosθ SenψCosφ = Cos(θ − ψ) =CosθCosψ + SenθSenψ è1+ 1 θ 4 Cosθ5

se tiene quea n = r= rå 2θ (SenθSenψ + CosθCosψ) 1+ 1 θå 42 èθ Cosφ + 1+ 1 θ 4 Senφ = rCos φå 2 èθ += rCos φ1+ 1 θ 4θ(SenθCosψ − CosθSenψ)å 2θ + 1+ 1 θ4= rCos φ 2θ + 1+θ4θ 4 θ=tanφ= rCos φ (1 + θ2 ) 2θ 3 (28)Por otro lado, el cuadrado de la magnitud de la velocidad de una partículaque se desplaza a lo largo de la curva involuta está dadapor dx2v 2 = + 2å 2å dy2 CosψSenψ= r − Senψè2+ r + Cosψè2dψ dψθθ= rθ2äCos 2 ψ − 2 θCosψSenψ+ θ 2 Sen 2 ψ + Sen 2 ψ +2θSenψCosψ+ θ 2 Cos 2 ψ ç= r2 (1 + θ 2 )θ 2 (29)Finalmente, el radio de curvatura de la curva involuta en un punto arbitrario,está dadoporρ = v2 r 2 (1+θ 2 )θrθ=2=a n rCos φ (1+θ2 ) 2Cosφ(1 + θ 2 (30))θ 3Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (30), se tiene quer tan φρ =Cosφ(1 + tan 2 φ) = r tan φCosφSec 2 φ = r tan φ = rSenφ= BP. (31)SecφDonde el último paso requiere de la ayuda de la figura 1. Asi pues, se ha probadola siguiente proposiciónProposición 2. El centro de curvatura de la curva involuta, en un puntoarbitrario, siempre yace sobre el círculo base de la propia involuta.Otra interpretación de este resultado es que, verdaderamente, la evoluta dela involuta de un círculo es el propio círculo.References[1] Ángeles, A. J. (1978), Análisis y Síntesis Cinemáticas de SistemasMecńicos, Limusa Wiley: Ciudad de México.[2] Mabie, H.H. y Ovcirk, F.W. (1988), Mecanismos y Dinámica deMaquinaria, Limusa: Ciudad de México.[3] Mabie, H.H. y Reinholtz C.F. (1987), Mechanisms and Dynamics of Machinery,John Wiley and Sons: New York.èè(27)6