Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa.

Figura 1: Representación Gráfica del Isomorfismo Entre el Rango de T y el Espacio Columna de M.donde I m es la matriz identidad de orden m; es decir con m filas y m columnas.Prueba: Por el isomorfismo entre matrices y transformaciones lineales, sabemos que hay una transformaciónlineal T : V → V ′ tal que dimV = dimV ′ = m, podemos, por simplicidad, suponer que V = V ′ ,talque M es la matriz representativa de T respecto a una base B V 1 del espacio vectorial V puesto queρ(M) =m, entonces ρ(T )=m y T es sobreyectiva, además, puesto queν(T )+ρ(T )=V se tiene que ν(T )=m − m =0Por lo tanto T es biyectiva y existe una transformación inversa T −1 que satisface la propiedadTT −1 = I V = T −1 TSea M −1 la matriz representativa de T −1 respecto a la base B V y recordando:1. La matriz identidad I m es la matriz representativa de I V respecto a cualquier base, y2. Si M y N son las matrices representativas de S y T respecto a una base, MN es la matrizrepresentativa de ST respectoalamismabase,se tiene queMM −1 = I m = M −1 M.Para la unicidad suponga, nuevamente, que hay dos matrices inversas M1 −1 y M2 −1 , entoncesEntoncesMM −11 = I m = M −11 M y MM−1 2 = I m = M −12 MMM1 −1 = I m = MM2 −1 o M1 −1 −11 )=M1 m = M1 −1 2 )(M1 −1 −1M)M1 = M1 −1 =(M1 −1 −1M)M2I m M1 −1 = M1 −1 = I m M2 −1 o M1 −1 = M2−1Definición. Sea M ∈ M m×m . Entonces M se dice que es no-singular o invertible si ρ(M) =m.Si ρ(M)

Corolario. Si la matriz M ∈ M m×m es invertible, existe una única matriz M −1 ∈ M m×m tal queMM −1 = I m = M −1 MTeorema. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. Entonces AB es no-singular, si y sólosi A y B son no singulares. En este caso (AB) −1 = B −1 A −1 .Teorema. Si A es no singular, entonces A −1 es no singular y (A −1 ) −1 = A. Además, λA es no singularpara todo λ ≠0y(λA) −1 = 1 λ A−1 .Prueba: Si A es no singular, existe A −1 tal queAA −1 = I = A −1 AEntonces (A −1 ) −1 = A y A −1 es no singular. Similarmente considere(λA)( 1 λ A−1 )=λ 1 λ AA−1 =1I = Iy ( 1λ A−1 )(λA) = 1 λ λA−1 A =1I = IPor lo tanto, λA es no singular y(λA = −1 = 1 λ A−1Teorema. Si A es no singular, entonces A T es no singular y (A T ) −1 =(A −1 ) T .Prueba. Si A es no singular, existe A −1 tal queAA −1 = I = A −1 AademásPor lo tanto(A −1 ) T A T =(AA −1 ) T = I T = I =(A −1 A) T = A T (A −1 ) T(A T ) −1 =(A −1 ) T3. Problemas Resueltos.Problema 1. Encuentre la matriz inversa de⎡M 1 = ⎣ 1 −2 3⎤−1 1 2 ⎦1 3 −1Solución. Para este fin, escriba la matriz “de bloques ”dada por⎡1 −2 3 1 0⎤0[M 1 |I 3 ]= ⎣ −1 1 2 0 1 0 ⎦1 3 −1 0 0 1El proceso consiste en realizar operaciones entre las filas de la matriz [M 1 |I 3 ]detalmaneraquelapartedelamatrizdebloquesqueinicialmentecorrespondeM 1 se convierta en la matriz I 3 . Cuandoesto ocurra, la parte de la matriz de bloques que inicialmente corresponde a I 3 se convierte en M1 −1 .Elproceso se realiza en etapas.3

1. En la primera etapa, se sustituye la segunda fila por la suma de la segunda fila con la primera filay la tercera fila por la resta de la primera fila a la tercera fila. Lamatrizresultantees⎡[M 1 |I 3 ] I = ⎣ 1 −2 3 1 0 0⎤0 −1 5 1 1 0 ⎦0 5 −4 −1 0 1Además, se multiplica la segunda fila por −1, de manera que al final de esta primera etapa, lamatriz de bloques tiene la forma⎡[M 1 |I 3 ] Ia = ⎣ 1 −2 3 1 0 0⎤0 1 −5 −1 −1 0 ⎦0 5 −4 −1 0 12. En un segunda etapa, se tiene que substituir la tercera fila por la resta de −5 veces la segunda filaa la tercera fila, de modo que⎡[M 1 |I 3 ] II = ⎣ 1 −2 3 1 0 0⎤0 1 −5 −1 −1 0 ⎦0 0 21 4 5 1Además, se divide la tercera fila entre 21, de modo que⎡[M 1 |I 3 ] IIa = ⎣ 1 −2 3 1 0 00 1 −5 −1 −1 04 5 10 0 121 21 213. En una tercera etapa, se sustituye la segunda fila por la suma de la segunda fila con 5 veces la tercerafila y la primera fila por la resta de 3 veces la tercera fila a la primera fila. La matriz resultante es⎡91 −2 021− 1521− 321⎢[M 1 |I 3 ] III = ⎣ 0 1 0 − 1 4 521 21 214 5 10 0 121 21 214. En una etapa final, se sustituye la primera fila por la suma de la primera con 2 veces la segundafila. La matriz resultante es⎡⎢[M 1 |I 3 ] IV = ⎣ 0 1 0 − 1 2140 0 12171 0 021− 721421521721521121⎤⎦⎤⎥⎦⎤⎥⎦Porlotanto,lamatrizinversa,M −11 ,estádadapor⎡M1 −1 ⎢= ⎣721− 7 21− 1 421 214 521 21721521121⎤⎥⎦Este resultado puede verificarse mediante multiplicación directa entre M y M −1 .4

4. Problemas Propuestos.Problema 1. Determine el rango de las siguientes matrices⎡M 1 = ⎣ 1 −2 2 1 0⎤ ⎡3 1 0 5 2⎦ M 2 = ⎣ 1 −1 3 1⎤3 2 0 −1⎦−1 2 1 −1 30 1 2 1Problema 2. Considere el inciso 1, del problema 2, del apunte 14, Espacio Nulo y Rango de unaTransformación Lineal que presenta una transformación lineal dada porT : P 3 → R 3 T (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 =(a 0 − a 1 ,a 2 ,a 3 , 0) (1)Encuentre la matriz representativa de la transformación lineal con respecto a las bases B P 3 = {p 1 (x) =1,p 2 (x) =x, p 3 (x) =x 2 ,p 4 (x) =x 3 } y BR 3 = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} ymuestrequeel rango de la matriz representativa es igual al rango de la transformación lineal.Problema 3. Encuentre la matriz inversa de⎡M 1 = ⎣ 1 −2 2 ⎤3 1 0⎦−1 2 15