Teorema de Muestreo.pdf

Conversión AD y DAAlgunos parámetros de interés para los DAC son:La resolución, exactitud, el error de escala, error de offset, monotonía,Tiempo de establecimiento, slew-rate, sobrepico y glith, derivadas con latemperatura y con el envejecimiento entre otros parámetros.Para los ADC son:Rechazo al ruido, resolución, error de cuantización, error de histéresis,error de offset, error de cero, y error de escala.Dr. Luis Javier Morales Mendoza 13Muestreo de Señales5.3. Muestreo de señales analógicasExisten muchas maneras de muestrear una señal, la más común es elmuestreo periódico o uniforme. Este proceso se describe mediante larelaciónx( n) x ( nT )=a–∞ < n < +∞ (1.1)donde x(n) es la señal en tiempo discreto obtenida tomando muestras de laseñal analógica x a (t) cada T segundos. Este proceso se ilustra en la Figura1.10. El intervalo de tiempo T entre dos muestras sucesivas se denominaperiodo de muestreo o intervalo de muestreo, y su reciproco (1/T = F s ) sellama velocidad de muestreo (muestras por segundo) o frecuencia demuestreo (Hertz).Dr. Luis Javier Morales Mendoza 147

Muestreo de Señalesx a (t)x(n) = x a (nt)x a (t)F s = 1/TMuestreadorx(n)x a (t)x(n) = x a (nt)t1 2 3 4 5 6 7 8 9T 2T …5T … 9T … t = nTnFigura 1.10: Muestreo periódico de una señal analógicaDr. Luis Javier Morales Mendoza 15Muestreo de SeñalesEl muestreo periódico establece una relación entre las variables t detiempo continuo y n de tiempo discreto. De hecho, estas variables serelacionan linealmente a través del periodo de muestreo T o equivalentemente,a través de la velocidad de muestreo comont nT =T= (1.2)Como consecuencia de (1.2), existe una relación entre la variable frecuenciaF de las señales analógicas y la variables frecuencia f de las en tiempodiscreto. Para establecer dicha relación si se considera una señal analógicade la forma( t) = A ( π Ft +θ )x a2cos (1.3)Dr. Luis Javier Morales Mendoza 168

Muestreo de Señalesque, cuando se muestrea periódicamente a una velocidad de F s = 1 /Tmuestras por segundo, da lugar a( nT ) ≡ x( n) = Acos( π nFT +θ )x a2x⎛ 2πnF( n) = Acos⎜ + θ ⎟ ⎝ F s ⎠Si una señal en tiempo discreto es expresada como( n) = A ( π nf +θ )x 2⎞(1.4)cos (1.5)entonces, al comparar la relación (1.4) con la (1.5), se observa que lasvariables de frecuencia F y f están linealmente relacionadas comoDr. Luis Javier Morales Mendoza 17Muestreo de SeñalesFf = (1.6)F sSi ω = 2πf y Ω = 2πF, entonces, la (1.6) queda comoω = ΩT(1.7)La relación dada en (1.6) justifica el nombre de frecuencia normalizada orelativa, que se usa a veces para describir a la variable f. Como se ve en(1.6), se puede usar a f para determinar a la frecuencia F solo si la frecuenciade muestreo F s es conocida.El rango de la variable de frecuencia F ó Ω para senoides en tiempocontinuo es–∞ < Ω < +∞ –∞ < F < +∞ (1.8)Dr. Luis Javier Morales Mendoza 189

Muestreo de SeñalesSin embargo, la situación es diferente para senoides en tiempo discreto, lascuales establecen que–½ < F < ½ –π < ω < π(1.9)Sustituyendo (1.6) y (1.7) en (1.9) se encuentra que la frecuencia de lasenoide en tiempo continuo cuando se muestreo a una velocidad F s = 1/Tdebe encontrarse en el rangoo equivalentemente1 Fs= −2T2Fs≤ F ≤21=2T− (1.10)π= −πFs≤ Ω ≤ πFsTπ=T− (1.11)Dr. Luis Javier Morales Mendoza 19Muestreo de SeñalesEjemplo 1. considere la siguiente señal analógicax a( t) = 3cos( 100πt)a) Si la señal se muestrea a una velocidad de F s = 200Hz ¿cuál es laseñal en tiempo discreto obtenida tras el muestreo?.b) Si la velocidad de muestreo cambia a F s = 75Hz.Sol. Aplicando la (1.4) se tienea)b)xx⎛100π⎜⎝ 200⎞⎟⎠( n) = 3cos n =⎛100π⎜⎝ 75⎞⎟⎠( n) = 3cos n =⎛ π ⎞3cos⎜n⎟⎝ 2 ⎠⎛ 4π⎞3cos⎜n⎟⎝ 3 ⎠Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2010

Muestreo de SeñalesFigura 1.11: Muestreo de la señal x a (t)Dr. Luis Javier Morales Mendoza 21Teorema del Muestreo5.4. Teorema de MuestreoDada una señal analógica cualesquiera, ¿cómo se debe elegir el periodo demuestreo T? ó ¿cual es velocidad de muestres F s ? Para contestar esta preguntaes necesario cierta información sobre la característica de la señal queva a ser muestreada.En particular, se debe tener cierta información general sobre el contenidode frecuencia de la señal. Generalmente, dicha información se encuentradisponible, por ejemplo se sabe que la frecuencia mayor en señales de vozronda los 3KHz o en las señales de televisión tiene componentes de frecuenciaimportante hasta los 5MHz.La información contenida en dichas señales se encuentra en la amplitud,frecuencia y fase de las distintas componentes de frecuencia, pero antes deobtener dichas señales no se conoce sus características con detalle.Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2211

Teorema del MuestreoDe hecho, el propósito del procesado de señal es normalmente la extracciónde dichas características. Sin embargo, si se conoce la máxima frecuenciade una determinada clase de señal, se puede especificar lavelocidad de muestreo necesaria para convertir las señales analógicas enseñales digitales.Si se supone que cualquier señal analógica se puede representar como unasuma de senoides de diferentes amplitudes, frecuencias y fases, es decirxaN() t = A cos( 2 Ft+ θ )∑i=1iπ (1.12)donde N indica el número de componentes de frecuencia. Todas lasseñales, como las de voz ó video se prestan a dicha representación encualquier intervalo de tiempo pequeño.iiDr. Luis Javier Morales Mendoza 23Teorema del MuestreoNormalmente, las amplitudes, fases y frecuencias varían lentamente de unintervalo de tiempo al siguiente. Si se supone que la frecuencia de unadeterminada señal no excede una frecuencia máxima conocida F max .Por ejemplo, si F max = 3KHz, para señales de voz y F max = 5MHz paraseñales de video, se puede ver que la máxima frecuencia puede variarligeramente, y para asegurar que F max no sobrepase determinado valor, laseñal analógica es pasada a través de un filtro que atenúe fuertemente lascomponentes de frecuencia por encima de F max . En la práctica, este filtradose realiza antes del muestreo.Se sabe que la frecuencia más alta de una señal analógica que puedereconstruirse sin ambigüedad cuando la señal se muestrea a una velocidadde F s = 1/T es F s /2. Cualquier frecuencia por encima de F s /2 o por debajode – F s /2 produce muestras que son idénticas a las correspondientes a lasfrecuencias dentro del intervalo – F s /2 ≤ – F ≤ F s /2.Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2412

Teorema del MuestreoPara evitar las ambigüedades, que resultan del aliasing, se debe seleccionaruna velocidad de muestreo lo suficientemente alta, esto es, se debe escogera F s /2 mayor que a F max . Por lo tanto para evitar el problema de aliasing, seselecciona a F s comoF s > 2F max(1.13)Teorema: Si la frecuencia más alta contenida en una señalanalógica x a (t) es F max = B y la señal se muestrea a unavelocidad F s > 2F max , entonces x a (t) se puede recuperartotalmente de sus muestras mediante la siguiente función deinterpolación:g() t( 2πBt)sin=2πBt(1.14)Dr. Luis Javier Morales Mendoza 25Teorema del MuestreoAsí, x a (t) se puede expresar comoa() ∑ ∞ t == −∞n⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞x⎜⎟⎜ −⎟ag t⎝ Fs⎠ ⎝ Fs⎠x (1.15)donde x a (n/F s ) = x a (nT) = x(n).Cuando el muestreo de x a (t) se realiza a la tasa mínima de muestreo F s =2B,la formula de reconstrucción (1.15) se transforma enxa() t=⎛⎞ sin 2π∑ ∞ xa⎜⎟n= −∞ 2 2πB−⎝nB⎠B( t −n2B)( tn)2B(1.16)La tasa de muestreo dada por FN = 2B = 2Fmax, se denomina tasa deNyquist. La Figura 1.12 ilustra el proceso de un DAC ideal que usa estafunción de interpolación.Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2613

Teorema del Muestreog() tsin 2π=2πBB( t −n2B)( t −n)2BFigura 1.12: Conversión analógico a digital idealDr. Luis Javier Morales Mendoza 27Teorema del MuestreoComo puede observarse tanto en la (1.15) como en la (1.16), lareconstrucción de x a (t) a partir de la secuencia x(n) es un proceso complicadoque supone la suma ponderada de la función de interpolación g(t) y susversiones correspondientemente desplazadas en el tiempo g(t - nT) con–∞ < n < ∞, donde los coeficientes de ponderación son las muestras de x(n).Dada la complejidad y el infinito número de muestras que se requiere en(1.15) y (1.16), éstas formulas de reconstrucción, son puramente de interésteórico.Ejemplo 2. Considere la siguiente señal analógicax a() t = 3cos50πt+ 10sin 300πt− cos100πt¿Cual es la tasa de Nyquist para esta señal?Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2814

Teorema del MuestreoSol. Las frecuencias presentes en la señal son:F = 125Hz F = 150HzF 50Hz23=Por lo tanto, la frecuencia máxima contenida en la señal es 150Hz, y deacuerdo a (1.13) la tasa de Nyquist esF N=2F max⇒F N= 300HzDr. Luis Javier Morales Mendoza 29Teorema del MuestreoEjemplo 3. Considere la siguiente señal analógicax a( t) = 3 cos 2000πt+ 5sin 6000πt+ 10cos12000πta) ¿Cual es la tasa de Nyquist para esta señal?b) suponga ahora que se muestrea esta señal a una velocidad de F s = 5000muestras por segundo ¿Cuál es la señal en tiempo discreto que se obtienetras el muestreo?Sol.F = 11KHz F = 3KHz F3 = 6KHz2Por lo tanto⇒F N= 12KHzDr. Luis Javier Morales Mendoza 3015

Teorema del Muestreob) Dado que se ha elegido a F s = 5KHz, la máxima frecuencia que puedeser representada sin ambigüedad mediante las muestras esusando la (1.2) se obtieneF s 5KHz2 = 2.3( t) = 3cos 2π ( 1 ) n ( ) n 2 (5+ 5sin 2π5+ 10cos π )n1= 3 cos 2π( 1 ) n ( 2 ) n ( 15+ 5sin 2π1−5+ 10cos 2π+5)n1= 3cos 2π ( 1 ) n ( 2 ) n 2 (5+ 5sin 2π−5+ 10cos π5)n1 2= 13cos 2π( ) − 5sin 2π( )nx a 565n5Dr. Luis Javier Morales Mendoza 31Tarea1. Investigue en forma detallada cada uno de los convertidores analógicodigitalque se presentaron en esta lectura, cubriendo el análisis delcircuito, aplicaciones, ventajas y desventajas que presenta cada uno, entreotros datos de interés.2. Realice la programación de un DAC y ADC en Matlab aplicando losmétodos de conversión descritos en esta lectura.3. Investigue cual es el estado del arte de los convertidores analógicosdigitalesy digitales-analógicos en cuestión de diseño electrónico, enprogramación de algunos sistemas embebidos (PIC, FPGA, DSP),velocidad, etc.Dr. Luis Javier Morales Mendoza 3216

Tarea4. Se tiene las siguientes señales analógicasx ax ax a() t = 3 cos600πt+ 2cos1800πt() t = 5 Re{ exp( j200πt)} + 7 Im{ exp( j400πt)}() t = 3Re{ exp( j200πt)} Im{ exp( − j100πt)}Encuentre:a) La frecuencia máximab) La tasa de Nyquistc) Si la frecuencia de muestreo cambia a F s = 500 muestras por segundo¿Cuál es la señal en tiempo discreto que se obtiene tras el muestreo?Dr. Luis Javier Morales Mendoza 3317