Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa.

Figura 1: Representación Gráfica del Isomorfismo Entre el Rango de T y el Espacio Columna de M.donde I m es la matriz identidad de orden m; es decir con m filas y m columnas.Prueba: Por el isomorfismo entre matrices y transformaciones lineales, sabemos que hay una transformaciónlineal T : V → V ′ tal que dimV = dimV ′ = m, podemos, por simplicidad, suponer que V = V ′ ,talque M es la matriz representativa de T respecto a una base B V 1 del espacio vectorial V puesto queρ(M) =m, entonces ρ(T )=m y T es sobreyectiva, además, puesto queν(T )+ρ(T )=V se tiene que ν(T )=m − m =0Por lo tanto T es biyectiva y existe una transformación inversa T −1 que satisface la propiedadTT −1 = I V = T −1 TSea M −1 la matriz representativa de T −1 respecto a la base B V y recordando:1. La matriz identidad I m es la matriz representativa de I V respecto a cualquier base, y2. Si M y N son las matrices representativas de S y T respecto a una base, MN es la matrizrepresentativa de ST respectoalamismabase,se tiene queMM −1 = I m = M −1 M.Para la unicidad suponga, nuevamente, que hay dos matrices inversas M1 −1 y M2 −1 , entoncesEntoncesMM −11 = I m = M −11 M y MM−1 2 = I m = M −12 MMM1 −1 = I m = MM2 −1 o M1 −1 −11 )=M1 m = M1 −1 2 )(M1 −1 −1M)M1 = M1 −1 =(M1 −1 −1M)M2I m M1 −1 = M1 −1 = I m M2 −1 o M1 −1 = M2−1Definición. Sea M ∈ M m×m . Entonces M se dice que es no-singular o invertible si ρ(M) =m.Si ρ(M)