Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa.

Corolario. Si la matriz M ∈ M m×m es invertible, existe una única matriz M −1 ∈ M m×m tal queMM −1 = I m = M −1 MTeorema. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. Entonces AB es no-singular, si y sólosi A y B son no singulares. En este caso (AB) −1 = B −1 A −1 .Teorema. Si A es no singular, entonces A −1 es no singular y (A −1 ) −1 = A. Además, λA es no singularpara todo λ ≠0y(λA) −1 = 1 λ A−1 .Prueba: Si A es no singular, existe A −1 tal queAA −1 = I = A −1 AEntonces (A −1 ) −1 = A y A −1 es no singular. Similarmente considere(λA)( 1 λ A−1 )=λ 1 λ AA−1 =1I = Iy ( 1λ A−1 )(λA) = 1 λ λA−1 A =1I = IPor lo tanto, λA es no singular y(λA = −1 = 1 λ A−1Teorema. Si A es no singular, entonces A T es no singular y (A T ) −1 =(A −1 ) T .Prueba. Si A es no singular, existe A −1 tal queAA −1 = I = A −1 AademásPor lo tanto(A −1 ) T A T =(AA −1 ) T = I T = I =(A −1 A) T = A T (A −1 ) T(A T ) −1 =(A −1 ) T3. Problemas Resueltos.Problema 1. Encuentre la matriz inversa de⎡M 1 = ⎣ 1 −2 3⎤−1 1 2 ⎦1 3 −1Solución. Para este fin, escriba la matriz “de bloques ”dada por⎡1 −2 3 1 0⎤0[M 1 |I 3 ]= ⎣ −1 1 2 0 1 0 ⎦1 3 −1 0 0 1El proceso consiste en realizar operaciones entre las filas de la matriz [M 1 |I 3 ]detalmaneraquelapartedelamatrizdebloquesqueinicialmentecorrespondeM 1 se convierta en la matriz I 3 . Cuandoesto ocurra, la parte de la matriz de bloques que inicialmente corresponde a I 3 se convierte en M1 −1 .Elproceso se realiza en etapas.3