2 LEYES DE LOS CIRCUITOS Y CIRCUITOS SIMPLES

2 LEYES DE LOS CIRCUITOS Y CIRCUITOSSIMPLES2 LEYES DE LOS CIRCUITOS Y CIRCUITOS SIMPLES ............ 312.1 INTRODUCCIÓN .................................................................. 322.2 CONEXIONES BÁSICAS DE LOS ELEMENTOS DE LOSCIRCUITOS........................................................................................ 332.2.1 CONEXIÓN SERIE:.......................................................... 332.2.2 CONEXIÓN PARALELO................................................. 342.2.3 CONEXIÓN DELTA......................................................... 362.2.4 CONEXIÓN Y................................................................... 362.3 LEYES DE LOS CIRCUITOS................................................ 372.3.1 LEY DE CORRIENTE (LEY DE CORRIENTES DEKIRCHOFF).................................................................................... 372.3.2 LEY DE VOLTAJES (LEY DE VOLTAJES DEKIRCHOFF).................................................................................... 392.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DE LOSCIRCUITOS........................................................................................ 402.5 RELACIONES ENTRE EL VOLTAJE Y LA CORRIENTEEN LOS ELEMENTOS DE CIRCUITOS.......................................... 442.6 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA GENERALIZADA.......... 492.7 EQUIVALENCIAS................................................................. 532.7.1 IMPEDANCIA EQUIVALENTE DE VARIASIMPEDANCIAS EN SERIE ........................................................... 542.7.2 ADMITANCIA EQUIVALENTE DE VARIASADMITANCIAS CONECTADAS EN PARALELO..................... 562.7.3 EQUIVALENCIA DELTA - YE ( ∆ ⇔ Y)....................... 582.7.4 EQUIVALENCIA DE FUENTES DE VOLTAJE YFUENTES DE CORRIENTE.......................................................... 632.7.5 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE TENSIÓN. ...... 652.7.6 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE CORRIENTE.. 662.7.7 EQUIVALENTES GENERALIZADOS PARA ELDIVISOR DE TENSIÓN Y EL DIVISOR DE CORRIENTE;OTROS EQUIVALENTES............................................................. 6831

De acuerdo a las condiciones del capítulo anterior, vamos aconsiderar que en ninguna parte de los circuitos se va aalmacenar, crear, desaparecer ó perder carga eléctrica, de modoque en el nodo tendremos que aceptar que la carga que entra enun ∆t tiene que salir en el mismo ∆t (Figura 2.2.1.2). En formamucho más concisa, diremos que la corriente que entre al nodoes la misma que sale de él. En definitiva, la conexión serie secaracteriza porque los elementos llevan la misma corriente.Recíprocamente, dos elementos de diferente corriente no se puedenconectar en serie, y si, por cualquier razón, se encuentran en un circuito,se deben considerar simplemente como un error, exactamente como si engeometría se afirmara que en un triángulo todos sus puntos equidistan desu centro.Figura 2.2.1.2 NodoPodemos extender la definición de conexión serie a cualquiernúmero de elementos (Figura 2.2.1.3). Basta que se cumpla ladefinición vista para todos los elementos vecinos.2.2.2 CONEXIÓN PARALELOFigura 2.2.1.3 Conexión en serie.Se dice que dos elementos están conectados en paralelo, si seencuentran unidos sus terminales en parejas. Es decir, si unterminal de uno de los elementos está conectado a un terminaldel otro elemento, formando un nodo, y los otros dos terminales34

están conectados también entre sí, formando otro nodo distinto(Figura 2.2.2.1). Como los terminales y nodos son conductoresideales, en ellos no experimentan las cargas pérdida niganancia de energía, de modo que en todos sus puntos existeel mismo voltaje. Por lo tanto, los voltajes en los elementosdeben ser iguales. Recíprocamente, dos elementos de diferente voltajeno se pueden conectar en paralelo, y si, por cualquier razón, seencuentran en un circuito, se deben considerar simplemente como unerror, exactamente como si en geometría se afirmara que en un triángulotodos sus puntos equidistan de su centro.Se puede extender la definición a cualquier número deelementos, siempre que cada par de elementos vecinos cumplancon la definición vista (Figura 2.2.2.2).Figura 2.2.2.1 Conexión en paralelo.Figura 2.2.2.2 Conexión en paralelo.Con un poco de atención se puede captar que las definiciones deconexión en serie y conexión en paralelo tienen una similitud profunda, yque casi resultan idénticas cuando los términos voltaje y corriente seintercambian. Todo circuito o afirmación sobre los circuitos que cumplaesa especie de simetría con respecto al voltaje y la corriente se denomina35

dual, y es una de las herramientas conceptuales más importantes enmuchas disciplinas de la ciencia moderna. Incluso, todavía no se le haexplorado y sacado el fruto que se espera de ella.2.2.3 CONEXIÓN DELTAEn esta conexión los elementos forman una delta ( ∆ ), ó untriángulo, dando lugar a tres nodos (Figura 2.2.3.1). Esimportante porque todo circuito se puede considerar en últimotérmino como formado por estas conexiones delta. Pero parahablar más de ella debemos conocer más sobre las leyes de loscircuitos, de las cuales trata, precisamente, este capítulo.Figura 2.2.3.1 Conexión en delta.2.2.4 CONEXIÓN YEn esta conexión los elementos forman una delta (Y), dandolugar a tres nodos externos y a un nodo interno (Figura 2.2.4.1).Todo circuito en Y se puede transformar en uno en delta, yviceversa.36

Figura 2.2.4.1 Conexión en Y.2.3 LEYES DE LOS CIRCUITOSEn realidad, ya hemos aplicado varias veces estas dos leyes queahora veremos; pero lo que aquí nos interesa es formularlas deuna manera bien clara y útil. Estas dos leyes se fundamentanen dos principios sólidamente basados en la física moderna: elprincipio de la conservación de la carga eléctrica y el principiode la conservación de la energía.2.3.1 LEY DE CORRIENTE (LEY DE CORRIENTES DEKIRCHOFF).Esta ley fundamental fue formulada por Kirchoff y por eso llevasu nombre. Si aceptamos que en un nodo no se crea cargaeléctrica, ni tampoco se destruye, ni se disipa de ningunaforma, ni menos se almacena, tendremos que convenir quesi entra una determinada carga en un intervalo de tiempo poralguno de los conductores unidos al nodo, esa misma cargatiene que salir por otros conductores en ese mismo intervalo detiempo. Si en la figura 2.3.1.1, los ∆qs indican las cantidades decarga que entran ó salen del nodo en el mismo tiempo ∆t,tendremos:∆ q que entró en el ∆t = ∆q1 + ∆q3∆ q que salió en el ∆t = ∆q2 + ∆q4 + ∆q5 + ∆q637

Figura 2.3.1.1 Ley de corriente de Kirchoff.De donde:∆q1 + q3 = ∆q2 + ∆q4 + ∆q5 + ∆q6Dividiendo por ∆t∆ q1∆q3∆q2∆q4∆q5∆q+ = + + +6∆t∆t∆t∆t∆t∆tDe donde:i1 + i3 = i2 + i4 + i5 + i6O sea que podemos reformular el principio de la conservaciónde la carga como una ley de corrientes:SUMA DE CORRIENTES = SUMA DE CORRIENTESQUE ENTRAN AL NODO QUE SALEN DEL NODOLey que se puede escribir de varias formas:i que entran - i que salen = 0 (2.3.1.1)i Las ue entran +, Las que salen - = 0 (2.3.1.2)38

2.3.2 LEY DE VOLTAJES (LEY DE VOLTAJES DEKIRCHOFF).Recuérdese que el voltaje en un elemento es la diferencia de laenergía útil de la unidad de carga colocada en uno de susterminales y luego en el otro. Considere una conexión deelementos, como la de la figura 2.3.2.1, y denotemos la unidadde carga como ∆q, y la energía de esa unidad de carga en elnodo “a” como ∆Wab etc. EntoncesFigura 2.3.1.1 Ley de voltaje de Kirchoff.V1∆Wa∆Wb−∆q∆q∆WdV4∆q∆Wb∆Wc∆WdV2= −V =∆q∆q∆q∆We∆We∆Wa−V = −∆q∆q∆q=3=5∆Wc−∆qAhora hagamos un recorrido imaginario por loselementos, uno después del otro; y si pasamos de un terminal “-” a un terminal “+”, tengamos en cuenta que“subimos” en la energía; por último, sumemos los voltajes de loselementos, tomando como + los que correspondena una “subida” en la energía y como - los quecorresponden a un “descenso” en la energía, veamos:39

(Iniciamos recorrido en a) - V1 (estamos en b) - V2 (estamos en c)+ V3 (estamos en d) - V4 (estamos en e) – V5 (estamos en a,punto de salida)De donde:∆Wa∆Wb∆Wb∆Wc∆Wd−V1−V2 + V 3 −V4 −V5 = − + − + +∆q∆q∆q∆q∆q∆Wd∆q∆We∆We∆Wa+ − +∆q∆q∆q= 0∆Wc− −∆qEn cierta forma debimos haber estado convencidos de que elresultado sería el obtenido y que no íbamos a establecer nadanuevo. En efecto, que la suma de “subidas” de voltajes menos lasuma “descensos” de voltaje sea cero (0) en un recorridocerrado, es simple consecuencia lógica de la definición delconcepto de voltaje.Podemos escribir esta ley de voltajes de formas distintas, comohicimos en la ley de corrientes:Suma subidas de voltaje - suma de bajadas de voltajes enun recorrido = 0Σ V subidas - Σ V bajadas = 0 (2.3.2.1)en un recorrido cerradoΣ V (+ subidas - bajadas) =0 (2.3.2.2)en un recorrido cerrado2.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DELOS CIRCUITOS.Vamos a aplicar las dos leyes para “resolver” dos circuitosde los ya vistos anteriormente. En la figura 2.4.1, una fuentealimenta dos elementos en serie. La ley de corrientes (ec.2.3.1.1) aplicada a los nodos del circuito sería:Σ i que entran a un nodo = Σ i que salen del nodo40

∴ i1 = i2 ; i2 = i3 ; i3 = i1nodo a nodo b nodo c∴ i = i1 = i2 = i3Figura 2.4.1 Ejemplo aplicación de las leyesde circuitos.O sea que sólo debemos tener en cuenta una “variable” tipocorriente, la variable i. La ley de voltajes aplicado al circuitosería:Σ V subida = Σ V bajadaen un recorrido cerradoV1 = V2 + V3Las últimas relaciones que podemos establecer son:P1 = V1 * i1 P2 = V2 * i2 P3 = V3 * i3Por “resolver” el circuito entenderemos utilizar las ecuacionesque podamos plantear y los datos que se nos den para hallar lasotras cantidades desconocidas, incógnitas. Como sabemos:P3 = 80 w V3 = 10 vCalculamos:De donde:P380wi3 = = = 8ampV 10v3i = i1 = i2 = i3 = 8 amp41

Pero:De donde:Entonces:Por último:P1 = V1I1= v1i100 w = (V1) 8 amp100w∴ V1 = = 12. 5volt8ampV2 = V1 - V3 = 12.5 v - 10 v = 2.5 vP2 = V2 * i2 = 2.5 v * 8 A = 20 wFigura 2.4.2 Ejemplo aplicación de las leyesde circuitos.El ejemplo de la figura 2.4.2 es un típico ejemplo de un circuitoen paralelo, la ley de corrientes en los nodos arroja:i1 = i2 + i3 ; i2 + i3 = i1nodo anodo bEs decir, aplicamos la ecuación 2.3.1.1.Para aplicar la ley de los voltajes tenemos dos oportunidades(aplicando la ecuación 2.4.2):V1 = V2 ; V2 = V342

De las últimas ecuaciones tenemos:V = V1 = V2 = V3Y por último:P1 = V1 * i1 P2 = V2 * i2 P3 = V3 * i3De acuerdo a los datos:P380wV3 = = = 8voltI 10amp3Entonces:Y como:De donde:Por último:V = V2 = V3 = 8vP1100wi1 = = = 12. 5ampV 8volt3i2 = i1 - i3 = 12.5 A - 10 A = 2.5 AP2 = V2 * i2 = 2.5 v * 8 A = 20 wEstos ejemplos nos han servido, no sólo para mostrar el manejoelemental de las leyes de los circuitos, sino también paraesbozar lo que entenderemos por “resolver” un circuito.Observamos que trabajamos con tres clases de variables:corrientes, voltajes, potencias. Son muchos tipos de variables, yes mejor restringirlos para lograr soluciones más sistemáticas yclaras. Nos vamos a concentrar, entonces, en circuitos quepuedan resolverse utilizando como variables los voltajes y lascorrientes solamente.43

2.5 RELACIONES ENTRE EL VOLTAJE Y LACORRIENTE EN LOS ELEMENTOS DE CIRCUITOS.Para cumplir el propósito expuesto al final del numeralanterior de trabajar sólo con los voltajes y las corrientes, nosvemos obligados a volver a estudiar la forma como se relacionael voltaje con la corriente en un elemento de circuitos.Figura 2.5.1 Relación entre voltaje y corriente.Este tema se trató al final del capítulo 1, aquí sólo veremos unarecapitulación breve. Admitiremos las siguientes relaciones:v = f(i) + f(t, otros parámetros ≠ i ) ói = f(v) + f(t, otros parámetros ≠ v)Que se leen: el voltaje es función de la corriente y de otrosparámetros diferentes de la corriente, como el tiempo; ó lacorriente es función del voltaje y de otros parámetros, como eltiempo. Vamos a restringir aún más el tipo de elementos conque vamos a trabajar por el momento postulando:a. Para elementos fuente sólo consideraremos:v = f (t, otros parámetros independientes del circuito)i = f (t, otros parámetros independientes del circuito)Es decir, por ahora no consideraremos fuentes controladas porlos valores que dependan del mismo circuito. O más claro,consideraremos las fuentes “dato”. En una fuente de voltaje, elvoltaje será un dato, algo conocido; en una fuente de corrientelo conocido será la corriente.b. Para los elementos pasivos, sólo consideraremos lasrelaciones que cumplan:44

v = f (α i) ó i = f (α v)v = α f (i) ó i = α f(v)Es decir, relaciones llamadas lineales entre el voltaje y lacorriente.Y de todas las posibles funciones lineales nos ocuparemos de lasque corresponden a los elementos más comunes (llamados aveces elementos “naturales”, porque no requieren tecnologíassofisticadas de construcción): la resistencia, la inductancia y lacapacitancia. Veamos la tabla 2.5.1 que sintetiza todos loselementos pasivos con sus símbolos, variables y relacionesvoltaje - corriente.ELEMENTOTABLA 2.5.1RELACIÓNv = I Rv =i =L didtC dvdtLas relaciones “inversas” para estos elementos serán:TABLA 2.5.2Relación directaRelación inversav = i Rvi =Rv L diit=1dt di =L vdtio1 ti = iLvdto+ 0045

i = C dvvdtdv 1 t =Cidtvo01 tv = vCidto+ 0Comparando las relaciones “directas” con las “inversas”, vemosque las primeras son “instantáneas”, ó puntuales, es decir, sóloinvolucran el valor instantáneo, en un punto, en un instante, delas variables; en cambio, las inversas requieren no sólo del“valor inicial” de la variable independiente (valor en eltiempo inicial: t = 0), sino toda la “historia” en el tiempo de esavariable para poder efectuar la integral.Afortunadamente nuestro conocimiento de la conexión en seriey de la conexión en paralelo permite efectuar una simplificaciónen las relaciones inversas, mediante la interpretación sugeridaen la figura 2.5.2.El “truco” (porque se trata de un truco, de un artificio) consisteen reemplazar la inductancia original por otra cuya corrienteen t = 0, es cero, y colocarle en paralelo una fuente de corrienteigual al valor inicial de la corriente en la inductancia original.Para la capacitancia, se reemplaza la original por unacapacitancia sin voltaje inicial, en serie con una fuente devoltaje cuyo valor es el voltaje inicial de la capacitanciaoriginal.Haciendo lo anterior en todos los elementos que lo requieran,el circuito sólo contendrá inductancias y condensadores sincorrientes y sin voltajes iniciales, respectivamente.46

Figura 2.5.2 Representación de los elementosCon corrientes y voltajes iniciales..Las relaciones entre el voltaje y la corriente, cuando todos loselementos están “descargados” en t = 0 (después veremosporque se llaman así) se dan en la tabla 2.5.3.ELEMENTOTABLA 2.5.3RELACIÓNDIRECTAv = i RRELACIÓNINVERSAvi =R47

ELEMENTORELACIÓNDIRECTAvi= L diidt= C dvvdtRELACIÓNINVERSA1 t=L vdt01=Ctidt0Ahora, el trabajo con las ecuaciones que contienen términos enderivadas y en integrales, como los acabamos de ver, se reducenenormemente introduciendo el concepto de operador. Como sunombre lo indica un “operador” es un símbolo que define yrepresenta una “operación” determinada; esta operación seefectúa sobre la expresión que se coloque a la derecha delsímbolo correspondiente.Ejemplos:v = L di = LDi(2.5.4)dt∴ D: símbolo del operadorrespecto al tiempo.ddt. Representa la derivadai = C dv = CDv(2.5.5)dt−11 t Di = vdt =L L v 1=DL v0(2.5.6)∴ D− 11=DSímbolo del operadort dt0Representa la integral en el tiempo desde t = 0, hasta el tiempoescogido.48

−11 tvC idt D= =C i 1=CD i0(2.5.7)Obsérvese como la derivada respecto a t y la integral en t seconsideran operadores inversos y se representan como tales. Enefecto:D Di D di t didt dt dt i−1 −1= = = di = i − i0ioo−1Pero i o= 0 en nuestros elementos ∴ D Di = i−1DD v = D vdt = v−1 −1Tendremos que se puede aceptar: D D = DD = 1t02.6 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA GENERALIZADA.Con lo visto en el numeral anterior se concluye que en loselementos naturales de los circuitos se puede establecer:v = Ri v = LDi v = 1 CD i v = Zi11i = i ; i = v ; i = CDv ; i = YvRLDO sea que se puede generalizar la relación entre el voltaje y lacorriente para los tres elementos, si introducimos dosoperadores, convenientemente definidos para cada elemento:a. El operador Z, llamado “operador impedancia”, “impedanciageneralizada” ó simplemente “impedancia” , se define :ZR = R (para la resistencia)ZL = LD (para la inductancia) (2.6.1)Z = 1 C(para la capacidad)CD49

. El operador Y, llamado “operador admitancia”, “admitanciageneralizada”, ó simplemente “admitancia”, se define:Y = 1R(para la resistencia)RY RLD(para la inductancia) (2.6.3)Y = CD (para la capacidad)CEn todos los casos se observa que: YK= 1 {K = R, L, C}.ZVeamos dos ejemplos utilizando los circuitos básicos conocidos.CIRCUITO SERIE:KFigura 2.6.1 Impedancia generalizada (Circuito serie).VsubIda= Vcaidasv = vR+ vL + vCPor definición de los elementosV = RiR ; V = L diLdt; V 1 tC idt vC= +0∴ v iR L di 1 t= + +dt C idt + v00Por definición de los operadores:1v = Ri + LDi +CD i +v ov = ZRi + ZLi + ZCi + voo50

Como los operadores cumplen la propiedad distributiva a laderecha:v = ( Z + Z + Z ) i + vR L C oEsta ecuación se interpreta con el circuito de la figura 2.6.2.Figura 2.6.2 Impedancia generalizada (Circuito serie).Aprovechamos este ejemplo para introducir el concepto de“impedancia equivalente”. Es un concepto que se introducenaturalmente, pues basta escribir:Zequiv = ZR+ ZL + ZCY reemplazar la expresión en la ecuación del circuito:v = v + Z * ioEsta última es representada por el circuito de la figura 2.6.3.Nótese como las fuentes que representan los valores inicialesdeben ser excluidas de la Z equivalente.equivFigura 2.6.3 Impedancia equivalente (Circuito serie).CIRCUITO PARALELO:Aplicando la ecuación 2.3.1.1, tenemos:i = iR + iL + iC51

Figura 2.6.4 Circuito paralelo.De las relaciones que definen los elementos de circuitos:VRiR= ; V L diR= LLdt; i C dV Cc=dt1 T∴ i iLV dtL=L+o 0LEn forma operacional, estas relaciones quedan:i = Y V ; i = i + Y V ; i = Y VR R RL L L LoC C CReemplazando en la expresión para i:i = iR + iL + iC = YRV R+ YLV L+ YCV C+ iL oPero en esta conexión los voltajes son iguales:V = V = V = VRLCDe donde:0i = YRV R+ YLV L+ YCV C+ iL oi = ( Y + Y + Y ) V + iR L C L oi = Y V + iequivL oAprovechando la semejanza con el caso anterior, nospermitimos abreviar el proceso en el ejemplo de la figura 2.6.5.52

Figura 2.6.5 Impedancia equivalente (Circuito paralelo).2.7 EQUIVALENCIAS.¿Que significa que el circuito A es equivalente al B?La equivalencia entre los circuitos A y B significa que A puedereemplazar a B, y viceversa, en cualquier situación sin quecambien las variables externas afectadas por esos circuitos.En forma más clara, si A y B se conectan a un tercer circuitoD, todas las cantidades en D son las misma (incluidas i y v enlos terminales de unión con A ó B), cuando D se conecta a A ycuando D se conecta a B (Figura 2, 7,2).Figura 2.7.1 Equivalencias entre circuitos.Figura 2.7.2 Equivalencias entre circuitos.Se utiliza ampliamente este concepto en circuitos, pues muchasveces se puede encontrar un circuito equivalente mucho mássencillo que el original, lo cual representa ahorro de tiempo enel análisis. También puede ocurrir que el circuito equivalente53

no sea más sencillo, pero si más apropiado para elplanteamiento de algunas ecuaciones específicas.Aquí sólo veremos algunos casos simples, pero fundamentales,aprovechando la ocasión para ilustrar el manejo de losoperadores.2.7.1 IMPEDANCIA EQUIVALENTE DE VARIASIMPEDANCIAS EN SERIEEn este tipo de circuito (Figura 2.7.1.1), la corriente es lamisma por todos los elementos como lo hemos establecido, elvoltaje es la suma de los voltajes en los elementos:Figura 2.7.1.1 Impedancia equivalente (Circuito serie).V = V1 + V2 + ... + V nPero en cada elemento:V1 = Z1i1; V2 = Z2i2; ... ; Vn= Z i∴V = Z1i1 + Z2i2 + ... + Znin∴V = ( Z1 + Z2+ ... + Zn) i∴V = Zequivin nDonde:Z = Z + Z + ... + Z = Zequiv 1 2 n ii=1n54

Figura 2.7.1.2 Impedancia equivalente (Circuito serie).El resultado anterior se suele expresar con la frase: “laimpedancia equivalente de un conjunto de impedanciasconocidas en serie es la suma de esas impedancias”.Figura 2.7.1.3 Impedancia equivalente (Circuito serie).La Z equivalente para el circuito anterior será:1 1Z R L D R L D R C D C D L D R L D L Dequiv=1+1+2+2+ +3+ +3+4+4+511 1 1Zequiv = R1 + R2 + R3 + R4 + ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5) D + ( + )C C D21 2Figura 2.7.1.4 Impedancia equivalente (Circuito serie).55

Esta última expresión nos permite sintetizar la Z equivalente comoformada por una resistencia equivalente:Una inductancia equivalente:R equivalent= Re en serieni=1L equivalent= Le en serieni=1iiY una capacidad equivalente:Cequivalente en serie= 2i=111CiTéngase estos resultados como importantísimos; sobre todo,nótese como las capacidades “se suman en serie”, para dar lacapacidad equivalente.2.7.2 ADMITANCIA EQUIVALENTE DE VARIASADMITANCIAS CONECTADAS EN PARALELOFigura 2.7.2.1 Admitancia equivalente (Circuito paralelo).En el caso de la figura 2.7.2.1, el voltaje es el mismo para todoslos elementos, y la corriente es la suma de todas las corrientesindividuales:i = i1 + i2 + ... + i n56

Pero en los elementos individualesi1 = Y1V1; i2 = Y2V2; ... ; i = Y Vi = ( Y1 + Y2+ ... + Yn) Vi = YequivVn n nDonde:Y = Y + Y + ... + Y = Yequiv 1 2 n ii=1nResultado que se suele expresa: “la admitancia equivalente deun conjunto de admitancias en paralelo, es la suma de estasadmitancias”. (Figura 2.7.2.2).Figura 2.7.2.2 Admitancia equivalente (Circuito paralelo)..De acuerdo al resultado anterior:Yequiv= Y1 + Y2 + ... + Yn1 1 1 1 1Yequiv = + + + + C1D + + C D + C DR R L D R L D2 31 2 1 3Yequiv2[ equiv ]= 1 R L D C Dequiv + 1 1 +equiv O sea:Requivalente en paralelo= 3i=111Ri57

L11equivalente en paralelo= 2i=1Cequivalente en paraleloObsérvese como el elemento equivalente de un conjunto deelementos depende de la conexión de estos elementos. (Figura2.7.2.3).=3i=1LiCiFigura 2.7.2.3 Admitancia equivalente (Circuito paralelo).2.7.3 EQUIVALENCIA DELTA - YE ( ∆ ⇔ Y)Ya habíamos definido la conexión delta (∆), y la habíamospresentado como una conexión de enorme importancia; ahoraveremos como transformarla en otra equivalente, no menosimportante, la conexión ye (Y).58

Figura 2.7.3.1 Equivalente -Y.Si los circuitos son equivalentes, lo deben ser en todas lasconexiones. Escojamos las tres mostradas en la figura 2.7.3.2 ycomparemos las impedancias equivalentes en los tres casos.Primer caso: 1 V1 = Zequivi1= i1 = [ Z1 + Z3]i1 1 1+ Z13 Z12 + Z2359

Figura 2.7.3.2 Equivalente -Y.Figura 2.7.3.3 Equivalente -Y.Obsérvese que Z12 está en serie con Z23 y se suman para obtenerla Z equivalente parcial; esta Z equivalente parcial queda enparalelo con Z13, y ya sabemos que el equivalente total seobtiene como el inverso de la suma de los inversos de lasimpedancias (admitancias). Para el circuito en Y, como Z2queda sin corriente, sólo basta considerar a Z1 en serie con Z3.60

Si se hacen las mismas consideraciones para los otros dos casos,se obtiene: 1 V2 = Zequivi2= i2 = [ Z1 + Z2 ] i2 1 1+ Z21 Z23 + Z13 1 V3 = Zequivi3= i3 = [ Z2 + Z3 ] i3 1 1+ Z32 Z31 + Z21Igualando los coeficientes de las corrientes:Z13[ Z12 + Z23]Z1 + Z3=Z + Z + Z12 13 23[ + ]Z12 Z13 Z23Z1 + Z2=Z + Z + ZZ23Z12+ Z∴ Z2+ Z3=Z + Z + Z12 13 2312[ ]Sumando las dos primeras ecuaciones anteriores y restando laúltima obtenemos:Z13[ Z12 + Z23 ] + Z12[ Z13 + Z23 ] − Z23[ Z12 + Z13]2Z 1+ Z 3+ Z 2− Z 2− Z 3=Z + Z + Z2Z1Z=13Z12+ Z13ZZ231+ Z12Z13+ Z1312132312 13 23ZZ12+ Z13+ ZZ12Z13=Z + Z + Z12 13 232323− Z23Z12− ZPor “simetría” (luego explicaremos ese término; por ahora hagaun intento por desentrañar su significado):Z21Z23Z2=Z + Z + Z12 13 2323Z1361

Z3=Z Z13 23Z + Z + Z12 13 23Obsérvese que es como sumar dos Z en paralelo (el productosobre la suma) y añadir la Z tercera a la suma.Z12Z13Z1=Z + Z + Z12 13 23Estas ecuaciones permiten pasar del circuito ∆ al circuito Yequivalente.Para la “transformación” inversa, que permite pasar de la Y ala ∆, obsérvese que :Z12Z13Z21Z23Z13Z23Z12 + Z13 + Z23= = =Z1Z2Z3Z1Z23 = Z2Z13 = Z3Z12Z3ZZ123Z12∴ Z23=; Z13=ZZY reemplazando estas ecuaciones en:Z12Z13Z1=Z + Z + Z112 13 232Obtenemos:Z1=Z Z12 13Z + Z + Z12 13 23=Z12Z Z Z12 3 12Z2Z3Z12Z Z+ +Z Z23 12162

∴ Z12=Z1ZZ32[ Z Z + Z Z + Z Z ] [ Z Z + Z Z + Z Z ]1∴ Z21Z12Z3Z2=Z3Z1++Z Z3 1 3 2=Z1Z2Z1ZZ12= Z1+ Z2+Z23132123Z3132Empleando el argumento de la simetría:Z1ZZ13= Z1+ Z3+ZZ2ZZ23= Z2+ Z3+ZHemos tratado los operadores como si fueran números reales.Esto es válido siempre que se tenga en cuenta la naturaleza deloperador cuando, al final, se trate de escribir la ecuacióndiferencial correspondiente. A propósito de lo anterior, unaforma de entender la equivalencia de circuitos es: “el circuitooriginal y su equivalente deben tener exactamente la mismaecuación diferencial”.12332.7.4 EQUIVALENCIA DE FUENTES DE VOLTAJE YFUENTES DE CORRIENTE.Escribamos la ecuación para la malla en el circuito que tiene lafuente de voltaje de la figura 2.7.4.1.− z i − v 0vv 1 1=Ahora escribamos la ecuación de corrientes para uno de losnodos del circuito que posee una fuente de corriente en lamisma figura.63

− iv11+ i − =z i0Figura 2.7.4.1 Equivalente entre fuentes de voltaje y fuentes de corriente.Se observa que las dos ecuaciones anteriores quedan idénticassi se acepta que el operador zies igual al operador zv, y queambos (ó cualquiera de los dos, si aceptamos que son iguales)pueden invertirse; y por último, si:v = z i z ii=En definitiva, la equivalencia de las fuentes puede serrepresentada por la figura 2.7.4.2, en la que se han anulado lasvariables innecesarias.vFigura 2.7.4.2 Equivalente entre fuente de voltaje y fuente de corriente.Esta equivalencia es otra cuya importancia debe enfatizarsesiempre, pues se trata de un procedimiento de amplísimas yvariadas aplicaciones.64

2.7.5 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE TENSIÓN.En la figura 2.7.5.1 mostraremos un “divisor de tensión”. Estese dibujó en una forma no convencional (lo cual no es que seamuy correcto), tratando de enfatizar la función física deldispositivo: una resistencia continua, con un conector móvil quepuede desplazarse por la resistencia continua, variando así laresistencia entre el terminal desplazable y los terminales fijos.Figura 2.7.5.1 Equivalente de un divisor de voltaje.Vamos a buscar un circuito equivalente para este dispositivoutilizando los resultados acabados de obtener en laequivalencia de fuentes.Figura 2.7.5.2 Equivalente de un divisor de voltaje.65

El proceso está condensado en la figura 2.7.5.2, y se puederesumir así:a) Convertimos la fuente de voltaje en serie con R1, en unafuente de corriente en paralelo con R1.b) Como R1y R2quedan en paralelo, se pude encontrar unR 1 equivalente:1 1 1= +R R R∴ RequivalenteR1 2equivalent e= =R1+ R2c) queda una fuente de corriente en paralelo con unaresistencia, que puede transformarse en una fuente devoltaje en serie con la misma resistencia.1R2R,2.7.6 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE CORRIENTE.Aquí lo que se presenta es una “división de la corriente i entrevarias resistencias. Veamos un circuito equivalente.Figura 2.7.6.1 Equivalencia de un divisor de corriente.a) Buscamos una resistencia equivalente de las resistenciasque quedan en paralelo con la resistencia interesada, laR arg.caRequivalent e1=1 1 1+ + + ...R R R12366

Figura 2.7.6.2 Equivalencia de un divisor de corriente.b) Convertimos la fuente de corriente en paralelo con esaR a una fuente de voltaje en serie con esaequivalenteresistencia (ver figura 2.7.6.3).Figura 2.7.6.3 Equivalencia de un divisor de corriente.R`=RRequivalenteequivalente+ Rc arg ac) Por último, consideramos la fuente de voltaje en seriecon la resistencia R + R , entre los terminalesequivalentec arg aa y b (que se encuentran en corto circuito), y latransformamos en una fuente de corriente en paralelocon una resistencia. Como ésta fuente queda encortocircuito, toda la corriente de la fuente circula por elcorto.i Requivalenteicarg a=R + Requivalentec arg a67

2.7.7 EQUIVALENTES GENERALIZADOS PARA ELDIVISOR DE TENSIÓN Y EL DIVISOR DE CORRIENTE;OTROS EQUIVALENTES.Los casos que acabamos de ver, en los cuales consideramos sóloresistencias, se pueden generalizar a impedancias, tal como semuestra en la figura 2.7.7.1, y en la figura 2.7.7.2.Figura 2.7.7.1 Equivalentes generalizados para el divisor de corriente y el divisor devoltaje.68

Figura 2.7.7.2 Equivalentes generalizados para eldivisor de corriente y el divisor de voltaje.Estúdiese bien estos últimos procedimientos, porqueconstituyen formas muy socorridas para resolver problemas encircuitos. En lugar de plantear unas ecuaciones y luegoatacarlas por métodos puramente algebraicos para tratar deobtener los resultados buscados, lo que se hace es “transformar”el circuito, mediante “transformaciones” ya aceptadas yconocidas, hasta obtener un circuito en el cual resalta ó resultaevidente aquello que se desea encontrar ó demostrar.Ya definimos un “conductor ideal”, llamado coloquialmente un“corto”, como un elemento entre cuyos terminales no haydiferencia de tensión. Podemos utilizar esa definición paraestablecer una equivalencia muy importante: todo elemento, oconjunto de elementos con dos terminales, entre cuyosterminales exista una diferencia de tensión nula se puedereemplazar por un conductor ideal, o por un “corto”, según seentienda mejor. Igualmente, todo elemento, o conjunto deelementos con dos terminales, entre cuyos elementos no circulecorriente se puede reemplazar por un circuito abierto. Ahora,como en muchos elementos si la corriente es nula el voltajetambién es nulo y viceversa, resulta que esos elementos sepueden reemplazar por cortos o por circuitos abiertos según la69

conveniencia del caso. La única manera de adquirir criterio deingeniero para proceder en una u otra forma es practicar muchoen la resolución de circuitos de todo tipo.70