Prà ctiques d'APNL, curs 1999/2000 - Departament d'Estadística i ...

28 Dept.EIO / UPC / Optimització de models no lineals amb el paquet LINGOl’expressió:⎧⎨ c 1 (v, x) = c01 + c11v + c21v 2 + c31v 3 si v ≤ v i1c(v, x) = c⎩ 2 (v, x) = c02 + c12v + c22v 2 + c32v 3 si v i1 < v ≤ v i2c 3 (v, x) = c03 + c13v + c23v 2 + c33v 3 si v i2 < v(5.2)El vector de variables x ∈ R 12 estarà ara format pels dotze coeficients de les tres corbes:x = [ c01 c11 . . . c33 ] ′ ∈ R 12 (5.3)El vector r ∈ R Nm de residus entre valors de cota mesurats c i i estimats segons la funció(5.2) serà una funció r : R 12 → R Nm que vindrà donada per:r i (x) = c i − c(v i , x) ; i = 1, . . . , Nm (5.4)Prenent com a criteri de millor ajust aquell que fa mínima la norma al quadrat del vector deresidus r(x) es pot plantejar la funció objectiu d’un problema de mínims quadrats:1minx∈R 12 2 ‖r(x)‖2 2 (5.5)5.2.2 Constriccions.L’ajust de corbes cota-volum s’acostuma a fer sota la imposició de dos tipus de constriccions:constriccions de distància màxima, constriccions de pendent mínima i constriccions decontinuïtat de c(v, ·) i c ′ (v, ·).Constriccions de distància màximaImposen un valor màxim ɛ a la discrepància entre el valor mesurat i ajustat de les cotes,és a dir, són restriccions no lineals del tipus:Constriccions de pendent mínima.(c i − c(v i , x)) 2 ≤ ɛ 2 ; i = 1, . . . , Nm (5.6)Per a un valor donat dels coeficients x, imposen una fita inferior δ al valor de la derivadade la funció c(v, x) a cada punt mesurat v i , donant lloc a les constriccions lineals:Constriccions de continuïtat de c(v, ·) i c ′ (v, ·)ddv c(v, x) ∣ ∣∣vi≥ δ ; i = 1, . . . , Nm (5.7)La funció cota-volum c(v) forma part de la funció objectiu de gran part dels problemesde gestió de conques hidrogràfiques. Per aquesta raó convé que la funció c(v, x) i la sevaprimera derivada respecte del volum d’aigua siguin contínues. Aquestes condicions es satisfanimplícitament per a qualsevol punt de l’eix d’abscisses a excepció dels punts de contacte v i1 iv i2 . En aquests dos punts hem d’imposar explícitament les condicions de continuïtat mitjançantles següents quatre constriccions lineals:c 1 (v i1 , x) = c 2 (v i1 , x) (5.8)