Prà ctiques d'APNL, curs 1999/2000 - Departament d'Estadística i ...

6 Càlcul de la posició d’equilibri d’una cadena 35masses C.M.), l’energia potencial de la baula i-éssima és:U Gi = m i gh i (6.4)on h i és la distància vertical que separa el centre de masses de la baula i-éssima del punt dereferència (amb valor negatiu, si està per sota). g = 9.8m/s 2 és l’acceleració de la gravetat propde la superfície de la terra (que es pot considerar constant). Podem expressar les h i en funcióde les y i a través de l’expressió:h i = y 1 + y 2 + . . . + 1 2 y i = 1 2 y ∑i−1i + y j (6.5)aquesta igualtat permet expressar U Gi en funció de les variables y i . L’energia potencial gravitatoriatotal serà la suma de totes les U Gi :6.2.2.2 Energia potencial elàstica.U G =j=1n∑U Gi (6.6)i=1La força feta per una molla com a resposta a una variació ∆l (amb signe) de la seva longitudrespecte de la seva posició en repós és:F E = −k · ∆l (6.7)Podem calcular l’energia potencial d’una molla sotmesa a un estirament ∆l amb la fórmula:U E (∆l) = −∫ ∆l0−k · x · dx = k∫ ∆lPer a cada una de les baules elàstiques E tindrem:0x · dx = 1 2 · k · [x 2] ∆l0= 1 2 · k · ∆l2 (6.8)U Ei = 1 2 · k · ∆l2 i (6.9)on ∆li és l’increment de longitud respecte de la longitud en repós de la baula elàstica quan lacadena es troba en equilibri:∆l i = ˆl i − l i ; ∀i ∈ E (6.10)Tant la longitud en repós l i com el coeficient d’elasticidad k i són dades de l’enunciat. ˆl i és lalongitud de la baula i quan la cadena està en equilibri. Pot ser expressada en funció de les x i iy i :√ˆli = x 2 i + y2 i (6.11)de forma que:∆l i =√x 2 i + y2 i − l i (6.12)substituint (6.12) a (6.9) obtindrem l’expressió de l’energia potencial elàstica de la baula iamb i ∈ E en funció de les dades del problema i les variables. L’energia potencial elàstica total