M2-Medidas de tendencia central y de dispersión

SEMINARIO DEINVESTIGACIÓNCIENTÍFICACátedra de Bioestadística eInformáticaMaterial de Lectura 2Este material es recopilación del libro “Estadística para lasCiencias Sociales”, de Ferris J. Ritchey, 2007.Dina Raquel Paniagua C.dinabox@hotmail.com

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V delESTIMACIÓNDE PROMEDIOSIntroducciónTodos estamos familiarizados con el concepto general de promedio: calificación promedio,ingreso promedio, puntuación promedio, etc. Si alguien tiene un “promedio” de algunamanera —altura, peso, inteligencia, etc.— esta persona no es atípica. Poseer un promediosignifica ser como la mayoría de las personas.En una distribución de puntuaciones, un promedio caerá entre las puntuacionesextremas, en alguna parte del área media de la distribución de puntuaciones. Por ejemplo, lamayoría de los hombres no son demasiado altos o bajos; están sobre el “promedio”.Llamamos a esta puntuación típica la tendencia central de la variable. Un estadígrafo detendencia central proporciona una estimación de la puntuación típica, común o normalencontrada en una distribución de puntuaciones en bruto. Por ejemplo, las alturas de loshombres [paraguayos] tienden a agruparse alrededor de los 1.69 metros. O, por ejemplo, si[Roberto] tiene un promedio de 165 puntos en el boliche, no esperamos que obtenga esapuntuación exacta en cada juego, pero conseguirá cercanamente esa puntuación la mayoría delas veces.Existen tres estadígrafos de tendencia central comunes: la media, la mediana y lamoda. ¿Por qué tres? Porque cada una tiene fortalezas, pero también debilidades potenciales.En ocasiones, informar cualquier estadígrafo de tendencia central solo, conduciría a errores ono proporcionaría información suficiente.La mediaLa media aritmética de una distribución de puntuaciones (o simplemente media) consiste enun estadígrafo de tendencia central que es familiar a cualquier estudiante que haya calculadoel promedio de las calificaciones en un examen para algún curso. La media es la suma detodas las puntuaciones dividida entre el número de puntuaciones observadas (es decir, eltamaño de la muestra).La media es el estadígrafo de tendencia central más útil. Con un cálculo matemáticorápido, ofrece un resumen de las puntuaciones típicas o promedio de una distribución. Puestoque emplea la operación matemática de división, la media se aplica a las variables deintervalo/razón.C o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”2

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V delPara una variable X (cualquier variable de intervalo/razón que definamos), el símbolopara la media calculada con esos datos de la muestra es X , que se lee “X barra”, y se calculacomo sigue:dondeX = media de la variable∑ XX =nΣX = la suma de todas las puntuaciones individuales para la variable Xn = el número de observaciones (tamaño de la muestra)La media no dice cuáles serían las puntuaciones X en una muestra si cada sujeto de lamuestra tuviera la misma puntuación. Es útil, entonces, pensar en la media como unamedición de “partes iguales”. La media también puede ser considerada como un punto deequilibrio, es decir, el punto en el cual se equilibran las diferencias entre la media de X y laspuntuaciones individuales de X en la distribución.Al calcular los estadígrafos de tendencia central, particularmente la media, debetenerse cuidado para no incluir las puntuaciones codificadas como casos perdidos. Aldeterminar la media sólo se incluyen los casos “válidos”. Por ejemplo, si en una muestra de49 personas 2 no informaron sus edades, la suma de edades se dividiría entre 47 —el númerode puntuaciones válidas— en lugar de dividirla entre el tamaño de la muestra (49).Como la media es el estadígrafo de tendencia central más ampliamente usado, esimportante que tengamos un buen sentido de proporción respecto de su cálculo. Una situacióndonde se comete un error común suele ser cuando combinamos las medias de dos grupossumando las dos medias y dividiendo el resultado entre 2. Por ejemplo, observe el número dedías de vacaciones por año (X) para el grupo 1 (ocho secretarias de un banco), y para el grupo2 (tres vicepresidentes):XX( grupo1)( grupo2)ΣX=n( grupo1)( grupo1)7 + 10 + 7 + 12 + 16 + 7 + 14 + 10=883= = 10.38 días de vacaciones8ΣX=n( grupo2)( grupo2)60 + 30 + 30=3120= = 40.00 días de vacaciones3Si calculamos incorrectamente la media de la oficina completa sumando estas dosmedias y dividiendo el resultado entre 2, obtendríamos la respuesta errónea de 25.19 días devacaciones. El cálculo correcto para esta media combinada es:C o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”3

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V delX( grupo1+grupo2)ΣX=n( grupo1)( grupo1)+ ΣX+ n( grupo2)( grupo2)83 + 120 203= = = 18.45 días de vacaciones8 + 3 11Cuando se reporta un estadígrafo de tendencia central, tendemos a suponer que suvalor es representativo de puntuaciones típicas en la parte central de una distribución. Enocasiones, cuando se informa la media, puede conducir a errores al respecto. Éste es el casoporque el cálculo de la media puede inflarse (aumentar) o desinflarse (disminuir) debido apuntuaciones o valores extremos. Puntuaciones muy altas, inflan el valor de la media“agrandando” la suma de X (es decir, ΣX). Puntuaciones sumamente bajas, o valores extremosnegativos, desinflan el valor de la media “encogiendo” ΣX. Por ejemplo, suponga quecalculamos la media del dinero en efectivo que llevan 10 estudiantes. Idealmente, esta mediadebe indicarnos cuál es la cantidad típica. Pero suponga que un estudiante cobró un chequepor $400. Nuestro cálculo, por razones obvias, daría como resultado una media que norepresenta la cantidad promedio o la tendencia central que los alumnos suelen portar enefectivo. En este caso la media es engañosa.El cálculo de la media se distorsiona por la presencia de un valor extremo. Tengapresente que nuestro objetivo es usar estadígrafos para estimar los parámetros de unapoblación. Si se reporta una media muestral inflada o disminuida, se presentará un resumendistorsionado de las puntuaciones de la población. Esta limitación de la media es un problemaespecial con muestras pequeñas; cuanto menor sea la muestra, mayor será la distorsión quegenere un valor extremo. En tales casos, los valores extremos deben eliminarse, y la mediadebe calcularse de nuevo sin ellos.La medianaLa mediana (Mdn) es la puntuación de la mitad en una distribución ordenada —aquel valorde una variable que divide la distribución por la mitad, la puntuación por arriba de la cualqueda la mitad de los casos y por debajo queda la otra mitad—. Por ejemplo, si la media delingreso de los hogares en la Ciudad [Hernadarias] es de [Gs 1.200.000], la mitad de loshogares de esta ciudad tienen ingresos mayores a Gs 1.200.000; y la otra mitad, ingresosmenores a Gs 1.200.000. Conceptualmente, la mediana es un punto de localización —lapuntuación de la mitad—. La mediana es igual al percentil 50, es el punto en el que 50 porciento de las observaciones caen debajo. Entre los tres estadígrafos de tendencia central, lamediana es más útil cuando la distribución está sesgada (es decir, tiene pocas puntuacioneshacia un lado). Por ejemplo, la mediana del precio de las ventas recientes de viviendas espreferible a la media del precio, porque unas cuantas ventas de alto precio incrementará elvalor de la media.Para calcular la mediana de una distribución, primero deben ordenarse laspuntuaciones para una variable X; es decir, las puntuaciones deben colocarse en orden detamaño, de menor a mayor o de mayor a menor. Divida el tamaño de la muestra n entre 2 paraacercarse a la puntuación de la mitad en la distribución. Si n es un número impar, la medianaC o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”4

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V delserá un caso real en la muestra. Si n es un número par, la mediana se localiza entre las dospuntuaciones de la mitad y se calcula tomando la media de esas dos puntuaciones. Mire loejemplos:Para n impar:Ubicación de la MdnOrden de los casos 1 2 3 4 5Valores de X $ 3 540 $ 4 675 $ 7 350 $ 9 860 $ 19 000Mdn = un valor de XUbicación de la MdnPara n par:Ubicación de la MdnOrden de los casos 1 2 3 4 5 6Valores de X $ 3 540 $ 4 675 $ 7 350 $ 9 860 $ 19 000 $ 20 000Mdn = $ 8 605La mediana puede utilizarse con variables de intervalo/razón, así como con variablesordinales.Como la mediana se basa en la ubicación ordenada de puntuaciones en unadistribución, es insensible a los valores de las puntuaciones; es decir, sin tener en cuenta losvalores de X que la rodean, la mediana es la puntuación de la mitad determinada por elnúmero de puntuaciones (n) en la muestra. Por ejemplo, las siguientes dos distribuciones depuntuaciones en un examen tiene la misma mediana; aunque estén compuestas depuntuaciones muy diferentes:Aula 1: 39, 51, 77, 78, 81MdnAula 2: 74. 75, 77, 94, 98Afirmar que la calificación promedio del examen en ambas clases es 77 seríaimpreciso porque sugiere que las dos tuvieron igual desempeño. (De hecho, el aula 2 lo hizomucho mejor, con una media de 83.6, comparado con la media de 65.2 para el aula 1). Lamediana no se afecta por los valores X.C o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”5

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V delPero, mientras que es insensible para los valores X, la mediana es sensible a cualquiercambio en el tamaño de la muestra (n). Por ejemplo, suponga que en el aula 1 dos estudianteshacen el examen tarde; lo realizan mal, que es típico de estudiantes que llegan tarde a unaevaluación. Cuando sus puntuaciones se incluyen en la distribución, la mediana cambiadrásticamente de 71 a 51:Aula 1 (incluyendo puntuaciones tardías): 34, 36, 39, 51, 77, 78, 81La mediana, entonces, tiene dos debilidades potenciales: 1) es insensible para losvalores de las puntuaciones en una distribución, y 2) es sensible a cualquier cambio en eltamaño de la muestra. Antes de reportar la mediana asegúrese de que ninguna de estasdebilidades potenciales lo llevará a conclusiones erróneas.MdnLa modaLa moda (Mo) es la puntuación que ocurre con mayor frecuencia en una distribución.Conceptualmente, la moda es la puntuación “más popular”.Una nota precautoria. No confunda la moda (la “puntuación que ocurre con mayorfrecuencia”) con la “mayoría de las puntuaciones”. Una mayoría simple sería “más de lamitad” o 50 por ciento de los casos en una muestra más por lo menos, uno.La moda es útil con variables de todos los niveles de medición. La moda es fácil dereconocer en un gráfico. En un gráfico de pastel, es la categoría con la rebanada más grande;en un gráfico de barras, la barra más alta; en un histograma, la columna más alta; en unpolígono, la puntuación del punto más alto, o el pico.En general, por sí misma la moda es el estadígrafo de tendencia central menos útilporque tiene un alcance informativo limitado. Mientras identifica la puntuación que ocurremás frecuentemente, no sugiere nada sobre las puntuaciones que ocurren alrededor de estevalor de la puntuación. Así, la moda es muy útil cuando se presenta en conjunto con lamediana y la media.La moda puede ser engañosa cuando se usa sola porque es insensible tanto a losvalores de las puntuaciones en una distribución como al tamaño de la muestra. Esto significaque usted puede tener cualquier número de distribuciones con formas totalmente diferentes, yaún todas podrían tener la misma moda.Existe al menos una situación en la cual la moda es un estadígrafo de tendencia centralapropiado por sí mismo e informar la media y la mediana es confuso. Ocurre cuando laspuntuaciones de X son en esencia del mismo valor para todos los casos, excepto para unoscuantos. Un ejemplo es la estructura de sueldos en los restaurantes de comida rápida, dondetodos, excepto los gerentes, tienen un mismo sueldo bajo (ver tabla 4). La media aquí es [Gs10.719], y está “inflada” por las puntuaciones extremas de los sueldos de los gerentes. Paraalguien que busca empleo, esta media deja la falsa impresión de que el restaurante, enpromedio, ofrece un sueldo por arriba del sueldo mínimo. La mediana es [Gs 8.125], igual queC o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”6

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V della moda; pero informar esta mediana lleva a la interpretación incorrecta de que la mitad de losempleados ganan más que esa cantidad, lo cual no es el caso. Informar la moda, [Gs 8.125],significa que a muchos empleados se les paga este sueldo bajo.TABLA 4Distribución de sueldos en un restaurante de comida rápidaSueldo (Gs) f Clasificación de empleados8.125 13 Empleados regulares20.250 2 Gerentes nocturnos25.390 1 Gerente en jefeTotal 16Curvas de distribución de frecuencias: relacionesentre la media, la mediana y la modaPuesto que cada uno de los estadígrafos de tendencia central tiene debilidades potenciales,vale la pena observarlos como un conjunto de estadígrafos que se van a interpretar juntos.Estos tres estadígrafos son especialmente útiles cuando se examinan de manera gráfica. Unaforma informativa de entender la relación entre estos tres estadígrafos consiste en localizar losvalores de cada uno en una curva de distribución de frecuencias.Una curva de distribución de frecuencias es un sustituto de un histograma defrecuencias o polígono, donde reemplazamos estos gráficos con una curva suavizada. Estasituación es apropiada porque la curva suavizada no se ve tanto como una ilustración de ladistribución de la muestra, sino más bien como una estimación de la manera en que sedistribuyen las puntuaciones en la población. Como con un histograma, las puntuaciones deuna variable se ilustran de izquierda (el más bajo) a derecha (el más alto); es decir, laspuntuaciones se ordenan sobre el eje horizontal. El área bajo la curva de distribución defrecuencias representa el número total de sujetos de la población y es igual a una proporciónde 1.00 o a un porcentaje de 100 por ciento. Nuestra preocupación está en evaluar la forma deuna distribución y examinar las ubicaciones relativas de la media, la mediana y la moda, paraestimar la forma de una distribución de frecuencias.La distribución normalUna distribución normal es aquella donde la media, la mediana y la moda de una variable soniguales entre sí y la distribución de las puntuaciones tiene forma de campana. También nosreferimos a esto como una “curva normal”. La figura 7 ilustra las puntuaciones de CI, queestán normalmente distribuidos con una media de 100. una distribución normal es simétrica(es decir, equilibrada en cada lado). Su media, mediana y moda se localiza en el centro de ladistribución. La presencia de mediana aquí asegura la simetría porque, por definición, laC o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”7

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V delmediana divide por la mitad una distribución ordenada de puntuaciones. Puesto que la modaestá en el punto central de una distribución normal, el pico de la curva se localiza allí.FIGURA 7Curvas de distribuciónde frecuenciascomunes y ubicacionesrelativas de la media,la mediana y la moda,donde X es unavariable de intervalo/razón (datos ficticios)A. La distribución normal o curva normalPuntuaciónbajaX = 100Mdn = 100Mo = 100PuntuaciónaltaX (puntuación CI)B. Distribución positivamente sesgada o sesgo a la derechaX (Ingreso en miles de $)Mo = $26 Mdn = $34 X = $46C. Distribución negativamente sesgada o sesgo a la izquierdaX = 76Mdn = 82Mo = 86X (examen de grado deestudiantes de último año)Una distribución sesgada es aquella en la cual la media, la mediana y la moda de unavariable son desiguales y muchos de los sujetos tienen puntuaciones sumamente altas o bajas.Cuando éste es el caso, la distribución se alarga hacia un lado.Como la más central de los tres estadígrafos, la mediana es el mejor de las tres pobresopciones para una distribución sesgada, cuando sólo un estadígrafo debe reportarse.C o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”8

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V delCAPÍTULO5MEDICIÓN DE LADISPERSIÓN O VARIACIÓNEN UNA DISTRIBUCIÓNDE PUNTUACIONESIntroducciónReportar un estadígrafo de tendencia central por sí mismo no es suficiente para comunicar laforma de una distribución de puntuaciones. Dos muestras con las mismas medias pueden tenerformas sumamente diferentes. La figura 8 presenta dos distribuciones de edades: para unamuestra de alumnos de escuela primaria (desde jardín de niños hasta sexto grado) y para unaclase de tercer grado de una segunda escuela. La edad media de los alumnos en ambasescuelas es de 8.5 años. En la primera escuela, sin embargo, los niños tienen entre 5 y 12años. En la clase del tercer grado de la segunda escuela ninguno de los alumnos es menor de 7o mayor de 10 años de edad. Aunque estas dos distribuciones de edades tienen la mismatendencia central, sus puntuaciones se dispersan de manera muy diferente, con una mayordispersión de edades en la primera escuela.FIGURA 8Comparación de ladispersión de edadesde alumnos en dosmuestras con lasmismas medias.Frecuencia765432105 6 7 8 9 10 11 12Muestra de edades de los grados de la primera escuelaMedia = 8.5 añosC o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”9

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V del141210Frecuencia864205 6 7 8 9 10 11 12Muestra de edades del grado 3Media = 8.5 añosEl tema de este capítulo es la dispersión, es decir, cómo se extienden las puntuacionesde una variable de intervalo/razón de la menor a la mayor y la forma de la distribución entreéstas. Existe un número infinito de posibles formas de distribución para una variable con unamedia dada. Todas las puntuaciones podrían agruparse alrededor de la media con la claraforma de una curva de campana; pero la curva podría ser de diferentes tamaños, dependiendodel tamaño de la muestra. O las puntuaciones podrían estar ligera o grandemente sesgadashacia un lado. Además de esto, una sola variable puede tener diferentes dispersiones de unapoblación a otra. Por ejemplo, el ingreso familiar anual para residentes en Estados Unidosvaría desde cero hasta decenas de millones de dólares; mientras el ingreso familiar de lospobres que viven en proyectos de asistencia social varía desde cero hasta unos cuantos milesde dólares.Los estadígrafos de dispersión permiten descripciones precisas de la frecuencia decasos en cualquier punto de una distribución. Estudiar la dispersión es como pasear hacia atrásy hacia delante a lo largo del eje x de un histograma, y observar dónde se concentran loscasos. ¿La mayoría de los casos cae alrededor de la media o están cargados hacia algún lado?¿Cuántos casos caen entre cualesquiera dos puntos? Los dos estadígrafos de dispersión másusados son el rango y la desviación estándar.El rango es una expresión de cómo las puntuaciones de una variable deintervalo/razón se distribuyen de la menor a la mayor —la distancia entre las puntuacionesmínima y máxima en una muestra—. Se calcula como la diferencia entre las puntuacionesmáxima y mínima.Puesto que el rango utiliza las puntuaciones más extremas de una distribución, unvalor extremo inflará enormemente su cálculo. Omitir el valor extremo e indicarlo como unaexcepción es una forma razonable de ajustar esta limitación del rango.La desviación estándar es otra medida sumaria de la dispersión o la variación de laspuntuaciones en una distribución. Este estadígrafo es muy diferente del rango. Al enfocarse enlos extremos de la distribución, el rango se aproxima a la dispersión desde los “exteriores” oextremos de la distribución. En contraste, la desviación estándar describe cómo laspuntuaciones de una variable de intervalo/razón se extienden a lo largo de la distribución, enrelación con la puntuación media. La media es un estadígrafo de tendencia central y como talproporciona un punto de enfoque que se centra “dentro” de la distribución.La desviación estándar se calcula determinando qué tan lejos está cada puntuación dela media —qué tan lejos se desvía de la media—. En este sentido, la desviación estándar es underivado de la media, y las dos medidas siempre se informan juntas. De hecho, la frase “laC o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”10

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V delmedia y la desviación estándar” es una de las más empleadas por los estadísticos. Ladesviación estándar nos dice con qué amplitud se agrupan las puntuaciones alrededor de lamedia. También es útil en conjunción con la curva normal.Antes de calcular una desviación estándar, analicemos su fórmula:donde( X − X )2Σs X=sX= desviación estándar para la variable X de intervalo/razónX = media de la Xn = tamaño de la muestranVale la pena aproximarnos paso a paso al cálculo de la desviación estándar. Estoelimina el misterio de la fórmula y nos ayuda a apreciar que la desviación estándar es parteesencial de la curva normal.Calcule la media. Calculamos la media porque la desviación estándar está diseñadapara medir la dispersión alrededor de la media.∑ XX =nCalcule las puntuaciones de la desviación: pensamiento lineal. Luegodeterminamos qué tan lejos de la media cae la puntuación de cada sujeto. La diferencia entreuna puntuación y su media se llama puntuación de desviación, es decir, cuánto difiere o se“desvía” de la media una puntuación individual:X − X = puntuación de desviación para un valor de XLa puntuación de desviación nos dice dos cuestiones sobre una puntuación en ladistribución: 1) la magnitud de la distancia desde la puntuación X hacia la media, y 2) ladirección de la puntuación X: ya sea que esté abajo o arriba de la media. Cuando unapuntuación X es mayor que la media, la puntuación de desviación resultará un valor positivo,lo cual significa que la puntuación X quedará a la derecha en una curva de distribución.Cuando una puntuación X es menor que la media, la puntuación de desviación resultaránegativa, lo que significa que la puntuación X quedará a la izquierda de la media.La puntuación de desviación es el cálculo matemático central al determinar ladesviación estándar. Como una medida sumaria para la muestra entera, la desviación estándares un promedio del cuadrado de estas puntuaciones de desviación.El siguiente paso consiste en sumar las puntuaciones de desviación. Sin embargo, talsuma siempre será igual a cero. En el capítulo 4 estudiamos cómo la media es un punto debalance en la distribución. Lo que la media hace es balancear las desviaciones, para que secancelen ente sí.Eleve al cuadrado las puntuaciones de desviación y sume los cuadrados. Al elevaral cuadrado cada puntuación de desviación desaparecen los signos negativos.C o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”11

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V delDivida la suma de cuadrados entre n. Esto nos da la variación promedio (la mediade la suma de cuadrados) de la muestra. De esta forma ajustamos la suma de cuadrados enproporción al número de casos en la muestra. Luego de dividir la suma de cuadrados por eltamaño de la muestra, el resultado se llama varianza. La varianza es la variación promediode las puntuaciones en una distribución.Saque la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar. Lavarianza es absolutamente aceptable para cálculos; pero no se interpreta de manera directaporque las unidades de medida están al cuadrado. Así, para regresar a la unidad de medidaúnica, sacamos la raíz cuadrada de la varianza.La distribución normalAdemás de proporcionar un estándar de comparación entre variables y muestras diferentes,bajo condiciones apropiadas a la media y la desviación estándar ofrecen una riqueza deinformación. Éste es el caso cuando una variable tiene una distribución de puntuaciones quees normal —formada como la curva de distribución normal—. Como lo definimos en elcapítulo 4, una distribución normal es simétrica, con su media, mediana y moda iguales entresí y localizadas en el centro de la curva. Sin embargo, la simetría o balance de la curvarepresenta la imagen completa. La curva normal también tiene una forma de campanainconfundible, que no es muy plana ni demasiado puntiaguda. Muchas variables sedistribuyen normalmente (como altura, peso, inteligencia, etc.) Sin tener en cuenta quévariable se examina, si está normalmente distribuida, posee las propiedades de una curvanormal.Lo que vuelve a la desviación estándar una herramienta estadística tan valiosa es queconstituye una parte matemática de la curva normal. Cuando usted sigue la curva desde sucentro (es decir, su pico) en cualquier dirección, la curva cambia de forma para acercarse aleje de las x. Desde el pico, el punto en el cual la curva empieza a cambiar hacia fuera es 1desviación estándar de la media.Comprender el fenómeno de normalidad es un aspecto importante de la imaginaciónestadística. Muchos fenómenos que ocurren naturalmente tienen distribuciones de frecuenciasque tienen la forma de campana de la curva normal. La curva normal ilustra el hecho de quecuando nos desviamos más allá de la media, esperamos encontrar cada vez menos casos. Porejemplo, la altura física se distribuye normalmente; la mayoría de las personas está cerca delpromedio, con unas cuantas personas muy altas y muy bajas.Uno de los rasgos más sobresalientes del fenómeno de normalidad que ocurrenaturalmente es que ofrece predicciones precisas sobre cuántas puntuaciones de una poblacióncaen dentro de cualquier rango de puntuaciones. Para cualquier variable normalmentedistribuida:1. Cincuenta por ciento de las puntuaciones caen por encima de la media, y 50 por ciento,debajo. Esto se debe al hecho de que la mediana es igual a la media.2. Virtualmente todas las puntuaciones caen dentro de 3 desviaciones estándar a partir dela media en ambas direcciones. Esto es, una amplitud de 6 desviaciones estándar. Lacantidad precisa es 99.7 por ciento. El restante 0.3 por ciento de casos (es decir, 3 casosde cada 1000) caen fuera de 3 desviaciones estándar y, teóricamente, la curva seC o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”12

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V delextiende hacia el infinito en ambas direcciones. (Prácticamente hablando, laspuntuaciones para algunas variables, como el peso corporal, tienen límites finitos.)3. Cerca del 95 por ciento de las puntuaciones de una variable normalmente distribuidacaen dentro de una distancia de 2 desviaciones estándar, en ambas direcciones de lamedia.4. Aproximadamente 68 por ciento de las puntuaciones de una variable normalmentedistribuida caen dentro de una distancia de 1 desviación estándar, en ambas direccionesde la media.Tenga presente que la distribución normal tiene características muy predecibles. Si unavariable se distribuye en esta peculiar forma de campana, podemos utilizar los estadígrafosde la muestra y lo que sabemos respecto de la curva normal, para estimar cuántaspuntuaciones en una población caen dentro de cierto rango (ver figura 9).FIGURA 9La relación de ladesviación estándarcon la curva normal.-3DE -2DE -1DEX0+1DE +2DE +3DE68%95%99%Para ilustrar la utilidad de la curva normal, sigamos el ejemplo siguiente: una muestrade mujeres estudiantes de la universidad local, donde X = peso, el peso medio es de [60 kilos],y la desviación estándar es de 2 kilos. Como se grafica en la figura 10, asumiendo lanormalidad, podemos hacer las siguientes estimaciones de los pesos de la población demujeres estudiantes en la universidad local:1. La mitad de estas puntuaciones pesa arriba de 60 kilos.2. Cerca del 68 por ciento de las mujeres estudiantes de la universidad local pesan entre58 y 62 kilos.3. Aproximadamente el 95 por ciento de las mujeres estudiantes de la universidad localpesan entre 56 y 64 kilos.4. Muy pocas pesan menos de 54 kilos o más de 66 kilos.C o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”13

SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICACÁTEDRA DE BIOESTADÍSTICA E INFORMÁTICACompendioMaterial de los decapítulos lectura 2IV y V delFIGURA 10Uso de la curvanormal para estimar elpeso (X) en ladistribución demujeres estudiantes enla universidad local.X = peso X = 60 kilos s X = 2 kilosX54 56 58 60 62 64 66 X (kilos)-3DE -2DE -1DE0+1DE +2DE +3DE68%95%99%C o m p e n d i o d e l o s c a p í t u l o s I V y V d e ll i b r o d e F e r r i s R i t c h e y “ E s t a d í s t i c ap a r a l a s C i e n c i a s S o c i a l e s ”14