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Libro de Distribución GratuitaDNCExponenteADiccionarioBase 2 5 = 32 Potencia2 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32} {{ }5 factoresM B91112908110IlustradoCalificación80762de70342007 2008 2009 2010 2011Matemáticas Lenguaje Ciencias5HipotenusaConceptosDominioXfxCateto opuestoFunciónαMatemáticosValores que leCateto adyacentedamos a la funciónyA BYContradominiof (x)Valores que nosdevuelve la funciónA ∩ By = f (x)a bEfraín y Soto ApolinaryλP(x, y)xV ′ F ′ O F VBB ′LRpory = sin xxx(Versión para Bachillerato)Libro de distribución gratuita

Términos de usoDerechos Reservados © 2011.Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar.Soto Apolinar, Efraín.Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos.Tercera edición.México. 2011.Apreciado lector, usted puede sentirse libre de utilizar la información que se encuentra en estematerial, bajo las siguientes condiciones:Atribución: Debe dar crédito al autor del libro, independientemente del medio que se utilicepara su divulgación (impresa, electrónica, en línea, etc.)Uso no comercial: No se permite el uso de este material ni de su contenido con fines comercialesy/o lucro en forma alguna. Puede utilizarlo con fines educativos o de divulgaciónde las ciencias. Se permite el uso por instituciones educativas públicas o privadas sin finesde lucro, con la condición de que no se aplique cargo, ni en especie ni en moneda, nien cualquier otra forma, a los usuarios finales de este material, sean estos profesores, autoridadeseducativas, estudiantes o público en general interesado en la enseñanza y/o elaprendizaje de las matemáticas.No Modificar: No se permite alterar, transformar, modificar, en forma alguna este material.Usted tiene permiso para utilizarlo como está y es. No se permite ni agregar, ni eliminar,ni modificar: palabras, u oraciones, o párrafos, o páginas, o subsecciones, o secciones,o capítulos o combinaciones de las anteriores o parte alguna del libro.Permisos: Puede contactar al autor de este material directamente a la cuenta de correo electrónicoque aparece en los créditos. Si usted tiene una copia de este libro en formato PDF y deseapublicarlo en algún sitio de Internet, primero solicite permiso al autor a través de un mensajea la cuenta de correo electrónico que aparece en los créditos. No requiere de permisoalguno para imprimir una copia de este material para uso personal.Responsabilidad: Ni el autor, ni el editor son responsables de cualquier pérdida o riesgo odaño (causal, incidental o cualquier otro), ocasionado debido al uso o interpretación de lasdefiniciones que se incluyen en este diccionario.Versión Electrónica de distribución gratuita.Estrictamente prohibido el uso comercial de este material.

iiiPrefacioEn México la enseñanza de las matemáticas está tomando cada vez mayor importancia por partede autoridades educativas, profesores y padres de familia.El uso de las matemáticas por parte de todos los ciudadanos está muy ligado a la forma como seaprendieron en primaria y secundaria, de manera que un niño que entendió bien los conceptosbásicos, asegura un aprendizaje más efectivo en cursos futuros.Sin embargo, muchas de las fuentes de información actuales no se escribieron pensando en losestudiantes, sino en la ciencia, es decir, se escribieron los conceptos de manera que los entiendenlos matemáticos solamente. Esto es contraproducente en el aprendizaje efectivo de los estudiantes.Al ver este nicho de oportunidad, hemos decidido escribir este pequeño diccionario para quenuestros estudiantes del nivel básico tengan al alcance de su madurez intelectual los conceptosbásicos de las matemáticas y así apoyar la educación pública de calidad en nuestro país.Este diccionario ilustrado de conceptos matemáticos de distribución gratuita incluye más de mildefiniciones y más de trescientas ilustraciones para que el lector pueda crear una idea más claradel concepto para entenderlo de una manera más sencilla y amena.Esperamos que este sea, no solamente tu primer diccionario ilustrado de matemáticas, sino unafuente de inspiración para entender de verdad las ciencias exactas.Este Diccionario Ilustrado de Conceptos Matemáticos está en continua mejora.descargar la última versión de este material desde el siguiente sitio de Internet:Usted puedehttp://www.aprendematematicas.org.mx/Versión aumentadapara BachilleratoEfraín Soto Apolinary revisores del diccionarioMonterrey, N.L., México.Abril de 2 011.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

ivLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

ÍNDICEvÍndiceTérminos de usoPrefacioiiiiia 1b 11c 15d 33e 49f 61g 69h 73i 77j 85k 87l 89m 93n 101o 109p 113r 129s 139t 147www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

viu 157v 159Lista de símbolos 162Referencias 165Agradecimientos a revisores 166Créditos 167Libro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxAEfrain Soto ApolinarAbierto, conjunto Conjunto cuyo complementoes cerrado. En otras palabras, unconjunto es abierto cuando sus valoreslímite (en frontera) no son elementos delconjunto mismo.Vea la definición de Abierto, intervalo.Abierto, intervalo Intervalo que no incluyesus valores extremos. Si los extremos delintervalo abierto son a y b, entonces, sedenota por: (a, b).Geométricamente, el intervalo incluye atodos los puntos de la recta numéricaentre a y b, pero excluyendo a estos dosvalores.La siguiente figura muestra el intervaloabierto (a, b):A priori Declaraciones o afirmaciones que sedan sin evidencia que apoye su veracidad,pero que pueden demostrarse a partir derazonamientos lógicos.Ábaco Calculadora que se utiliza para contar.El ábaco tiene dispuestas barras de fichasque se utilizan para formar númeroscon ellas. A cada ficha de diferentesbarras se le asignan unidades, decenas,centenas, etc., y de esta manerase pueden usar para realizar cálculosfácilmente.OabxAceleración (1.) Vector cuya magnitud indicacuánto cambia la velocidad por cadaunidad de tiempo y su dirección indicala dirección del movimiento.(2.) En Cálculo, la aceleración se definecomo la segunda derivada de la posiciónrespecto del tiempo, que equivale a laprimera derivada de la rapidez (velocidad)respecto del tiempo.A posteriori Declaraciones o afirmaciones quetienen su base en evidencia empírica,es decir, que se basan en observaciones,experimentaciones, etc., que dan soportede su veracidad.Ábaco.CentenasDecenasUnidadesEl ábaco fue inventado en China.Abscisa Para indicar un punto del plano serequieren de dos coordenadas: P(x, y). Laprimera coordenada (x) se conoce comoabscisa. La segunda coordenada (y) seconoce como ordenada.

2Absoluto, valor–AlturaAAbsoluto, valor El valor absoluto de unnúmero x, denotado por |x| se definecomo su valor numérico sin considerarsu signo.Por ejemplo, el valor absoluto de −18 es:| − 18| = 18, y el valor absoluto de 3 es:|3| = 3.Geométricamente, el valor absolutorepresenta la distancia del origen de larecta numérica al punto que le correspondeel número:| − 3| |2|−3 −2 −1 0 1 2 3Acre Unidad de superficie igual a 4 047 m 2 .AdiciónSinónimo de suma.Aleatorio Decimos que un evento o unproceso es aleatorio si no es posiblepredecir el siguiente resultado o elsiguiente paso del proceso.Por ejemplo, una caminata aleatoriaconsiste en caminar a la misma velocidaden un plano, cambiando la dirección cadavez que se desee.Alfabeto griego Vea la definición Griego,alfabeto.Álgebra Es la rama de las matemáticas queestudia las propiedades de los númerosreales a través de su abstracción en formade polinomios y funciones.Algebraica, expresión Representaciónmatemática de una cantidad utilizandoliterales y operaciones entre las mismas.Por ejemplo, 2 x 2 + 5 y, es una expresiónalgebraica.Algoritmo Procedimiento definido para lasolución de un problema, paso a paso, enun número finito de pasos.Algoritmo de Euclides Algoritmo paracalcular el máximo común divisor de dosnúmeros MCD(m, n) donde m > n, quese puede resumir como sigue:x1. Dividir m entre n. Sea r el residuo.2. Si r = 0, entonces MCD(m, n) = n.(Fin)3. Si r 0, entonces MCD(m, n) =MCD(n, r).4. Remplazar (m, n) por (n, r) e ir alpaso 1.Por ejemplo, para calcular elMCD(27, 12), tenemos:27 = 12 × 2 + 312 = 3 × 4 + 0Entonces, MCD(27, 12) = 3.Algoritmo de la división Dados los númerosenteros a, b, con b 0, existen númerosenteros únicos q, r, con 0 ≤ r < b, talesque: a = bq + r.Por ejemplo, considerando a = 17, b = 3,se tiene:17 = (3)(5) + 2En este caso, q = 5, y r = 2.Altura En un triángulo, la altura es igual ala distancia medida perpendicularmentedesde la base del triángulo hasta elvértice opuesto. La altura se denota conla literal h.En un triángulo las tres alturas se intersectanen un punto que se llama ortocentro.En un trapecio o en un paralelogramo, laaltura es el segmento de recta perpendiculara la base que va desde la base a suotro lado paralelo.hhwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Amortización–Ángulos adyacentes3Amortización En negocios, la amortización serefiere al pago de una deuda por mediode pagos iguales distribuidos en variosperiodos (a plazos). El importe del abonoA periódico calculado a partir del montoM y la tasa de interés compuesto r, es:A = M ·r (1 + r) n(1 + r) n − 1donde el valor de r ha sido dividido entrecien antes de hacer la sustitución.Amplitud En una onda sinusoidal, laamplitud es la distancia que hay desdeel eje de la onda hasta cualquiera de suscimas.1-1yAy = sin xAnálisis matemático Rama de lasmatemáticas que se encarga del estudiode las funciones, los límites y suspropiedades.Análisis numérico Conjunto de reglas ymétodos para la resolución de ecuacionesy problemas a través de métodos iterativos.Estos métodos generalmente se realizana través de la programación de computadoras.Vea la definición de Iteración.Analítica, geometría Es el estudio de lageometría utilizando un sistema deejes coordenados para aplicar principiosalgebraicos en la solución de problemas.Ángulo Figura plana formada por dossegmentos de recta que se cortan enun punto. El punto donde se cortanse llama vértice. Los segmentos sonlos lados del ángulo. La medida de unángulo indica la abertura entre sus lados.xVérticeαLadoLadoEn la figura, α representa la medida delángulo.Un ángulo también se puede denotarusando tres letras, como se indica en lasiguiente figura:BαEl ángulo α también se puede denotarcomo ∠ABC, donde el punto B es elvértice del ángulo.Normalmente el ángulo en el plano espositivo cuando se mide en el sentidocontrario al giro de las manecillas del relojy negativo cuando se mide en el mismosentido de giro de las manecillas.Ángulo agudo Ángulo cuya medida esmenor a la de un ángulo recto. En ladefinición de Ángulo, el ángulo mostrado(ambas figuras) es agudo.Ángulos adyacentes Dos ángulos sonadyacentes cuando tienen el mismovértice y comparten un lado común ubicadoentre ellos.En la siguiente figura los dos ángulos sonadyacentes:βαCAAwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

4Ángulos alternos–Ángulos correspondientesALos ángulos α y β tienen un mismo puntopor vértice y tienen un lado en común,por eso son adyacentes.Ángulos alternos Cuando un par de rectasparalelas son cortadas por una secante,se forman 8 ángulos. Si dos ángulosse encuentran en diferente lado respectode la secante y no comparten el vértice,entonces los ángulos son alternos.En la figura mostrada en la definiciónde Ángulos correspondientes, los pares deángulos (α, ζ) y (δ, ɛ) son alternos.Ángulo central En una circunferencia, elángulo central es aquel que tiene suvértice en el centro de la circunferenciay cuyos lados son dos radios.En la siguiente figura el ángulo central αmide 60 ◦ :En la figura anterior, los ángulos α y β soncomplementarios.Ángulos congruentes Dos ángulos soncongruentes si tienen la misma medida.Ángulos conjugados Dos ángulos son conjugadossi la suma de sus medidas es iguala la medida de un ángulo perigonal. Enotras palabras, dos ángulos son conjugadossi la suma de sus medidas es igual a360 ◦ .Ángulos consecutivos En un polígono, dosángulos son consecutivos si tienen unlado común.En el siguiente pentágono, los ángulos Ay B son consecutivos.BAαEl ángulo central se define de maneraequivalente para el círculo.Ángulos complementarios Dos ángulos soncomplementarios si la suma de susmedidas es igual a la medida de unángulo recto. En otras palabras, si lasuma de dos ángulos es igual a 90 ◦ ,entonces los ángulos son complementarios.Ángulos correspondientes Cuando un par derectas paralelas son cortadas por unasecante, se forman 8 ángulos. Si dosángulos no adyacentes se encuentran delmismo lado respecto de la secante, siendouno interno y el otro externo, entonces losángulos son correspondientes.En la figura se muestran los pares deángulos correspondientes: (α, ɛ), (β, ζ),(γ, η) y (δ, θ).l 1 ‖ l 2α βγδl 1βαɛηθζl 2www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Ángulo de depresión–Ángulo inscrito5Ángulo de depresión Ángulo formado por lahorizontal y la línea que une a un observadorcon un objeto situado por debajodel nivel de observación.En la siguiente figura, el ángulo α correspondeal de depresión de la persona queobserva la bicicleta desde el punto dondela mano apunta.αÁngulo de elevación Ángulo formado por lahorizontal y la línea que une a un observadorcon un objeto situado por encimadel nivel de observación.En la siguiente figura, el ángulo α correspondeal de elevación de la persona queobserva el balón desde el punto donde lamano apunta.αÁngulo de rotación Ángulo que se rota unafigura o que cambia en su orientaciónrespecto de un eje fijo.En la siguiente figura se muestra un planoque se ha rotado 30 ◦ , es decir, el ángulode rotación en este caso es de 30 ◦ .y ′yángulo perigonal. En otras palabras, elángulo entrante mide más de 180 ◦ , peromenos que 360 ◦ .En la figura, el ángulo α es entrante:αÁngulo externo En un polígono, un ánguloexterno es el que se forma por uno desus lados y la prolongación de un ladoadyacente.En la siguiente figura se muestra unángulo α externo del pentágonomostrado:EADBαCÁngulos externos Cuando un par de rectasparalelas son cortadas por una secante, seforman 8 ángulos. Los cuatro ángulos quequedan fuera de entre las rectas paralelasson los ángulos externos.En la siguiente figura los cuatro ángulosmarcados (α, β, γ, δ) son externos.CAB ‖ CDαβFDAx ′AγδBθ = 30 ◦Ángulo entrante Ángulo que mide más queun ángulo llano, pero menos que unxEÁngulo inscrito Ángulo que tiene su vérticesobre una circunferencia y cuyos ladosson dos cuerdas de la misma.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

6Ángulos internos– Ángulo rectoAαÁngulo inscritoÁngulos internos (1.) Cuando un par derectas paralelas son cortadas por unasecante, se forman 8 ángulos. Loscuatro ángulos que quedan entre las rectasparalelas son los ángulos internos.En la figura mostrada en la definiciónde Ángulos correspondientes, los cuatroángulos: γ, δ, ɛ y ζ son internos.(2.) En un polígono, un ángulo internoes el ángulo que se forma por dos ladosconsecutivos del polígono.En la figura anterior, el ángulo α esobtuso.Ángulos opuestos por el vértice Dos ángulosson opuestos por el vértice si la prolongaciónde los lados de uno son los ladosdel otro.En la siguiente figura, los ángulos α y βson opuestos por el vértice:αÁngulos opuestos por el vérticeαβiLa medida del ángulo interno de unpolígono regular se denota por la literali.Vea la definición de Polígono regular.Ángulo llano Ángulo que mide exactamentelo mismo que dos rectos. En otras palabras,un ángulo llano mide 180 ◦ .αEn la figura anterior, el ángulo α es llano.Como puedes ver, los lados del ángulollano están sobre la misma recta.Ángulo obtuso Ángulo que mide más queun ángulo recto, pero menos que unángulo llano. En otras palabras, unángulo obtuso mide más de 90 ◦ , peromenos que 180 ◦ .Los ángulos opuestos por el vértice tienenla misma medida.Ángulo perigonal Ángulo que mide lo mismoque cuatro ángulos rectos.En otras palabras, el ángulo perigonalmide 360 ◦ .αEn la figura anterior, el ángulo α esperigonal.Ángulo recto Ángulo que se forma cuandodos rectas se cortan formando cuatroángulos iguales. En otras palabras, elángulo recto mide 90 ◦ .αwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Ángulos suplementarios –Arco de curva7En la figura anterior, el ángulo α es unángulo recto.Ángulos suplementarios Dos ángulos sonsuplementarios si la suma de sus medidases igual a la medida de un ángulollano. En otras palabras, si la suma dedos ángulos es igual a 180 ◦ , entonces losángulos son suplementarios.movimiento de traslación y es aproximadamenteigual a 365 días.El año se divide en 12 meses.Año bisiesto Cada cuatro años, un año tiene366 días. Este día extra se agrega al mesde febrero, por lo que en un año bisiestofebrero tiene 29 días.El año 2012 es un año bisiesto.Apotema En un polígono regular, el apotemaes el segmento que va desde el centro delpolígono al punto medio de uno de suslados.AβαEn la figura anterior, los ángulos α y β sonsuplementarios.Antecedente En una razón, el primertérmino se llama antecedente, el segundose llama consecuente.Por ejemplo, en la razón 5 : 7, el número 5es el antecedente y el 7 es el consecuente.Antiderivada Una función F(x) es una antiderivadade f (x), si la derivada de F(x) esigual a f (x). Matemáticamente:∫f (x) dx = F(x) ⇒ F ′ (x) = f (x)Observe que la antiderivada de f (x) sedenota por: F(x) = ∫ f (x).Si y = F(x) es una antiderivada dela función y = f (x), también lo esy = F(x) + C, donde C es una constantecualquiera.ApotemaAproximar Dar un valor cercano a otro. Porejemplo, podemos aproximar el valor delnúmero π = 3.141592654 · · · como 3.1416El símbolo matemático que denotaaproximación es: ≈.En el caso del ejemplo dado antes,tenemos π ≈ 3.1416.Arco Segmento de circunferencia delimitadopor dos de sus puntos.BArcoAntilogaritmo Si a x = y, entonces, decimosque y es el antilogaritmo del número x enla base a.Por ejemplo, dado que 2 3 = 8, se tieneque 8 es el antilogaritmo de 3 en la base2.Observa que las funciones logaritmo yantilogaritmo son funciones inversas.El arco cuyos extremos⌢son los puntos Ay B se denota por: ABAAñoUn año es el tiempo que tarda la tierradar una vuelta alrededor del sol en suArco de curva Cualquier curva delimitadapor dos de sus puntos.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

8Arcocoseno–ArrobaAPArco de curvaLa longitud del arco de una curva seconoce como su longitud de arco.Arcocoseno La función arcocoseno delángulo x, denotada por arccos x, es lafunción inversa de la función coseno.Arcoseno La función arcoseno del ángulo x,denotada por arcsin x, es la función inversade la función seno.Arcotangente La función arcotangente delángulo x, denotada por arctan x, es lafunción inversa de la función tangente.Área Medida de la superficie que cubre uncuerpo o figura geométrica. Sus unidadesse miden en unidades cuadradas, tambiéndenominadas de superficie, como centímetroscuadrados (cm 2 ), metros cuadrados(m 2 ), hectáreas (ha), etc.Área superficialsuperficie.QMedida del tamaño de unaArgumento El argumento de una función esel valor en el que ésta se usará para evaluarla.Por ejemplo, si el argumento de la funcióncoseno es π 2 + 1, entonces escribimos:cos(π 2 + 1).Arista Línea recta donde se intersectan doscaras de un cuerpo geométrico.AristaAritmética Es la rama de las matemáticas quese dedica al estudio de los números ysus propiedades bajo las operaciones desuma, resta, multiplicación y división.Aritmética, sucesión Lista de números quetienen la propiedad que cualesquierados consecutivos tienen una diferenciaconstante.El primer término de la lista se denota pora 1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el n−ésimo término a nde la sucesión usando la fórmula:a n = a 1 + d (n − 1)Y la suma S n de los primeros n términoscon:S n = n (a 1 + a n )2A la sucesión aritmética también se leconoce como progresión aritmética.Arquímedes de Siracusa (287 AC – 212 AC)Matemático de la antigua Grecia.Realizó importantes contribuciones engeometría y mecánica. En particular,encontró la base de lo que actualmentese conoce como el Cálculo Infinitesimal,inventado de manera independienteen el siglo XVIII por Isaac Newton yGottfried Wilhelm Leibniz.Arreglo Dado un conjunto con n elementos,el número de arreglos es igual al númerode formas de elegir k objetos, en donde seconsidera importante el orden de los objetos.Por ejemplo, suponga que desea crearbanderas de tres colores usando 10diferentes colores. Evidentemente, elorden de los colores importa. El númerode banderas diferentes que podemoscrear es igual al número de arreglos de3 colores de entre los diez disponibles.Arreglo es sinónimo de combinación.Vea las definiciones Permutación y Combinación.Arroba Unidad de peso que equivale a 11.4kg, o bien a 25 libras.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Asimétrico– Azar9Asimétrico Una figura geométrica esasimétrica cuando no presenta algún tipode simetría.La siguiente figura es asimétrica:Este número aparece en la naturalezafrecuentemente.Los griegos lo utilizaron para que susobras tuvieran un mejor aspecto estético.Se dice que un rectángulo está en proporciónaurea cuando al multiplicar lalongitud de un lado por φ obtenemoscomo resultado la longitud del otro lado.ADNCFigura asimétricaAsíntota 1. Se dice que una curva tieneuna asíntota si se acerca mucho a unarecta, pero sin llegar a tocarla. La rectarepresenta la asíntota de la curva.21yy = 1 x + 1Asíntota0 1 2 3 4 52. En una hipérbola, las asíntotas sonlas rectas que pasan por el centro dela hipérbola y que son diagonales delrectángulo con lados de longitud igual aleje transverso y al eje conjugado.Ver definición de Ecuación de la Hipérbola.Asociativa La propiedad asociativa para lasuma es la siguiente:(a + b) + c = a + (b + c)y para la multiplicación:(a · b) · c = a · (b · c)En la definición de Propiedades de losnúmeros puede encontrar las demáspropiedades de los números reales.Áurea, proporción Número irracionaldenotado por la letra griega φ, e iguala:φ = 1 + √ 52xASi dividimos: ∣ ∣AB ∣ entre ∣ ∣BC ∣ obtenemosel mismo resultado que dividir ∣ ∣ BC ∣entre∣BM ∣ ∣:φ =∣∣AB ∣ ∣∣ BC∣ ∣=MB∣∣BC ∣ ∣∣∣BM ∣ ∣ = 1 + √ 52Las dimensiones de los rectángulosABCD y MBCN están en proporciónáurea.Axioma Una verdad tan evidente que norequiere demostrarse.Por ejemplo, la suma de dos números realeses otro número real, es un axioma.Axioma de existencia Axioma que supone laexistencia de un objeto o varios objetosmatemáticos.Axiomático, sistema Una forma secuencial ysistemática de organizar una teoría de lasciencias exactas.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este materialAzar Decimos que un experimento o eventotiene azar cuando no es posible predecirsu resultado. Por ejemplo, el hecho deque el día en que el equipo de fútbolsoccer de la escuela tendrá su próximojuego lloverá, no se puede predecir, asíque es un evento que tiene azar. Al lanzaruna moneda el resultado también tieneazar, pues puede ser sol o águila.

10ALibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxBEfrain Soto ApolinarBaricentro El baricentro de un triángulo esel punto donde se intersectan sus tresmedianas.BaseBaricentroEl baricentro es el centro de gravedad deltriángulo.(Álgebra) La base es el número que semultiplicará el número de veces indicadopor el exponente.Exponenteeso decimos que usamos una base decimal.2 375 = 2 × 10 3 + 3 × 10 2 + 7 × 10 + 5El número 10 es la base de nuestro sistema denumeración.2. La base de un logaritmo es el númeroque se utiliza para su cálculo.Por ejemplo, en log 5125 = 3, la base es 5.Podemos cambiar la base de unlogaritmo utilizando la siguientefórmula:log aM = log b Mlog baPor ejemplo, para calcular, log 510 puedesusar la fórmula anterior y escribir en lacalculadora científica: log 10 ÷ log 5 conlo que obtendrás: 1.430676558.En este caso: M = 10, b = 10 y a = 5.(Geometría) 1. La base de un polígono esel lado sobre el cual éste descansa.Base 2 5 = 32 Potencia2 5 = 2}{{}× 2 × 2 × 2 × 2 = 325 factores(Aritmética) 1. La base de un sistemade numeración es el número que se utilizapara formar los números. Los mayasusaban la base 20, es decir, contaban de20 en 20. Nosotros usamos la base 10, porBase2. La base de un triángulo es uno de suslados a partir del cual se puede medir laaltura.

12Bayes, teorema de–Binomio de NewtonBhBase3. La base de un poliedro es la cara desdela cual se medirá la altura del mismo.Bayes, teorema de Sean A y B dos eventoscualesquiera con probabilidad deocurrencia diferente de cero. Entonces,Bi-P(B|A) =P(A|B) · P(B)P(A)En palabras, la probabilidad de queocurra el evento B dado que ya ocurrióel evento A es igual al producto de laprobabilidad de que ocurra el evento Adado que ya ocurrió B por la probabilidadde ocurrencia del evento B, dividido entrela probabilidad de ocurrencia del eventoA.Prefijo que se utiliza para indicar el doblede algo.Por ejemplo, bicolor, indica un lápiz dedos colores.Bicentenario Unidad de tiempo equivalente adoscientos años.Bidimensional Decimos que una figura o unobjeto es bidimensional cuando es de dosdimensiones. Esto es, cuando una figurase encuentra en el plano, decimos que esbidimensional.Billón Un billón es igual a un millón de millones,es decir,1 000 000 × 1 000 000 = 1 000 000 000 000El billón se escribe con un 1 seguido de12 ceros.Bimodal Cuando el diagrama de frecuenciasde una población presenta dos clases conla misma frecuencia, decimos que es bimodal,es decir, los dos valores son losmás frecuentes, y por tanto, ambos son lamoda de la población. De ahí el prefijo Bi.fA B C D E FEn el histograma mostrado, las clases Cy E tienen la misma frecuencia, y ambasson la más alta. Por esto, esta distribuciónes bimodal.Binaria, operación Operación definida condos números o expresiones algebraicas.Por ejemplo, la suma es una operaciónbinaria, porque se requiere de dosnúmeros para hacer la suma.Binario Se refiere a un sistema que utilizados dígitos, el 1 y el 0. El sistema binariotambién se conoce como el sistema denumeración en base 2.Este sistema se utiliza en el diseñode componentes electrónicos, como porejemplo, de circuitos electrónicos confines computacionales.El número 8 (ocho) en sistema binario es:1000 2 ,y el 100 (cien) en este sistema se escribecomo: 1100100 2 .El subíndice 2 indica que el número estáescrito en el sistema de numeración debase 2.Binomio Polinomio que tiene dos términos(no semejantes). Por ejemplo, 2 x 2 + x,a x 2 y + b xy 2 , y 7 x 3 − a 4 son binomios.xBinomio de Newton Producto notable quesirve para calcular cualquier potencia (enwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Bisectriz–Brújula13tera o racional) de un binomio de formadirecta, cuya fórmula es:(x + y) n = x n + nx n−1 y + · · · + nxy n−1 + y nEl binomio de Newton también se conocecomo teorema del binomio.Los coeficientes del polinomio de elevar elbinomio a la potencia n pueden calcularseusando el triángulo de Pascal o usando lafórmula de combinaciones:(x + y) n =n∑k=0( nk)x n−k y kVea la definición de combinación.Bisectriz Recta que divide a un ángulo en dosángulos de la misma medida. En otraspalabras, la bisectriz es el eje de simetríade un ángulo.ABisectrizLa bisectriz tiene la propiedad quecualquiera de sus puntos equidista de loslados del ángulo.En un triángulo, sus tres bisectrices secortan en un punto que se llama incentro.IncentroComo el incentro equidista de los treslados del triángulo, es el centro de lacircunferencia que es tangente a los treslados del triángulo.Brújula Instrumento utilizado para determinarel norte geográfico. Utiliza una agujaimantada que se alinea con el campomagnético terrestre.La siguiente figura muestra una brújula:NBOEBααCSwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

14BLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxCEfrain Soto ApolinarCSímbolo que representa el conjunto de losnúmeros complejos.Por ejemplo,fracción:cuando simplificamos laCabrí Geometré Software para realizarconstrucciones geométricas y resolverproblemas de geometría plana.Cadena Unidad de longitud utilizada en laantigüedad equivalente a 22 yardas, obien a 20.1168 metros.Calculadora Dispositivo o aparato que se usapara realizar cálculos.Calcular Obtener o encontrar el resultado deuna operación.Cálculo Rama de las matemáticas que seencarga del estudio de las cantidadesque varían continuamente y las relacionesentre ellas.En el Cálculo se estudian los conceptos delímite, continuidad, derivada e integral ysus aplicaciones.El Cálculo también se denomina Cálculoinfinitesimal.Cancelación Decimos que hemos canceladoun número o una expresión algebraicacuando aplicamos una de las siguientespropiedades de los números reales:a + (−a) = 0a · 1a= 11221 = ( ✁3)(4)( 3)(7) = 4 ✁ 7decimos que hemos cancelado el 3,porque hemos aplicado la segundapropiedad enlistada antes.Canónico Estándar o usual. Se utiliza generalmentepara indicar que vamos a tomar elcaso convencional.Por ejemplo, al decir que usamosun sistema de coordenadas canónico,entendemos que usamos un sistema decoordenadas donde los ejes son mutuamenteperpendiculares y ambos tienen lamisma unidad de medida.Capacidad En matemáticas la palabra capacidadnos indica el valor del volumen queocupa un sólido.Por ejemplo, un cubo con una capacidadde un litro, indica que el cubo ocupa unvolumen de un litro.CaraEn un poliedro, una cara es cada uno delos polígonos que lo delimitan.En el cubo cada uno de los cuadrados quelo delimita es una cara del poliedro.

16Característica–CentroCCaraCaracterística La parte entera de unlogaritmo, es decir, la parte que está ala izquierda del punto decimal. Por ejemplo,sabiendo que ln(π) ≈ 1.1447, su característicaes 1.Cardinalidad La cardinalidad de un conjunto,denotado por el símbolo ν, es el númerode elementos que éste contiene. Porejemplo, la cardinalidad del conjunto{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} es 10.Cartesiano, plano Sistema de coordenadas enel cual los ejes son mutuamente perpendicularesy ambos utilizan la misma unidadde medida.La siguiente figura muestra un planocartesiano:3y{4, 5, 6}. Entonces,A × B = {(0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4),(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5),(2, 6)}Centésimo (1.) Un centésimo es equivalentea una de las partes de un entero que hasido dividido en cien partes del mismotamaño.(2.) En un número con decimales, eldígito de los centésimos es el dígito quese encuentra en la segunda posición a laderecha del punto decimal.Por ejemplo, en el número 3.1416, eldígito 4 corresponde a los centésimos.Centi- Prefijo que denota centésima parte. Porejemplo, centímetro indica la centésimaparte de un metro.Central, ángulo En una circunferencia, elángulo central es aquel que tiene suvértice en el centro de la circunferenciay cuyos lados son dos radios.En la siguiente figura el ángulo central αmide 60 ◦ :21−3 −2 −1 0 1 2 3−1−2−3xαCentro El centro de una figura es el punto desimetría de la misma.Cartesiano, producto El producto cartesianode los conjuntos A y B denotado porA × B es el conjunto formado por todoslos pares ordenados (a, b) donde a ∈ A yb ∈ B.Por ejemplo, sean A = {0, 1, 2} y B =CEn las figuras mostradas, C es el centro.Cwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Centro de gravedad–Cilindro17Centro de gravedad Punto en donde se puedeconsiderar concentrada la masa de unobjeto físico para su estudio.El centro de masa se usa cuando la distribuciónespacial de la masa del objetono es importante para la discusión.Centroide El centro de gravedad de unpolígono plano.El centroide del triángulo es el puntodonde se intersectan las tres medianas delmismo:Baricentrocuando sumamos dos números imparesno obtenemos un número impar, sinopar.Científica, notación Forma abreviada deescribir números muy grandes o muypequeños. Para esto, se escribe el primerdígito del número, el punto decimal ydespués los siguientes dígitos del número(si se desea mayor precisión) y finalmenteel número 10 elevado a la potencian, donde n es el número de cifras secorrió el punto decimal a la izquierda.Por ejemplo, el número 120 000 escrito ennotación científica es:120 000 = 1.2 × 10 5CEl centroide de un triángulo también seconoce como el baricentro.Cerrado, intervalo Intervalo que sí incluye susvalores extremos. Si los extremos delintervalo cerrado son los puntos a y b, sedenota por [a, b].Geométricamente, el intervalo cerrado[a, b] se indica como muestra la siguientefigura:OabxObserva que el punto decimal se corriócinco cifras a la izquierda, por esoescribimos exponente 5 al número 10.Cuando el punto decimal se corre haciala derecha, el exponente debe tener signonegativo.Por ejemplo, el número 0.00035 escrito ennotación científica es:0.00035 = 3.5 × 10 −4Ahora el punto decimal se ha recorrido 4lugares a la derecha, por eso el exponentetiene signo negativo.Cerradura Un conjunto A presenta lapropiedad de cerradura bajo una operacióncuando al realizar esa operacióna cualesquiera dos de sus elementos elresultado es otro elemento del conjuntoA.Por ejemplo, el conjunto de los númerospares es cerrado bajo la suma, porquecuando sumamos dos números pares, elresultado es otro número par.Por el contrario, los números imparesno son cerrados bajo la suma, porqueCifra significativa Cuando redondeamos unnúmero, el número de dígitos queconsideramos corresponde al número decifras significativas del redondeo.Por ejemplo, si a π = 3.141592654 · · · ,lo consideramos como 3.1416, estamosusando 4 cifras significativas.Cilindro Cuerpo geométrico con bases paralelascirculares y paredes perpendiculares asus bases.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

18Cilindro elíptico–CircunferenciaCrCilindrohdonde r es el radio de la circunferencia.Podemos decir que el círculo es elconjunto de puntos que están a unamenor distancia r de un punto fijo C,llamado centro. La distancia r se llamaradio del círculo.Circuncentro Es el punto donde se intersectanlas tres mediatrices de un triángulo.Área = 2 πr 2 + 2 πr hVolumen = πr 2 hCilindro elípticoelipses.Cilindro cuyas bases sonCima En una curva sinusoidal, la cima es cadauno de los puntos más altos en su trayectoria.Por el contrario, la sima (con s) correspondea cada uno de los puntos más bajosde su trayectoria.CimaSimaCírculo Área que queda delimitada por unacircunferencia. Es decir, la circunferenciaes el perímetro del círculo.CircunferenciaCírculoCircuncentroCircuncírculo El circuncírculo de un polígonoes la circunferencia que pasa por cadauno de sus vértices.En la definición de Circuncentro, lacircunferencia mostrada es el circuncírculodel octágono de la figura.Circunferencia La circunferencia es elconjunto de puntos del plano que están ala misma distancia de un punto fijo C quees el centro de la circunferencia.La distancia del centro de la circunferenciaa cualquiera de sus puntos se llamaradio (r)CircunferenciaCrPodemos calcular el área del círculousando la fórmula:Área = π r 2En la figura anterior, el punto C es elcentro de la circunferencia y r es su radio.La ecuación de la circunferencia que tienesu centro en el punto C(h, k) y radio r es:(x − h) 2 + (y − k) 2 = r 2www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Circunscrito, polígono–Compás19A la circunferencia no le podemos medirel área, pues es un segmento de líneacurva, pero sí podemos calcular su longitudo perímetro (C):C = 2 π rCircunscrito, polígono Se dice que unpolígono es circunscrito cuando todossus lados son tangentes a una mismacircunferencia.P Q REn la figura anterior, los puntos P, Q, Ry S son colineales, pues todos están sobrela misma recta l.Columna En una matriz, una columna es unalínea vertical de sus elementos.En la siguiente matriz A, la primeracolumna está formada por los elementosa, d y g:⎡a b c⎤A = ⎣ d e f ⎦g h iSlCHexágono circunscritoCociente Resultado de la división de dosnúmeros.Por ejemplo, al dividir 10 ÷ 5 = 2, elcociente es el número 2, el dividendo esel número 10 y el divisor es el número 5.Coeficiente Es un número que multiplica auna literal. Es decir, es el factor numéricode un término.Por ejemplo, en 2 x, el número 2 es elcoeficiente.Cofunción Para cada una de las funcionestrigonométricas básicas, seno, secante ytangente, se define una cofunción:FunciónCofunciónSeno (sin x) Coseno (cos x)Secante (sec x) Cosecante (csc x)Tangente (tan x) Cotangente (cot x)Colineal Se dice que varios puntos soncolineales cuando están sobre una mismarecta.Combinación Una combinación C(n, r) es unaselección de r (uno o más) objetos deun conjunto de n objetos, independientementedel orden.C(n, r) se lee: una combinación de n elementos,tomando r a la vez, y se calcula con lafórmula:C(n, r) =P(n, r)r!=n!r! (n − r)!donde P(n, r) son las permutaciones de ntomando r a la vez y n! es el factorial delnúmero n.Vea la definición de Permutación.Compás Instrumento utilizado en geometríapara dibujar circunferencias y para compararlongitudes de segmentos.La siguiente figura muestra un compás:www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

20Complejo, número–ComposiciónCComplejo, número Número que tiene unaparte real y una parte imaginaria:z = a + i bEn el número complejo z, a es la parte realy b su parte imaginaria.Por ejemplo, si z = 3 − 2 i, 3 es la partereal de z y −2 su parte imaginaria.Algunas ecuaciones tienen por raícesnúmeros complejos.Complejo, plano Plano que asigna el ejehorizontal a los números reales y eleje vertical a los números imaginariosde manera que podamos representargráficamente los números complejos.Iz = 3 + 2 iEl plano complejo también se conocecomo el Plano de Gauss.Complementarios, ángulos Dos ángulos soncomplementarios si la suma de sus medidases igual a la medida de un ángulorecto. En otras palabras, si la suma dedos ángulos es igual a 90 ◦ , entonces losángulos son complementarios.βαEn la figura, los ángulos α y β soncomplementarios.RComplemento de un conjunto El complementodel conjunto A, denotado por A ′ ,o bien por A c , respecto del conjunto universoU está definido por: U − A.En palabras, el complemento del conjuntoA es el conjunto formado por los elementosque están en el universo U que noestán en A.Completar el cuadrado Proceso de factorizaciónpara expresar un trinomio cuadradono perfecto como la suma de un binomioal cuadrado más un término constante.Para completar el cuadrado de un trinomiocuadrado se calcula la mitad delcoeficiente del término lineal y se suma yresta el cuadrado de ese número.Por ejemplo, para completar el cuadradode: x 2 + 6 x + 10, sacamos la mitad de6, (que es 3) y sumamos y restamos sucuadrado (que es 9):x 2 + 6 x + 10 = x 2 + 6 x + 10+9 − 9= (x 2 + 6 x + 9) + 10 − 9= (x + 3) 2 + 1Componente Las componentes de un vector⃗v = (v 1 , v 2 , · · · , v n ), son cada uno de losnúmeros v 1 , v 2 , · · · , v n . La primera componentees v 1 , la segunda componente esv 2 , y así sucesivamente.Composición Dadas las funciones: y = f (x)y y = g(x), la composición de f en g,denotado por f ◦ g, significa sustituir g(x)en la función y = f (x):f ◦ g = f (g(x))Por ejemplo, si definimos: f (x) = x 2 , yg(x) = 2 x − 3, entonces,f ◦ g = f (g(x))= (2 x − 3) 2= 4 x 2 − 12 x + 9www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Compuesto, número–Condición suficiente21Compuesto, número Un número natural quetiene más de dos divisores.Por ejemplo, el número 9 es compuesto,porque sus divisores son: 1, 3, y 9.El número 5 no es un número compuesto,pues solamente tiene dos divisores.El único número natural par que no escompuesto es el número 2.Importante: No solamente los númerospares son compuestos.Computadora Máquina electrónica capaz deaceptar y procesar información, aplicarprocesos a ésta y devolver resultados.La computadora está conformada pordispositivos de entrada (teclado, ratón,escáner, etc.), de procesamiento, cálculoaritmético y control, de almacenamiento(disco duro, etc.) y de salida (monitor, impresora,etc.)Computadora, programa de Conjunto deinstrucciones que indican a una computadorael procedimiento para resolver unproblema.Cóncavo Un polígono es cóncavo si al menosuno de sus ángulos internos es entrante.El siguiente polígono es cóncavo:Si es posible dibujar un segmento de rectacon extremos dentro del polígono, peroparte del segmento fuera de la figura,entonces el polígono es cóncavo.Una curva es cóncava cuando su curvaturaestá dirigida hacia el punto desdedonde se observa. En la siguiente figurase muestra una curva cóncava:ConvexoCóncavoConcéntrico Se dice que dos o más objetosgeométricos son concéntricos cuando elcentro de cada uno de ellos es el mismopunto para todos.Por ejemplo, en la siguiente figura,el hexágono y la circunferencia sonconcéntricos, pues ambos tienen porcentro al punto C:Conclusión Es el resultado de una implicaciónlógica.Por ejemplo, considerando las premisas:Todos los hombres son mortales, y Luis eshombre, la conclusión es: Luis es mortal,pues es el resultado de la implicaciónlógica de las premisas iniciales.Condición necesaria En la implicación:p → q, q es la condición necesaria.Por ejemplo, una condición necesariapara que un cuadrilátero sea cuadrado esque todos sus ángulos midan lo mismo.Sin embargo, esta condición no es suficiente.Condición suficiente Condición que requierecumplir un objeto matemático para satisfaceruna implicación en ambos sentidos.Cp ↔ qPor ejemplo, una condición suficientepara que un cuadrilátero sea cuadrado esCwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

22Congruencia–Conjugadoque sea regular: si es cuadrado es uncuadrilátero regular, y si es regular, elcuadrilátero es un cuadrado.CCongruencia (Geometría) 1. Dos segmentosde recta son congruentes si tienen lamisma medida.2. Dos ángulos son congruentes si tienenla misma medida.3. Dos triángulos son congruentes si lasmedidas de sus lados son iguales.4. Dos polígonos son congruentes si esposible superponer uno sobre otro.(Teoría de números) Dados los númerosenteros a, b, k, decimos que el número a escongruente con k módulo b, y se denotapor: a ≡ k mod b, si es posible escribir:✓ Parábola✓ HipérbolaOOEjeEjea = b m + kdonde m ∈ Z.En otras palabras, si el número a − k esdivisible por b, entonces a es congruentecon k módulo b.Por ejemplo, 14 ≡ 4 mod 5, porque:14 = 5 × 2 + 4Es decir, 14 − 4 es divisible por 5.Cónica Figura geométrica que se encuentrana partir de la intersección de un cono conun plano.A las cónicas también se les llama seccionescónicas.Las cónicas son las siguientes:✓ CircunferenciaEjeLa línea recta y el punto son casosparticulares de cónicas.Cónica de Fermat La gráfica de una funcióndel tipo y = x n es una cónica de Fermat.Cuando n > 0, la curva se llama parábolade Fermat y cuando n < 0 la curva sellama hipérbola de Fermat.Conjetura Afirmación de un resultado,sin ofrecer suficiente evidencia que lademuestre o la refute. Una conjetura secrea a partir de observaciones.Por ejemplo, hay un número infinito denúmeros primos gemelos, es una conjeturaque aún no se demuestra ni se refuta.(Vea la definición de números primos gemelos).O✓ ElipseOEjeConjugado El conjugado del númerocomplejo z = a + i b es el númerocomplejo que se obtiene al cambiar designo su parte imaginaria, y se denotapor z:z = a − i bwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Conjugados, ángulos–Conmensurable23Geométricamente el conjugado de zrepresenta la reflexión de z respecto deleje real (horizontal):b−bIz = a + i baRz = a − i bConjugados, ángulos Dos ángulos son conjugadossi la suma de sus medidas esigual a la medida de un ángulo perigonal.En otras palabras, si la suma dedos ángulos es igual a 360 ◦ , entonces losángulos son conjugados.Conjugado, eje En una hipérbola, el ejeconjugado es un segmento de rectaperpendicular al eje transverso que pasapor el punto medio de éste.Conjunción Aseveración formada por dospremisas unidas por la palabra y.Por ejemplo, el número 2 es par y es primoes una conjunción.El símbolo matemático utilizado para ladisyunción es ∧.Vea la definición de Disyunción.Conjunto Una colección de objetos biendefinida. Por bien definida se entiendeque siempre es posible decidir si unobjeto está o no en el conjunto.Por ejemplo, el conjunto de los númerosenteros mayores a cero, pero menores a10, denotado por A, es el siguiente:A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}Cuando no se puede determinar si unelemento está o no en el conjunto,decimos que el conjunto no está biendefinido.Conjunto abierto Conjunto cuyo complementoes cerrado.Un ejemplo de un conjunto abierto es unintervalo abierto.Vea la definición de Abierto, intervalo.Conjunto cerrado Conjunto que contienetodos sus puntos frontera.En geometría plana, un punto e quepertenece al conjunto A, (e ∈ A) esun punto frontera si al dibujar unacircunferencia de radio r con centro ene, siempre algunos puntos dentro de lacircunferencia no están en el conjunto A,no importa cuan pequeño sea r.En la siguiente figura, el punto p es unpunto frontera del conjunto A:Conjunto ordenado (Álgebra) Un conjunto Aes ordenado si sus elementos satisfacen latricotomía.Vea la definición de tricotomía.(Teoría de conjuntos) Un conjunto devalores que tienen un orden preestablecido.Por ejemplo, las coordenadas de un puntoen tres dimensiones deben darse en elorden (x, y, z).Conjunto unitario Conjunto que tiene exactamenteun elemento. En otras palabras, elconjunto unitario es aquel conjunto cuyacardinalidad vale 1.Conjunto vacío Conjunto que contiene ceroelementos. Se denota con el símbolo ∅.Conmensurable Decimos que los números a, bdiferentes de cero, son conmensurables siexiste un número racional p 0 tal quea = pb.Por ejemplo, los números 7 √ 5 y 3 √ 5son conmensurables, porque:A7 √ 5 = 7 3 · 3 √ 5pCwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

24Conmutativa–Constante de proporcionalidadCLos números irracionales no son conmensurablescon los números racionales.Conmutativa La propiedad conmutativa parala suma es la siguiente:a + b = b + ay para la multiplicación:a · b = b · aEn la definición de Propiedades de losnúmeros puede encontrar las demáspropiedades de los números reales.Cono Figura geométrica que se obtiene alhacer girar una recta respecto de unpunto fijo y alrededor de otra recta fijaque pasa por el punto fijo. La recta quegira se llama generatriz, el punto fijo es elvértice del cono y la recta fija es el eje delcono.OEjeGeneratrizCono truncado Sólido que se obtiene cuandose corta a un cono en dos puntos de sueje, con planos perpendiculares a éste.Consecuente El consecuente de la razón a : bes b.Por ejemplo, en la razón 5 : 7, el número 5es el antecedente y el 7 es el consecuente.Consecutivo El consecutivo del númeronatural n es n + 1.Por ejemplo, el consecutivo del número 9es 10.Consecutivos, ángulos En un polígono, dosángulos son consecutivos si tienen unlado común.En el siguiente pentágono, los ángulos Ay B son consecutivos.Consecutivos, vértices En un polígono, dosvértices son consecutivos si son extremosde un mismo lado.En la figura mostrada en el concepto Consecutivos,ángulos, los vértices A y B sonconsecutivos.BArhRConsistente Un conjunto de axiomas es consistentecuando no es posible demostraruna proposición y su negativo.El volumen V y el área superficial S delcono truncado se calculan con las siguientesfórmulas:V = π (r 2 + rR + R 2)3A = π ( r 2 + R 2 + s(r + R) )donde: s = √ (R − r) 2 + h 2 .Constante Una expresión matemática que nocambia de valor. Por ejemplo, el númeroπ ≈ 3.14159265 es constante.Constante de proporcionalidad Una constantede proporcionalidad k es el número quehace que se cumpla una relación de igualdadentre dos cantidades que varían demanera proporcional.Por ejemplo, si un balón cuesta $35.00pesos, x es la cantidad de balones quewww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Construcción–Converger25queremos comprar y M es el importe quedebemos pagar, entonces,M = 35 xLa constante de proporcionalidad en estecaso es k = 35.Este ejemplo muestra una proporcionalidaddirecta, aunque también puede serinversa.Construcción Método para construir unafigura utilizando solamente regla ycompás.Continuidad Se dice que una función f escontinua en un intervalo dado [a, b] sitoma todos los valores entre f (a) y f (b)y se puede dibujar en ese intervalo sindespegar la punta del lápiz del papelsobre el cual se le dibuja.En la siguiente figura, la función y = f (x)es continua en el intervalo [a, b]:yf (b)f (a)aby = f (x)Más formalmente, se dice que unafunción y = f (x) es continua en el puntox = a si el límite de la función cuando xtiende a a es igual al valor de la funciónevaluada en x = a. Esto es,si limx→af (x) = f (a),entonces la función f es continua en x =a.Continuo Una variable es continua en unintervalo cuando puede tomar cualquiervalor real dentro de ese intervalo.Cuando la variable no puede tomar todosxlos posibles valores dentro del intervalo,sino que toma valores en forma de saltos,decimos que la variable es discreta.Contorno Línea o curva cerrada que delimitauna figura.El perímetro de una figura geométricaplana representa la medida de su contorno.Vea la definición de Perímetro.Contradicción Sentencia que resulta falsa.Por ejemplo: 2 + 3 = 1, es una contradicción.Contradicción, demostración por Demostraciónen la cual se supone falsa la premisainicial y se llega a una contradicción o auna premisa falsa, concluyendo, entonces,que la suposición es falsa, haciendo lapremisa inicial verdadera.La demostración por contradiccióntambién se llama demostración por reducciónal absurdo.Contradominio El contradominio de unafunción es el conjunto formado por todoslos valores que la función puede tomar.Vea la definición de Función.Contraejemplo Argumento que sirve paradescartar una hipótesis.Por ejemplo, si suponemos que todos losnúmeros impartes son primos, el número21 es un contraejemplo, pues el 21 portener 4 divisores (1, 3, 7 y 21), y por tanto,no es primo.Converger Acercarse cada vez más a un valor.Por ejemplo, si damos valores a x cadavez más grandes y los sustituimos en1/x, la sucesión de valores que vamosobteniendo se acercan cada vez más acero; decimos entonces que la sucesión esconvergente y que converge a cero.11 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , · · · converge a 0Cwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

26Convexo–Coordenadas polaresCConvexo Un polígono es convexo cuandotodos sus ángulos internos miden menosque un ángulo llano (ninguno de susángulos internos es entrante).El siguiente polígono es convexo:y321P(3, 2)1 2 3 4xEs decir, un polígono es convexo si todossus ángulos internos miden menos de180 ◦ .Más formalmente, se dice que una figurageométrica es convexa si todo segmentocon extremos dentro de la figura, todo (elsegmento) está dentro de la figura.Cuando un polígono no es convexo sedice que es cóncavo.El siguiente polígono es cóncavo:Una curva es convexa cuando su curvaturaestá dirigida hacia afuera delpunto desde donde se observa. En lasiguiente figura se muestra una curvaconvexa:En la figura, la primera coordenada delpunto P es: x = 3 y la segunda: y = 2.A cada punto del plano le correspondeun par de coordenadas y a cada par decoordenadas le corresponde un punto delplano.Coordenadas rectangulares Las coordenadasrectangulares se refieren a un sistema deejes coordenados mutuamente perpendicularesque comparten la misma unidadde medida en todos sus ejes.En la figura mostrada en la definiciónde Coordenada se encuentra un sistema decoordenadas rectangulares con dos ejes.Coordenadas polares Las coordenadaspolares del punto P del plano se definen apartir de la distancia al origen y el ánguloque forma la recta que pasa por el origeny el punto P con el eje horizontal:P(r, θ)rConvexoCóncavoθCoordenada Una coordenada es el número alcual al cual le corresponde un punto deuna recta numérica.En otras palabras, las coordenadas sonnúmeros que indican la ubicación de unpunto en el plano: P(x, y).Las coordenadas polares de unpunto P(r, θ) pueden transformarse encoordenadas rectangulares P(x, y), através de las siguientes fórmulas:x = r · cos θy = r · sin θwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Coplanar–Cosenos, ley de27A su vez, las coordenadas rectangularesde un punto P(x, y) del plano puedentransformarse en coordenadas polaresP(r, θ), usando:√r = x 2 + y 2( y)θ = arctanxEn un triángulo rectángulo, el coseno deun ángulo α positivo menor a 90 ◦ puedecalcularse con el cociente:cos α =cateto adyacentehipotenusaCCoplanar Cuando varios objetos están sobre elmismo plano, se dice que son coplanares.Por ejemplo, en la siguiente figura lospuntos P, Q, R y S son coplanares porquetodos están en el mismo plano:αHipotenusaCateto adyacenteCateto opuestoLa gráfica de la función coseno es lasiguiente:R1ySQPx-1y = cos xCorolario Proposición que es una consecuenciainmediata de otra, y cuya demostraciónrequiere poco o ningún razonamiento.Coseno La función coseno se define paracualquier ángulo α. Dado un ángulo conun lado horizontal y vértice en el origen,su coseno, denotado por cos α se definecomo la coordenada sobre el eje x delpunto de intersección del otro lado (nohorizontal) del ángulo con la circunferenciade radio 1.Coseno hiperbólico La función cosenohiperbólico del número x se denota por:cosh x y está definida por:cosh x = ex + e −xCosenos, ley de Para todo triángulo que seencuentra en el plano, se cumple:C 2 = A 2 + B 2 − 2AB cos α2sin αyαcos α1xdonde A, B y C son las longitudes delos lados del triángulo, y α es el ánguloformado por los lados A y B.La ley de senos es una generalizacióndel famoso teorema de Pitágoras, puescuando α = 90 ◦ , tenemos el caso particular:C 2 = A 2 + B 2 , que corresponde al teoremade Pitágoras.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material1

28Cosecante–Criterios de divisibilidadCCosecante La función cosecante se definecomo el recíproco de la función seno. Esdecir,csc α = 1sin αEn el triángulo rectángulo mostrado en ladefinición de Coseno la función cosecantese puede escribir como:csc α =hipotenusacateto opuestoObserva que se supone que la medida delcateto opuesto es diferente de cero.Cotangente La función cotangente se definecomo el recíproco de la función tangente.Es decir,cot α = 1tan αUsando el triángulo rectángulo mostradoen la definición de Coseno podemosdescribir la función cotangente como:cot α =cateto adyacentecateto opuestoObserva que se supone que la medida delcateto opuesto es diferente de cero.Creciente Decimos que una función f escreciente en un intervalo [a, b] si paracualesquiera valores u, v que estén en eseintervalo y que cumplan con: u ≤ v, secumple: f (u) ≤ f (v).Por ejemplo, la función y = x 2 escreciente en el intervalo [0, 1]:f (x)21Crecientey = x 20 0.5 1 1.5xAl ver la gráfica de una función, sabemosque es creciente si al moverte a la derechala gráfica de la función va hacia arriba.Crecimiento exponencial Proceso que semodela con una ecuación del tipo:y = Me rtdonde M y r son constantes positivas, ees el número de Euler y t representa eltiempo.Dentro de ciertos límites, el crecimientode una población presenta crecimientoexponencial.Criba de Eratóstenes Procedimiento por elcual se puede encontrar la lista detodos los números primos menores a unnúmero natural dado n.El procedimiento consiste en ir eliminandolos múltiplos de 2, 3, etc., exceptoel primer múltiplo (2, 3, etc.), hastaobtener una lista de números que no sehan eliminado y por tanto son primos, alno tener más de dos divisores.La siguiente figura muestra la criba deEratóstenes para encontrar los númerosprimos menores a 25:✁1 2 3 ✁4 5✁6 7 ✁8 ✁9 ✚✚1011 ✚ ✚12 13 ✚ ✚14 ✚✚15✚✚16 17 ✚✚18 19 ✚ ✚20✚✚21 ✚✚22 23 ✚ ✚24 ✚✚25Criba de EratóstenesCriterios de divisibilidad Regla que nosayuda a determinar si un número se divideentre otro sin hacer la división directamente.Un número se divide,✓ entre 2 si la última cifra del númeroes par.✓ entre 3 si la suma de sus cifras es unmúltiplo de 3.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Crítico, punto–Cuadrado mágico29✓ entre 4 si el número formado por susúltimas dos cifras es un múltiplo de4.✓ entre 5 si termina en 5 ó en 0.✓ entre 6 si es divisible por 2 y por 3.✓ entre 8 si el número formado por sustres últimas cifras es un múltiplo de8.✓ entre 9 si la suma de sus cifras es unmúltiplo de 9.✓ entre 10 si termina en cero.Vea la definición de Divisibilidad.Crítico, punto En una curva, el punto críticoes el punto donde una recta tangente a lacurva es horizontal.En la siguiente figura, el punto P indicadoes un punto crítico de la función y = f (x)1yPxCuadrado latino Arreglo rectangular de n × nsímbolos de manera que en cada renglóny en cada columna aparezca cada símboloexactamente una vez.El siguiente arreglo rectangular es uncuadrado latino:δ α β γγ δ α ββ γ δ αα β γ δCuadrado mágico Arreglo rectangular denúmeros naturales de manera que entodas sus columnas y todos sus renglonessumen lo mismo.Un cuadrado mágico de 3 × 3 es:6 1 8C-1y = f (x)7 5 3Cuadrado (Aritmética) El cuadrado de unnúmero es el resultado de multiplicarlopor sí mismo.Por ejemplo, el cuadrado de 3 es 9, porque3 × 3 = 9.Importante: elevar al cuadrado no significamultiplicar por dos, sino por sí mismo.(Geometría) Polígono regular de cuatrolados. El cuadrado es un rectángulo quetiene la propiedad de que sus 4 ladosmiden lo mismo.2 9 4La suma de cada renglón, cada columnay las diagonales es 15.Un cuadrado mágico de 4 × 4 es elsiguiente:1 8 13 1214 11 2 74 5 16 9CuadradoEl cuadrado es un rectángulo y un romboa la vez.15 10 3 6La suma de cada renglón, cada columnay cada diagonal en este cuadrado mágicowww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

30Cuadrante–CúbicoCes 34.Además observa que:8 + 13 + 10 + 3 = 344 + 14 + 9 + 7 = 3411 + 2 + 5 + 16 = 341 + 12 + 15 + 6 = 34Cuadrante En un sistema de coordenadasrectangulares, el plano queda dividido en4 regiones. Cada una de esas regiones esun cuadrante.yPara hacer el cálculo de los cuartiles serequiere que los datos estén ordenados demanera creciente.El primer cuartil es el valor que es mayoral 25% y menor al 75% de todos losvalores; el segundo cuartil es mayor al50% de la población y menor al otro50% de todos los datos; el tercer cuartiles mayor al 75% de todos los valores ymenor al 25% estrato más alto de todoslos datos y el cuarto cuartil es el mayorde todos los valores.Cuarto Cuando dividimos un entero en cuatropartes iguales, cada una de ellas es uncuarto, o bien, una cuarta parte delentero.Cuadrante IICuadrante ICuadrante IIICuadrante IVx14141414Cuadrático De grado dos o elevado alcuadrado.Por ejemplo, una ecuación cuadrática esuna ecuación de grado dos:donde a 0.ax 2 + bx + c = 0Cuadrilátero Polígono de cuatro lados.La siguiente figura geométrica es uncuadrilátero porque tiene 4 lados.Cubo (Aritmética) El cubo de un número esel resultado de multiplicarlo por sí mismotres veces.Por ejemplo, el cubo de 2 es 8, porque2 × 2 × 2 = 8.(Geometría) Sólido geométrico regularcuyas 6 caras son cuadrados.CuboCubo unitario Cubo con aristas de medidaigual a la unidad.Cuartil Valores que dividen a las medicionesrealizadas en cuatro partes iguales.Cúbico Unidad de volumen que se denotaescribiendo el número 3 como superíndicede la unidad considerada.Por ejemplo, un litro equivale a unwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Cuerda–Curvatura31decímetro cúbico, que se denota como 1dm 3 . Es decir, una caja de un decímetrode arista, contiene un volumen de unlitro.Cuerda Segmento de recta que tienesus puntos extremos sobre la mismacircunferencia.Curva Una línea trazada en un plano o en elespacio. En álgebra y análisis matemáticotambién se llama curva a una ecuación refiriéndosea que cualquier punto sobre sugráfica satisface a la ecuación.En matemáticas, frecuentemente utilizamosla palabra curva para referirnosa una función.CCuerdaCurvas, familia de Conjunto de curvas quetienen un mismo patrón de construccióno que se obtienen al variar un parámetrode su ecuación.Cuerpo geométrico Objetos (reales o ideales)que ocupan un volumen y que tienen tresdimensiones: alto, largo y ancho.También lea la definición de Sólido.Curvatura Una medida del cambio de direcciónde una curva en un punto.Una línea recta tiene curvatura cero,pues nunca cambia su dirección. Unacircunferencia tiene curvatura constante,pues cambia de dirección una mismacantidad siempre que avanzamos lamisma distancia.Una circunferencia con un radiopequeño tiene mayor curvatura que unacircunferencia con radio más grande.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

32CLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxDEfrain Soto ApolinarDato(Álgebra) En un problema, un dato esinformación que se extrae del texto delproblema que se utilizará en su solución.(Estadística) Información que se extraede una población o una muestra a partirde los cuales se calcularán o estimaránparámetros que la describen.Deca- Prefijo que indica diez veces usado enlos múltiplos de las unidades del SistemaInternacional de Medidas. Por ejemplo,un decámetro es equivalente a diezmetros.Década Unidad de tiempo que equivale a diezaños.Decágono Polígono de diez lados y diezángulos. El decágono regular tiene todossus lados y ángulos iguales.DecágonoDecaimiento exponencial Proceso que semodela con una ecuación del tipo:y = Me −rtdonde M y r son constantes positivas, ees el número de Euler y t representa eltiempo.Por ejemplo, la radiactividad presenta decaimientoexponencial.Deci- Prefijo que indica la décima parte usadoen los submúltiplos de las unidades delSistema Internacional de Medidas. Porejemplo, decímetro indica la décima partede un metro. Decilitro indica la décimaparte de un litro.Decil Valores que dividen a las medicionesrealizadas en diez partes iguales.Para hacer el cálculo de los deciles serequiere que los datos estén ordenados demanera creciente.El d decil es el valor que tiene 10 × p%de todos los valores por debajo de él y el(100 − 10 × p)% por encima.Por ejemplo, el tercer decil es mayor al30% de todos los valores y es menor al70% de todos los valores.Decibel Unidad de medida de la intensidaddel sonido. Se abrevia como dB.Un sonido de un decibel tiene la intensidadmínima que el oído humano sanopuede percibir.Decimal Se refiere a un sistema basado en elnúmero diez.Decimal, fracción Una fracción es decimalcuando en su denominador hay una

34Decimal, punto–DécimosegundoDpotencia de 10.Los prefijos de los múltiplos yatto a 10 −18 ceavo refiriéndose al número ordinalPor ejemplo, 0.25 puede expresarse submúltiplos de utilizan con cualquieracomo:0.25 = 25100 = 25de las unidades de las magnitudes físicas.Por ejemplo, kilogramo es equivalente a10 2mil gramos y un nanómetro equivale aPor otra parte, el número 3.06 puedeuna mil millonésima parte de un metro.escribirse como:3.06 = 3 + 0.06 = 3 + 6100 = 3 + 6 Décimo (1.) Un décimo es equivalente a10 2 una de las partes de un entero que hasido dividido en diez partes del mismoDecimal, punto Signo matemático que sirvetamaño.para separar la parte entera de un númerode su parte decimal.Por ejemplo, en el número: 3.1416, laparte entera es: 3, y la parte decimal es:0.1416.110110110110110110110110110110En algunos países se acostumbra escribiruna coma decimal en lugar del punto.Decimal, sistema métrico El sistema métricodecimal es el que utiliza los prefijos para (2.) En un número con decimales, elindicar múltiplos y submúltiplos de lasunidades.Los prefijos de los múltiplos usados eneste sistema y sus significados son:dígito de los decimos es el dígito que seencuentra a la derecha del punto decimal.Por ejemplo, en el número 1.73205, eldígito 7 corresponde a los décimos.Prefijo Símbolo Múltiplo Décimoprimero Número ordinal correspondienteal lugar número once.exa E 10 18Por ejemplo, en un maratón, el corredorpeta P 10 15que llega en el lugar número once, tienetera T 10 12el décimoprimer lugar.giga G 10 9Frecuentemente en el lenguaje coloquialse dice (incorrectamente) on-mega M 10 6kilo k 10 3ceavo refiriéndose al número ordinalhecto h 10 2décimoprimero.deca da 10Onceavo es una fracción, no un númeroordinal.Los prefijos de los submúltiplos y susUndecimosignificados son:primero.es sinónimo de decimo-Prefijo Símbolo SubmúltiploVea la definición de Número ordinal.deci d 10 −1 Décimosegundo Número ordinal correspondientecenti c 10 −2al lugar número doce.mili m 10 −3Por ejemplo, en un maratón, el corredormicro µ 10 −6que llega en el lugar número doce, tienenano n 10 −9el décimosegundo lugar.pico p 10 −12Frecuentemente en el lenguaje coloquialfemto f 10 −15se dice (incorrectamente) do-www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Declinación–Densidad35décimosegundo.Doceavo es una fracción, no un númeroordinal.Vea la definición de Número ordinal.Declinación Diferencia entre el norte geográficoy el norte magnético.Decreciente Decimos que una función f esdecreciente en un intervalo [a, b] si paracualesquiera valores u, v que estén en eseintervalo y que cumplan con: u ≤ v, secumple: f (u) ≥ f (v).Por ejemplo, la función y = 2 − x 2 esdecreciente en el intervalo (0, 2):f (x)21Decreciente0 0.5 1Observa que f (0.5) > f (1.0), y tambiénse cumple que: 0.5 ≤ 1.0.Deducción Proceso de derivar una conclusióna partir de las propiedades de los objetosmatemáticos con los que se trabaja o deun principio general.Deficiente, número Número que tiene lapropiedad que sus divisores propiossuman menos que él.Por ejemplo, el número 32 es deficiente,porque sus divisores propios suman 31:1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 < 32Definición Sentencia que enlista laspropiedades de un objeto matemático.Descripción de las características queidentifican de manera exacta a un objetoxmatemático en cuanto a su naturaleza osignificado.Demostración Justificación de una afirmación,premisa o sentencia de una manera estructurada,lógica e irrefutable a partir deotras sentencias verdaderas.El proceso de demostración enmatemáticas es muy importante, puescada nuevo teorema debe demostrarseen base a los axiomas conocidos y a otrosteoremas ya demostrados.Demostración indirecta Demostración através de probar que lo contrario guiaa una contradicción. También se conocecomo reducción al absurdo.Demostración por contradicción Demostraciónen la cual se supone falsa la premisainicial y se llega a una contradicción o auna premisa falsa, concluyendo, entonces,que la suposición es falsa, haciendo lapremisa inicial verdadera.La demostración por contradiccióntambién se llama demostración por reducciónal absurdo.Denominador En una fracción, el denominadorindica en cuántas partes se dividiráun entero y el numerador indica cuántasde esas partes vamos a tomar.Fracción =numeradordenominadorEn una fracción el numerador se escribearriba y el denominador abajo.Denominador común Sinónimo de Mínimocomún denominador.Vea la definición de Mínimo comúndenominador.Densidad (Análisis) Decimos que unconjunto de números es denso, si paracada par de números dentro de eseconjunto existe otro número del mismoconjunto entre ellos.Por ejemplo, los números racionales sondensos, porque no importa qué tan cercaDwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

36Dependencia funcional–DesarrolloDse encuentren dos números, siemprepodemos encontrar uno entre ellos (enparticular, el promedio de los dos cumplecon eso). Los números reales también sondensos.(Física) El resultado de dividir la masa deun objeto entre su volumen.Por ejemplo, un litro (1 dm 3 ) de mercuriotiene una masa de 13.7 kilogramos,entonces su densidad δ es:δ =13.7 kg1 L= 13.7 kg/LDependencia funcional Se dice que la variabley depende funcionalmente de la variablex si es posible escribir la relación queexiste entre ellas en forma de ecuación.En ese caso, y es la variable dependiente(depende de x) y x es la variable independiente.Si la ecuación que relaciona a las variables{x, y} no es una función decimos quetenemos una función implícita de y en x.Dependiente, variable Una variable esdependiente si su valor depende del valorde otra u otras variables.Por ejemplo, en la función: y = x 2 , lavariable dependiente es y, pues su valordepende del valor que tome la variablex.Dependientes, eventos Dos eventos son dependientescuando el resultado de uno esafectado por el resultado del otro.Derivación Proceso por el cual se calcula laderivada de una función.El proceso más común consiste en aplicardirectamente una regla o fórmula dederivación aplicable a la función que sedesea derivar.Las reglas de derivación se deducen apartir de la regla de los cuatro pasos.Vea la definición Regla de los cuatro pasos.Derivada En Cálculo, la derivada es la mejoraproximación lineal a una función en unpunto.Por ejemplo, para la gráfica de la funcióny = x 2 , en el punto P(1, 1) que está sobreesta curva, la mejor aproximación lineales la recta: y = 2 x − 1. La siguientegráfica muestra la función y su derivadaen el punto P(1, 1):y = x 2y3211 2y = 2x − 1La derivada de una función evaluada enun punto siempre es la pendiente de larecta tangente a la gráfica de la funciónen ese punto.Formalmente, la derivada se define comoel siguiente límite:f ′ (x) = lim∆x→0f (x + ∆x) − f (x)∆xLa derivada se interpreta como una razónde cambio instantánea con respecto ala variable independiente, es decir, laderivada nos dice cómo crece la funciónen un punto.Derivable, función Una función y = f (x) esderivable en un punto x 0 de su dominio sila derivada de la función y ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 )está definida en ese punto.Decimos que una función es derivable enun intervalo (a, b) si es derivable en cadapunto de ese intervalo.Desarrollo (Álgebra) Un desarrollo se refierea la realización de las operaciones queestán indicadas en una expresiónalgebraica.Por ejemplo, el desarrollo de (a + b) 3 , es:(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3xwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Descomposición en factores–Desigualdad del triángulo37(Geometría) El desarrollo de un sólidogeométrico se refiere a un dibujo que nospermite construir el sólido.La siguiente figura corresponde aldesarrollo de un dodecaedro:91112Desigual Condición que indica que dos cantidadesno son iguales. Para denotar quedos cantidades son desiguales usamos ensímbolo . Por ejemplo,10 + 2 100En matemáticas frecuentemente usamoslas palabras distinto y diferente comosinónimos de desigual.D7685141023Desigualdad Una desigualdad es una relaciónmatemática que compara el valor de dosnúmeros o expresiones algebraicas (deltipo mayor o menor).Por ejemplo, 2 < 5 es una desigualdad.Algunas veces es conveniente indicar queun número debe ser mayor o igual, o bienque es menor o igual.Las desigualdades usan la siguientenotación:Descomposición en factores (Aritmética)Cuando un número natural se expresacomo el producto de números primosse dice que se ha descompuesto en susfactores primos.Por ejemplo, la descomposición enfactores primos del número 30 es:30 = 2 × 3 × 5Observa que cada uno de los númerosque aparecen a la derecha de la igualdadson primos.(Álgebra) Cuando una expresiónalgebraica se expresa en forma de la multiplicaciónde otras, se dice que se hadescompuesto en factores.Por ejemplo:x 2 − y 2 = (x + y)(x − y)Descuento Reducción que se hace a una cantidado a un precio o valor de algo.Generalmente, el descuento se determinaen base a un porcentaje fijo determinado.DesigualdadSignificado> mayor que< menor que≥ mayor o igual que≤ menor o igual queDecimos que a es mayor que b, si ladiferencia a − b es positiva. Si la diferenciaes negativa, entonces decimos que aes menor que b. Evidentemente, si ladiferencia es cero, entonces, a = b.Desigualdad del triángulo En un triánguloque se encuentra en un plano, la suma delas longitudes de dos de sus lados siempremás grande que la longitud de su tercerlado.Algebraicamente, si A, B y C son laslongitudes de los lados de un triángulocualquiera que se encuentre en el plano,entonces se cumplen las siguientes tresdesigualdades:www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

38Desigualdad doble–DeterminanteDA + B > CB + C > AA + C > BBDesigualdad doble Expresión matemáticaque incluye dos desigualdades.Por ejemplo, la siguiente es una desigualdaddoble:0 ≤ x < 10Desplazamiento Magnitud vectorial quecorresponde a una distancia indicandouna dirección.Despejar En matemáticas el despeje serefiere al proceso de aislar una variablede una expresión matemática utilizandooperaciones algebraicas de manera que laexpresión final sea equivalente a la inicial.Por ejemplo, al despejar y de la ecuación:2 x + 3 y = 12, obtenemos:y = 12 − 2 x3C= 4 − 2 3 xDesviación (Estadística) La desviación δ deuna medición x i se define como ladiferencia de la media x de la muestra alvalor medido:δ = x i − xLa desviación absoluta es igual al valorabsoluto de la desviación.Algunos autores llaman discrepancia a ladesviación.Desviación media La desviación mediade una muestra, o desviación mediamuestral, es el promedio de las desviacionesabsolutas de todos los datos de lamuestra.Por ejemplo, considerando al conjunto dedatos: {2, 3, 6, 9}, la media de la muestraAes x = 20/4 = 5. Las desviaciones decada dato se muestran en la siguientetabla:Mediciónx iDesviaciónδ2 −33 −26 19 4y la desviación media es el promedio desus valores absolutos. En este caso, ladesviación media es 2.5, porque la sumade todas las desviaciones absolutas es 10y a este valor lo dividimos entre 4.Este estadístico mide en promedio cuántose aleja cada dato de la media aritmética.Desviación estándar La desviación estándar odesviación típica, denotada por s, parauna muestra de n datos {x 1 , x 2 , · · · , x n },está definida por:s =√∑ (x i − x) 2donde x es la media de la muestra.Determinante El determinante de 2 × 2 sedefine como:∣ a bc d ∣ = ad − bcY el determinante de 3 × 3 se define por:∆ =∣na b cd e fg h i∣= aei + cdh + b f g−ceg − a f h − bdiUn sistema de ecuaciones lineales sepuede resolver utilizando determinantes.Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:a x + b y = mc x + d y = nwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Determinístico–Diagrama39se puede resolver a través del método dedeterminantes como sigue:x =y =∣ mn∣ ac∣ ac∣ acbd ∣b= d ∣mn ∣b= d ∣dm − bnad − bcan − cmad − bcsiempre que ad − bc 0. Si ocurreque ad − bc = 0, entonces el sistema deecuaciones, bien no tiene solución, bientiene un número infinito de soluciones.Los determinantes también se definenpara matrices cuadradas de mayor orden(4 × 4, 5 × 5, etc.)Determinístico Un evento es determinísticocuando es predecible. Generalmente utilizamosuna fórmula matemática paraconocer su comportamiento.Por ejemplo, para conocer si una vigasoportará un peso, existen fórmulaspara poder elaborar el cálculo correspondiente.DíaIntervalo de tiempo que equivale a 24 horas.Diada Un par ordenado de valores. En elplano, las coordenadas de cada punto sonuna diada.Por ejemplo, (3, 4) es una diada.Diagonal La diagonal de un polígono esel segmento de recta que tiene sus extremosen dos vértices no consecutivosdel polígono. Si el segmento de rectatiene sus extremos en dos vértices consecutivosdel polígono, entonces se trata deuno de sus lados.DiagonalLadoEl número de diagonales D que podemostrazar a un polígono regular de nlados puede calcularse con la siguientefórmula:n (n − 3)D =2Diagonal principal En una matríz cuadrada,la diagonal principal es la que empieza enla esquina superior izquierda y terminaen la esquina inferior derecha.Por ejemplo, en la matriz:⎡a b c⎤⎣ d e f ⎦g h iLa diagonal principal es la que incluye lasentradas: a, e, i.Diagonal secundaria En una matrízcuadrada, la diagonal secundaria es laque empieza en la esquina superiorderecha y termina en la esquina inferiorizquierda.Por ejemplo, en la matriz:⎡⎣a b cd e fg h iLa diagonal secundaria es la que incluyelas entradas: c, e, g.Diagrama En matemáticas un diagrama esuna representación gráfica de la relaciónentre varios objetos matemáticos.Por ejemplo, el siguiente diagramaexplica la relación entre una función, sudominio y su contradominio:⎤⎦Dwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

40Diagrama de árbol–Diagrama de sectoresXDominioxFunciónfYContradominiof (x)plano para identificar tendencias en losmismos.La siguiente gráfica es un diagrama dedispersión:DValores que ledamos a la funciónValores que nosdevuelve la funciónGeneralmente, los diagramas no se dibujana escala.Diagrama de árbol Gráfica en la que semuestra la relación entre varios componentes.El siguiente es un diagrama de árbol:0.50−0.5PadreRaízHijoMadreHijaDiagrama de barras Forma de graficar datosque facilita la comparación entre distintosgrupos de datos.La siguiente gráfica es un diagrama debarras vertical:−4 −2 0 2 4Diagrama de líneas Diagrama que se utilizapara describir gráficamente el comportamientode una cantidad para distintosvalores de una variable independiente,como por ejemplo, el tiempo.Este tipo de diagramas es el que se utilizamuy frecuentemente en los pronósticos:901Calificación80700.80.60.42007 2008 2009 2010 2011Matemáticas Lenguaje Historia0.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1El diagrama de barras muestra cuantitativamentea través de barras horizontaleso verticales de mismo grosor con alturasproporcionales a las cantidades que seestán representando.Diagrama de dispersión Diagrama quemuestra datos de dos variables en elDiagrama de sectores El diagrama de sectoressirve para comparar datos en base a untotal. Generalmente se le dibuja en formade pastel.El siguiente gráfico corresponde a undiagrama de sectores:www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Diagrama de Venn–Diferencia de una progresión aritmética41DiámetroCDiagrama de Venn Diagrama que se utilizapara denotar conjuntos y las operacionesentre ellos.El siguiente diagrama de Venn muestra laintersección de los conjuntos A y B:La longitud del diámetro de unacircunferencia es igual al doble de suradio.Diferencia La diferencia entre los números ay b es el número b − a.En otras palabras, la diferencia de dosnúmeros es el resultado de restarlos.DAB9 876− 5 3244 552minuendosustraendodiferenciaA ∩ BDiamante Cuadrilátero que tiene dos ángulosobtusos y dos ángulos agudos.El siguiente polígono es un diamante:Diferencia de conjuntos La diferencia de losconjuntos A y B, denotada por A − B,es el conjunto de todos los elementos queestán en A, pero que no están en B.El siguiente diagrama de Venn muestraesta definición:A − BAA ∩ BBDiamanteDiámetro El diámetro de una circunferenciaes la cuerda más larga que se le puededibujar. En otras palabras, el diámetroes el segmento de recta que tiene sus extremossobre la circunferencia y pasa porsu centro C.Diferencia de una progresión aritmética Dadosdos términos consecutivos cualesquierade una progresión aritmética,a i , a i+1 , la diferencia de la progresión es:d = a i+1 − a i .En realidad, se define la diferencia de laprogresión para calcular los términos dela misma y no al revés.Por ejemplo, si definimos a 1 = 5 y d = 3,los términos de la sucesión aritmética son:a 1 = 5, a 2 = 8, a 3 = 11, a 4 = 14, etc.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

42Diferencia de vectores–DirecciónDDiferencia de vectores Sean ⃗u = (u x , u y ) y⃗v = (v x , v y ) dos vectores en el plano. Sudiferencia es:⃗w = ⃗u −⃗v = (u x − v x , u y − v y )Geométricamente, la diferencia de losvectores es el vector que tiene su puntoinicial en el punto terminal de ⃗v y supunto terminal en el punto terminal de⃗u:y⃗v⃗w = ⃗u −⃗vDel diagrama anterior es fácil observarque ⃗v + ⃗w = ⃗u. Es decir, ⃗w = ⃗u −⃗v.Diferenciable Una función es diferenciable enun punto o en un intervalo si es posiblecalcular su derivada en ese punto o encada uno de los puntos del intervalo considerado.⃗uxDimensión (Álgebra) La dimensión de unamatríz de m renglones y n columnas esm × n.(Geometría) La dimensión de un espaciose define como el número de coordenadasque hay que indicar para determinarde manera única cada uno de sus puntos.El plano tiene dimensión dos, porque serequieren de dos coordenadas para determinarde manera única uno de suspuntos.En matemáticas se pueden definir espaciosde 3, 4, 5, etc., dimensiones sinproblema conceptual, aunque no es posiblerepresentarlos geométricamente a partirde 4 dimensiones.El estudio de los espacios de más detres dimensiones se elabora con el uso devectores en el álgebra lineal.La siguiente figura muestra un espacio detres dimensiones:zDiferencialVea las definiciones dx y dy.Dígito Uno de los diez símbolos que utilizamospara escribir números en elsistema de numeración en base 10:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9xyEl término digital se refiere al sistema denumeración en base 2. No se refiere a losdígitos.Dilatación Transformación del plano queconsiste en un cambio de la posición detodos los puntos del plano, respecto deuno o varios ejes, tomando un valor kcomo escala. La distancia de cada puntoP del plano se multiplica por el valor k yse ubica con la recta paralela al eje consideradoy que pase por el punto P. Cuandok > 1, los puntos estarán más alejados deleje, cuando k < 1 estarán más cerca.Dina Unidad de fuerza equivalente a 10 −5newtons.Dinámica Rama de la física que se encargade estudiar el movimiento de los cuerposbajo la acción de fuerzas.Dirección La dirección de un vector se definecomo el ángulo que éste forma con el ejehorizontal.El siguiente diagrama muestra la direcciónθ del vector ⃗v:www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Dirección, vector–Discriminante43yθDirección, vector Vector de longitud unitariaque sirve para definir una dirección específica.Directa, proporción Proporción en la cual alaumentar una cantidad la otra tambiénaumenta.Por ejemplo, cuando aumenta el númerode refrescos que vamos a comprar, aumentatambién el importe que debemospagar, por eso decimos que el importe esdirectamente proporcional al número derefrescos.⃗vx✓ Elipse✓ HipérbolaVea la definición de Cónica.Dirigido, segmento Segmento con una direccióndefinida, donde uno de suspuntos extremos se define como el puntoinicial y el otro extremo como su puntofinal.Por ejemplo, el segmento dirigido −→ AB, semuestra en la siguiente figura:OADiscontinuidad Se dice que una función esdiscontinua en un punto de su dominiocuando no es continua en él.Por ejemplo, la siguiente figura muestrauna función que presenta una discontínuidaden el intervalo [a, b]:yBxDDirecta, variación Las dos variables x, ypresentan variación directa si están enproporción directa. En este caso, sedenomina la constante de variación directak al número que satisface y = kxpara cualesquiera dos valores x, y de lavariación.Por ejemplo, considerando el ejemplodado en la definición de Proporción directa,si el precio de cada refresco es de $7.00pesos, entonces k = 7, porque esta esla constante que satisface y = kx, paracualesquiera x, y, donde y es el importea pagar y x es el número de refrescos quese compraron.Directriz En una cónica, la directriz es unalínea recta fija que junto con uno o dospuntos fijos llamados focos sirven paramedir proporciones de distancias paradeterminar los puntos de la cónica deacuerdo con su definición.Las cónicas son:✓ Circunferencia✓ Parábolaaby = f (x)La función no es continua porque no se lepuede dibujar sin despegar la punta dellápiz del papel sobre el cual se le dibuja.Discrepancia Sinónimo de Desviación.Vea a la definición de Desviación.Discreto Se dice que una variable tomavalores discretos cuando solamentepuede tomar valores de manera enterao en forma de saltos.Lo contrario de discreto es continuo.Discriminante En la fórmula general pararesolver ecuaciones de segundo grado,a x 2 + b x + c = 0:www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este materialx = −b ± √ b 2 − 4 ac2 ax

44Discusión–Distribución binomialDLa distancia (euclideana) satisface lasel discriminante D se define como elD(P, Q) = (x q − x p ) 2 + (y q − y p ) 2 triángulo de Pascal.argumento del radical:D = b 2 − 4 acsiguientes propiedades:✓ D(P, Q) ≥ 0, es decir, la distanciaentre dos puntos es un número noEl signo del discriminante nos indica elnegativo.tipo de raíces que tendrá la ecuación✓ D(P, P) = 0, es decir, la distancia decuadrática:un punto a sí mismo es cero.Discriminante Raíces✓ D(P, Q) ≤ D(P, R) + D(R, Q), esdecir, en un triángulo, la suma de laspositivo reales diferenteslongitudes de dos lados siempre escero reales repetidasal menos tan grande como el tercero.negativo complejasDistancia de un punto a una recta La distanciaDiscusión En matemáticas una discusiónD del punto P(x p , y p ) a la recta:se refiere al proceso de análisis con A x + B y + C = 0 se puede calcular confin de investigar un concepto u objetomatemático a través del razonamientoy la argumentación aplicando laspropiedades conocidas del objeto en estudio.la fórmula:D = |A x p + B y p + C|√A2 + B 2Para calcular la distancia entre dos rectasparalelas puedes encontrar un puntoDisjunto Dos conjuntos son disjuntos si su sobre cualquiera de las dos y calcular laintersección es igual al conjunto vacío. distancia de este punto a la otra recta.En otras palabras, si dos conjuntos notienen elementos comunes, entonces son Distinto Dos cantidades son distintas cuandoconjuntos disjuntos.La figura muestra dos conjuntos disjuntos:no son iguales. En otras palabras, distintoes sinónimo de desigual.Por ejemplo, 3 y 4 son cantidades distintas.Matemáticamente esto lo expresamos:A B3 4.Distribución La forma como los valoresde una variable aleatoria aparecen enlos datos medidos en una muestra opoblación.A ∩ B = ∅La distribución indica qué valores tienenDispersión Número que indica el grado demayor probabilidad de aparecer y cuálesaparecen con menor frecuencia.separación (carencia de agrupación) deDistribución binomial Distribución quelos datos medidos en torno de la mediapresentan los eventos que tienen dos posiblesresultados mutuamente excluyentes.de la muestra o población.Distancia Número que sirve de medida de Por ejemplo, el lanzamiento de unaseparación entre dos objetos geométricos. moneda diez veces presenta distribuciónLa distancia D entre dos puntos P(x p , y p ) de probabilidad binomial, porque o caey Q(x q , y q ) del plano cartesiano se puede águila o cae sol.calcular con la fórmula:Para el cálculo de la distribución binomialse utiliza el binomio de Newton o √elwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Distribución de frecuencias–Disyunción45Distribución de frecuencias Tabla odiagrama que muestra gráficamente lasfrecuencias de los valores de una variablealeatoria.µx43.532.50 1 2 3 4Distribución normal Distribución de probabilidadcontinua que presentan muchosfenómenos donde cada dato puedeninterpretarse como el promedio de variasmediciones.Por ejemplo, cuando medimos unadistancia, cometemos un error demedición que tiene distribución normal.El error de la medición es simétricorespecto del valor verdadero de la distancia.En este ejemplo, cada mediciónpuede considerarse como el promedio devarias mediciones separadas.La distribución normal se utilizafrecuentemente como una aproximacióna la distribución binomial.La distribución normal se define con lamedia poblacional µ y su varianza σ 2 .Si la media de la distribución es cero ysu varianza 1, la distribución se conocecomo distribución normal estándar.Esta distribución es muy importante enprobabilidad y estadística.La función de densidad de la distribuciónnormal es:f (x) = 1 ( )−(x − µ)σ √ 22π exp 2 σ 2con σ > 0, y su gráfica es:La gráfica tiene las siguientespropiedades:✓ Tiene un máximo en x = µ (lamedia).✓ La curva es simétrica respecto de lamedia.✓ La media, la mediana y la modacoinciden en el máximo de lafunción.✓ El eje horizontal es una asíntota dela curva.✓ El área total bajo la curva es 1.Distributiva (propiedad) Propiedad de losnúmeros reales que involucra a la sumacomo a la multiplicación de la siguientemanera:a · (b + c) = a b + a cGeométricamente, la propiedad distributivase interpreta como el cálculo del áreade un rectángulo:aa bbb + cDisyunción Aseveración formada por dospremisas unidas por la palabra o.Por ejemplo, dado que es mayor a la unidad,este número es primo o es compuesto es unadisyunción.El símbolo matemático utilizado para ladisyunción es ∨.Vea la definición de Conjunción.a ccDwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

46Dividendo–División de monomiosDDividendo En una división, el dividendo es elnúmero que se está dividiendo. Por ejemplo,al dividir 10 ÷ 5 = 2, el dividendo esel número 10, el divisor es el número 5 yel cociente es el número 2.El dividendo puede ser cualquier númerodiferente de cero.Dividir Operación que consiste en calcular elnúmero de veces que una cantidad contiene(cabe en) otra.Por ejemplo, cuando dividimos 36 entre4, obtenemos 9. Esto nos indica que elnúmero 4 cabe 9 veces en el 36.No es posible dividir entre cero.Divisibilidad Decimos que el número enterob divide al número entero a, y loescribimos como: b|a, si existe un númeroentero k tal que: a = b · k.En otras palabras, si a es un múltiplo deb, entonces decimos que el número b esdivisible por a.Divisibilidad, criterios de Regla que nosayuda a determinar si un número sedivide entre otro sin hacer la división directamente.Un número se divide,✓ entre 2 si la última cifra del númeroes par. (0, 2, 4, 6, 8)✓ entre 3 si la suma de sus cifras es unmúltiplo de 3.✓ entre 4 si el número formado por susúltimas dos cifras es un múltiplo de4.✓ entre 5 si termina en 5 ó en 0.✓ entre 6 si es divisible por 2 y por 3.✓ entre 8 si el número formado por sustres últimas cifras es un múltiplo de8.✓ entre 9 si la suma de sus cifras es unmúltiplo de 9.✓ entre 10 si termina en cero.División Operación matemática que consisteen repartir una cantidad fija en otra dada.La división se denota con el símbolo ÷ ocon /.Por ejemplo, para indicar la división delos números a y b, escribimos: a ÷ b, obien, a/b.La división de dos números también seacostumbra escribir como una fracción:r = a bdonde r es el resultado de la división y sellama cociente, a es el dividendo, b es eldivisor que debe ser distinto de cero.En primaria y secundaria acostumbramosacomodar las partes de ladivisión como se muestra en el siguientediagrama:DivisorCocienteDividendo. ..ResiduoLos puntos . . . indican que posiblementeexistan algunos números en el procedimiento.El último número que se escribe,siendo menor que el divisor, es el residuode la división.División de fracciones El resultado de dividira/b entre c/d es:ab ÷ c d = a · db · csupuesto que: b · c 0.Por ejemplo:35 ÷ 7 8 = 3 × 85 × 7 = 2435División de monomios La división demonomios se define siempre que eldivisor sea distinto de cero. La divisiónentre monomios se realiza aplicando lasleyes de los exponentes. En particular,la ley: x m ÷ x n = x m−n , que en palabrasdice que al dividir dos bases iguales suswww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

División de polinomios–Doceavo47exponentes se restan.Por ejemplo,x 7x 4 = x7−4 = x 3División de polinomios La división depolinomios se realiza utilizando el mismoprocedimiento que la división entrenúmeros.En la siguiente división:D m (x)C m−n+k (x)P n (n)r k (x)C m−n (x) es el cociente, que resulta ser unpolinomio de grado m − n + k, D m (x) es eldivisor, un polinomio de grado m, P n (x)es el dividendo, un polinomio de gradon y r k (x) es el residuo de la división, unpolinomio de grado k ≤ 2.División de un ángulo Dado un ángulo,dividirlo en n partes significa dibujar oconstruir esa cantidad de ángulos exactamenteiguales entre sus lados.Por ejemplo, al dividir el ángulo α = 60 ◦en 5 partes iguales, obtenemos:ADivisor Dados los números enteros a, b, c quecumplen a = b · c, decimos que losnúmeros b y c son divisores del númeroa.Por ejemplo, el 2 y el 5 son divisores delnúmero 10, porque 10 = 2 × 5.Divisor propio Un divisor d de un número kes un divisor propio si d < k. Por ejemplo,los divisores de 10 son: 1, 2, 5 y 10.Sus divisores propios son: 1, 2 y 5, porquecada uno de ellos es menor a 10.Doble El doble de un número es el resultadode multiplicarlo por 2. Por ejemplo, eldoble de 5 es 10, porque 5 × 2 = 10.Doble, raíz En un polinomio, cuando éste sepuede factorizar con un factor elevado alcuadrado, el polinomio presenta una raízdoble.En otras palabras, una raíz r de un polinomioes doble si después de dividirlo entre(x − r) dos veces consecutivas, el residuoes cero.Doceavo Un doceavo es equivalente a unade las partes de un entero que hasido dividido en doce partes del mismotamaño.BDDivisión de un segmento Dado un segmentocon extremos en los puntos A y B, dividirel segmento en n partes igualessignifica encontrar n − 1 puntos igualmenteespaciados entre sus extremos.Por ejemplo, al dividir el segmento AB en5 partes iguales obtenemos:112112112112112112112112112112112112www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

48Docena–dyDFrecuentemente en el lenguaje coloquialse dice (incorrectamente) doceavorefiriéndose al número ordinaldécimosegundo.Por ejemplo, en un maratón, quienllegó en el lugar número doce, tiene eldécimosegundo lugar, no el doceavo. Doceavoes una fracción, no un número ordinal.Docena Un grupo de doce cosas.Por ejemplo una docena de rosas es unconjunto de doce rosas.Dodecaedro Sólido regular que tiene 12 caras.Cada una de sus caras es un pentágonoregular:Un elemento del dominio generalmentese denota con la literal x. Así, x ∈ D fse lee: x está en el dominio de la función f .Por ejemplo, el dominio de la función y =x 2 es el conjunto de los números reales,porque podemos calcular el cuadrado decualquier número real.Por otra parte, el dominio de la funcióny = √ x es el conjunto de todos losnúmeros reales no negativos, pues solopodemos calcular la raíz cuadrada denúmeros no negativos.Duplicar Calcular el doble de un número ocantidad.Por ejemplo, al duplicar 10 obtenemos20.Duplicación del cubo Uno de los tres problemasde la antigüedad. El problema consistíaen construir un cubo con el doblede volumen de un cubo dado, utilizandosolamente regla y compás.DodecágonoPolígono que tiene 12 lados.dx En cálculo, dx se llama la diferencial de x,y representa a una cantidad infinitamentepequeña.Generalmente, cuando el incremento en x(∆x) tiende a cero, lo llamamos dx.dy En cálculo, si y = f (x), dy se llamala diferencial de y, y se define como elproducto de la derivada de la funciónf (x) y la diferencial de x:DodecágonoDominio El dominio D de una funciónes el conjunto formado por todos losvalores que la función puede aceptar paradevolver un único valor por cada uno deellos.dy = dydx · dx = f ′ (x) · dxEl diferencial de una función indica cómose comporta la función en la cercanía deun punto.Considerando que dx es infinitamentepequeño, podemos decir que el diferencialindica cómo se comporta la funciónen lo infinitamente pequeño.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxEEfrain Soto ApolinareNúmero irracional que sirve de base para loslogaritmos naturales. Su valor es aproximadamentee = 2.718281828459.El número e es una de las constantes másimportantes en matemáticas.La letra e de esta constante viene delapellido del matemático que contribuyó ala comprensión de esta constante: Euler.Ecuación Es una igualdad entre dos expresionesalgebraicas.Por ejemplo,x n + y n = z nEcuación de la circunferencia La circunferenciaes el conjunto de puntos del plano queestán a la misma distancia de un puntofijo C que es el centro de la circunferencia.La distancia del centro de la circunferenciaa cualquiera de sus puntos se llamaradio (r).La ecuación de la circunferencia que tienesu centro en el punto C(h, k) y radio r es:y(x − h) 2 + (y − k) 2 = r 2 xes una ecuación.Ecuación algebraica Es una ecuación que seexpresa en base a operaciones algebraicas(suma, resta, división, multiplicación) depolinomios.Por ejemplo, la ecuación:es algebraica.1 (x − 1)(x + 3)− = 1x + 2 x + 5Ecuación binomial Una ecuación de la forma:x n − a = 0y su solución es: x = n√ a.Ecuación cuadrática Una ecuación escuadrática si tiene la forma:donde a 0.a x 2 + b x + c = 0kOhrC(h, k)P(x, y)Ecuación de la elipse La elipse es el conjuntode puntos del plano que satisfacen que lasuma de sus distancias a dos puntos fijosdel plano llamados focos es una constante2 a mayor que la distancia entre los focos.La ecuación de la elipse horizontal concentro en el punto C(h, k), longitud deleje mayor 2 a y longitud del eje menor 2 b,es:(x − h) 2 (y − k)2a 2 +b 2 = 1

50Ecuación de la hipérbola–Ecuación de la parábolayykaC(h, k)bEhLa ecuación de la elipse vertical concentro en el punto C(h, k), longitud deleje mayor 2 a y longitud del eje menor 2 b,es:(x − h) 2 (y − k)2b 2 +a 2 = 1La distancia del foco al centro de la elipsees c y la relación que hay entre a, b y c es:a 2 = b 2 + c 2Ecuación de la hipérbola La hipérbola es elconjunto de puntos del plano que satisfacenque la diferencia de sus distancias ados puntos fijos del plano llamados focoses una constante 2 a menor que la distanciaentre los focos (2 c).La ecuación de la hipérbola horizontalcon centro en el punto C(h, k), longituddel eje transverso 2 a y longitud del ejeconjugado 2 b, es:(x − h) 2 (y − k)2a 2 −b 2 = 1La ecuación de la hipérbola vertical concentro en el punto C(h, k), longitud deleje transverso 2 a y longitud del ejeconjugado 2 b, es:(x − h)2 (y − k)2−a 2 +b 2 = 1xF ′ (0, −c)y = b a xEje transversoEje conjugadoy = − b a xLa distancia del centro de la hipérbola acualquiera de los focos es c, y la relaciónentre a, b y c es:c 2 = a 2 + b 2Las diagonales que pasan por el centrode la hipérbola se llaman asíntotas de lahipérbola y sus ecuaciones son:y = b a xy = − b a xEcuación de la parábola La parábola es elconjunto de puntos del plano que satisfacenque su distancia a un punto fijo delplano llamado foco es igual a la de unarecta fija sobre el plano llamada directriz,que no pasa por el foco.La ecuación de la parábola vertical convértice en el punto V(h, k) y distancia delvértice a su foco ρ, es:(x − h) 2 = 4 ρ (y − k)La parábola horizontal con vértice en elpunto V(h, k) y distancia del vértice a sufoco ρ, es:(y − k) 2 = 4 ρ (x − h)La parábola vertical puede abrir haciaarriba o hacia abajo, y la horizontalhacia la derecha o hacia la izquierda, deacuerdo al signo del parámetro ρ.xF(0, c)www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Ecuación de la recta–Ecuación lineal51yLa ecuación de la recta en su formapunto-pendiente es:y − y 1 = m (x − x 1 )La ecuación de la recta en su formasimétrica es:x 2 = +4 |ρ|yyxx 2 = −4 |ρ|yxxa + y b = 1La ecuación de la recta en su formanormal es:A x + B y + C√A2 + B 2 = 0EyEcuación equivalente Dos ecuaciones sonequivalentes si tienen exactamente lasmismas soluciones.Por ejemplo, las ecuaciones:2 x + 1 = 9 y 2 x = 8y 2 = −4 |ρ|xy 2 = +4 |ρ|xyxxtienen solución única: x = 4, y por tantoson equivalentes.Ecuación exponencial Una ecuación exponencialtiene la forma:r a kx = cEcuación fraccionaria Es una ecuación quetiene contiene fracciones algebraicas.Por ejemplo, la ecuación:es fraccionaria.32x + 1 + 23x + 1 = 7Ecuación de la recta La ecuación general de larecta es:A x + B y + C = 0La ecuación de la recta en su formapendiente-ordenada al origen es:y = m x + bEcuación lineal Es una ecuación en la cual lasincógnitas tienen exponente uno.Por ejemplo, la ecuación:7 x + 1 = 50es lineal, pues la única incógnita queaparece (x) tiene exponente igual a 1.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

52Ecuación literal–Elemento identidadEEcuación literal Ecuación en la cual loscoeficientes constantes son escritos comoliterales porque se desconoce su valor.Por ejemplo, en la ecuación a x 2 + b x +c = 0, los coeficientes a, b, c son literales,porque no se conoce su valor.Ecuación logarítmica Ecuación en la queaparecen logaritmos de la incógnita.Por ejemplo, la ecuación:es logarítmica.ln(x + 1) − 5 = 0Ecuación radical Ecuación en la que aparecenradicales.Por ejemplo,√x + 1 =√x − 4 + 1La solución de esta ecuación es: x = 8.Ecuación redundante En un sistema deecuaciones, una ecuación redundante esuna ecuación que si no se considera enel sistema, se obtienen las mismas soluciones.Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:x + y = 102x + 3 y = 203 x + 4 y = 30321yEje yEje x1 2 3 4En algunas figuras, se define uno o variosejes para utilizarlos como referencia. Porejemplo, en las cónicas.Eje conjugado En una hipérbola, el ejeconjugado es un segmento de rectaperpendicular al eje transverso que pasapor el punto medio de éste.Vea la definición de Ecuación de lahipérbola.Eje de simetría La recta que divide a unafigura geométrica en dos partes igualesque se pueden superponer una sobre laotra doblando la figura sobre esta recta.Por ejemplo, el cuadrado tiene cuatro ejesde simetría. La siguiente figura muestrauno de ellos:Eje de simetr´ıaxEjela ecuación 3 x + 4 y = 30 es redundante,pues si resolvemos el sistema de ecuacioneslineales sin ella, obtenemos las mismassoluciones.Línea recta que sirve de referencia paraconstruir un sistema coordenado.Generalmente los ejes se dibujanperpendiculares. El eje horizontal usualmentese etiqueta con la literal x y el verticalcon la literal y.Elemento Se refiere a un objeto particular deun conjunto.Cuando x es un elemento del conjunto A,esto se indica con la notación: x ∈ A, y selee: x es un elemento del conjunto A.Si x no es un elemento del conjunto A,entonces escribimos: x A.Elemento identidad El elemento identidad enel álgebra es el número 1.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Elemento inverso–Elipse53Elemento inverso Para la suma, el elementoinverso de a es −a, porque a + (−a) = 0,para todo a ∈ R.Para la multiplicación, el elemento inversode a 0 es 1/a, porque a · (1/a) =1, para todo a 0, a ∈ R.Elemento neutro Para la suma, el elementoneutro es el cero, porque a + 0 = a, paratodo a ∈ R.Para la multiplicación, el elemento neutroes el uno, porque a · 1 = a, para todoa ∈ R.Elemento opuesto El opuesto del número a esel número −a.El adjetivo opuesto viene del hecho de queen la recta numérica, los números a y −aestán a la misma distancia del origen, soloque en lados opuestos.Elemento simétrico El elemento simétrico delnúmero a es el número −a.En otras palabras, elemento simétrico essinónimo de elemento opuesto.Elevación La distancia desde el suelo hasta laposición de un objeto.Elevación, ángulo de Ángulo que se formaconsiderando la horizontal, el puntodesde donde se observa (vértice delángulo de elevación) y la posición delobjeto observado.En la siguiente figura, el ángulo αmostrado, corresponde al de elevación delobjeto ✈:α✈En este caso, el punto desde donde seobserva al avión es el vértice del ángulomostrado.Eliminar En el proceso de simplificación deuna expresión algebraica, decimos quehemos eliminado un término o factorcuando hemos aplicado alguna de lassiguientes propiedades de los números:a + (−a) = 0a · 1a= 1Por ejemplo, cuando simplificamos lafracción:621 = 2 × ✁3✁3 × 7 = 2 7decimos que hemos eliminado el 3,porque hemos aplicado la segundapropiedad enlistada antes.Elipse Figura geométrica cerrada que tienela propiedad que la suma de las distanciasdesde cualquiera de sus puntos ados puntos fijos llamados focos, es unaconstante.El siguiente diagrama muestra una elipsecon centro en el origen y mostrandoalgunos de sus elementos:LRyP(x, y)xV ′ F ′ O F VBB ′Los elementos de la elipse son:✓ Eje mayor: es el segmento con extremosen los puntos V y V ′ .✓ Eje menor: es el segmento con extremosen los puntos B y B ′ .✓ Vértices: son los puntos V y V ′✓ Focos: son los puntos F y F ′✓ Lado recto: Es el segmentoperpendicular al eje mayor que pasapor un foco y sus extremos estánsobre la elipse.Ewww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

54Eneágono–EquivalenciaEAlgunas distancias importantes en laelipse son:✓ a es la distancia del centro de laelipse a cualquiera de sus vértices.✓ b es la distancia del centro de laelipse a un extremo del eje menor.✓ c es la distancia de cualquiera de losfocos al centro de la elipse.Entre a, b y c se cumple la relación:a 2 = b 2 + c 2Eneágono Polígono de 9 lados.pues cada uno de sus ángulos mide 120 ◦ .Observa que un polígono equiángulo noes necesariamente regular.Equidistante Se dice que dos o más objetosson equidistantes de otro objeto P si todosestán a la misma distancia de éste (P).Por ejemplo, en una circunferencia, todossus puntos son equidistantes del centro,porque están a la misma distancia de él.RPNMTSEneágonoregularEntero El conjunto de los números enteros,que se denota con la literal Z es elsiguiente:Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }Observa que todos los números naturalestambién son números enteros. Sin embargo,no todos los números enteros sonnaturales.Equiángulo Un polígono es equiángulo sitodos sus ángulos tienen la mismamedida.El siguiente polígono es equiángulo:En la figura anterior, los puntos M, N, R, Sy T son equidistantes del punto P.Equilátero Un polígono es equilátero si todossus lados tienen la misma medida.El siguiente polígono es equilátero:puesto todos sus lados tienen la mismamedida.Observa que un polígono equilátero no esnecesariamente regular.Equivalencia Propiedad que presentan doscantidades de tener el mismo valor.Entonces, decimos que dos cantidadesson equivalentes si son iguales.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Equivalencia, relación de–Escaleno, triángulo55Equivalencia, relación de La relaciónde equivalencia es una estructuramatemática que presenta las siguienespropiedades:✓ Reflexiva: a ∼ a✓ Simétrica: Si a ∼ b, entonces b ∼ a.✓ Transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c, entoncesa ∼ c.Decimos que los objetos a y b están relacionadossi cumplen las tres propiedadesenlistadas y lo denotamos por a ∼ b.Eratóstenes, criba de Procedimiento por elcual se puede encontrar la lista detodos los números primos menores a unnúmero natural dado n.El procedimiento consiste en ir eliminandolos múltiplos de 2, 3, etc., exceptoel primer múltiplo (2, 3, etc.), hastaobtener una lista de números que no sehan eliminado y por tanto son primos, alno tener más de dos divisores.La siguiente figura muestra la criba deEratóstenes para encontrar los númerosprimos menores a 25:✁1 2 3 ✁4 5✁6 7 ✁8 ✁9 ✚✚1011 ✚✚12 13 ✚✚14 ✚✚15✚✚16 17 ✚✚18 19 ✚✚20✚✚21 ✚✚22 23 ✚✚24 ✚✚25Criba de EratóstenesError (1.) Diferencia entre el valor aproximadoy el valor real de una cantidad.(2.) En álgebra, un estudiante comete unerror cuando aplica incorrectamente unapropiedad de los números u omite uncálculo para la solución del problema.Error absoluto El error absoluto de unamedición se define como el valor absolutode la diferencia entre el valor medido y elvalor real:ɛ abs = |valor real − valor medido|Error relativo El error relativo de unamedición se define como:errorɛ =valor verdaderoEscala (1.) Conjunto de marcas sobre uninstrumento para hacer mediciones.La siguiente figura muestra parte de unaregla con escala en centímetros:1 cmE0 1 2 3 4 5 6 7 8(2.) Número o razón que indica elnúmero de veces que se ha magnificado larepresentación gráfica de una figura parasu manejo más cómodo.Escala nominal Decimos que una variable semide en escala nominal cuando cada unode los valores que puede tomar tiene unnombre.Por ejemplo: Católico, Presbiteriano,Mormón, etc.Esta escala es de uso frecuente en encuestas.Escala ordinal Decimos que una variablese mide en escala ordinal cuandopuede tomar diferentes valores que estánordenados de acuerdo a una escala.Por ejemplo, leve, moderado, grave.Esta escala es de uso frecuente en encuestas.Escaleno, triángulo Triángulo que tiene 3lados con medida distinta.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

56Escolio–EstimaciónET. escalenoEscolio Se refiere a la observación de una característicaparticular de una proposicióndada.Escuadra Conjunto de instrumentos pararealizar trazos en geometría plana. El setde escuadras está formado por dos escuadrastriangulares, una con ángulos de90 ◦ − 60 ◦ − 30 ◦ y otra con 90 ◦ − 45 ◦ − 45 ◦.La palabra escuadra en el lenguaje coloquialse refiere a un ángulo de 90 ◦ , esdecir, a un ángulo recto.Esfera Sólido geométrico que tiene lapropiedad que todos sus puntos equidistande su centro.EsferaLa superficie S y el volumen V encerradopor una esfera de radio r son:respectivamente.S = 4π r 2V = 4π 3 r3Estadística Rama de las matemáticas que seencarga de la recolección, representación,análisis, interpretación y aplicaciones dedatos numéricos a través de un conjuntode técnicas con rigor científico.La estadística se divide en inferencial ydescriptiva.Estadística descriptiva Rama de la estadísticaque se dedica a encontrar formas derepresentar información numérica de unaforma comprensible y útil en forma detablas, gráficas y diagramas para extraerde ellas información sobre los datos.Estadística inferencial Rama de la estadísticaque se dedica a estimar valores descriptivosde la población a partir de lainformación que se tiene de una muestrade la misma usando algunos parámetrosconocidos como estadísticos (media,desviación estándar, etc.)Estática Rama de la mecánica que se encargadel estudio de las fuerzas que actúansobre los cuerpos que se encuentran enequilibrio (mecánico).Estimación Aproximación a un valor pormedio de un método matemático.Espacio Conjunto de objetos matemáticos quese delimitan para su estudio.Un espacio matemático no es necesariamenteun espacio físico.Espacio muestral El espacio muestral de unevento aleatorio consiste en el conjuntode todos los posibles resultados de eseevento, de tal forma que a cada resultadole corresponda un elemento o puntodel espacio muestral y a cada elementodel espacio muestral le corresponda unresultado.Por ejemplo, el espacio muestral delexperimento que consiste en lanzar unamoneda al aire, es {águila, sol}, porqueestos son los posibles resultados de esteevento.Estimación Aproximación de un valor a partirde un cálculo.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Estocástico–Eventos independientes57Estocástico Una variable es estocástica si esaleatoria.Vea la definición de Aleatorio.Euclides de Alejandría (325 AC – 265 AC)Matemático de la antigua Grecia. Fundóuna escuela en Alejandría. Escribió variasobras, de las cuales la que más se le reconocees Los elementos, en la cual recopilatodo lo que se conocía de geometría hastasu época.Su tratado Los elementos, ha sido una delas obras que ha tenido la mayor influenciaen el desarrollo de las matemáticas enla historia de la humanidad.Euclides, algoritmo de Algoritmo paracalcular el máximo común divisor de dosnúmeros MCD(m, n) donde m > n, quese puede resumir como sigue:1. Dividir m entre n. Sea r el residuo.2. Si r = 0, entonces MCD(m, n) = n.(Fin)3. Si r 0, entonces MCD(m, n) =MCD(n, r).4. Remplazar (m, n) por (n, r) e ir alpaso 1.Por ejemplo, para calcular elMCD(27, 12), tenemos:27 = 12 × 2 + 312 = 3 × 4 + 0Entonces, MCD(27, 12) = 3.Euler, Leonhard (1 707 – 1 783) Matemáticosuizo que destacó por la originalidad desus ideas. Hizo contribuciones importantesa la teoría de números, análisis(Cálculo infinitesimal) y al Cálculo devariaciones.Escribió más de 380 obras escritas, en diversostemas (análisis, cálculo de órbitas,análisis, Cálculo diferencial, etc.)Introdujo los métodos analíticos en lateoría de números. Siempre estuvo muyinteresado en las aplicaciones de lasmatemáticas. Se considera como el mejormatemático de su época.Nota: Euler se pronuncia oiler.Euler, fórmula de(Análisis) La fórmula:e iθ = cos θ + i sin θse conoce como la fórmula de Euler.(Geometría) En un poliedro simple, si Ves el número de vértices, A es el númerode aristas y C es el número de caras, secumple:V + C − A = 2Esta relación también se conoce como lafórmula de Euler.Euler, número de Número irracionaldenotado por la literal e que se utilizacomo la base de los logaritmos naturalesy cuyo valor es aproximadamente:e ≈ 2.718281828459Euler, recta de Es la recta que pasa por circuncentro,baricentro y el ortocentro de untriángulo.Evaluar Calcular el valor numérico de unaexpresión para un (o varios) valor(es)dado(s) de su(s) variable(s).Evento En un experimento aleatorio, unevento es un conjunto de resultados posibles;en otras palabras, un evento es unsubconjunto del espacio muestral.Vea la definición de Espacio muestral.Eventos dependientes Dos eventos son dependientescuando el resultado de uno esafectado por el resultado del otro.Eventos independientes Dos eventos son independientescuando el resultado de unono afecta el resultado del otro.Cuando dos eventos son independientes,se cumple cualquiera de las siguientestres condiciones:P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A ∩ B) = P(A) · P(B)Ewww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

58Eventos mutuamente excluyentes–ExponenteEEn palabras, la primera ecuación nos diceque la probabilidad de que ocurra elevento A no depende del evento B; la segundaecuación indica que la probabilidadde que ocurra el evento B no dependedel evento A y la tercera nos dice que laprobabilidad de que ocurran los eventosA y B juntos es igual al producto de lasprobabilidades de que ocurra cada eventopor separado.Si al menos una de las tres condiciones(ecuaciones) no se cumple, decimos quelos eventos son dependientes.Eventos mutuamente excluyentes Dos eventosA y B son mutuamente excluyentessi el hecho de que ocurra uno hace imposiblela ocurrencia del otro. En otraspalabras, si la ocurrencia simultánea deambos eventos es imposible, los eventosson mutuamente excluyentes.Por ejemplo, si al observar la variablealeatoria X que consiste en el resultadode un volado (águila, sol), A correspondeal evento cayó sol y B al evento cayó águila,entonces los eventos A y B son mutuamenteexcluyentes, porque no podemostener en un solo experimento ambos resultados:o cae águila, o cae sol.Dos eventos mutuamente exluyentes nonecesariamente abarcan todo el espaciomuestral.Exactitud Se refiere a la aproximación que sehace de un valor.Excentricidad La excentricidad e de unacónica se define a partir de los parámetrosa, b y c que la determinan de maneraúnica, y es igual a:e = c aLa excentricidad varía de acuerdo a cadacónica:✓ Parábola: e = 1✓ Elipse: e < 1✓ Hipérbola: e > 1La excentricidad no está definida en lacircunferencia.Exhaución, método de Método utilizado parael cálculo del área de una figura, construyendopolígonos en ésta y calculando lasuma de las áreas de estos.Existencia, axioma de Axioma que supone laexistencia de un objeto o varios objetosmatemáticos.Experimento En estadística, un experimentoes el proceso que se lleva a cabo con elfin de obtener un dato para formar unacolección de éstos y a partir de ella haceranálisis estadísticos para conocer algunacaracterística de la población de la cual seextrajo esta información.Exponencial, crecimiento Proceso que semodela con una ecuación del tipo:y = Me rtdonde M y r son constantes positivas, ees el número de Euler y t representa eltiempo.Dentro de ciertos límites, el crecimientode una población presenta crecimientoexponencial.Exponencial, decaimiento Proceso que semodela con una ecuación del tipo:y = Me −rtdonde M y r son constantes positivas, ees el número de Euler y t representa eltiempo.Por ejemplo, la radiactividad presenta decaimientoexponencial.Exponente Es el número que indica cuántasveces se multiplicará la base.ExponenteBase 2 5 = 32 Potencia2 5 = 2}{{}× 2 × 2 × 2 × 2 = 325 factoreswww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Expresión algebraica–Extrapolación59Expresión algebraica Una expresiónalgebraica es una combinación desímbolos matemáticos (literales, números,operaciones, etc.) que tenga sentido.Por ejemplo,√37 x 2 − 10πes una expresión algebraica.Expresión racional Una expresión racional esuna fracción en donde el numerador y eldenominador son expresiones algebraicassiendo el denominador distinta de cero.La siguiente es una expresión racional:a x 2 + b x + cx 3 − 1Extrapolación Estimación de una variabledependiente para valores (de la variabledependiente) que están localizados fueradel conjunto de observaciones.Por ejemplo, suponga que conocemoslos valores de la presión para temperaturasentre 0°C y 100°C; si deseamoshacer una estimación de la presión para110°C, entonces usaremos un método deextrapolación, porque 110°C no está dentrodel intervalo de observaciones de latemperatura.Ewww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

60ELibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxFEfrain Soto ApolinarFactor Número o expresión algebraica que seestá multiplicando.Por ejemplo, en la expresión:2 x y 2hay tres factores: y 2 , x, y 2.Factor primo Un número primo p es factorprimo de N, si N es divisible entre p.Por ejemplo, 5 es un factor primo de 30,porque 30 es divisible entre 5.Factorial El factorial del número natural n,que se denota como: n!, se define comoel producto de todos los números naturalesdesde 1 hasta n:n! = (1)(2)(3) · · · (n)Por ejemplo, el factorial de 4 es:4! = (1)(2)(3)(4) = 24El factorial del número cero es 1.Factorización Proceso de escribir un númeroo una expresión algebraica en forma deproducto de factores.Por ejemplo,x 2 + 5 x + 6 = (x + 2)(x + 3)Los casos de factorización que másfrecuentemente se encuentran en elálgebra son:✓ Diferencia de cuadrados:x 2 − y 2 = (x + y)(x − y)✓ Trinomio cuadrado perfecto:x 2 + 2xy + y 2 = (x + y) 2✓ Polinomio cúbico perfecto:x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 = (x + y) 3✓ Trinomio cuadrado no perfecto:x 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)Familia de curvas Conjunto de curvas quetienen un mismo patrón de construccióno que se obtienen al variar un parámetrode su ecuación.Fibonacci, sucesión de La sucesión:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · , en la cual cadatérmino se obtiene como la suma de losdos términos anteriores se conoce comola sucesión de Fibonacci.Figura Forma geométrica (dibujo, gráfico,etc.), que sirve para representar un conceptoabstracto de las matemáticas.Cuando la figura está dibujada sobre unplano, decimos que se trata de una figuraplana.Si la figura tiene volumen, decimos quees una figura en tres dimensiones o tridimensional.

62Finito–Fracción algebraicaFinito Expresión que indica que algo tienefin o límites de manera que se puedendeterminar sus dimensiones o el númerode sus elementos a través de mediciones,conteo u otro similar.Es lo contrario de infinito.Y la fórmula para calcular el número dediagonales D que se pueden dibujar a unpolígono regular de n lados es:D =n (n − 3)2FFocal, radio Segmento dirigido que tiene supunto inicial en el foco de una cónica ysu punto final en algún punto cualquierade la misma.yRadio focalP(x, y)xF ′ O FFoco En una cónica, el foco es el punto quese tomó como referencia para hacer mediciones.Para saber cuáles son las cónicasvea la definición de Cónica.Forma ordinaria La ecuación de una cónica ensu forma ordinaria se refiere a la ecuaciónde esa cónica de manera factorizada.Algunos autores le llaman forma base a laforma ordinaria de una ecuación.Forma general La ecuación de una cónica ensu forma ordinaria se refiere a la ecuaciónde la forma:A x 2 + B y 2 + C xy + D x + E y + F = 0Cuando los ejes de la cónica son paralelosa los ejes coordenados C = 0, y el términoC xy, no aparece en la forma general.Fórmula Igualdad que sirve para calcular unvalor a partir de otros valores conocidos.Por ejemplo, la fórmula general paracalcular las raíces de una ecuación desegundo grado: a x 2 + b x + c = 0, es:x = −b ± √ b 2 − 4 ac2aFórmula de Euler(Análisis) La fórmula:e iθ = cos θ + i sin θse conoce como la fórmula de Euler.(Geometría) En un poliedro simple, si Ves el número de vértices, A es el númerode aristas y C es el número de caras, secumple:V + C − A = 2Esta relación también se conoce como lafórmula de Euler.Nota: Euler se pronuncia oiler.Fórmula general La fórmula general para resolverecuaciones de segundo grado es:x = −b ± √ b 2 − 4 ac2adonde a, b y c son los coeficientes de laecuación cuadrática: ax 2 + bx + c = 0.Fracción Representación de una división através de la siguiente notación:r = a bdonde a es el dividendo, llamadonumerador en la fracción, b es el divisor,llamado denominador en la fracción y res el cociente.Debido a que la división entre cero noestá permitida, en la fracción no tiene sentidodefinir: b = 0.A las fracciones también se les llamafracción común o fracción simple.Fracción algebraica Fracción en la cual almenos uno de los elementos de la fracción(numerador o denominador) es una expresiónalgebraica.Por ejemplo,x + 2x 2 − 1www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Fracción equivalente–Frecuencia absoluta63Fracción equivalente se dice que dos fraccionesson equivalentes si tienen exactamenteel mismo valor.Por ejemplo, las fracciones: 2/3 y 6/9 sonequivalentes.Fracción impropia Cuando el numerador deuna fracción es mayor al denominador dela misma, decimos que la fracción es impropia.En otras palabras, si el cociente r de lafracción es mayor a 1, entonces la fracciónes impropia.Por ejemplo, 9/4 es una fracción impropiaporque 9 > 4.Fracción irreducible Aquella fracción quecumple que sus elementos (numeradory denominador) no tienen factorescomúnes.En otras palabras, el numerador y eldenominador de la fracción son primosrelativos cuando la fracción es irreducible.Por ejemplo, 2/7 es una fracción irreducible.Fracción mixta Número que se escribe conuna parte entera y una parte fraccionaria.Por ejemplo: 1¾.Fracción propia Cuando el numerador de unafracción es menor al denominador de lamisma, decimos que la fracción es propia.En otras palabras, si el cociente r de lafracción es menor a 1, entonces la fracciónes propia.Por ejemplo, 2/7 es una fracción propiaporque 2 < 7.Fracción reducible Aquella fracción quecumple que sus elementos (numeradory denominador) tienen factores comúnes.En otras palabras, si es posible encontraruna fracción equivalente con el numeradory el denominador menores a los de lafracción dada, la fracción es reducible.Por ejemplo,69 = 2 × ✁33 × ✁ 3 = 2 3Fracción simple Aquella fracción que no tieneuna parte entera en su escritura.Fración unitaria Una fracción es unitaria si sunumerador es 1 y su denominador es unnúmero entero positivo.Por ejemplo, 1 /7, es una fracción unitaria.Fractal Curva irregular que tiene la propiedadque cuando se elige una parte de ella,siempre es posible encontrar una parteidéntica en la misma curva, bien magnificándola,bien reduciéndola en escala.La siguiente figura muestra una pequeñaparte de un fractal que se conoce como elhelado de Koch:El fractal se obtiene al aplicar la operaciónmostrada a cada segmento de recta, unacantidad infinita de veces.Frecuencia (Análisis) Número de veces queuna función periódica repite una sucesiónde valores para un intervalo dado.(Estadística) Número de veces queaparece un valor en un intervalo dado enuna una tabla de datos. A esta definiciónde frecuencia se le conoce también comofrecuencia absoluta. Con las frecuenciasabsoluta de los diferentes intervalos delos datos se elabora la tabla de frecuencias.Frecuencia absoluta Número de veces queaparece un valor en un intervalo dado enuna una tabla de datos.Fwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

64Frecuencia relativa–Función compuestaFFrecuencia relativa Para cada una clases, lafrecuencia relativa se calcula dividiendola frecuencia absoluta entre el número totalde datos (tamaño de la muestra).La suma de todas las frecuencias relativasde una tabla de frecuencias es igual a 1.La frecuencia relativa representa lafracción del total de datos que está en esaclase en particular.Función Relación entre dos conjuntos, llamadosel dominio y el contradominio, de talmanera que a cada elemento del dominiole corresponde a lo más un elemento delcontradominio.Una función puede verse como unamáquina que transforma a los númerosque le vamos dando, de manera que nosdevuelve un número cada vez que ledamos un valor.XDominioxValores que ledamos a la funciónFunciónfYContradominiof (x)Valores que nosdevuelve la funciónEl conjunto X formado por todos losvalores que nosotros le damos a lafunción, para los cuales nos devuelve unvalor, es su dominio, denotado por D f . Elconjunto Y formado por todos los valoresque la función nos devuelve es el contradominiode la misma.Por ejemplo, para la función y = √ x,su dominio es el conjunto X = {x|x ≥0}, pues solamente podemos calcular raízcuadrada de números no negativos.El contradominio de esta función es: Y ={y|y ≥ 0}, pues el resultado de calcularla raíz cuadrada de un número siemprees un número no negativo.En este caso, se dice que y es la variabledependiente, porque sus valores dependendel valor que le demos a la variablex. Se dice que x es la variable independientede la función. Decimos que y estáen función de x, y matemáticamente loescribimos como: y = f (x). El conceptode función es uno de los más importantesen matemáticas.De manera informal, podemos decir queuna función es la relación que existe entredos cantidades variables.Vea la definición de Relación funcional.Función acotada Función que nunca tomavalores mayores a un valor M específico.Por ejemplo, la función: y = 1/(x 2 + 1) esacotada, pues los valores de y nunca sonmayores a 1.1yy = 1x 2 + 1−3 −2 −1 0 1 2 3Función algebraica Es una función que seexpresa en base a operaciones algebraicas(suma, resta, división, multiplicación) depolinomios.Por ejemplo, la función:y = x + 1 (x − 3)2−x + 2 x − 5 + 4 x3 + 7es algebraica.Función biyectiva Una función es biyectiva sies inyectiva (uno a uno) y sobreyectiva(sobre) a la vez.Función cero La función cero se define como:f (x) = 0 para toda x ∈ R. Su dominio esel conjunto de todos los números reales ysu contradominio es el conjunto {0}.De manera informal, cuando le damosun valor real a la función cero, ésta nosdevuelve siempre 0.Función compuesta Dadas las funciones: y =f (x) y y = g(x), la composición de f en g,denotado por f ◦ g significa sustituir g(x)en la función y = f (x):f ◦ g = f (g(x))xwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Función continua–Función decreciente65Por ejemplo, si definimos: f (x) = x 2 , yg(x) = 2 x − 3, entonces,f ◦ g = f (g(x))= (2 x − 3) 2= 4 x 2 − 12 x + 9Función continua Se dice que una función fes continua en un intervalo dado [a, b]si toma todos los valores entre f (a) yf (b) y se puede dibujar en ese intervalosin despegar la punta del lápiz del papelsobre el cual se le dibuja.En la siguiente figura, la función y = f (x)es continua en el intervalo [a, b]:f (b)f (a)yaby = f (x)Función creciente Decimos que una función fes creciente en un intervalo [a, b] si paracualesquiera valores u, v que estén en eseintervalo y que cumplan con: u ≤ v, secumple: f (u) ≤ f (v).Por ejemplo, la función y = x 2 escreciente en el intervalo [0, 1]:f (x)2y = x 2xAl ver la gráfica de una función, sabemosque es creciente si al moverte a la derechala gráfica de la función va hacia arriba.Función cuadrática Una función de la forma:y = a x 2 + b x + c, donde a 0.La gráfica de una ecuación cuadrática esuna parábola vertical.Vea la definición de Ecuación de laparábola.Función cúbicaUna función de la forma:y = a x 3 + b x 2 + c x + ddonde a 0.La siguiente gráfica corresponde a la deuna función cúbica:−3 −2 −1 0 1 2−11−2−3−4−5−6−7−8yy = x 3xF1Creciente0 0.5 1 1.5xFunción decreciente Decimos que unafunción f es decreciente en un intervalo[a, b] si para cualesquiera valores u, v queestén en ese intervalo y que cumplan con:u ≤ v, se cumple: f (u) ≥ f (v).Por ejemplo, la función y = 2 − x 2 esdecreciente en el intervalo (0, 2):www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

66Función discontinua–Función inversaf (x)287yy = 2 xDecreciente6154F0 0.5 1x321Observa que f (0.5) > f (1.0), y tambiénse cumple que: 0.5 ≤ 1.0.−3 −2 −1 0 1 2 3xFunción discontinua Se dice que una funciónes discontinua cuando no es continua.Por ejemplo, la siguiente figura muestrauna función discontinua en el intervalo[a, b]:yFunción impar Función que tiene lapropiedad: f (−x) = − f (x).En otras palabras, una función impar essimétrica respecto del origen.Por ejemplo, la función y = x 3 es impar(Vea la figura dada en la definición deFunción cúbica).y = f (x)Función inversa Sea f una función condominio X f y contradominio Y f . Si existeuna función g con dominio X g y contradominioY g tal que:abxi. f (g(x)) = x para toda x ∈ X gLa función no es continua porque no se lepuede dibujar sin despegar la punta dellápiz del papel sobre el cual se le dibuja.Función exponencialFunción de la forma:y = a (b) rxLa siguiente función es exponencial:ii. g( f (x)) = x para toda x ∈ X fentonces decimos que las funciones f y gson inversas una de la otra.f −1 denota la función inversa de f .Por ejemplo, si f (x) = x 3 , entonces,f −1 (x) = 3√ x.Geométricamente, la función f (x) y su inversaf −1 (x) son la reflexión una de laotra respecto de la recta y = x.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Función inyectiva–Función polinomial67yy32f (x) = x 387y = x1−2 −1 1 2 3−1−2f −1 (x) = 3√ xx654 y = x 2321x−3 −2 −1 0 1 2 3FFunción inyectiva Una función es inyectivasi a diferentes elementos de su dominiole corresponden diferentes elementos delcontradominio.Es decir, para cualesquiera a, b en eldominio de la función y = f (x), si a b,entonces, f (a) f (b).A las funciones inyectivas también se lesconoce como funciones uno a uno.Función periódica Si existe un valor k tal quepara todo x que esté en el dominio de lafunción f se cumpla: f (x) = f (x + k),entonces decimos que la función es periódica.El periodo de una función periódica f esel mínimo valor k que cumple: f (x) =f (x + k).Por ejemplo, la función seno es periódica:ykFunción irracional Función en la queaparece una expresión algebraica comoargumento de un radical.Por ejemplo, la función: y = √ x esirracional.Función lineal Función que puede reducirse ala forma:y = m x + bLa gráfica de una función lineal es unalínea recta.Función par Función que tiene la propiedad:f (−x) = f (x).Por ejemplo, la función: y = x 2 es par.y = sin xEl periodo de la función seno es 2π.Función polinomial La función polinomial degrado n es una función de la forma:y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + · · · + a n x ndonde a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , · · · , a n , son númerosreales, y a n 0.El dominio de toda función polinomial esel conjunto de los números reales (R).el rango (contradominio) de la funciónpolinomial de grado n impar es R. Paradeterminar el rango de la función polinomialde grado n par con frecuencia serequiere graficarla.xwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

68Función racional–Función trigonométricaFFunción racionalFunción de la forma:y = P m(x)Q n (x)donde P m (x) y Q n (x) son polinomios degrado m y n respectivamente.Por ejemplo,y = 1 + x + 2 x2 + 3 x 31 − x 4En este ejemplo, P 3 (x) = 1 + x + 2 x 2 +3 x 3 , y Q 4 (x) = 1 − x 4 .Función simétrica Una función puede sersimétrica respecto al eje y si al sustituir−x en lugar de x y al simplificar obtenemosla misma ecuación.Por ejemplo, la parábola vertical convértice en el origen: y = x 2 es simétricarespecto al eje y.Una función puede ser simétrica respectoal origen si cumple: f (−x) = − f (x). Esdecir, si es impar.Por ejemplo, la función: y = x 3 essimétrica respecto del origen.Función sobreyectiva Una función es sobreyectivacuando a cada elemento de sucontradominio le corresponde a lo menosun elemento de su dominio.A una función sobreyectiva también se leconoce como función sobre.Función trigonométrica✓ seno (sin)✓ coseno (cos)✓ tangente (tan)✓ secante (sec)✓ cosecante (csc)✓ cotangente (cot)Son las funciones:Las funciones trigonométricas inversasson:✓ arcoseno (arcsin)✓ arcocoseno (arccos)✓ arcotangente (arctan)www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxGEfrain Soto ApolinarGalón Unidad de volumen usada en elsistema Inglés, equivalente a 3.785 litrosen EE.UU. y 4.546 litros en Inglaterra.Gauss, Carl F. (1 777 – 1 855) Matemáticoalemán. Considerado como el últimomatemático que supo todo de lasmatemáticas que se conocía hasta suépoca y los nuevos descubrimientos erandesarrollados principalmente por él.Resolvió problemas que se creíanirresolubles como la construcción (conregla y compás) del polígono regular de17 lados, que no se había podído resolveren más de 2 000 años.Gauss, campana de La campana de Gausses la forma que tiene una distribuciónnormal.yµLa distribución normal estándar tienemedia cero y varianza 1.Gauss, método de Método para resolver sistemasde ecuaciones, también conocidocomo el método de eliminación o elmétodo de suma y resta.Gauss ideó este método basándose en lassiguientes propiedades de la igualdad:x✓ Si a = b, y c = d, entonces, a ± c =b ± d.✓ Si a = b, entonces, a · k = b · k.La idea del método es reducir el sistemade ecuaciones eliminando variables hastaobtener un sistema de una ecuacióncon una incógnita y a partir de estevalor calcular los valores de las demásincógnitas.Generalizar Derivación de una afirmación deun caso particular a todos los casos quesea aplicable.Por ejemplo, al sumar 1 + 2 + 3 + · · · +100, se puede encontrar que la suma sepuede calcular por medio de:1 + 2 + 3 + · · · + 100 = (100)(101)2Al generalizar, se reconoce que:1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n + 1)2La generalización debe justificarse demanera irrefutable para que sea válida.Generatriz Un punto, línea o superficie cuyomovimiento genera una curva, superficieo sólido.Geometría Rama de las matemáticas que seencarga del estudio de las propiedades delos puntos, las líneas, ángulos, superficiesy sólidos.

70Geometría Analítica–Griego, alfabetoGGeometría Analítica Geometría que utiliza unsistema de coordenadas cartesianas paraidentificar de manera única puntos en elespacio estudiado.Geometría plana Geometría que estudia objetosen el plano: puntos, rectas, triángulos,cuadriláteros, etc.Geometría sólida Geometría que estudia losobjetos en tres dimensiones, como lospoliedros.Geoplano Tablero cuadrado que contieneclavos en los vértices de una cuadrículadibujada sobre el tablero.Con auxilio de los clavos y ligas o estambrese pueden hacer trazos y así estudiaralgunos temas de geometría.Geoplanosímbolo: ◦ , y generalmente se le llama diciendosolamente grado.Grado de una ecuación El grado de unaecuación polinomial es el mayorexponente al cual aparece elevada suincógnita.Grado de un polinomio Exponente de mayorvalor que tiene la variable del polinomio.Por ejemplo, el polinomio:es de grado 13.1 + 2 x 2 − 4 x 3 + 7 x 8 − x 13Gráfica La gráfica de una ecuación o de unafunción es el conjunto de todos los puntosdel plano que la satisfacen.Un diagrama que representa el comportamientode una variable dependienterespecto de otra variable independiente.La siguiente gráfica corresponde a lafunción: y = √ xGiga- Prefijo que denota 10 9 . Por ejemplo, unGigalitro equivale a mil millones de litros,esto es, 1 GL = 10 9 L.2yy = √ xGoogol Número natural que se escribe conun 1 seguido de cien ceros. Es decir, unGoogol es igual a 10 100 .Grado Centígrado Unidad de temperaturaigual a una centésima parte de la diferenciade temperaturas entre la solidificacióny fusión del agua a presión de 1 atm.El grado centígrado se denota por ◦ C.Grado Fahrenheit Unidad de temperatura enla cual 32 ◦ corresponden a la temperaturaa la cual el agua se congela y 212 ◦ el aguase convierte en vapor a una presión de 1atm.El grado Fahrenheit se denota por ◦ F.Grado sexagesimal Unidad de medida deángulo equivalente a 1/360 parte de lavuelta completa.Un grado sexagesimal se denota con el101 2 3 4Frecuentemente se utiliza la palabradiagrama como sinónimo de la palabragráfica.Gráfica circular Sinónimo de diagrama desectores.Vea la definición de Diagrama de sectores.Gramo Unidad de masa del Sistema Internacionalde Unidadess.Vea la definición de Sistema Internacionalde unidades.Griego, alfabeto El alfabeto griego es elsiguiente:xwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Griego, alfabeto71Mayúscula Minúscula NombreA α AlphaB β BetaΓ γ Gama∆ δ DeltaE ɛ EpsilonZ ζ ZetaH η EtaΘ θ ThetaI ι IotaK κ KappaΛ λ LambdaM µ MuN ν NuΞ ξ XiO o OmicronΠ π PiP ρ RhoΣ σ SigmaT τ TauΥ υ UpsilonΦ φ PhiX χ ChiΨ ψ PsiΩ ω OmegaAlgunas letras griegas aparecen enalgunos libros con diferente estilo tipográfico,por ejemplo: ϕ (phi), ε (epsilon),ϖ (pi), ϑ (theta), ϱ (rho) y ς(sigma).Gwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

72GLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxHEfrain Soto ApolinarHardware Parte física de un equipo decómputo.Por ejemplo, el teclado, ratón, impresora,pantalla, etc., forman el hardware de unequipo de cómputo.La parte no física, es decir, los programasy la información contenida en lacomputadora, se denomina software.Hectárea Unidad de área equivalente a uncuadrado de cien metros de lado.El símbolo utilizado para la hectárea es hay es igual a 10 000 metros cuadrados.100 m 1 ha100 mHeptágonoEl heptágono mostrado en la figuraanterior tiene sus 7 lados y sus 7ángulos iguales, es decir, es un heptágonoregular.Hexa- Prefijo que significa seis.Por ejemplo, un hexágono tiene seislados.Hexaedro Sólido geométrico formado por seiscaras cuadriláteras.El cubo es un hexaedro.Hecto- Prefijo que indica cien. Se abrevia conla letra h (minúscula).Por ejemplo, un hectómetro es igual a cienmetros.Hepta- Prefijo que significa siete.Por ejemplo, un heptágono tiene sietelados.CuboOtro ejemplo de hexaedro es el Paralelepípedo.HeptágonoPolígono de 7 lados y 7 ángulos.HexágonoPolígono de 6 lados y 6 ángulos.

74Hipérbola–Hiperbólica, tangenteyHexágonoP(x, y)2 aF ′ a aFxHEl hexágono mostrado en la figuraanterior tiene sus 6 lados y sus 6 ángulosiguales, es decir, es un hexágono regular.Hipérbola Conjunto de puntos del plano quesatisfacen que la diferencia de sus distanciasa dos puntos fijos del plano llamadosfocos es una constante 2 a menor que ladistancia entre los focos. La ecuación dela hipérbola horizontal con centro en elpunto C(h, k), longitud del eje transverso2 a y longitud del eje conjugado 2 b, es:(x − h) 2 (y − k)2a 2 −b 2 = 1La ecuación de la hipérbola vertical concentro en el punto C(h, k), longitud deleje transverso 2 a y longitud del ejeconjugado 2 b, es:(x − h)2 (y − k)2−b 2 +a 2 = 1La distancia del centro de la hipérbola acualquiera de los focos es c, y la relaciónentre a, b y c es:c 2 = a 2 + b 2Hipérbola de Fermat La gráfica de unafunción del tipo y = x n , donde n esun número entero negativo, se llamahipérbola de Fermat.Hiperbólico, coseno La función cosenohiperbólico del número x se denota por:cosh x y está definida por:cosh x = ex + e −xHiperbólico, seno La función senohiperbólico del número x se denota por:sinh x y está definida por:2sinh x = ex − e −x2La siguiente figura corresponde a la deuna hipérbola horizontal:Hiperbólica, tangente La función tangentehiperbólica del número x se denota por:tanh x y está definida por:tanh x = ex − e −xe x + e −xwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Hipotenusa–Hora75Hipotenusa En un triángulo rectángulo, lahipotenusa es el lado opuesto al ángulorecto.αHipotenusaCateto adyacenteCateto opuestoLa hipotenusa siempre es el lado másgrande de un triángulo rectángulo.Rango Cantidad Fracción0 – 10 250 0.03310 – 20 1 200 0.16020 – 30 2 500 0.33330 – 40 1 225 0.16340 – 50 850 0.11350 – 60 750 0.10060 – 70 425 0.05770 – 80 250 0.03380 – 90 37 0.00590 – 100 13 0.002Y a partir de estos datos generamosel histograma dibujando una barra paracada intervalo con una altura proporcionala su valor de frecuencia en la tabla.HHipótesis Suposición hecha para resolver unproblema.2,000Histograma Representación gráfica de ladistribución de datos de una muestra opoblación.Para dibujar un histograma se acostumbraprimero generar una tabla con losdatos.Por ejemplo, supongamos que las fraccionesde la población en los siguientesrangos de edades de un pueblo sereparten como sigue:1,00000 20 40 60 80 100EdadHora Una hora equivale a 60 minutos y esigual a 1/24 de la duración del día. Esdecir, un día tiene 24 horas.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

76HLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxIEfrain Soto ApolinarIcosaedro Sólido regular cuyas caras sonveinte triángulos equiláteros:Identidades pitagóricas Identidades trigonométricasque se obtuvieron usando el teorema dePitágoras:sin 2 α + cos 2 α = 1tan 2 α + 1 = sec 2 αcot 2 α + 1 = csc 2 αIcoságono Polígono de 20 lados.El siguiente polígono es un icoságonoregular:Identidad Es una igualdad que se cumplepara cualesquiera valores de las variablesque contiene.Por ejemplo, las siguientes igualdadesson identidades:(x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2 xy1 = sin 2 x + cos 2 xIgual (Álgebra) Decimos que dos cantidadeso dos expresiones algebraicas son igualescuando tienen el mismo valor. Para indicarlose utiliza el símbolo = entre ambascantidades. Por ejemplo, 5 = 2 + 3.(Geometría) Dos figuras geométricas soniguales si una puede superponerse en laotra de manera que ambas coincidan entodos sus puntos.(Teoría de conjuntos) Dos conjuntos soniguales si tienen los mismos elementosexactamente.Igualdad Relación definida para dos cantidadesque indica que ambas tienen el mismovalor.La relación de igualdad se expresa con elsímbolo =.Las propiedades de la igualdad son lassiguientes:✓ a = a (reflexiva)✓ Si a = b, entonces b = a (simétrica)✓ Si a = b y b = c entonces a = c (transitiva)

78Imagen–IncógnitaIOtras propiedades útiles de la igualdadson:✓ Si a = b, entonces a + k = b + k✓ Si a = b, entonces a − k = b − k✓ Si a = b, entonces a · k = b · k✓ Si a = b, entonces a k = b ; (k 0)k✓ Si a = b, entonces a k = b kImagen Dada una función f , la imagen delvalor k bajo esa función, es el resultadode evaluar la función en el valor k.Por ejemplo, si la función es: y = x 2 , yk = 3, entonces, la imagen de 3 bajo lafunción y = x 2 es 9:y = (3) 2 = 9Observa que la imagen corresponde a unsolo valor del dominio. A menos queel dominio de la función tenga un soloelemento, el rango (o contradominio) dela función no será igual a la imagen deun valor (que esté en el dominio de lafunción considerada).Imaginario, número Número que está multiplicadopor la unidad imaginaria.Por ejemplo, el número 2 i es un númeroimaginario.La unidad imaginaria, que se denotacon la literal i, es el número que tienela propiedad de que cuando se multiplicapor sí mismo obtenemos −1 comoresultado. Es decir, i 2 = −1.Los números complejos se llamannúmeros imaginarios puros cuando suparte real es cero.Impar, número Número que al dividir entredos obtenemos como residuo 1.Los primeros números impares son: 1, 3,5, 7 y 9.Impar, función Función que tiene lapropiedad: f (−x) = − f (x).En otras palabras, una función impar essimétrica respecto del origen.Por ejemplo, la función y = x 3 es impar(Vea la figura dada en la definición deFunción cúbica).Implicación Dadas dos afirmaciones A y B,decimos que A implica B, si al ser verdaderaA, necesariamente B también debeser verdadera.Por ejemplo, considerando que p y q sonnúmeros enteros, sea A = el producto de ppor q es cero, y B = bien, p es cero, bien q escero, o quizás ambos sean cero, En este casoA implica B. Esto se denota por A ⇒ B.Incentro Es el punto donde se intersectan lastres bisectrices de un triángulo.IncentroInclinación La inclinación de una línea rectaen el plano es la medida del ángulo quela gráfica de la ecuación de la línea rectaforma con el sentido positivo del eje x.αyy = m x + bLa inclinación α de la recta cuya ecuaciónes: y = m x + b, puede calcularse con:α = arctan(m).Incógnita Símbolo literal cuyo valor sedesconoce. Las variables generalmentexwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Inconmensurable–Integración79se denotan usando las últimas letrasdel alfabeto: t, u, v, x, y, z, etc., mientrasque las constantes se denotan con lasprimeras: a, b, c, etc.Inconmensurable Decimos que dos númerosa, b son inconmensurables si no son conmensurables.Vea la definición de conmensurable.Independiente, variable La variable independientede una función es el valor quenosotros le damos para calcular la variabledependiente. Generalmente la variableindependiente de una función sedenota con la literal x.Por ejemplo, en la función y = x 2 ,la variable independiente es x, puesnosotros asignamos el valor que estavariable tomará.Inducción matemática Método de demostraciónen el cual se prueba una conjeturaque depende de un número entero k.La demostración se elabora, primero parak = 1, luego se supone que la conjeturaes verdadera para k = n y se prueba quepara k = n + 1 también se cumple. Asíse demuestra que la conjetura se cumplepara todos los números naturales.Vea la definición de Principio de inducciónmatemática.finita. Pero si dividimos el intervalo enun número infinito de particiones, cadaintervalo tiene una longitud infinitamentepequeña, es decir, infinitesimal.infinito Expresión que indica que algo notiene fin. Se denota con el símbolo ∞.También puede indicar que no tiene fronteras.Ínfimo La cantidad más grande que esmenor o igual que las cantidades de otroconjunto.Lo opuesto de ínfimo es supremo.Inscrito, ángulo Ángulo que tiene su vérticesobre una circunferencia y cuyos ladosson dos cuerdas de la misma.αInscrito, polígono Se dice que un polígono esinscrito cuando todos sus lados son cuerdasde una misma circunferencia.IInecuaciónSinónimo de desigualdad.Inercia Tendencia de un cuerpo de mantenersu estado de movimiento.Inferencia Proceso que permite alcanzar unaconclusión a partir de premisas. Una inferenciapuede ser deductiva o inductiva.infinitesimal Un infinitesimal o un infinitésimo,es una cantidad infinitamentepequeña.Puedes construir un infinitesimal considerandoel intervalo (0, 1) en el eje real.Divide este intervalo en n partes iguales.Cuando el valor de n es finito, cada unode los subintervalos tiene una longitudHexágono inscritoIntegración La integración de una funciónf (x) consiste en encontrar una funcióndiferenciable y = F(x) que cumpla:F ′ (x) = f (x) para toda x en el dominiode f .www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

80Integración numérica–InterpolaciónIIntegración numérica Procedimiento de integraciónen los que se aproxima el valorde una integral definida por medio demétodos iterativos.Vea la definición de Iteración.Integral En Cálculo, una integral es elresultado de la integración de unafunción.∫El símbolo de integral es: , y la expresión:∫f (x) dx = F(x) + Cse lee: La integral de la función f (x) respectode x es igual a la función F(x) más unaconstante.La función f (x) se llama integrando, dxindica que se va a integrar la funciónrespecto de la variable x, F(x) + C es elresultado de la integración.Observa que la integral de una función esuna familia de funciones.Algunos autores llaman a la integralcomo antiderivada, o primitiva de lafunción y = f (x).Vea la definición de antiderivada.Integral definida La integral definida de unafunción y = f (x) es un escalar, definidopor:∫ bf (x)dx = F(b) − F(a)adonde, a y b son los límites de integración,y y = F(x) es una primitiva dey = f (x).Geométricamente, la integral definida,cuando y = f (x) es positiva en el intervalo(a, b) representa el área debajo de lagráfica de y = f (x) y sobre el eje x desdex = a hasta x = b.Formalmente, la integral definida sedefine por el límite:∫ banf (x)dx = limn→∞∑ f (x i )i=0( ) b − anInterés Renta que se cobra por el uso deldinero ajeno. El interés pagado se denotacon la literal I.Interés compuesto Interés que se calcula cadaintervalo de tiempo convenido (mensual,trimestral, semestreal, anual, etc.) dondeel interés que se generó en el último intervalode tiempo formará parte del capitalpara el cálculo del interés del siguientemes.Si n es el número de intervalos de tiempoque se usó el dinero, i es la tasa de interésy C es el capital inicial, el interés Ise calcula con la fórmula:I = M − C= C [(1 + i) n − 1]Y el monto M a pagar es:M = C (1 + i) nInterés simple Interés que se calcula a partirdel capital inicial.Si n es el número de intervalos de tiempoque se usó el dinero, i es la tasa de interésy C es el capital inicial, el interés Ise calcula con la fórmula:I = niCY el monto M a pagar en ese mismoperido es:M = C (1 + ni)Interpolación Estimar el valor de una funciónf entre dos valores P(x p , y p ) y Q(x q , y q )que se conocen.La fórmula para interpolar un valor y r ,dada su abscisa x r es:( )yp − y qy r =(x r − x p ) + y px p − x qGeométricamente, la interpolaciónconsiste en una aproximación lineal a lawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Intersección–Intervalo cerrado81función f .En realidad estamos encontrando elpunto sobre la recta que pasa por lospuntos dados P(x p , y p ) y Q(x q , y q ) yevaluamos ésta en x = x r para calculary r .Si los valores están suficientemente cerca,y la gráfica de la función es continua ysuave, es decir, si no cambia de direcciónbruscamente, la estimación generalmenteserá bastante buena.Mientras los valores de x p y x q estén máscercanos, la estimación será mejor.La siguiente figura muestra la interpretacióngeométrica de la interpolación:y qy ry pyx p x rx qy = f (x)Intersección (Geometría) Conjunto de puntosdonde se intersectan dos cuerpos o figurasgeométricas. Por ejemplo, dos rectasno paralelas se intersectan en un solopunto. Dos planos no paralelos se cortanen una recta.(Teoría de conjuntos) La intersección dedos conjuntos es el conjunto que contienea todos los elementos que pertenecen alos conjuntos simultáneamente.Por ejemplo, considerando los conjuntos:A = {0, 1, 2, 3, 5, 8, 9}B = {2, 3, 5, 7}Su intersección es: A ∩ B = {2, 3, 5}.Intervalo Subconjunto de los números realescon extremos en a y b. Es decir, un intervaloes el conjunto que satisface:{x | a < x < b}xdonde a < b.Geométricamente, el intervalo se puederepresentar en una recta numérica.Por ejemplo, la siguiente figura muestrael intervalo (2, 4) con extremos en 2 y 4:(2, 4)−1 0 1 2 3 4 5El intervalo es abierto si los valores a yb no están incluidos y se denota como:(a, b).Si tanto a como b están incluidos en elintervalo, éste es cerrado y se denota por:[a, b].Cuando se incluye solamente a, el intervalose denota por: [a, b), y cuando bestá incluido y a no lo está, la forma deescribirlo es: (a, b].Geométricamente el intervalo abierto sedenota con círculos vacíos (sin relleno)en sus extremos. Cuando un extremo seincluye en el intervalo el círculo que lerepresenta se rellena.En la siguiente figura se muestra un intervalocerrado, es decir, que incluye a ambosextremos:[2, 4]−1 0 1 2 3 4 5Intervalo abierto Intervalo que no incluye susvalores extremos. Si los extremos delintervalo abierto son los puntos a y b, sedenota por (a, b).Geométricamente, el intervalo abierto(a, b) se indica como muestra la siguientefigura:OaIntervalo cerrado Intervalo que sí incluye susvalores extremos. Si los extremos delbxxxIwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

82Inversa, función–Isóscelesintervalo cerrado son los puntos a y b, sedenota por [a, b].Geométricamente, el intervalo cerrado[a, b] se indica como muestra la siguientefigura:OaInversa, función Sea f una función condominio X f y contradominio Y f . Si existeuna función g con dominio X g y contradominioY g tal que:i. f (g(x)) = x para toda x ∈ X gii. g( f (x)) = x para toda x ∈ X fbxLos números π y e son ejemplos denúmeros irracionales.Irreducible, fracción Aquella fracción quecumple que sus elementos (numeradory denominador) no tienen factorescomúnes.En otras palabras, el numerador y eldenominador de la fracción son primosrelativos cuando la fracción es irreducible.Por ejemplo, 2/7 es una fracción irreducible.Irregular, polígono Polígono que no esequilátero, o no es equiángulo o ambas.El siguiente polígono es irregular:Ientonces decimos que las funciones f y gson inversas una de la otra.f −1 denota la función inversa de f .Por ejemplo, si f (x) = x 2 , entonces,f −1 (x) = √ x.Inverso Operación que cancela una operaciónprevia.Por ejemplo la operación inversa de lasuma es la resta y la operación inversa dela multiplicación es la división.En aritmética, frecuentemente se dice: elinverso de este número, cuando debería decirse:el recíproco de este número. Vea ladefinición de Recíproco.Inyectiva, función Una función es inyectivasi a diferentes elementos de su dominiole corresponden diferentes elementos delcontradominio.Es decir, para cualesquiera a, b en eldominio de la función y = f (x), si a b,entonces, f (a) f (b).A las funciones inyectivas también se lesconoce como funciones uno a uno.Irracional, número número que no se puedeexpresar como el cociente de dosnúmeros enteros, donde el denominadores distinto de cero.Ningún número racional es irracional yningún número irracional es racional.Irregular, poliedro Poliedro que no es regular.Es decir, aquel que no tiene todas suscaras iguales.Isoclina Dos rectas isoclinas son aquellas quetienen la misma pendiente.Isósceles Un triángulo es isósceles si dos desus lados miden lo mismo.Triángulo isóscelesUn trapecio es isósceles si sus dos ladosno paralelos miden lo mismo.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Iteración83Trapecio isóscelesIteración Método de resolución de unaecuación a través de aproximacionessucesivas a la solución buscada. Estosmétodos se utilizan generalmente a travésde la programación de computadorasporque requiere de muchos cálculos sucesivos,tarea que la computadora puede realizarfácilmente.Iwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

84ILibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxJEfrain Soto ApolinarJerarquía de las operaciones Vea la definición de Prioridad de las operaciones

86JLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxKEfrain Soto ApolinarKelvin Unidad de temperatura utilizado enel Sistema Internacional de Unidades. Elsímbolo utilizado para el Kelvin es K.Un grado centígrado es equivalente a unKelvin. La diferencia consiste en que 0 Kequivalen a −273.15 ◦ C.Observa el símbolo K no requiere delsímbolo de grados ( ◦ ) para indicar que setrata de una temperatura.KiloPrefijo que indica mil. Se abrevia con laletra k (minúscula).Por ejemplo, kilogramo indica milgramos.KilogramoKilometroMil gramosMil metros.Kepler, leyes de Las leyes de Kepler se refierena las leyes del movimiento de losplanetas previa a la ley de gravitaciónuniversal propuesta por Isaac Newton.Las tres leyes de Kepler son:1 Los planetas recorren órbitaselípticas, con el sol en uno de susfocos.2 El segmento recto que une el sol conel planeta (radio vector) barre áreasiguales en tiempos iguales.3 Para cualquier planeta, el cuadradodel tiempo que tarda en recorrer unaórbita alrededor del sol es proporcionalal cubo de la longitud del ejemayor de su órbita.

88KLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxLEfrain Soto ApolinarLado En un polígono, un lado es un segmentode recta cuyos extremos están en dosvértices consecutivos del polígono.se encuentra al sur se considera negativo.Sobre el ecuador la latitud vale cero.latLadoLos lados del polígono delimitan su área.Lámina Objeto plano de grosor infinitamentepequeño, que puede considerarse para laresolución de un problema de Cálculo.Generalmente se consideran sus dimensionesde área, pero el grosor de la láminase considera como un diferencial.LáminaLatitud Ángulo con vértices en un puntosobre la superficie de la tierra, el centro deésta y el ecuador a lo largo del meridianode ese mismo punto angular. La latitudse abrevia como lat.Cuando el punto sobre la superficie de latierra se encuentra al norte del ecuador,el ángulo se considera positivo; cuandoLegua Unidad de distancia usada en elsistema Español, equivalente a 4 827metros.Lema Proposición que requiere demostracióny permite demostrar un teorema.Lenguaje algebraico Lenguaje que se utilizapara describir las relaciones entre lascantidades expresadas en una expresiónalgebraica.Por ejemplo, semi significa mitad, ycociente indica el resultado de una división.Ley de cosenos Para todo triángulo que se encuentraen el plano, se cumple:C 2 = A 2 + B 2 − 2AB cos αdonde A, B y C son las longitudes de loslados del triángulo, y α es la medida delángulo formado por los lados A y B.

90Ley de grandes números–Leyes de NewtonLαBALa ley de cosenos es una generalizacióndel teorema de Pitágoras, pues cuandoα = 90 ◦ , tenemos: C 2 = A 2 + B 2 , el casoparticular que corresponde al teorema dePitágoras.Ley de grandes números Teorema deprobabilidad que indica que si la probabilidadde ocurrencia de un evento E esp, si N(E) es el número de veces queocurre el evento E, y se hicieron n experimentos,entonces, al aumentar el númerode experimentos (n tiende a infinito), elcociente N(E)/n tiende a p.Por ejemplo, si tomamos una moneday hacemos algunos experimentos queconsista en lanzarla para observar elresultado (águila o sol), esperamos quela mitad caiga águila y la otra mitad sol.Sea N(A) el número de veces que cayóáguila y n el número de veces que lanzamosla moneda. Mientras más crezca n,es decir, mientras más veces lancemos lamoneda, el valor de N(A)/n se acercarácada vez más a 0.5, que es la probabilidadde que caiga águila.Ley de multiplicación de probabilidades Laprobabilidad de que ocurran los dos eventosA y B a la vez, es:P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)C= P(B) · P(A|B)Si A y B son independientes,P(A ∩ B) = P(A) · P(B)Vea la definición de Eventos independientes.Ley de suma de probabilidades La probabilidadde que ocurra el evento A o el eventoB, es:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)Para el caso en que los eventos A y B sonmutuamente excluyentes, se tiene:P(A ∪ B) = P(A) + P(B)Vea la definición de Eventos mutuamenteexcluyentes.Ley de senos Para todo triángulo que se encuentraen el plano, se cumple:sin αA= sin βB= sin γCdonde A es el lado opuesto al ángulo α,B es el lado opuesto al ángulo β y C es ellado opuesto al ángulo γ.γBLeyes de Kepler Las leyes de Kepler se refierena las leyes del movimiento de losplanetas previa a la ley de gravitaciónuniversal propuesta por Isaac Newton.Las tres leyes de Kepler son:A1. Los planetas recorren órbitaselípticas, con el sol en uno de susfocos.2. El segmento recto que une el sol conel planeta (radio vector) barre áreasiguales en tiempos iguales.3. Para cualquier planeta, el cuadradodel tiempo que tarda en recorrer unaórbita alrededor del sol es proporcionalal cubo de la longitud del ejemayor de su órbita.Leyes de los exponentes Vea la definiciónReglas de los exponentes.Leyes de Newton Las tres leyes delmovimiento propuestas por Sir. IsaacNewton son las que han permitido unavance en las ciencias y en la tecnología:αCβwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Libra–Logaritmo911. (Ley de inercia) Todo cuerpomantiene su estado de movimientorectilíneo uniforme, a menos queuna fuerza externa lo obligue a cambiardicho estado.2. (Ley de fuerza) El cambio en la cantidadde movimiento de un cuerpoes proporcional a la fuerza ejercidasobre el cuerpo, y ocurre sobre lalínea recta sobre la cual se aplica lafuerza.3. (Ley de acción y reacción) Paratoda fuerza ejercida sobre un cuerpo,existe otra fuerza contraria de mismamagnitud y dirección, pero con sentidoopuesto.Libra Unidad de peso equivalente a 0.454 kg,o bien a 16 onzas.Límite (Álgebra) En un intervalo, los límitesson los valores extremos del mismo.Por ejemplo, en el intervalo [a, b], loslímites son los valores a (límite inferior)y b (límite superior).(Análisis) El límite de la función fcuando la variable independiente tiendea un valor constante k se denota por:lim f (x) = Mx→ky M representa el valor al cual se acercaconforme los valores de x se aproximanmás al valor k, en caso de que el límiteexista.Línea Objeto geométrico que tiene solamenteuna dimensión: longitud. La línea notiene espesor ni anchura.la siguiente figura es una línea:Usualmente en geometría cuando decimoslínea nos referimos a cualquier tipode línea, aunque muchos entienden solamenteuna línea recta.La línea recta es un caso particular muyespecial de línea.Literal Letra que representa una cantidad enálgebra. Las literales también pueden serletras del alfabeto griego.Por ejemplo, en la fórmula:A = b × h2la literal A representa el área de untriángulo, la literal b representa la base deese triángulo y la literal h representa laaltura del mismo.Litro Unidad de volumen equivalente a 1 dm 3 .Frecuentemente se utilizan los siguientesmúltiplos y submúltiplos del litro:bNombre Símbolo EquivalenciaMirialitro ML 10 000 LKilolitro KL 1 000 LHectolitro HL 100 LDecalitro daL 10 LDecilitro dL 0.1 LCentilitro cL 0.01 LMililitro mL 0.001 LUn metro cúbico equivale a 1 000 litros, esdecir,h(1 m) 3 = (10 dm) 31 m 3 = 1 000 dm 3porque un metro equivale a 10 decímetros.Logaritmo Exponente al cual debe elevarsela base para obtener como resultado unnúmero dado.Si y = a x , donde a > 0 y a 1, entonces,se define:log ay = xLwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

92Logaritmo natural–LustroLy se lee: el logaritmo del número y en la basea es igual a x.Por ejemplo, dado que 2 3 = 8, entonces,log 28 = 3, y se lee: el logaritmo de 8 en base2 es 3.Logaritmo natural Logaritmo cuya base es elnúmero de Euler, e ≈ 2.7182818.El logaritmo natural del número x sedenota por ln x, y se entiende que esequivalente a escribir:ln x = log exdonde e ≈ 2.718281828.Logaritmo vulgar Logaritmo en base 10. Ellogaritmo vulgar del número x se denotapor log x, y se entiende que es equivalentea escribir:log x = log 10xEs decir, cuando la base del logaritmo nose especifíca, se entiende que es 10.Al logaritmo vulgar también se le conocecomo logaritmo común.Por ejemplo, dado que 10 000 = 10 4 ,log(10 000) = log 10(10 000) = 4Lógica Rama de la filosofía que se encarga delestudio de los métodos y principios utilizadosen la validación de argumentos enel razonamiento.Las matemáticas utilizan a la lógica paraque sus demostraciones sean irrefutables.Longitud (Geometría) Dimensión mayor deun objeto.Distancia más corta entre dos puntos.Medida de una distancia.Por ejemplo, la longitud de un árbol es 35metros.(Cartografía) Ángulo con vértices en unpunto sobre la superficie de la tierra, elcentro de ésta y el meridiano de referencia.El meridiano de referencia mundiales el meridiano de Greenwich. La longitudse abrevia como long.Cuando el punto sobre la superficie de latierra se encuentra al este del meridianode referencia, se considera positivo.En navegación marítima la longitud sedenota con la letra griega ω.Lugar Geométrico Es el conjunto de puntosque satisfacen un conjunto de condicionesdadas.Por ejemplo, la parábola es el lugargeométrico de los puntos que equidistande un punto fijo F (foco) como de unarecta fija (directriz) que no pasa por elfoco.FEjeDirectrízLúnula Región del plano delimitada por dosarcos de circunferencia de radios diferentes.LúnulaLustro Unidad de tiempo equivalente a cincoaños.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxMEfrain Soto ApolinarMagnitud (Aritmética) Número que indica lamedida de una cualidad. Por ejemplo, lamagnitud del área de un cuadrado es unnúmero que indica la cuantificación delárea.(Geometría) La magnitud de un vector esigual a su longitud.Por ejemplo, considerando el vector ⃗v =(3, 4),y⃗v = (3, 4)su magnitud ‖⃗v‖, se calcula aplicando elteorema de Pitágoras, como se muestraenseguida:‖⃗v‖ = √ 3 2 + 4 2 = √ 25 = 5En general, para el vector ⃗v = (v x , v y ),su magnitud puede calcularse con lafórmula:√‖⃗v‖ = (v x ) 2 + ( ) 2v yObserva que la magnitud de un vector nopuede ser negativa.xMantisa La parte de un logaritmo que está ala derecha del punto decimal.Por ejemplo, sabiendo que ln(π) ≈1.144729886, su mantisa es 0.144729886.Mapeo Sinónimo de función.Vea la definición de Función.Marca de clase Cuando se agrupan datos deuna muestra, se definen clases a partir deintervalos. La marca de clase es igual alpromedio de los extremos (valores límite)de los intervalos.Por ejemplo, supongamos que las fraccionesde la población en los siguientesrangos de edades de un pueblo sereparten como sigue:Rango Cantidad Marca de clase0 – 10 250 510 – 20 1 200 1520 – 30 2 500 2530 – 40 1 225 3540 – 50 850 4550 – 60 750 5560 – 70 425 6570 – 80 250 7580 – 90 37 8590 – 100 13 95La marca de clase de cada una de lasclases definidas, son, 5, 15, 25, 35, 45, 55,65, 75, 85 y 95, respectivamente.

94Matemáticas aplicadas–Máximo absoluto de una funciónMMatemáticas Es la ciencia que estudia lascantidades, estructuras, espacios y elcambio. La matemática deduce demanera irrefutable cada conjetura aceptadabasándose en axiomas y teoremas yademostrados.Las matemáticas tiene muchas ramas. Algunasde ellas son:✓ Teoría de conjuntos✓ Aritmética✓ Álgebra✓ Geometría✓ Análisis matemático✓ TopologíaA su vez, cada una de estas ramastiene otras subramas que hacen un estudiomás particular en cada caso. Porejemplo, la geometría se subclasifica engeometría plana, geometría analítica, etc.Matemáticas aplicadas El estudio de lastécnicas y métodos de las matemáticaspara la resolución de problemas quese presentan en los sistemas creadospor la sociedad y en el estudio dela naturaleza (económicos, industriales,ecológicos, etc.)Matemáticas puras Estudio de lasmatemáticas, su teoría, estructura,métodos y procedimientos, con el fin deincrementar el conocimiento matemático.En este caso, las aplicaciones de lasmatemáticas no se tienen en cuenta,aunque generalmente lo que se descubreen las matemáticas puras puede ser utilizadoen otras ramas de la ciencia comola física.Matríz En matemáticas, una matríz es unarreglo rectangular de números.Por ejemplo,[ 2 −1] 71 4 −3es una matríz 2 × 3, que indica que es dedos renglones por tres columnas.Matríz cuadrada Aquella matríz que tiene elmismo número de renglones como decolumnas.Por ejemplo, la siguiente es una matrízcuadrada de 3 × 3:⎡⎣⎤a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23⎦a 31 a 32 a 33Matríz identidad Matríz cuadrada que tieneceros en todos sus elementos, exceptoen la diagonal principal, cuyos elementosson unos.La siguiente matríz es una matríz identidad:⎡ ⎤1 0 0⎣ 0 1 0 ⎦0 0 1Matríz inversa La inversa de la matrízcuadrada M se denota por M −1 y es otramatríz del mismo tamaño que M y tienela propiedad de que al multiplicarla porM obtenemos la matríz identidad.Una matríz cuadrada tiene inversa si y solamentesi, su determinante es distinto decero.Máximo Valor más grande que toma o puedetomar una variable.Máximo absoluto de una función El máximoabsoluto de una función f es el valor x Mde la variable independiente que hace quef (x M ) cumpla:f (x M ) ≥ f (x)∀x ∈ D fEn palabras, si al evaluar la funcióny = f (x) en el punto x M obtenemos elmáximo valor que puede tomar la funciónen todo su dominio, entonces f tiene unmáximo absoluto en x M , y su máximo esf (x M ).www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Máximo común divisor–Media geométrica95Máximo común divisor El máximo comúndivisor de varios números es el númeroentero más grande por el cual todos losnúmeros son divisibles.El máximo común divisor de los númerosa y b se denota por: M.C.D.(a, b).Por ejemplo, el M.C.D.(4, 12, 20) es 4.Para calcular el M.C.D.(4, 12, 20) vamossimplificando sacando mitad, terceraparte, etc., hasta que no se puedansimplificar más. Multiplicamos losnúmeros entre los que se dividen losnúmeros 4, 12 y 20 simultáneamente:4 12 20 2 −→ mitad2 6 10 2 −→ mitad1 3 5 3 −→ tercera parte1 1 5 5 −→ quinta parte1 1 1 −→ terminamosEl M.C.D.(4, 12, 20) es:2 × 2 = 4Observa que no multiplicamos ni por 3ni por 5 porque no dividen a los tresnúmeros 4, 12 y 20 simultáneamente.Máximo relativo de una función El máximorelativo de una función f en el intervalo[a, b] es el valor x M de la variable independienteque hace que f (x M ) cumpla:f (x M ) ≥ f (x)∀x ∈ [a, b]En palabras, si x M está en intervalo [a, b],es decir, cumple con a ≤ x M ≤ b, yal evaluar la función f en x M obtenemosel máximo valor que la función tomeen ese intervalo, entonces f tiene unmáximo en x M y su valor es f (x M ).La siguiente gráfica muestra una funcióncon un un máximo relativo en x = q y unmínimo relativo en x = p:f (q)f (p)yapqby = f (x)Mayor que Decimos que a es mayor que b sila diferencia a − b es positiva y lo denotamospor a > b.Por ejemplo, 10 es mayor que 6, porque10 − 6 = 4, y 4 es un número positivo.Vea la definición de Desigualdad.Mecánica Rama de la física que se encarga deestudiar el movimiento de los cuerpos debidoa la acción de fuerzas sobre éstos.Media armónica La media armónica de unamuestra de n datos {x 1 , x 2 , · · · , x n } sedefine como1M h =1+ 1 + · · · + 1 x 1 x 2 x nLa media aritmética x de un conjunto devalores siempre es mayor que la mediaarmónica M h de ese mismo conjunto.Media aritmética La media, o media aritméticax de una muestra de n datos{x 1 , x 2 , · · · , x n } se define como:x = x 1 + x 2 + · · · + x nnEn otras palabras, la media aritmética deuna muestra es igual al promedio de losdatos.Media geométrica La media geométrica x g dedos números p, q (no negativos) se definecomo la raíz cuadrada de su producto:x g = √ p · qxMwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

96Media ponderada–MediatrizLa media geométrica de n datos{x 1 , x 2 , · · · , x n } se define como la enésimaraíz del producto de todos los datos:x g = n√ x 1 · x 2 · · · · · x ndonde se supone que el cálculo de la raízindicada es posible.MedianaMMMedia ponderada Dados los valoresx 1 , x 2 , · · · , x n , cada uno con pesow 1 , w 2 , · · · , w n , respectivamente, la mediaponderada se define como:x p = w 1x 1 + w 2 x 2 + · · · + w n x nw 1 + w 2 + · · · + w nPor ejemplo, considera que se compran3 kg de tomate, cada kilogramo a $12.00pesos, 7 kg de cebolla, cada kilogramoa $8.00 pesos y 5 kg de papa, cada kilogramoa $14.00 pesos. El precio promediode lo que se ha comprado se calcula con lamedia ponderada, y en este caso es iguala:(3)(12) + (7)(8) + (5)(14)x p =3 + 7 + 5= 16215 = 10.8Observa que, como estamos promediandoel precio, sumamos en eldenominador los kilogramos que compramosde cada producto.Si en el denominador ponemos la sumade los precios estaremos calculando lamedia ponderada del número de kilogramosque se compró de todos los productosadquiridos.Media proporcional La media proporcional xde los números p y q es:x = √ pqLa media proporcional coincide con lamedia geométrica de dos números.Mediana La mediana de un triángulo es larecta que pasa por el punto medio de unlado y por el vértice opuesto.Las tres medianas de un triángulo secortan en un punto que se llama baricentro.BaricentroEl baricentro es el centro de gravedad deltriángulo.Mediatriz La mediatriz de un segmento es larecta perpendicular al segmento que pasapor su punto medio.La siguiente figura muestra la mediatrizdel segmento AB:MediatrizAMEl punto M mostrado en la figura es elpunto medio del segmento AB.La mediatriz tiene la propiedad de quecualquiera de sus puntos equidista de losextremos del segmento sobre la cual se leconstruyó.Bwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Medida–Metro97En un triángulo, las tres mediatrices secortan en un punto que se llama circuncentro.Las medidas de tendencia central son lamedia (aritmética), la moda y la mediana.La medida de tendencia central másfrecuentemente utilizada es la media.Medio Cuando dividimos un entero en dospartes iguales, cada una de ellas es unmedio, o bien, una mitad del entero.Circuncentro1212Como el circuncentro equidista de lostres vértices del triángulo, es el centrode la circunferencia que pasa por los tresvértices del mismo.Medida Dimensión o capacidad de algúnobjeto.Por ejemplo, la medida de los lados delsiguiente triángulo son 4 cm, 3 cm y 5 cmrespectivamente:5 cm4 cm3 cmMedidas de dispersión Valor que indica lavariabilidad de los valores de un conjuntode datos.Las medidas de dispersión más frecuentementeutilizadas son el rango, el rangointercuartílico, la desviación media, ladesviación media absoluta, la desviaciónestándar, siendo ésta última la más usada.Medidas de tendencia central Constante llamadavalor central, alrededor de la cualse concentran los valores de un conjuntode datos observados.Mega- Prefijo que indica 10 6 . Se abrevia conla letra M. Por ejemplo, un Megalitroequivale a un millón de litros, es decir,1 ML = 10 6 L.Observa que Mega- se abrevia con M(mayúscula), mientras que mili- con m(minúscula).Menor que Decimos que a es menor que b sila diferencia a − b es negativa y lo denotamospor a < b.Por ejemplo, 6 es menor que 8, porque6 − 8 = −2, y −2 es un número negativo.Vea la definición de Desigualdad.MesUn mes es la unidad de tiempo que seutiliza para dividir el año y es aproximadamenteigual a 30 días.Diferentes meses tienen diferente duración.Para el cálculo de interés y amortizacionesse supone que el mes tiene 30 días.Método de exhaución Método utilizado parael cálculo del área de una figura, construyendopolígonos en ésta y calculando lasuma de las áreas de estos.Metro Unidad de medida de la distanciausado en el Sistema Internacional deUnidades. El símbolo utilizado para elmetro es m.Mwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

98Metro cuadrado–Mínimo absoluto de una funciónMetro cuadrado Unidad de área que consisteen un cuadrado cuyos lados miden unmetro de longitud. El símbolo para denotaral metro cuadrado es m 2 .1 m 1 m 2Milésimo (1.) Un milésimo es equivalente auna de las partes de un entero que ha sidodividido en mil partes del mismo tamaño.(2.) En un número con decimales, eldígito de los milésimos es el dígito quese encuentra en la tercera posición a laderecha del punto decimal.Por ejemplo, en el número 1.23456, eldígito 4 corresponde a los milésimos.1 mMetro cúbico Unidad de volumen queconsiste en un cubo cuyas aristas midenun metro de longitud. El símbolo paradenotar al metro cúbico es m 3 .mili- Prefijo que indica 10 −3 . Se abrevia conm.Por ejemplo, un mililitro representa 10 −3litros. Es decir, 1 mL = 10 −3 L.Observa que la abreviación debe hacersecon una m minúscula. Cuando la abreviacióncorresponde a una M (mayúscula)se trata del prefijo Mega-.M1 m1 m1 m 31 mMicro- Prefijo que indica 10 −6 . Se abrevia conla letra griega µ.Por ejemplo, un micrometro es una millonésimaparte de un metro, y se denotapor 1 µm = 10 −6 m.Miembro En una igualdad, las expresionesque se encuentran a la derecha y a laizquierda del signo de igual son losmiembros.x 2 y 2 − 2 x + 3 y}{{}miembro izquierdo= x 2 − 10 xy + 5 y 2}{{}miembro derecho(Teoría de conjuntos) Decimos que unelemento es miembro de un conjunto sipertenece al conjunto.Por ejemplo, 2 es miembro del conjunto{0, 1, 2, 3, 4}. En este sentido, la palabramiembro es sinónimo de elemento.Milla Unidad de distancia en el sistemaInglés que es equivalente a 1 609 metros(milla terrestre). Una milla también esigual a 1 760 yardas.Milla marina Unidad de distancia en elsistema Inglés que es equivalente a 1 852metros.Millón Número equivalente a 1 000 000. Esdecir, el millón se escribe con un 1seguido de 6 ceros.Mínimo Valor más pequeño que acepta opuede tomar una variable.Mínimo absoluto de una función Si elnúmero k, tiene la propiedad de quef (k) ≤ f (x) para cualquier x que estéen el dominio de f , entonces decimos quela función f tiene un mínimo absoluto enx = k, y su valor mínimo es f (k).Matemáticamente esto se escribe:Si ∃ k| f (k) ≤ f (x)∀x ∈ D fEntonces, f tiene un mínimo absoluto enx = k, y su valor es f (k).www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Mínimo común denominador–Moda99Mínimo común denominador Númeroentero que es el mínimo común múltiplode los denominadores de dos o másfracciones.Por ejemplo, considerando las fracciones2/3 y 3 /5, el mínimo común denominadores el mínimo común múltiplo de 3y 5, que son los denomimadores de lasfracciones. Es decir, el mínimo comúndenominador de las fracciones 2 /3 y 3 /5 es15.f (q)f (p)yapqby = f (x)xMínimo común múltiplo Dados variosnúmeros enteros, su mínimo comúnmúltiplo (M.C.M.) es el menor númeroentero positivo que es múltiplo de todosellos.Por ejemplo, el M.C.M. de 4, 12 y 20 es60.Para calcular el M.C.M. de estos númerosvamos simplificando sacando mitad,tercera parte, etc., hasta que no sepuedan simplificar más. Multiplicamoslos números entre los cuales dividimos yese resultado es el M.C.M.4 12 20 2 −→ mitad2 6 10 2 −→ mitad1 3 5 3 −→ tercera parte1 1 5 5 −→ quinta parte1 1 1 −→ terminamosEl M.C.M. de (4, 12, 20) es:2 × 2 × 3 × 5 = 60Minuendo En una resta, el minuendo es elnúmero del cual se está restando otracantidad.9 876− 5 3244 552minuendosustraendodiferenciaMinuto (ángulo) un 1/60 de un grado sexagesimal.Es decir, 60 minutos forman ungrado sexagesimal.(tiempo) un 1/60 de una hora. Es decir,60 minutos forman una hora.Un minuto está formado por sesentasegundos, tanto en el caso de unidad demedida de ángulos como de tiempo.Moda En una muestra, la moda es el valor queaparece con mayor frecuencia.Para el caso de datos agrupados, la modaestá representada por la marca de clase dela clase con mayor frecuencia.fMMínimo relativo de una función Dado elintervalo [a, b], si el número k, tiene lapropiedad de que f (k) ≤ f (x) paracualquier x que esté dentro del intervalo[a, b], entonces decimos que la función ftiene un mínimo relativo en x = k, y suvalor mínimo es f (k).La siguiente gráfica muestra una funcióncon un mínimo relativo en x = p y unmáximo relativo en x = q:A B C D E FEn el histograma mostrado, la marca declase de la clase C es la moda por tener lamayor frecuencia.xwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

100Modelo–Mutuamente excluyentes, eventosMModelo Representación teórica de unasituación real a través de símbolosmatemáticos que sirve para explicar y/opronósticar el comportamiento de unfenómeno.Módulo (Teoría de números) Dados losnúmeros enteros a, b, k, decimos que elnúmero a es congruente con k módulo b,y se denota por: a ≡ k mod b, si es posibleescribir:MonomioMuestraa = b m + kdonde m ∈ Z.En otras palabras, si el número a − k esdivisible por b, entonces a es congruentecon k módulo b.Por ejemplo, 14 ≡ 4 mod 5, porque:14 = 5 × 2 + 4Es decir, 14 − 4 es divisible por 5.(Geometría) El módulo de un vector esigual a su longitud. Si el vector es ⃗v =(a, b), su módulo se calcula usando lafórmula:‖⃗v‖ = √ a 2 + b 2El módulo del vector también se conocecomo su magnitud.(Variable compleja) El módulo de unnúmero complejo z = a + ib, se denotapor |z| y es igual a:|z| = √ a 2 + b 2Observa que: a 2 + b 2 = z · z.Polinomio que tiene exactamenteun término.Por ejemplo, 7 x 2 y 4 es un monomio.Cuando hablamos de polinomios,monomio es sinónimo de término.Parte de una población que se elijealeatoriamente para que la represente enun estudio estadístico.MuestreoSelección de una muestra de unapoblación para que la represente en un estudioestadístico.Multiplicación Operación binaria queconsiste en una abreviación de la sumarepetida de un mismo número variasveces.Por ejemplo, la multiplicación de 7 por 4se denota por: 7 × 4 y significa sumar elnúmero 7 cuatro veces.Cuando se trata de otros objetosmatemáticos (fracciones, convectores,etc.) la multiplicación se realiza dediferente manera.Multiplicación de fracciones Vea ladefinición Producto de fracciones.Multiplicación de números compleos Vea ladefinición Producto de números complejos.Multiplicidad Una raíz r de una ecuaciónpolinomial es de multiplicidad k si podemosfactorizar el binomio x − r, k veces enla ecuación.Por ejemplo, en la ecuación:(x − 3) 7 (x + 2) = 0la raíz x = 3 es de multiplicidad 7.Múltiplo El número entero m es múltiplodel número entero a si puede expresarsecomo: m = a · k, donde k es otro númeroentero.Por ejemplo, el número 12 es múltiplo de3, porque 12 = 3 × 4.Mutuamente excluyentes, eventos Dos eventosA y B son mutuamente excluyentes siel hecho de que ocurra uno hace imposiblela ocurrencia del otro. En otras palabras,si la ocurrencia simultánea de amboseventos es imposible, los eventos sonmutuamente excluyentes.Por ejemplo, si al observar la variablealeatoria X que consiste en el resultadode un volado (águila, sol), A correspondeal evento cayó sol y B al evento cayó águila,entonces los eventos A y B son mutuamenteexcluyentes, porque no podemostener en un solo experimento ambos resultados:o cae águila, o cae sol.Dos eventos mutuamente exluyentes nonecesariamente abarcan todo el espaciomuestral.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxNEfrain Soto ApolinarNSímbolo que representa el conjunto de losnúmeros naturales.N = {1, 2, 3, 4, · · · }Vea la definición: Número natural.Natural, logaritmo Logaritmo calculado en labase e.Vea la definición de logaritmo.Negativo En la recta numérica, al origen se leasigna el cero, a la derecha se encuentranlos números positivos y a su izquierda losnúmeros negativos.Un número es negativo cuando es menorque 0.Vea la definición de recta real.En matemáticas indicamos que una cantidades negativa anteponiendo el símbolo−.Negativo, ángulo Ángulo cuya medida se daa favor del giro de las manecillas del reloj.−αNeperiano, logaritmo Los logaritmos naturalestambién se llaman logaritmos neperianos.Vea la definición de Logaritmo natural.Newton, binomio de Producto notable quesirve para calcular cualquier potenciade un binomio de forma directa, cuyafórmula es:(x + y) n = x n + nx n−1 y + · · · + nxy n−1 + y nEl binomio de Newton también se conocecomo teorema del binomio.Los coeficientes del polinomio de elevar elbinomio a la potencia n pueden calcularseusando el triángulo de Pascal o usando lafórmula de combinaciones:(x + y) n =n∑k=0( nk)x n−k y kVea la definición de combinación.Norma Longitud de un vector. La norma deun vector también se llama magnitud delvector.Vea la definición de Magnitud.Normal Sinónimo de perpendicular.Vea la definición de Perpendicular.Normal, distribución Distribución deprobabilidad continua que presentanmuchos fenómenos donde cada datopueden interpretarse como el promediode varias mediciones.Por ejemplo, cuando medimos unadistancia, cometemos un error demedición que tiene distribución normal.La distribución del error de la mediciónes simétrica respecto del valor verdaderode la distancia. En este ejemplo, cada

102Normal, recta–Notación científicaNmedición puede considerarse como elpromedio de varias mediciones separadas.La distribuión normal se utilizafrecuentemente como una aproximacióna la distribución binomial.La distribución normal se define con lamedia poblacional µ y su varianza σ 2 .Si la media de la distribución es cero ysu varianza 1, la distribución se conocecomo distribución normal estándar.Esta distribución es muy importante enprobabilidad y estadística.La forma de la gráfica de la distribuciónnormal es la de una campana, por esofrecuentemente se le llama la campana deGaussyµLa gráfica tiene las siguientespropiedades:✓ Tiene un máximo en x = µ (media).✓ La curva es simétrica respecto de lamedia.✓ La media, la mediana y la modacoinciden en el máximo de lafunción.✓ El eje horizontal es una asíntota dela curva.✓ El área total bajo la curva es 1.Normal, recta Una recta es normal a otra rectasi son perpendiculares.En otras palabras, normal es sinónimo deperpendicular.Normalización Transformación de una variablealeatoria que presenta distribuciónnormal para que presente una distribuciónnormal estándar.Si X es una variable aleatoria que presentadistribución normal N(µ, σ 2 ), suxnormalización consiste en transformarlaen la variable Z, que se obtiene con:Z = X − µσdonde µ es la media de la población y σes la desviación estándar de la misma.La variable Z presenta una distribuciónnormal con media µ = 0 y desviaciónestándar σ = 1.Norte Uno de los cuatro puntos cardinales queindica la dirección al polo norte terrestre.Norte geográfico Dirección al Norte indicadaen un mapa geográfico que indica la direcciónal polo norte terrestre.Norte magnético Dirección Norte indicadapor una brújula. El Norte geográficono necesariamente debe coincidir conel Norte magnético. Depende del lugardel planeta desde donde se hagala medición. Generalmente existe unapequeña diferencia de manera que elnorte magnético sirve como una buenaaproximación al norte geográfico.Notación Simbología utilizada en las ciencias(no solamente en matemáticas) pararepresentar objetos abstractos de unaforma comprensible para su estudio yanálisis.Notación científica Forma de escribirnúmeros muy grandes o muy pequeños.La forma de escribir un número ennotación científica se basa en la primeracifra del número, inmediatamentedespués el punto decimal y algunas otrascifras del número complementando con elnúmero 10 elevado a una potencia igualal número de cifras que queda recorridoel punto decimal a la izquierda.Por ejemplo, el número 1 537 000, en notacióncientífica se escribe como:1 537 000 = 1.537 × 10 6Observa que el punto decimal serecorrió seis cifras a la izquierda, por esoescribimos exponente 6 al número 10.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Notación sigma–Número algebraico103Cuando el punto decimal se corre haciala derecha, el exponente debe tener signonegativo.Por ejemplo, el número 0.00035 escrito ennotación científica es:0.00035 = 3.5 × 10 −4Ahora el punto decimal se ha recorrido 4lugares a la derecha, por eso el exponentetiene signo negativo.Notación sigma Notación matemática quepermite indicar la suma de variostérminos de una sucesión.Si x 1 , x 2 , · · · , x n son los términos de unasucesión que deben sumarse, esta operaciónse puede indicar con la notaciónsigma de la siguiente manera:n∑ x i = x 1 + x 2 + · · · + x ni=1Y se lee: La suma de todos los términos x idonde el índice i va desde 1 hasta n.Por ejemplo, consideremos la sucesiónde los primeros 100 números naturales.Entonces, usando notación sigma podemosindicar la suma de estos términoscomo sigue:100∑ i = 1 + 2 + · · · + 100i=1Esta notación es muy utilizada en CálculoIntegral cuando se define la integraldefinida como una suma de Riemann.Noveno Cuando dividimos un entero ennueve partes iguales, cada una de ellas esun noveno, o bien, una novena parte delentero.191919191919191919Nulo Se dice que algo es nulo cuando valecero.Por ejemplo, un ángulo nulo mide cerogrados.Nulo, conjunto Conjunto que tiene ceroelementos. Es decir, el conjunto nulo esel conjunto vacío (∅).Numerador En una fracción, el numeradorindica cuántas partes vamos a tomar delas que fue dividido el entero.Fraccion =numeradordenominadorEn la fracción el numerador se escribearriba y el denominador abajo.Numeral Palabra o símbolo que denota unnúmero.Por ejemplo, 1, 2, 3 son numerales en nuestrosistema de numeración (arábicos).En el sistema de numeración romano seencuentran I, II, III.Número Símbolo matemático que denota unacantidad. En matemáticas los números sehan clasificado como:✓ naturales✓ enteros✓ racionales✓ irracionales✓ reales✓ complejosNúmero abundante Un número natural talque la suma de sus divisores propios esmayor a él.Por ejemplo, el número 24 es un númeroabundate, porque sus divisores propios(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12) suman 36, que es mayorque 24.A los números abundantes también se lesconoce como números excesivos.Número algebraico El número z es unnúmero algebraico si satisface unaecuación polinomial,a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + · · · + a n x n = 0con coeficientes a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , · · · , a nracionales.Nwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

104Número amigable–Número excesivoNPor ejemplo, el número√ 2 sí es unnúmero algebraico, porque satisface laecuación polinomial:−2 + x 2 = 0Observa que los coeficientes sonracionales, porque todos los números enterosson números racionales.Algunos números que no son algebraicosson e y π.Número amigable Dos números naturales sonamigables si la suma de los divisores propiosde cada uno es igual a otro.Por ejemplo, los números 220 y 284 sonamigables, porque los divisores propiosde 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55,110) suman 284, y los divisores propiosde 284 (1, 2, 4, 71, 142) suman 220.Número capicua Un número es capicua si alleerse de derecha a izquierda se obtiene elmismo número que si se lee de izquierdaa derecha.Por ejemplo, los números 111, 34543, 909son números capicua.A los números capicua también se lesconoce como palíndromos.Vea la definición de Palíndromo.Número cardinal Números que utilizamospara indicar cantidades.Los números cardinales son 1, 2, 3, etc.Vea la definición de Número ordinal.Número complejo Número que tiene unaparte real y una parte imaginaria:z = a + i bEn el número complejo z, a es la parte realy b su parte imaginaria.Por ejemplo, si z = 3 − 2 i, 3 es la partereal de z y −2 su parte imaginaria.Número compuesto Un número natural quetiene más de dos divisores.Por ejemplo, el número 9 es compuesto,porque sus divisores son: 1, 3, y 9.Número de Euler Número irracionaldenotado por la literal e que se utilizacomo la base de los logaritmos naturalesy cuyo valor es aproximadamente:e ≈ 2.718281828459Número de FermatUn número de la forma:F n = 2 2n + 1donde n es un número entero no negativo.Por ejemplo,F 4 = 2 24 + 1 = 2 16 + 1 = 65537Número deficiente Un número natural tal quela suma de sus divisores propios es menora él.Por ejemplo, el número 5 es deficiente,pues su único divisor propio es el 1.Otro número que es deficiente es el 8,pues sus divisores propios (1, 2, 4) suman7, que es menor a 8.Número e Número irracional que sirve debase para los logaritmos naturales.Su valor es aproximadamente e ≈2.718281828459.El número e también se conoce como elnúmero de Euler.Número entero El conjunto de los númerosenteros se define como los númerosnaturales, el cero, y los naturales dotadosdel signo negativo:Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }Un número entero es cualquiera de loselementos del conjunto de los númerosenteros. Todos los números naturales sontambién números enteros.Número excesivo Un número natural tal quela suma de sus divisores propios es mayora él.Por ejemplo, el número 24 es un númeroexcesivo, porque sus divisores propios (1,www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Número imaginario–Número ordinal1052, 3, 4, 6, 8, 12) suman 36, que es mayorque 24.A los números excesivos también se lesconoce como números abundantes.Número imaginario Número que es múltiplode la unidad imaginaria.Por ejemplo, el número 2 i es un númeroimaginario.La unidad imaginaria, que se denotacon la literal i, es el número que tienela propiedad de que cuando se multiplicapor sí mismo obtenemos −1 comoresultado. Es decir, i 2 = −1.Los números complejos se llamannúmeros imaginarios puros cuando suparte real es cero.Número imaginario puro Un número esimaginario puro si al elevarse al cuadradoobtenemos un número real negativo.Un número complejo está formado poruna parte real y una parte imaginaria. Laparte imaginaria siempre aparece multiplicadapor la unidad imaginaria que sedenota con la literal i:z = a + i bDel número complejo z, la parte real estárepresentada por la literal a, y la parteimaginaria por b.Número impar Número que al dividirse entredos deja resíduo 1.Por ejemplo, los números 1, 3, 5, 7, · · · sonimpares.Número imperfecto Número que no es perfecto.Es decir, un número es imperfectosi la suma de sus divisores propios esdiferente al número.Por ejemplo, 8 es un número imperfecto,porque la suma de sus divisores propios:1 + 2 + 4 = 7, no es igual a 8.Número irracional Es el conjunto de todoslos números que no se pueden expresarcomo el cociente de dos números enteros,donde el denominador es distintode cero.{Q ′ = x∣ x p }q , p, q ∈ Z; q 0Un número irracional es cualquierelemento del conjunto de los númerosracionales.Ningún número racional es irracional yningún número irracional es racional.Algunos números irracionales muy conocidosson π ≈ 3.141592654 · · · y e ≈2.7182818 · · ·Número mixto Número formado por unaparte entera y una parte fraccionaria.Por ejemplo: 1¾.Número natural El conjunto de los númerosnaturales es el conjunto de números queusamos para contar:N = {1, 2, 3, 4, 5, · · · }Observa que el cero no es un elemento deeste conjunto.Un número natural es cualquiera de loselementos del conjunto de los númerosnaturales.Número opuesto El número opuesto delnúmero a es el número −a.Geométricamente el opuesto de unnúmero está a la misma distancia delorigen, pero del lado opuesto.Al número opuesto de un númerotambién se le llama simétrico.Un número y su opuesto tienen el mismovalor absoluto.Vea la definición de Valor absoluto.Número ordinal Números que indican laposición ordenada de un conjunto de objetos.Los primeros 20 números ordinales son:✓ primero✓ segundo✓ tercero✓ cuarto✓ quinto✓ sextoNwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

106Número par–Números primos gemelosNHay un número infinito de tercias de✓ séptimo3 2 + 4 2 = 5 2 primos gemelos, así como 29 y 31.✓ octavonúmeros pitagóricos.✓ novenoNúmero primo Número natural que tiene✓ décimoexactamente dos divisores.✓ decimoprimeroPor ejemplo, el número 2 es primo, pues✓ decimosegundo✓ decimotercerosus únicos divisores son 1 y 2.El número 9 no es un número primo, puestiene 3 divisores: 1, 3, y 9.✓ decimocuartoLos primeros 20 números primos son los✓ decimoquintosiguientes:✓ decimosexto✓ decimoséptimo2 3 5 7 11✓ decimoctavo13 17 19 23 29✓ decimonoveno31 37 41 43 47✓ vigésimo53 59 61 67 71Los siguientes números ordinales se nombrananteponiendo la raíz grecolatina delas decenas del número (tri, tetra, penta,Observa que un número impar no esnecesariamente primo. Por ejemplo, el 21etc.) seguido de -gésimo y el número no es primo, pues tiene 4 divisores (1, 3,ordinal correspondiente entre primero y 7, 21).noveno.Por ejemplo, el número ordinal 35 se Número simétrico Sinónimo de númeronombra: trigésimo-quinto.opuesto.Vea la definición de Número cardinal.Vea la definición de Número opuesto.Número par Número que es divisible entreNúmero trascendental Número irracional quedos. Es decir, un número par tiene alno puede ser raíz de una ecuación polinomialcon coeficientes racionales.dos como factor al menos una vez en sudescomposición en factores primos.Por ejemplo, el número e es un númeroPor ejemplo, los números 2, 4, 6, 8, 10, · · ·trascendental.son números pares.Número perfecto Un número natural tal que Números cardinales Números que indican lala suma de sus divisores propios es iguala él.Por ejemplo, el número 6 es un númerocantidad de elementos de un conjunto.Los números 1, 2, 3, etc., son los númeroscardinales.perfecto, porque sus divisores propios (1,2, 3) suman 6.Números ordinales Números que denotanNúmeros pitagóricos Una tercia de númerosun orden. Los números ordinales sonentero a, b, c que satisfacen:primero, segundo, tercero, etc.a 2 + b 2 = c 2Números primos gemelos Se dice que dosnúmeros primos son primos gemelos si laPor ejemplo, los números 3, 4, 5 son unadiferencia entre ellos es igual a 2.tercia de números pitagóricos porque:Por ejemplo, los números 11 y 13 sonwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Números primos relativos–Números triangulares107Números primos relativos Decimos que dosnúmeros son primos relativos si el máximocomún divisor entre ambos es 1.En otras palabras, dos números sonprimos relativos, si al formar una fraccióncon ellos, ésta no se puede simplificar.Por ejemplo, 8 y 7 son primos relativos.Observa que no se requiere que los dosnúmeros considerados a, b sean primos,sino que satisfagan que M.C.D.(a, b) = 1.Números racionales Es el conjunto de todoslos números que se pueden expresarcomo el cociente de dos números enteros,donde el denominador es distintode cero.{Q = x∣ x = p }q , p, q ∈ Z; q 0Un número racional es cualquierelemento del conjunto de los númerosracionales.Todos los números enteros y todos losnúmeros naturales también son númerosracionales.Por ejemplo, los números:12 , 37 , −2 5 , −18 7son números racionales.Números reales Conjunto de números que seobtiene como la unión de los conjuntos delos números racionales y de los númerosirracionales:R = Q ∪ Q ′Números romanos Sistema de numeracióndecimal, no posicional, utilizado por losantiguos romanos. En este sistema el Irepresenta al 1, V al 5, X al 10, L al 50, Cal 100, D al 500 y M al 1 000.No tenían un símbolo para el cero.Números triangulares El conjunto de losnúmeros generados a partir de arreglostriangulares de puntos: {1, 3, 6, 10, · · · }.En la siguiente figura se muestra el quintonúmero triangular (15):Los números triangulares se obtienensumando los puntos que están contenidosen el triángulo. Es decir, podemoscalcular el enésimo número triangularutilizando la fórmula de la suma deGauss:n · (n + 1)S =2Por ejemplo, el quinto número triangular(n = 5) es: S = (5)(6)/2 = 30 /2 = 15.Nwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

108NLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxOEfrain Soto ApolinarObservación Resultado de la obtención deinformación de una variable estadísticaen un estudio científico relativo a unapoblación específica.Por ejemplo, cuando se mide la alturade los estudiantes de un grupo, cadamedición realizada es una observación.Obtuso, ángulo Ángulo que mide más que unángulo recto, pero menos que un ángulollano. En otras palabras, un ánguloobtuso mide más de 90 ◦ , pero menos que180 ◦ .En la figura el ángulo α es obtuso.Octaedro Sólido geométrico cuyas 8 caras sontriángulos equiláteros.El siguiente sólido es un octaedro:αOctágonoOctante El espacio tridimensional quedadividido en 8 partes que se tocan en elorigen de coordenadas. Cada una de esas8 partes se llama octante.zyxOctágonoPolígono de 8 lados y 8 ángulos.Un octante es cada una de las 8 divisionesque se muestran en la figura (espaciotridimiensional) anterior.

110Onceavo–Orden de las operacionesOOctavo Cuando dividimos un entero en ochopartes iguales, cada una de ellas es un octavo,o bien, una octava parte del entero.181818Onceavo Un onceavo es equivalente a unade las partes de un entero que hasido dividido en once partes del mismotamaño.1111111111111111818111181111811118111111111Frecuentemente en el lenguaje coloquialse dice (incorrectamente) onceavo refiriéndoseal número ordinal undécimo.Por ejemplo, en un maratón, quienllegó en el lugar número once, tiene elundécimo lugar, no el onceavo. Onceavoes una fracción, no un número ordinal.Onza Unidad de peso usada en el sistemaInglés, equivalente a 28.38 gramos.Operación Proceso definido por medio delcual se obtiene un valor a partir de otros.Las operaciones más frecuentementeusadas con los números son: suma, resta,multiplicación, división, potenciación yradicación.Operación algebraica En álgebra elemental,las operaciones de suma, resta, multiplicación,división, potenciación y extracciónde raíz son las operacionesalgebraicas.Optimización Un problema es de optimizacióncuando se requiere maximizar o minimizaruna cantidad.Opuesto El opuesto del número x es elnúmero −x.Por ejemplo, el opuesto del número 3 esel número −3, y el opuesto del número−10 es el número 10.Orden (Álgebra) Se dice que los númerosreales son ordenados porque satisfacen latricotomía, es decir, dados dos númerosreales a, b cualesquiera, se cumple una ysolamente una de las siguientes condiciones:✓ a > b✓ a = b✓ a < b(Teoría de conjuntos) Es igual al númerode elementos que tiene un conjunto. Esdecir, orden es un sinónimo de cardinalidad.(Cálculo) El orden de una derivada esigual al número de veces que se derivóla función.Por ejemplo, la derivada de orden dos ode segundo orden de la función y = x 2 ,es y ′′ = 2.Orden de las operaciones El orden de lasoperaciones es el conjunto de reglas queindican qué operaciones deben realizarseprimero en una expresión que incluyevarias operaciones.En resumen, el orden de las operacioneses:1. Simplificar expresiones dentro designos de agrupación (paréntesis)2. Calcular potencias y raíces3. Calcular multiplicaciones y divisiones4. Calcular sumas y restasPor ejemplo, al evaluar:3 × 5 2 + 7empezamos elevando al cuadrado 5(prioridad más alta), luego ese resultadowww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Ordenada–Ortogonal111lo multiplicamos por 3 (siguienteprioridad) y finalmente sumamos 7,obteniendo:3 × }{{}5 2 + 7 = 3}{{}× 25 + 7 = 75}{{}+ 7 = 821 ro 2 do 3 roOrdenada Dadas las coordenadas de un puntoen el plano, P(x, y), la primera coordenada(x) se llama abscisa y la segundacoordenada (y) se llama ordenada.3yEn la figura, la ordenada del punto P(3, 2)es y = 2, y su abscisa es x = 3.Ortocentro Es el punto donde se intersectanlas tres alturas de un triángulo.Ortocentro2P(3, 2)11 2 3 4xOrtogonal Sinónimo de perpendicular. Porejemplo, dos vectores son ortogonales sison perpendiculares.Vea la definición de Perpendicular.Owww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

112OLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxPEfrain Soto ApolinarPalíndromo Un número o una frase es unpalíndromo si al leerse de derecha aizquierda se obtiene lo mismo que si selee de izquierda a derecha.Por ejemplo, los números 111, 34543, 909son palíndromos.Una frase palíndromo es: La ruta nosaportó otro paso natural.y87654y = x 2ParDecimos que un número es par si es divisibleentre dos. Es decir, un número partiene al dos como factor al menos una vezen su descomposición en factores primos.Por ejemplo, los números 2, 4, 6, 8, 10, · · ·son números pares.321−3 −2 −1 0 1 2 3xPar ordenado Un par ordenado se refiere aun par de valores (x, y) que determinanun objeto matemático que, en general,satisfacen: (a, b) (b, a), es decir, los mismosvalores en distinto orden correspondena dos objetos diferentes.Por ejemplo, las coordenadas de un puntoson un par ordenado, porque en el planocartesiano, (2, 3) (3, 2).Par, función Función que tiene la propiedad:f (−x) = f (x).Por ejemplo, la función: y = x 2 es par.Parábola Curva plana generada por un puntoque se mueve de manera que se mantienea la misma distancia de un punto fijollamado foco y de una recta fija llamadadirectriz.FEjeDirectrízLa parábola es una de las cónicas.Vea la definición de Cónica.

114Parábola de Fermat–ParámetroPParábola de Fermat La gráfica de una funcióndel tipo y = x n , donde n es un númeronatural, se llama parábola de Fermat.La siguiente gráfica es una parábola deFermat cúbica:−3 −2 −1 0 1 21−1−2−3−4−5−6−7−8yy = x 3Parábola cúbica Curva que resultade graficar una función cúbica:y = ax 3 + bx 2 + cx + d.Paradoja Una proposición que puede probarsecierta y falsa sin error lógicoaparente.Paralelo Dos rectas que se encuentran en unmismo plano son paralelas si no se cortanpor más que se prolonguen. En otraspalabras, dos rectas son paralelas cuandola distancia entre ellas no cambia conformese extienden (en el plano).En la siguiente figura, las rectas l 1 yl 2 son paralelas. Esto se denota como:l 1 ‖ l 2 .xl 1 ‖ l 2l 1l 2En geometría analítica, sabemos que dosrectas son paralelas si tienen la mismapendiente.Paralelogramo Cuadrilátero que tiene dospares de lados opuestos paralelos.hbParalelogramoEl área del paralelogramo es igual alproducto de su base por su altura.A = b × hParalelepípedo Poliedro de cuyas 6 carasson paralelogramos que son paralelas enpares.Por ejemplo, el cubo es un paralelepípedo.ParalelepípedoParámetro (1.) Variable que sirve para caracterizarla evolución de un sistema.(2.) Valor constante que sirve para caracterizara una población.Por ejemplo, la media es un parámetro deuna población.(3.) Conjunto de valores que determinande manera única una figura geométrica.Por ejemplo, los parámetros a y c determinande manera única a una elipsehorizontal.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Pascal, Blaise–Pendiente115Pascal, Blaise (1 623 – 1 662) Matemático,filósofo y teólogo francés. Enmatemáticas hizo aportaciones importantesen geometría analítica y enprobabilidad. También trabajó en física,específicamente en hidrostática. Sus principalesobras fueron: Ensayo en seccionescónicas (1 640), Nuevos experimentos relacionadoscon el vacío (1 647), Tratado sobreel equilibrio de los líquidos (1 654), La generaciónde secciones cónicas (1 654), Tratadoen el triángulo aritmético (1 654).Patrón Decimos que una sucesión, una figurao un objeto matemático presenta unpatrón cuando es posible encontrar ciertaregularidad en el objeto.Por ejemplo, para la construcción dealgunos fractales se sigue un patrón deconstrucción. En la siguiente figura semuestra una iteración de la construccióndel fractal de Koch, junto con el patrónque se encuentra regularmente en él:Pascal, triángulo de Triángulo que sirve paracalcular los coeficientes de la enésimapotencia de un binomio.El siguiente diagrama indica cómo calcularlo:11 +11 + 2 +1 3 31 4 6 41 5 10 10 5Suma los dos números que están indicadospara obtener el que está en medio deellos en el siguiente renglón.Para calcular: (x + y) 5 calculamos losprimeros 6 renglones del triángulo dePascal y escribimos los coeficientes, ydespués las literales con los exponentesque le corresponden:(x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3+5xy 4 + y 5Observa que los exponentes de x vandecreciendo, empezando desde 5 yterminando en 0, los de y van creciendo,empezando desde 0 y terminando en 5.Observa también que la suma de losexponentes de las literales de cadatérmino es 5.1111PatrónPodemos decir que para la construcciónde una sucesión también existe unpatrón, que consiste en la regla que nosayuda a generar los números que formanla sucesión, uno tras otro.Por ejemplo, en a sucesión, 3, 10, 24, 52,etc., el patrón o la regla para ir generandolos términos de la sucesión es: suma dosal último término y multiplica por dos alresultado.Pendiente La pendiente m de una recta quepasa por los puntos P(x p , y p ) y Q(x q , y q ),se define como el cociente:m = y p − y q= ∆yx p − x q ∆xGeométricamente, la pendiente indicacuántas unidades avanza verticalmente lagráfica por cada unidad avanzada en elsentido del eje x.La pendiente de una recta es igual a latangente del ángulo que ésta forma con eleje horizontal:Pwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

116Pentacontágono–Perímetroyαlm = tan αLa literal m para la pendiente viene delLatín mutatis que significa cambio.PentacontágonoPentacontaedroPentadecágonoxPolígono de 50 lados.Poliedro de 50 caras.Polígono de 15 lados.Percentil Valores que dividen a las medicionesrealizadas en cien partes iguales.Para hacer el cálculo de los percentiles serequiere que los datos estén ordenados demanera creciente.El p percentil es el valor que tiene p%de todos los valores por debajo de él yel (100 − p)% por encima.Por ejemplo, el 35 percentil es mayor al35% de todos los valores y es menor al65% de todos los valores.Perfecto, cuadrado Un número es cuadradoperfecto si su raíz cuadrada es un númeroentero.Por ejemplo, 25 es un cuadrado perfecto,porque su raíz cuadrada es 5.5 no es un cuadrado perfecto, porque suraíz cuadrada no es un entero.PentágonoPentadecágonoPolígono de cinco lados.Perfecto, número Un número natural tal quela suma de sus divisores propios es iguala él.Por ejemplo, el número 6 es un númeroperfecto, porque sus divisores propios (1,2, 3) suman 6.Perigonal, ánguloigual a 360 ◦ .Ángulo cuya medida esPPentágonoEn la figura anterior se muestra unpentágono no regular.Pentaedro Poliedro de 5 caras.Una pirámide con base cuadrada es unejemplo de pentaedro.αEn la figura anterior, el ángulo α esperigonal.Perímetro El perímetro de un polígono esigual a la suma de las longitudes de suslados.El perímetro de una figura geométricacerrada (como la circunferencia) es iguala la longitud de la línea que la delimita.El perímetro es la longitud del contornode una figura plana.Vea la definición de Contorno.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Periodo–Pictograma117Periodo Si existe un valor k tal que para todox, f (x) = f (x + k), entonces decimos quela función es periódica. El periodo de unafunción periódica f es el mínimo valor kque cumple: f (x) = f (x + k).Por ejemplo, la función seno es periódica:yky = sin xEl periodo de la función seno es 2π.Permutación Una permutación P(n, r) es unasecuencia ordenada de r objetos de unconjunto de cardinalidad n.P(n, r) se lee: el número de permutaciones den objetos tomando r a la vez, y se calcula conla fórmula:P(n, r) =n!(n − r)!donde n! es el factorial del número n.Perpendicular Dos rectas son perpendicularessi al cortarse forman cuatro ángulosiguales. Es decir, si dos rectas formancuatro ángulos rectos cuando se intersectan,entonces son perpendiculares.En la siguiente figura las rectas l 1 y l 2son perpendiculares. Esto se denota comol 1 ⊥ l 2 .l 2l 1 ⊥ l 2l 1xPesoy se denota como: x ∈ A.Si x no es un elemento del conjunto A,entonces decimos que x no pertenece alconjunto y lo denotamos como: x A.Por ejemplo, 3 ∈ N, pero π Z. Observaque el concepto de pertenencia se aplica alos elementos del conjunto, no a sus subconjuntos.En ese caso usamos el conceptode inclusión de conjuntos. (Vea ladefinición de Subconjunto)El peso de un cuerpo es igual a la fuerzacon que la tierra lo atrae.En matemáticas frecuentemente se utilizala palabra peso para referirse a la masadel mismo. Cuando decimos que lasunidades de peso son los gramos (gr) ylos kilogramos (kg), nos referimos a lamasa, no al peso. En matemáticas esteuso de la palabra peso se ha extendido,sin embargo, no coincide con la definiciónde peso dada en física.π (Pi) El número π se define como elresultado de dividir la longitud de unacircunferencia entre su diámetro.Este número es irracional, y es aproximadamenteigual a:π ≈ 3.141592653589793Generalmente utilizamos la aproximación:π ≈ 3.1416 para realizar cálculoscon él.Pictograma Diagrama que representa datosestadísticos y que es útil para la comparaciónde conjuntos de datos.200250300175PPertenencia Decimos que x pertenece alconjunto A si x es uno de sus elementos,La altura de cada una de las columnases proporcional a la cantidad quewww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

118Pie–PlanoPierepresenta. La figura utilizada paraformar la columna debe indicar al objetoa la cual se refiere.Unidad de distancia usada en el sistemaInglés, equivalente a 12 pulgadas. Un piéequivale a 30.48 centímetros, o bien 0.3048metros.Pie cuadrado Unidad de área utilizada enel sistema Inglés, equivalente a 0.093metros cuadrados, o bien, a 144 pulgadascuadradas.Pie cúbico Unidad de volumen utlizada enel sistema Inglés, equivalente a 0.02832metros cúbicos.en otros pensadores posteriores, comoEuclides de Alejandría.Pitágoras, teorema de En todo triángulorectángulo que se encuentra en un plano,la suma de los cuadrados de las longitudesde los catetos es igual al cuadradode la longitud de la hipotenusa.Algebraicamente, si a y b son las longitudesde los catetos del triángulorectángulo y c es la longitud de suhipotenusa, entonces se cumple:c 2 = a 2 + b 2Pirámide Sólido geométrico con un polígonocomo base y triángulos isósceles con unvértice común como las demás caras delsólido.cabPPirámide triangularPitágoras (569 AC – 475 AC) Matemáticode la antigua Grecia. Alumno de Talesde Mileto, de quién aprendió geometría.Fundó una escuela en Samos, a la quellamó Semicírculo, donde se enseñabaética, filosofía y matemáticas.Implementó el uso de fórmulas yteoremas basado en las relacionesmatemáticas. En su enseñanza diómucha importancia a los números. Se leatribuyen varios descubrimientos, principalmenteen geometría, como el hechode que la suma de los tres ángulos internosde un triángulo que se encuentraen el plano suman 180 ◦ , y el teorema dePitágoras.Su escuela creció de manera que influyóPlana, geometría Geometría que estudia objetosen el plano: puntos, rectas, triángulos,cuadriláteros, etc.Plano Superficie tal que al considerar unarecta que pase por cualesquiera dospuntos sobre la superficie, todos lospuntos de la recta se encuentra en lamisma superficie.La siguiente figura es de un plano en tresdimensiones:En matemáticas se denota con la letra π aun plano.πwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Plano cartesiano–Poliedro119Plano cartesiano Plano que utiliza un sistemade coordenadas cartesianas (rectangulares)para determinar las coordenadas delos puntos.Al plano cartesiano también se le llamaplano coordenado.rP(r, θ)Plano complejo Plano que asigna el ejehorizontal a los números reales y eleje vertical a los números imaginariosde manera que podamos representargráficamente los números complejos.IθLas coordenadas polares de unpunto P(r, θ) pueden transformarse encoordenadas rectangulares P(x, y), através de las siguientes fórmulas:x = r · cos θy = r · sin θz = 3 + 2 iEl plano complejo también se conocecomo el plano de Gauss.Platónico, sólido Cada uno de los cincosólidos regulares: tetraedro, cubo, octaedro,dodecaedro e icosaedro.Población En estadística, la población serefiere al universo de donde se elige unamuestra para su estudio.Los parámetros de la población son loscalculados a partir de datos coleccionadossobre todos los elementos de la población.Los parámetros muestrales son los que secalculan a partir de los observados en lamuestra.RPolar, forma La forma polar del númerocomplejo z = a + ib, es:z = r (cos θ + i sin θ)( ) bdonde θ = arctan .aPoliedro Sólido geométrico formado por carasplanas.Si todas sus caras son el mismo polígonoregular se llaman poliedros regulares.Los poliedros regulares son: tetraedro,cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.TetraedroDodecaedroOctaedroIcosaedroPPolar, coordenada Las coordenadas polaresdel punto P del plano se definen a partirde la distancia al origen y el ángulo queforma la recta que pasa por el origen y elpunto P con el eje horizontal:Cubowww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

120Polígono–Polígono regularPolígono Figura plana cerrada delimitada porsegmentos de recta que no se cortan entreellos, salvo en sus extremos.Cada uno de los segmentos de recta esun lado del polígono y el punto dondese intersectan dos lados consecutivos delpolígono se llama vértice.La siguiente figura muestra un polígono:Polígono de frecuencias Gráfica de una distribuciónde frecuencias que se elaborauniendo los puntos medios de la base superiorde cada rectángulo en un histograma.La siguiente figura muestra un polígonode frecuencias:Vértice3fLado21Polígono circunscrito Se dice que unpolígono es circunscrito cuando todossus lados son tangentes a una mismacircunferencia.0A B C D EClasesPolígono regular Cuando un polígono tienetodos sus lados y todos sus ángulosiguales se llama polígono regular. Esdecir, un polígono es regular si esequilátero y equiángulo a la vez.PHexágono circunscritoPolígono inscrito Se dice que un polígono esinscrito cuando todos sus lados son cuerdasde una misma circunferencia.iα nLos elementos de los polígonos regularesson:✓ Ángulo centralα n = 360◦n✓ Suma de ángulos internosHexágono inscritoS int = 180 ◦ (n − 2)www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Polinomio–Potencia121Polinomio✓ Ángulo internoi = 180◦ (n − 2)n✓ Número de diagonalesD =n (n − 3)2✓ Suma de ángulos externos:S ext = 360 ◦Expresión algebraica de la forma:a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x ndonde n es un número entero, que seconoce como el grado del polinomio. Loscoeficientes a 0 , a 1 , a 2 , · · · , a n , son númerosreales y a n 0.El nombre particular que recibe cadapolinomio depende del número detérminos que lo formen.Términos Nombre Ejemplo1 Monomio 3 x 22 Binomio 2 + x 33 Trinomio 1 + 2 x + 3 x 2Frecuentemente se les llama simplementepolinomio cuando tienen más de trestérminos.Porcentaje Fracción de una cantidad que setoma por cada cien contenida en ella yque se denota con el símbolo %.Es decir, un porcentaje es una proporciónque compara un número con el cien.Por ejemplo, el 10% de 500 es 50, porquede cada cien de los 500 tomamos 10, comohay 5 grupos de cien, obtenemos 5 × 10 =50.El cálculo del p porcentaje de la cantidadM se realiza fácilmente usando:R = p · M100Por ejemplo, el 5% de 250 es:R = 5 × 250100= 12.5Positivo Un número o expresión algebraica espositivo(a) si su valor es mayor a cero.Para indicar que una cantidad es positivase le antepone el signo +. Cuandono aparece símbolo alguno, se entiendeque el signo positivo está considerado demanera implícita.Postulado Proposición que se acepta comoverdadera, por no existir algún principiodel que se pueda deducir.Postulado no es sinónimo de axioma. Elaxioma es evidente; el postulado no lo es.Postulados de Euclides Lista de cinco postuladosque utilizó Euclides al estudiar lageometría Plana en su obra titulada LosElementos.1 Por cualesquiera dos puntos delplano pasa una recta exactamente.2 Una línea recta puede extenderse enambos sentidos infinitamente.3 Dado un radio y un punto, siemprees posible dibujar un círculo concentro en el punto dado y con elradio dado.4 Todos los ángulos rectos son iguales.5 Dada una recta y un punto fuera deella, hay exactamente una línea rectaparalela a la recta dada.Vea la definición Euclides.Potencia Es el resultado de multiplicar unnúmero (la base) por sí mismo variasveces.ExponenteBase 2 5 = 32 Potencia2 5 = 2}{{}× 2 × 2 × 2 × 2 = 325 factoresPwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

122Precisión–Prioridad de las operacionesPPrecisión (Computación) Número de cifrassignificativas que presenta una cantidad.Por ejemplo, el valor de π con una precisiónde 4 cifras es: 3.1416.Premisa En lógica, las proposiciones a partirde las cuales se obtiene una conclusión,se llaman premisas.Vea la definición Conclusión.Primero1.Número ordinal que corresponde alPrimo, factor Un número primo p es factor deotro n si éste último es divisible entre elnúmero primo p.Por ejemplo 3 es factor primo de 21,porque 21 puede dividirse exactamenteentre 3 y porque 3 es un número primo.Primo, número Número natural que tieneexactamente dos divisores.Por ejemplo, el número 2 es primo, puessus únicos divisores son 1 y 2.El número 9 no es un número primo, puestiene 3 divisores: 1, 3, y 9.Los primeros 20 números primos son lossiguientes:2 3 5 7 1113 17 19 23 2931 37 41 43 4753 59 61 67 71Observa que un número impar no esnecesariamente primo. Por ejemplo, el 21no es primo, pues tiene 4 divisores (1, 3,7, 21).Primos gemelos Dos números primos p, q sonprimos gemelos si la diferencia entre elloses 2.Por ejemplo, los números 29 y 31 sonprimos gemelos, pues la diferencia 31 −29 = 2.Primos relativos Dos números naturales sonprimos relativos si el máximo comúndivisor entre ellos es el número uno.Por ejemplo, 7 y 9 son primos relativos.Observa que no se requiere que losnúmeros sean primos para que seanprimos relativos.Primos triates Tres números primos p, q, r sontriates si la diferencia entre dos consecutivoses 2.La única terna de primos triates es: 3, 5, 7.Observa que 7 − 5 = 2, y también secumple: 5 − 3 = 2.Principio Una verdad que ha sido demostrada.Sinónimo de ley.Principio de inducción Asociamos un enteron a una proposición P(n). Si se cumplela proposición para n = 1, es decir, P(1)se satisface, y también se satisface P(2); alsuponer que se satisface P(k), si se puedemostrar que P(k + 1), entonces, P(n) sesatisface para todos los números naturalesn ∈ N.Principio del buen ordenamiento El principiodel buen ordenamiento dice queun subconjunto (de cardinalidad finita)de un conjunto ordenado contiene unelemento que es el menor de todos.Por ejemplo, el conjunto {0, 2, 4, 6, 8} tieneun elemento que es el menor de todos,(0).Prioridad de las operaciones La prioridad delas operaciones es el conjunto de reglasque indican qué operaciones debenrealizarse primero en una expresión queincluye varias operaciones.En resumen, la prioridad de las operacioneses:1. Simplificar expresiones dentro designos de agrupación (paréntesis)2. Calcular potencias y raíces3. Calcular multiplicaciones y divisiones4. Calcular sumas y restasPor ejemplo, al evaluar: 3 × 5 2 + 7,empezamos elevando al cuadrado 5www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Prisma–Producto de números complejos123(prioridad más alta), luego ese resultadolo multiplicamos por 3 (siguienteprioridad) y finalmente sumamos 7,obteniendo:3 × }{{}5 2 + 7 = 3}{{}× 25 + 7 = 75}{{}+ 7 = 821 ro 2 do 3 roPrisma Poliedro con dos caras poligonalesidénticas y paralelas, y las demás carassiendo paralelogramos.Prisma pentagonalPrisma recto Prisma con bases perpendicularesa sus caras laterales.Por ejemplo, el prisma pentagonalmostrado en la definición de Prisma, es unprisma recto.Probabilidad En matemáticas, la probabilidades una forma de medir la posibilidad deque un evento ocurra.El valor de la probabilidad P(A) de unevento A satisface: 0 ≤ P(A) ≤ 1.Cuando un evento A tiene n diferentesposibles resultados, todos igualmenteprobables, la probabilidad de que ocurrauno de esos eventos P(A) es:P(A) = 1 nY más generalmente, cuando hay kcasos favorables de obtener un resultadoparticular de un experimento de entre ncasos posibles, la probabilidad del eventoes:P(A) =casos favorablescasos posibles= k nSi a un evento se asigna la probabilidadde cero (0), entonces ese evento esprácticamente imposible de que ocurra.Si a un evento se asigna la probabilidadde uno (1), entonces ese evento ocurre concerteza.Probabilidad empírica Probabilidad de unevento calculada a partir de la repeticióndel evento un gran número de veces.Problema Una proposición o pregunta querequiere de un procedimiento o métodopara encontrar su solución.En matemáticas no todos los problemastienen por solución un número o unaexpresión algebraica. Algunas veces lasolución del problema consiste en decirque ese problema no tiene solución.Por ejemplo, la solución de encontrar elnúmero x que cumpla: x + 2 = x, es: Talnúmero x no existe.Producto Es el resultado de la multiplicaciónde dos números o expresiones algebraicas.Producto cartesiano El producto cartesiano delos conjuntos A y B denotado por A ×B es el conjunto formado por todos lospares ordenados (a, b) donde a ∈ A yb ∈ B.Por ejemplo, sean A = {0, 1, 2} y B ={4, 5, 6}. Entonces,A × B = {(0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4),(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}Producto de fracciones El producto de lasfracciones a/b y c/b está definido por:( a) ( c)= a · cb d b · dProducto de números complejos El productode los números complejos z 1 = a 1 + i b 1 yz 2 = a 2 + i b 2 , está definido por:z 1 · z 2 = (a 1 · a 2 − b 1 · b 2 ) + i (a 1 · b 2 + a 2 · b 1 )Pwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

124Productos notables–Propia, fracciónPProductos notables Los productos notablesreciben su nombre debido a que aparecenfrecuentemente en álgebra; se han establecidosus reglas para no tener que calcularloscada vez que se requiera conocersu resultado.Algunos productos notables de frecuenteuso son:(a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3(a + b)(a − b) = a 2 − b 2(x + a)(x + b) = x 2 + (a + b) x + abPrograma Listado de instrucciones que permitela solución de un problema a travésde la computadora. Generalmente losprogramas se escriben en algún lenguajede programación para que la computadorapueda entender las instrucciones.Programación lineal Estudio de las técnicaspara la optimización de sistemas deecuaciones lineales bajo un conjuntode condiciones sobre las variables delproblema.La optimización permite la planeación deldesarrollo de actividades de manera quelos recursos se aprovechen de la mejormanera posible.Progresión aritmética Lista de números quetienen la propiedad que cualesquierados consecutivos tienen una diferenciaconstante.El primer término de la lista se denota pora 1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el n−ésimo término a nde la progresión usando la fórmula:a n = a 1 + d (n − 1)Y la suma de los primeros n términos S ncon:S n = n (a 1 + a n )2A la progresión aritmética también se leconoce como sucesión aritmética.Por ejemplo, si definimos a 1 = 5 y d = 3,los términos de la sucesión aritmética son:a 1 = 5, a 2 = 8, a 3 = 11, a 4 = 14, etc.Progresión geométrica Lista de números quetienen la propiedad que cualesquiera dosconsecutivos tienen una razón constante.Es decir, si dividimos a i+1 ÷ a i = r paracualesquiera dos términos consecutivosde la progresión.El primer término de la lista se denota pora 1 y la razón constante por r.Podemos calcular el n−ésimo término a nde la progresión usando la fórmula:a n = a 1 · r n−1Y la suma de los primeros n términos S ncon:S n = a 1(1 − r n+1 )1 − rA la progresión geométrica también se leconoce como sucesión geométrica.Por ejemplo, si definimos a 1 = 2 y r = 3,los términos de la sucesión geométricason: a 1 = 2, a 2 = 6, a 3 = 18, a 4 = 54,etc.Promedio El promedio de n datos{x 1 , x 2 , x 3 , · · · , x n }, es igual a la suma detodos ellos entre n:x = x 1 + x 2 + x 3 + · · · + x nn= ∑ x inNota: el símbolo ∑ indica la suma de losvalores x i .Vea la definición Sigma, notación.Pronóstico Un pronóstico es una estimacióndel comportamiento de una variable estadísticaen eventos futuros.Para elaborar un pronóstico se utilizandatos estadísticos, teoría económica ycondiciones del problema.Existen muchos métodos para hacerpronósticos.Propia, fracción Fracción en la que el numeradores menor que el denominador.Por ejemplo, la fracción 3 /7 es propia,porque 3 < 7.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Propiedad–Proporción inversa125Propiedad Decimos que un objeto(matemático) tiene una propiedad si presentauna característica específica.Propiedades de los números Los númerosreales presentan las siguientespropiedades:Para la suma:✓ Cerradura: a + b ∈ R✓ Conmutativa: a + b = b + a✓ Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)✓ Neutro: a + 0 = a✓ Inverso: a + (−a) = 0Para la Multiplicación:✓ Cerradura: a · b ∈ R✓ Conmutativa: a · b = b · a✓ Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)✓ Neutro: a · 1 = a✓ Inverso: a · (1/a) = 1, a 0.Este número aparece en la naturalezafrecuentemente.Los griegos lo utilizaron para que susobras tuvieran un mejor aspecto estético.Se dice que un rectángulo está en proporciónaurea cuando al multiplicar lalongitud de un lado por φ obtenemoscomo resultado la longitud del otro lado.DASi dividimos: ∣ ∣AB ∣ entre ∣ ∣BC ∣ obtenemosel mismo resultado que dividir ∣ ∣BC ∣ ∣entre∣BM ∣ ∣:φ =NMCB∣ ∣ ∣∣ AB ∣BC ∣∣BC ∣ = ∣ = 1 + √ 5∣ BM 2Y la propiedad distributiva, que es laúnica que involucra a las dos operacionesde suma y multiplicación:a (b + c) = a b + a cAl conjunto de números que satisfacetodas estas propiedades se le llama campo.Los números racionales también formanun campo, es decir, ellos también tienenlas mismas propiedades.El conjunto de los números complejostambién forman un campo.Proporción Igualdad entre dos razones.Por ejemplo,x7 = 7 2es una proporción.Proporción áurea Número irracionaldenotado por la letra griega φ, e iguala:φ = 1 + √ 52Los rectángulos ABCD y MBCN están enproporción áurea.Proporción directa Cuando dos cantidadesestán en proporción de manera que alcrecer una de las cantidades, la otra crecela misma cantidad de veces, entonces lascantidades están en proporción directa.Por ejemplo, cuando aumenta el númerode horas trabajadas, aumenta el númerode minutos trabajados.Proporción inversa Cuando dos cantidadesestán en proporción de manera que alcrecer una de las cantidades, la otradecrece la misma cantidad de veces,entonces las cantidades están en proporcióninversa.Por ejemplo, cuando varias personas vana pintar una pared, si las personas trabajanal mismo ritmo y no se estorban,al aumentar el número de personas, eltiempo que requieren para pintar la pareddisminuye.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este materialP

126Proporción por alteración–Punto de tangenciaProporción por alteración Dada la proporcióna/b = c/d, se cumple:ac = b dPulgada Unidad de distancia usada en elsistema Inglés, equivalente a 2.54 cm, obien a un doceavo de un pié. Es decir, 12pulgadas equivalen a 1 pié.PProporción por inversión Dada la proporcióna/b = c/d, se cumple:ba = d cProporción por resta Dada la proporcióna/b = c/d, se cumple:a − bb= c − ddProporción por suma Dada la proporcióna/b = c/d, se cumple:a + bb= c + ddProporción por suma y resta Dada la proporcióna/b = c/d, se cumple:a + ba − b = c + dc − dProposición Enunciado de una ley o un principio.También puede ser una cuestiónque se requiere resolver o demostrar.En matemáticas las proposiciones másusadas son: el axioma, el postulado, elteorema, el corolario y el problema.Prueba Sinónimo de demostración.Vea la definición de Demostración.Pseudoprimo Un número entero n es pseudoprimosi n es divisor de 2 n − 2.Por ejemplo, el número 5 es pseudoprimo,porque es divisor de 30, y30 = 2 5 − 2.Punto Objeto geométrico que carece de longitud,ancho y fondo y se utiliza paraindicar una ubicación en el espacio.En otras palabras, el punto tiene una longitud,un área y un volumen de cerounidades en cada uno.Euclides definió el punto como: aquelloque no tiene partes.El punto se considera el objetogeométrico más fundamental.Punto de inflexión En la gráfica de una curva,el punto de inflexión corresponde alpunto donde la concavidad de la gráficacambia.El punto de inflexión se puede calcularcon la segunda derivada de la función,porque precisamente donde la segundaderivada se hace cero la gráfica de lafunción cambia de concavidad.En la gráfica de la función seno, lospuntos de inflexión se encuentran sobre eleje x, esto es, cuando sin x = 0, la gráficacambia de concavidad.1-1yy = sin xPunto de tangencia Punto en el cual una rectatoca tangentemente a una curva.En la siguiente figura se muestra unacircunferencia y una recta tangente. Elpunto de tangencia es P:xwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Punto decimal–Puntos notables127BCPunto decimal Signo matemático que sirvepara separar la parte entera de un númerode su parte decimal.Por ejemplo, en el número: 3.1416, laparte entera es: 3, y la parte decimal es:0.1416.En algunos países se acostumbra escribiruna coma decimal en lugar del punto.Punto crítico En una curva, el punto críticoes el punto donde una recta tangente ala curva es horizontal.En la siguiente figura, el punto P indicadoes un punto crítico de la función y = f (x)1-1yPy = f (x)Punto medio El punto medio del segmentoAB es el punto M del segmento que estáa la misma distancia de sus extremos.En otras palabras, el punto medio de unsegmento es el punto que lo divide en dossegmentos de la misma longitud.En la figura se muestra un segmento ABy su punto medio M:PxAPuntos homólogos En un par de figurassimétricas respecto de un eje, se llamanpuntos homólogos a cada par de puntoscorrespondientes entre las dos figuras.Por ejemplo, en la siguiente figurase muestran los triángulos △ABC y△A ′ B ′ C ′ABCMC ′B ′A ′Los pares de puntos A y A ′ , B y B ′ , C yC ′ son puntos homólogos.Observa que los puntos homólogos seencuentran a la misma distancia de larecta (eje) de simetría.Puntos notables En un triángulo que se encuentraen un plano, los puntos notablesson los siguientes:✓ Baricentro: es el punto donde seintersectan sus tres medianas.✓ Circuncentro: es el punto donde seintersectan sus tres mediatrices.✓ Incentro: es el punto donde se intersectansus tres bisectrices.✓ Ortocentro: es el punto donde seintersectan sus tres alturas.Pwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

128QLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxREfrain Soto ApolinarRSímbolo que representa el conjunto de losnúmeros reales.Racionalización Proceso que consiste enconvertir una fracción con un denominadorirracional a una fracción equivalentecon denominador racional.Por ejemplo,1√2= 1 √2·√2√2=√2Racionalizar Desarrollar una razionalización.Vea la definición de Racionalización.Radián Unidad de medida de ángulo que esigual al ángulo subtendido por un arcode longitud igual al radio.En la siguiente figura se muestra elángulo α que mide un radián:2El índice n nos dice del orden de la raíz(cuadrada, cúbica, cuarta, etc.)Por ejemplo, para indicar raíz quintausamos el índice 5:5√32 = 2Radicando El número o la expresión quesirven de argumento a un radical.Por ejemplo, en la expresión3√ x + 5, elradicando es x + 5.Radio Distancia del centro de una circunferenciaa cualquiera de sus puntos.rrCrαrUn radián se denota por 1 rad.π rad = 180 ◦ .Radical Símbolo que se utiliza en matemáticaspara indicar la raíz: n √ .Radio de un polígono regular Segmento queva del centro del polígono a cualquiera delos vértices del polígono.

130Radio focal–RamaradioRaíz cuadrada La raíz cuadrada del número xes el número r que tiene la propiedad queal multiplicarse por sí mismo da x.En otras palabras, la raíz cuadrada de xes el número r que cumple: r 2 = x.Por ejemplo, la raíz cuadrada de 100 es10, porque:RRadio focal Segmento dirigido que tiene supunto inicial en el foco de una cónica ysu punto final en algún punto cualquierade la misma.RaízyRadio focalP(x, y)xF ′ O FNúmero que multiplicado un número deveces indicado, resulta igual a otro valordado.Por ejemplo, la raíz cúbica (el índice es 3)de 27 es 3, porque 3 3 = 27.La raíz quinta de 32 es 2, porque 2 5 = 32.La raíz cuadrada√se denota con el signode radical: k, y las raíces de mayorn√orden con un índice: k indica la raízenésima.Raíz cúbica La raíz cúbica del número x es elnúmero r que tiene la propiedad que almultiplicarse por sí mismo tres veces dax.En otras palabras, la raíz cuadrada de xes el número r que cumple: r 3 = x.Por ejemplo, la raíz cuadrada de 1000 es10, porque:10 3 = 10 · 10 · 10 = 1000La raíz cúbica de los números enteros nosiempre es un número entero.10 2 = 10 · 10 = 100La raíz cuadrada de un número negativono es un número real.Raíz de una ecuación La raíz de una ecuaciónes el valor de su variable que hace que(la ecuación) se reduzca a una igualdadválida.Por ejemplo, las raíces de la ecuación:x 2 − 1 = 0, son x = 1 y x = −1, puescuando sustituimos cualquiera de estosvalores en la ecuación, obtenemos cero.Geométricamente la raíz de una ecuaciónrepresenta el punto en que la gráfica dela ecuación corta al eje de las abscisas (ejex).La siguiente figura muestra dos raíces dela ecuación: sin x = 01−1yy = sin x1 2 3 4RaícesRama Una gráfica tiene ramas cuando es discontinua.A cada una de las partes de lagráfica se le llama rama de la gráfica.En la siguiente figura se muestran las dosramas de una hipérbola.xwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Rango–Razón de división131RamaizquierdayRamaderechaRayo Una parte de una recta que tiene unpunto inicial y no tiene punto final.La siguiente figura muestra el rayo −→ AB:−→ ABxBARango (Análisis) Al contradominio de unafunción también se le conoce como elrango de la función.(Estadística) El rango de un conjunto dedatos se define como la diferencia entre elmayor y el menor de todos los datos. Enotras palabras, el rango de un conjunto dedatos es el intervalo más pequeño que loscontiene a todos.El rango es una medida de dispersiónde los datos, pues indica qué tan distantesestán los datos más alejados de lamuestra.Rango intercuartílico Medida de dispersióndefinida por la diferencia entre los percentiles75 y 25 de una distribución.Vea la definición de percentil.Rapidez (1.) Número que indica en cuántocambia de la posición de un objeto porcada unidad de tiempo.La rapidez nunca es negativa.La rapidez se calcula dividiendo ladistancia recorrida entre el tiempo quetomó recorrer esa distancia.(2.) Magnitud de la velocidad, sin considerardirección.(3.) En Cálculo, la rapidez es igual a laprimera derivada de la posición respectodel tiempo.Para denotar al rayo siempre indicamosprimero el punto inicial y después otropunto cualquiera por el cual tambiénpase.Razón (1.) La razón de dos números a, b es elresultado que se obtiene al dividirlos:abes la razón de los números a y b.(2.) En una sucesión geométrica, la razónr de la sucesión es el cociente de dostérminos consecutivos cualesquiera:r = a n+1a nDe manera que podemos calcular untérmino de la sucesión a partir delanterior como sigue: a n+1 = r · a n .Razón de cambio Razón a la cual una cantidadvaría con respecto de otra.Si el valor de y depende de x de acuerdoa y = f (x), la razón de cambio de y conrespecto a x corresponde a la derivada dey respecto de x.Vea la definición de Derivada.Razón de división Dado el segmento AB yun punto P en él, la razón de divisióndel segmento AB por el punto P es elcociente: |AP|/|PB|.Por ejemplo, si |AB| = 10, y el punto Pestá a 6 unidades del punto A, entonces,|AP| = 6 y |PB| = 4, y la razón de divisióndel segmento AB por el punto PRwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

132Recíproco–Rectánguloes:r = |AP||PB| = 6 4 = 3 2 = 1.5Recíproco El recíproco del número x 0 es elresultado de dividir uno entre x:1xes el recíproco de x.Por ejemplo, el recíproco de 2 es 1 2 .Frecuentemente al recíproco se le llama(equivocadamente) el inverso del número.Los números no tienen inverso, las funcionesy las operaciones sí.Recta Línea que no cambia de dirección y sedenota por l.lRectas notables del triángulo Las rectas notablesen un triángulo son:✓ Altura✓ Bisectriz✓ Mediatriz✓ MedianaVea cada definición para más detalles.Recta numérica Sinónimo de Recta real.Vea la definición de Recta real.Recta real Recta en la cual se elige un puntofijo al cual se llama origen y al quese le asigna el cero, y utilizando unaunidad de medida se marcan puntoscon esa unidad de distancia entre ellospara marcar los números enteros positivoshacia la derecha y los negativos a laizquierda del origen:Origen(−)−2 −1 0 1 2 3 4(+)RFrecuentemente se utiliza la palabra líneacomo sinónimo de recta.Una línea también puede ser curva. Porejemplo, una circunferencia también esuna línea, pero no es recta, pues cambiaconstantemente de dirección.Recta de Euler Es la recta que pasa por elcircuncentro, el baricentro y el ortocentrode un mismo triángulo.Rectas concurrentesun solo punto.Rectas que se cortan enA cada número real se le puede asignarun punto de la recta real y a cadapunto de la recta numérica le correspondeexactamente un número real.Recta numérica es sinónimo de recta real.Rectángulo Cuadrilátero que tiene cuatroángulos internos iguales.También se puede definir como unparalelogramo que tiene sus 4 ángulos internosiguales a un recto.hA = b × hP = 2 (b + h)bRectánguloEl cuadrado es un caso particular delrectángulo, que tiene sus cuatro lados dela misma medida. Es decir, el cuadrado esun rectángulo que también es un rombo.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Rectilíneo–Regla de la recta vertical133Rectilíneo Objeto caracterizado por una ovarias líneas rectas.Por ejemplo, el movimiento rectilíneo serealiza sobre una línea recta.Redondeo Proceso de aproximar un valor auna cantidad considerando algunas desus primeras cifras decimales.Por ejemplo, al redondear el valor de π adiezmilésimos obtenemos: π = 3.1416.Reducción En matemáticas, la palabra reducciónes sinónimo de simplificación.Por ejemplo, cuando reducimos una expresión,la expresamos de una maneraequivalente, pero más sencilla de interpretar.Por ejemplo,x 2 − 6 x + 9 = (x − 3) 2Reducción al absurdo Demostración a travésde probar que lo contrario guía a una contradicción.Sinónimo de demostración porcontradicción.Reducción de una fracción Decimos quehemos reducido una fracción cuando lahemos simplificado.Por ejemplo, al reducir la fracción 12/20,obtenemos:1220 = 3 · ✁45 · ✁4 = 3 5Reducción, método de Método para resolversistemas de ecuaciones lineales queconsiste en sumar múltiplos de unaecuación a otra para reducir el número devariables y de ecuaciones en el sistema.Este método también se conoce comométodo suma y resta o como el método deeliminación.Reflexiva, propiedad La propiedad reflexivade la igualdad dice que todo número esigual a sí mismo.Matemáticamente, a = a.Vea la definición de igualdad para verotras propiedades de la igualdad.Región Subconjunto del plano cartesiano.Una región puede ser, por ejemplo, lasolución de un sistema de desigualdades:y108642x + y = 10x + y > 10x2 4 6 8 10Regla Instrumento usado en geometría paradibujar rectas.En geometría plana la regla se considerasin escala (acotación), de manera queno podemos medir distancias, sino solamentetrazar líneas rectas con ella.Una parte de una regla con acotación esla siguiente:1 cm0 1 2 3 4 5 6 7Regla de la recta vertical Regla que permitemostrar si una gráfica pertenece a la deuna función. Para esto, se trazan rectasverticales a lo largo de la gráfica. Si almenos una recta vertical corta a la gráficaen dos o más puntos, entonces la gráficano corresponde a la de una función.yxRwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

134Reglas de los exponentes–Regletas de CuisenaireRComo la gráfica mostrada nunca es cortadapor una recta vertical en dos o máspuntos, corresponde a la gráfica de unafunción.Reglas de los exponentes Las reglas de losexponentes son las siguientes:✓ a m · a n = a m+n✓ ama n = am−n( a) m a m✓ =bb m✓ 1a m = a−m✓ a 0 = 1 (a 0)✓ (a m ) n = a mn✓ (a · b) m = a m b mReglas de los signos Las reglas de los signosson las siguientes:+ · + = ++ · − = −− · + = −− · − = +En resumen, al multiplicar dos signosiguales obtenemos + y cuando multiplicamosdos signos diferentes obtenemos−.Estas mismas reglas se aplican a la división:+ ÷ + = ++ ÷ − = −− ÷ + = −− ÷ − = +Regla de los cuatro pasos La regla de loscuatro pasos sirve para calcular laderivada de una función y = f (x).Paso 1: Dar un incremento a x y calcularel correspondiente incremento en y.y + ∆y = f (x + ∆x)Paso 2: Restar la función original:∆y = f (x + ∆x) − f (x)Paso 3: Dividir entre el incremento en x:∆y∆x=f (x + ∆x) − f (x)∆xPaso 4: Calcular el límite cuando el incrementoen x tiende a cero:dydx = lim∆x→0f (x + ∆x) − f (x)∆xRegla de tres Método que sirve para calcularun valor desconocido de una proporcióndirecta, dados los otros tres.Por ejemplo, para calcular el valor de xen:x7 = 3 21hacemos:x = 3 × 721= 1Regletas de Cuisenaire Juego de diez regletasde colores que se utilizan para enseñar yaprender diferentes temas matemáticos.Las regletas tienen diferente tamaño ycolor, como se indica enseguida:1 Regleta Blanca, mide 1 cm.2 Regleta Roja, mide 2 cm.3 Regleta Verde claro, mide 3 cm.4 Regleta Carmín, mide 4 cm.5 Regleta Amarilla, mide 5 cm.6 Regleta Verde Oscuro, mide 6 cm.7 Regleta Negra, mide 7 cm.8 Regleta Café, mide 8 cm.9 Regleta Azul, mide 9 cm.10 Regleta Naranja, mide 10 cm.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Regular, poliedro–Relación de equivalencia135α niPentágono regularRegletas de CuisenaireLos elementos de los polígonos regularesson:✓ Ángulo centralRegular, poliedro Poliedro que tiene todassus caras iguales. En total hay cincopoliedros regulares: tetraedro, cubo,octaedro, dodecaedro e icosaedro.TetraedroDodecaedroCuboOctaedroIcosaedroRegular, polígono Cuando un polígono tienetodos sus lados y todos sus ángulosiguales se llama polígono regular. Esdecir, un polígono es regular si esequilátero y equiángulo a la vez.α n = 360◦n✓ Suma de ángulos internos✓ Ángulo internoS int = 180 ◦ (n − 2)i = 180◦ (n − 2)n✓ Número de diagonalesD =n (n − 3)2✓ Suma de ángulos externos:S ext = 360 ◦Relación (1.) Una relación R define correspondenciasentre los elementos de dos conjuntosA y B. Si a ∈ A y b ∈ B, entonces,a R b indica que a y b están relacionados.(2.) Forma de comparar dos elementos deun mismo conjunto.Por ejemplo, las desigualdades son relacionesque se definen para los númerosreales.Otros ejemplos de relaciones entre dosnúmeros son: a = b, x ≡ 3 mod 7, a|b,etc.Relación de equivalencia La relaciónde equivalencia es una estructuramatemática que presenta las siguienespropiedades:Rwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

136Relación de recurrencia–RotaciónR✓ Reflexiva: a ∼ a✓ Simétrica: Si a ∼ b, entonces b ∼ a.✓ Transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c, entoncesa ∼ c.Decimos que los objetos a y b están relacionadossi cumplen las tres propiedadesenlistadas y lo denotamos por a ∼ b.Relación de recurrencia Función con dominioen los números naturales y rango en lostérminos de una sucesión.Por ejemplo, la sucesión de Fibonaccipuede encontrarse usando la siguienterelación de recurrencia:a n = a n−1 + a n−2que en palabras dice: el término actual esigual a la suma de los últimos dos términos.Relación funcional Regla de correspondenciaentre dos cantidades que dependen unade la otra.Por ejemplo, si el precio de un jugo demanzana es de $7.00 pesos, el importe apagar y se relaciona funcionalmente conla cantidad de jugos a comprar (x) de lasiguiente manera: y = 7 x.Renglón En una matriz, un renglón es unalínea horizontal de sus elementos.En la siguiente matriz A, el primerrenglón está formado por los elementosa, b y c:⎡a b c⎤A = ⎣ d e f ⎦g h iResiduo En una división, el número quesobra, es el residuo.Por ejemplo, en la división:el residuo es 7.2 512 3 0 76 77Resta Operación matemática binaria denotadacon el símbolo −.La resta de los números a y b es el númeroque hay que sumar a a para obtener b y sedenota por: b − a.Por ejemplo, 5 − 3 = 2, porque 3 + 2 = 5.La resta también se conoce como diferencia.Vea la definición de Diferencia.Resultante Vector que resulta de sumar dosvectores.En la siguiente figura se muestran losvectores ⃗u y ⃗v y la resultante ⃗u +⃗v:y⃗u⃗u +⃗vRombo Cuadrilátero que tiene sus 4 lados dela misma medida.⃗vRomboRomboide Paralelogramo que no esrectángulo.RomboideRotación Movimiento rígido del plano alrededorde un punto fijo, el cual es llamadoxwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Rotación137eje de rotación.En la siguiente figura se muestra unarotación de los ejes en un ángulo de 30 ◦ :y ′yx ′θ = 30 ◦xRwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

138RLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxSEfrain Soto ApolinarSatisfacer Decimos que un valor satisface auna ecuación o a una función cuandoal sustituir este valor en la ecuación ofunción ésta se reduce a una igualdadválida. De manera semejante, cuando sedan un conjunto de condiciones y algúnobjeto matemático cumpla con todas esascondiciones, decimos que las satisface.Por ejemplo, si imponemos comocondición para una figura geométrica quela suma de sus ángulos internos no seamayor a 200 ◦ , cualquier triángulo en elplano satisface esa condición.Secante (Geometría) La secante a una curva ofigura es una recta que la corta.SecanteEn el triángulo rectángulo mostrado en ladefinición de Seno la función secante delángulo α menor a 90 ◦ se puede escribircomo:sec α =hipotenusacateto opuestoSección Intersección de dos objetosgeométricos.Por ejemplo, de la intersección de unplano con un cono podemos obtener unaparábola, que es una sección cónica.Sector circular Un sector circular es unaparte de la circunferencia limitada pordos radios y un arco, como se muestraenseguida:αEn la figura previa se muestra unacircunferencia y una secante que la corta.(Trigonometría) La función secante sedefine como el recíproco de la funcióncoseno:sec α = 1cos αEl área del sector circular de α ◦ se calculacon la siguiente fórmula:A = απr2360

140Segmento–SenoSegmento Intervalo de recta delimitado pordos puntos fijos sobre la misma. Elsegmento que inicia el el punto A yfinaliza en el punto B se denota por AB.En la siguiente figura se muestra unsegmento:SemicírculoSemicircunferenciaMitad de un círculo.ABBSlASemejanza Se dice que dos triángulos sonsemejantes si uno está dibujado a escaladel otro.Para verificar si dos triángulos sonsemejantes podemos usar cualquiera delos siguientes criterios:✓ Dos lados son proporcionales y elángulo formado entre ellos está encada triángulo.✓ Dos ángulos iguales.✓ Los tres lados son proporcionales.Los siguientes triángulos son semejantes:En palabras, dos figuras son semejantes sitienen la misma forma, pero no necesariamenteel mismo tamaño.SemicírculoSemirrecta Una parte de una recta que tieneun punto inicial y no tiene punto final.La siguiente figura muestra la semirrecta−→ AB:AB−→ ABA la semirrecta también se le conoce comorayo.Seno La función seno se define para cualquierángulo α. Dado un ángulo con un ladohorizontal y vértice en el origen, su seno,denotado por sin α se define como lacoordenada sobre el eje y del punto deintersección del otro lado (no horizontal)del ángulo con la circunferencia de radio1.ySemi- Prefijo usado en matemáticas quesignifica mitad de.Por ejemplo, semiperímetro significa lamitad del perímetro.sin αSemicircunferencia Arco de circunferenciaque une dos extremos de un diámetro.αcos α1xwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Seno hiperbólico–Serie141En un triángulo rectángulo, el seno deun ángulo positivo menor a 90 ◦ puedeencontrarse con el cociente:sin α =αcateto opuestohipotenusaHipotenusaCateto adyacenteCateto opuestoLa gráfica de la función seno es lasiguiente:1-1yy = sin xSeno hiperbólico La función seno hiperbólicodel número x se denota por: sinh x y estádefinida por:xSentidoSinónimo de orientación.Sentido positivo En un eje de coordenadas,el sentido positivo indica hacia dónde losvalores de la recta van creciendo.En el plano, el eje horizontal es x y elsentido positivo de este eje es hacia laderecha. Para el eje vertical (y) el sentidopositivo es hacia arriba.Sentido positivo →ySentido positivox→Observa que las flechas de los ejes indicanel sentido positivo de cada uno de ellos.Séptimo Cuando dividimos un entero en sietepartes iguales, cada una de ellas es unséptimo, o bien, una séptima parte delentero.sinh x = ex − e −x217171717171717Senos, ley de Para todo triángulo que se encuentraen el plano, se cumple:sin αA= sin βB= sin γCdonde A es el lado opuesto al ángulo α,B es el lado opuesto al ángulo β y C es ellado opuesto al ángulo γ.Serie La suma de los términos de unasucesión.Cuando la sucesión es aritmética, se llamaserie aritmética.La fórmula para calcular la serie aritméticade los primeros n términos es:SαBS n = n (a 1 + a n )2CβAγDonde a 1 es el primer término y a n es elenésimo término de la sucesión.Cuando los términos que se estánwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

142Serie divergente–Simetría axialsumando forman una sucesión geométrica,la serie es geométrica, y se calculacon:S n = a 1 (1 − r n )1 − rDonde a 1 es el primer término y r es larazón de la sucesión.Serie divergente Serie que crece indefinidamenteconforme se consideran mayorcantidad de términos.Sesgo Característica de la distribución de losdatos de una población que indican queésta no es simétrica.Cuando se dice que una muestra tiene unsesgo, indica que ésta no es representativade la población.Sexto Cuando dividimos un entero en seispartes iguales, cada una de ellas es unsexto, o bien, una sexta parte del entero.161616161616Entonces, usando notación sigma podemosindicar la suma de estos términoscomo sigue:100∑ i = 1 + 2 + · · · + 100i=1Esta notación es muy utilizada en CálculoIntegral cuando se define la integraldefinida como una suma de Riemann.Signo Símbolo que indica una característicade un objeto. En matemáticas, los signospueden, además, indicar operaciones(+, −, ×,÷, ∩, ∪, etc.), la naturaleza deun objeto matemático (positivo, negativo,∅, etc.), pueden indicar el tipo de objetosmatemáticos (△, ∠, AB , etc.), relación⌢entre objetos de la misma naturaleza (≤,≥, , ⊥, etc.), entre otras cosas (∞, %, π,⃗u, R + , etc.)Sima En una curva sinusoidal, la sima es cadauno de los puntos más bajos en su trayectoria.Por el contrario, la cima (con c) correspondea cada uno de los puntos más altosde su trayectoria.CimaSimaSigloUn siglo equivale a cien años.SSigma, notación Notación matemática quepermite indicar la suma de variostérminos de una sucesión.Si x 1 , x 2 , · · · , x n son los términos deuna sucesión que deben sumarse, estaoperación se puede indicar con la notaciónsigma de la siguiente manera:n∑ x i = x 1 + x 2 + · · · + x ni=1Y se lee: La suma de todos los términos x idonde el índice i va desde 1 hasta n.Por ejemplo, consideremos la sucesiónde los primeros 100 números naturales.Simetría Propiedad que presentan algunasfiguras geométricas que consiste en unacorrespondencia en la forma, el tamaño yla secuencia de las partes que la componenrespecto de una línea o punto.Vea Eje de simetría.Simetría axial Un objeto geométrico presentasimetría axial cuando tiene una recta desimetría. Esa recta se dice que es el eje desimetría de la figura.Por ejemplo, el triángulo isósceles presentasimetría axial.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Simetría radial–Sistema de numeración143radialsimetríadeejemplo,simetríahexágonoSupropiedadigualdada otro,primero.Sidefiniciónpropiedadescoordenadopuntos.perpendicularesunidad desistemadecimalelactualmenteejemplo,escribir como:===Un objeto geométrico presentaradial cuando su centrocentro de simetría.un polígono regular presentaradial.Cregular presenta simetríacentro de simetría es el puntoLa propiedad simétricadice que si un número esel segundo número es igualMatemáticamente,a = b, entonces, b = a.de igualdad para verde la igualdad.Conjunto de ejes quepara indicar coordenadas deCuando los ejes son mutuamentey todos utilizan la mismamedida en cada eje, se dice quede coordenadas cartesiano.Sistema de numeración que10 como base y que utilizamospara contar.el número 2 745, se puede2 000 + 700 + 40 + 52 × 1 000 + 7 × 100 + 4 × 10 + 52 × 10 3 + 7 × 10 2 + 4 × 10 1 + 5 × 10 0 En nuestro sistema de numeración, cadacifra tiene un valor que depende de suposición respecto del punto decimal. Estose hace evidente al escribir el número entérminos de potencias de 10.Sistema de ecuaciones Conjunto de variasecuaciones que deben resolverse simultáneamente.La solución del sistemade ecuaciones es el conjunto de valoresque las reducen a todas las ecuaciones aigualdades verdaderas.Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:x + y = 10x − y = 2tiene por solución x = 6, y = 4, porque alsustituir estos valores en las ecuaciones,cada una se reduce a una igualdad verdadera.Los sistemas de ecuaciones se clasificande acuerdo al tipo de ecuaciones que lacomponen. En el ejemplo dado, el sistemade ecuaciones es lineal, pues todas lasecuaciones que lo componen son lineales.Sistema de numeración Reglas que se definenpara escribir y realizar operaciones connúmeros.Nosotros utilizamos un sistema denumeración decimal y posicional.Decimos que es decimal porque contamosusando potencias de 10, y que esposicional porque el valor de cada cifradepende de su posición relativa a losdemás números usados al escribir elnúmero.La base de nuestro sistema es el 10. Deaquí viene la palabra decimal.Los romanos utilizaban un sistema denumeración decimal que no era posicional.Los mayas utilizaban un sistema denumeración vigesimal (base 20) que sí eraposicional.A un sistema de numeración también sele llama sistema numérico.SimetríasirvePorUnradial.C.Simétrica,de laigualalVea laotrasSistemasirvenes unSistemautilizaPor2745Eje de simetríaSwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

144Sistema de referencia–Solución trivialCuando se escribe un número en unsistema de numeración de base diferentea la 10, se indica la base con un subíndicea la derecha. Por ejemplo, 100 2 indicaque es el número cuatro (en base 10, estoes 4 10 ). Dado que utilizamos la base 10,siempre que escribimos números en base10 solamente, no se requiere indicar labase, pero cuando utilizas varias basesse sugiere indicar siempre la base, aúncuando esté escrito en base 10 para evitarconfusión.Sistema de referencia Conjunto de ejes quesirven para indicar coordenadas depuntos. El sistema de referencia estambién llamado sistema coordenado.CuboEsferaLos sólidos también se conocen comocuerpos.Sólido rómbico Sólido cuyas caras son romboscongruentes.Sólidos platónicos Nombre que se les da alos cinco poliedros regulares: tetraedro,cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.Sistema Internacional de Unidades Conjuntode unidades de medida para utilizar entodo estudio y reporte científico y tecnológico(abreviado como S.I.)Las unidades básicas del S.I. son:TetraedroOctaedroSMagnitud Unidad SímboloDistancia metro mMasa kilogramo kgTiempo segundo sCorriente eléctrica amperio ATemperatura kelvin KIntensidad luminosa candela cdSistema Pié-libra-segundo Sistema deunidades que tiene por unidades básicasal pié (longitud), la libra (masa) y elsegundo (tiempo).Software Programas e información utilizadapor la computadora.Sólido Figura geométrica que tiene tres dimensiones.La siguiente figura muestra los sólidoscubo y esfera:DodecaedroCuboIcosaedroSolución (1.) Respuesta de un problema(2.) Proceso o método para resolver unproblema.(3.) Conjunto de valores que al sustituiren una ecuación o en un sistemade ecuaciones, se reduzcan a igualdadesverdaderas.(4.) En química, frecuentemente se utilizala palabra solución para referirse altérmino disolución.Solución trivial Solución a un problemaque no requiere de algún procedimientoporque es muy evidente.Por ejemplo, para la ecuación:x n + y n = z nwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Suave–Sucesión de Fibonacci145con cualquier valor n, las soluciones trivialesson x = 0, y = 0, z = 0.Suave Se dice que una función y = f (x) essuave en un intervalo (a, b) si su derivadaestá definida en todo punto del intervalo.La función y = x 2 es una función suave,pues su gráfica es una parábola, que nopresenta cambios bruscos de dirección.Por otra parte, la función valor absoluto(y = |x|) no es suave, pues su derivada noestá definida en el origen. En este punto,tiene un cambio brusco de dirección.Subconjunto Un conjunto A es subconjuntode otro conjunto B si todos los elementosde A están también en B.Si existe algún elemento de A que no estéen B, entonces A no es un subconjuntode B.Si A es un subconjunto de B, entoncesdecimos que el conjunto A está incluidoen B, lo cual se denota por: A ⊂ B,o bien, que el conjunto B incluye alconjunto A, lo cual se denota por: B ⊃ A.El siguiente diagrama muestra alconjunto A, que es un subconjunto delconjunto B:BAA ⊂ BEl conjunto vacío ∅ es un subconjuntode cualquier conjunto, pues no hay unelemento de ∅ que no pertenezca alsegundo (por vacuidad).Todo conjunto es subconjunto de símismo.Subíndice Número que se escribe en laparte inferior derecha de una literal oun símbolo para identificarlo de maneraparticular de entre un conjunto deelementos.Por ejemplo, cuando se define un vector,⃗v = (v 1 , v 2 ), el subíndice de cada componentedenotada con la literal v indica si esla primera (v 1 ) o la segunda (v 2 ) componente.Sucesión Lista de números que siguen una determinadaregla para calcular el siguientetérmino.Por ejemplo, la sucesión: 3, 8, 18, 38, 78, · · ·sigue la siguiente regla: suma 1 al últimotérmino de la sucesión y al resultado multiplícalopor dos.Sucesión aritmética Lista de números quetienen la propiedad que cualesquierados consecutivos tienen una diferenciaconstante.El primer término de la lista se denota pora 1 y la diferencia constante por d.Podemos calcular el enésimo término a nde la sucesión usando la fórmula:a n = a 1 + d (n − 1)Y la suma de los primeros n términos S ncon:S n = n (a 1 + a n )2A la sucesión aritmética también se leconoce como progresión aritmética.Por ejemplo, si definimos a 1 = 5 y d = 3,los términos de la sucesión aritmética son:a 1 = 5, a 2 = 8, a 3 = 11, a 4 = 14, etc.Sucesión convergente Una sucesión tal quesus términos sucesivos están cada vezmás cerca de un valor fijo.Por ejemplo, la sucesión:converge a cero.0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, · · ·Sucesión de Fibonacci La sucesión:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · , en la cual cadatérmino se obtiene como la suma de losdos términos anteriores se conoce comola sucesión de Fibonacci.Swww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

146Sucesión geométrica–SustraendoSSucesión geométrica Lista de números quetienen la propiedad que cualesquiera dosconsecutivos tienen una razón constante.Es decir, si dividimos a i+1 ÷ a i = r paracualesquiera dos términos consecutivosde la sucesión.El primer término de la lista se denota pora 1 y la razón constante por r.Podemos calcular el enésimo término a nde la sucesión usando la fórmula:a n = a 1 · r n−1Y la suma de los primeros n términos S ncon:S n = a 1(1 − r n+1 )1 − rA la sucesión geométrica también se leconoce como progresión geométrica.Por ejemplo, si definimos a 1 = 2 y r = 3,los términos de la sucesión aritmética son:a 1 = 2, a 2 = 6, a 3 = 18, a 4 = 54, etc.Suceso Evento del cual se registra el resultadocon el fin de estudiar el comportamientoestadístico del mismo.Por ejemplo, si observamos los resultadosde lanzar una pelota a una canastapara saber la proporción de puntos quelogra un estudiante, cada lanzamiento esun evento.Suma (Aritmética) (1.) Operación entrenúmeros que expresa la relación entre elnúmero de elementos de la unión de ellos.(2.) Resultado de sumar dos números.1234+ 56786912sumandosumandosuma(Álgebra) Operación binaria entreexpresiones algebraicas.Sumando Número o expresión algebraica quese utiliza para realizar la operación desuma junto con otro(a) u otros(as).1234+ 56786912sumandosumandosumaPodemos tener varios sumandos en unaexpresión, no solamente dos.Superficie (1.) Conjunto de puntos del planoo de dos dimensiones (tiene largo yancho). Las unidades de medición de lasuperficie son metros cuadrados (m 2 ). Engeometría se utiliza la palabra área comosinónimo de superficie.(2.) Frontera de un sólido.Suplementario, ángulo Dos ángulos sonsuplementarios si su suma es 180 ◦ .Vea la definición de ángulo suplementario.Supremo La menor cantidad que es mayor oigual a cada una de las cantidades de unconjunto dado.Lo opuesto de supremo es ínfimo.Sustitución Procedimiento algebraico usadopara reducir un sistema de n ecuacionesen un sistema equivalente (es decir,que tiene el exactamente las mismas soluciones)de n − 1 ecuaciones.Sustracción Sinónimo de resta.Vea la definición de resta.Sustraendo En una resta, el sustraendo es elnúmero que se está restando a otra cantidad(el minuendo).9 876− 5 3244 552minuendosustraendodiferenciawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxTEfrain Soto ApolinarTabla Arreglo de datos en forma de renglonesy columnas para identificar patrones enlos mismos.Por ejemplo, la siguiente tabla recopila lainformación relacionada con las edadesde la población de un pueblo:CPRangoCantidad0 – 10 25010 – 20 1 20020 – 30 2 50030 – 40 1 22540 – 50 85050 – 60 75060 – 70 42570 – 80 25080 – 90 3790 – 100 13Tangente (Geometría plana) La tangente auna curva es una línea recta que toca a lacurva en solo uno de sus puntos.La siguiente figura muestra unacircunferencia con una tangente:rTTangenteCEn estadística el uso de las tablas es muyfrecuente así como el uso de gráficas.Tangencia, punto de Punto en el cual unarecta toca tangentemente a una curva.En la siguiente figura se muestra unacircunferencia y una recta tangente. Elpunto de tangencia es P:El punto T donde la recta tangente toca ala circunferencia se llama punto de tangencia.(Trigonometría) La tangente del ángulo αse define como:tan α = sin αcos α

148Tangente hiperbólica–Teorema de De MoivreTEn un triángulo rectángulo, la tangentede un ángulo positivo menor a 90 ◦ puedeencontrarse con el cociente:tan α =αcateto opuestocateto adyacenteHipotenusaCateto adyacenteCateto opuestoEn geometría analítica, la pendiente m dela recta que pasa por los puntos P(x p , y p )y Q(x q , y q ) es igual a la tangente delángulo que ésta forma con el eje de lasabscisas:m = ∆y∆x = y q − y px q − x pTangente hiperbólica La función tangentehiperbólica del número x se denota por:tanh x y está definida por:tanh x = ex − e −xe x + e −xTangram Rompecabezas inventado por loschinos que consiste en ocho piezasde cartón: seis triángulos rectos, uncuadrado y un paralelogramo.La siguiente figura se muestra las piezasdel Tangram:Tendencia central Un número que describe aun conjunto de datos, es una medida dela tendencia central de ese conjunto.Las medidas de tendencia central másfrecuentemente utilizadas son la mediaaritmética, la mediana y la moda.Hay otras medidas de tendencia centralcomo la media armónica y la media ponderada.Teorema Proposición que requiere dedemostración.Por ejemplo, Existe exactamente unacircunferencia que pasa por tres puntosno colineales, es un teorema degeometría.Teorema binomial Para cualesquiera dosnúmeros enteros no negativos, secumple:(x + y) n =n( ) k∑ xn − k y n−kkk=0El teorema del binomio también se conocecomo el binomio de Newton.Vea la definición Newton, teorema deTeorema de Bayes Sean A y B dos eventoscualesquiera con probabilidad deocurrencia diferente de cero. Entonces,P(B|A) =P(A|B) · P(B)P(A)En palabras, la probabilidad de queocurra el evento B dado que ya ocurrióel evento A es igual al producto de laprobabilidad de que ocurra el evento Adado que ya ocurrió B por la probabilidadde ocurrencia del evento B, dividido entrela probabilidad de ocurrencia del eventoA.Teorema de De Moivre El teorema de DeMoivre es una generalización de lafórmula de Euler, para cualquier nentero:(cos θ + i cos θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ)www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Teorema de Pitágoras–Teorema del valor medio del Cálculo Integral149Al Teorema de De Moivre también se le Teorema del factor Dada la ecuación polinomial:aa ′ = b b ′ = c el valor del área bajo la gráfica de lafunción y = f (x) puede expresarse dec ′ manera equivalente como el área de unconoce como la fórmula de De Moivre.Vea la definición de Fórmula de Euler.a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n = 0Teorema de Pitágoras En todo triángulorectángulo que se encuentra en un plano,la suma de los cuadrados de las longitudesde los catetos es igual al cuadradoSi el número k es una de sus raíces,entonces, el polinomio es divisible entrex − k.de la longitud de la hipotenusa.Algebraicamente, si a y b son las longitudesPor ejemplo,ecuación:una de las raíces de lade los catetos del triángulorectángulo y c es la longitud de su6 + 5 x + x 2 = 0hipotenusa, entonces se cumple:es x = 3. Entonces, 6 + 5 x + x 2 es divisiblec 2 = a 2 + b 2entre x − 3. En efecto,6 + 5 x + x 2 = (x − 3)(x − 2)Lo cual indica que la otra raíz de labecuación es x = 2.Teorema del valor medio del Cálculo DiferencialaSi la función y = f (x) es continuay diferenciable en el intervalo [a, b],entonces, existe al menos un valor c enTeorema de Thales Si varias paralelas son cortadaspor dos secantes, los segmentos determinadosel intervalo (c ∈ [a, b]) tal que:en una secante son propor-cionales a los determinados en la otraf ′ f (b) − f (a)(c) =b − asecante.Por ejemplo, en la siguiente figura se En palabras, esto nos dice que la funciónmuestran varias paralelas (verticales) cortadastiene en al menos un punto del inter-por dos secantes:valo la pendiente de la recta tangente a lacurva igual a la pendiente de la recta queB D F Hpasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)).a b cSRTeorema del valor medio del Cálculo IntegralSi la función y = f (x) es positiva, continuae integrable en el intervalo [a, b],a ′ bPc ′Q entonces, existe un valor h > 0 tal que:A C E G∫ bAB ‖ CD CD ‖ EF EF ‖ GHf (x)dx = h · (b − a)aSe cumple entonces,Geométricamente, esto nos indica querectángulo de base b − a y altura h:cTwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

150Teorema fundamental de la aritmética–Términoyf (b)hy = f (x)Teoría Conocimiento organizado sistemáticamenteque es aplicable en lasolución de problemas y para explicarla naturaleza o el comportamiento de unagran variedad de fenómenos.f (a)ah · (b − a) =∫ baf (x)dxEn la figura anterior, h representa el valormedio (promedio) de f (x) en el intervalo(a, b).Teorema fundamental de la aritmética Todonúmero natural n > 1 puede expresarsecomo producto de números primos, demanera única, salvo el orden.Teorema fundamental del álgebra Todaecuación polinomial de grado n tieneexactamente n raíces (algunas de lascuales pueden ser complejas).Teorema fundamental del Cálculo Si lafunción y = f (x) es continua en el intervalo[a, b] y y = F(x) es cualquier antiderivadade f , entonces,bxTeoría de conjuntos Rama de las matemáticasque estudia los conjuntos, suspropiedades y sus aplicaciones.Teoría de ecuaciones Rama de lasmatemáticas que estudia las ecuacionespolinomiales:a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n = 0La teoría de ecuaciones estudia principalmentelos métodos de solución de estetipo de ecuaciones.Teoría de números Rama de las matemáticasque estudia los números, sus propiedadesy de sus operaciones.Tera- Prefijo que indica 10 12 . Se abrevia con laletra mayúscula T.Por ejemplo, un teralitro equivale a unbillón de litros (un millón de millones delitros), esto es: 1 TL = 10 12 L.Tercio Cuando dividimos un entero en trespartes iguales, cada una de ellas es un tercio,o bien, una tercera parte del entero.✓d dx∫ xf (t)dt = f (x)✓∫ baf (x) dx = F(b) − F(a).131313aTTeorema fundamental del Cálculo IntegralSi y = f (x) es una función continua enel intervalo [a, b] y y = F(x) es cualquierantiderivada de f , entonces,∫ baf (x) dx = F(b) − F(a)Término Expresión algebraica que consistede una constante que multiplica a una ovarias variables cada una de ellas elevadaa alguna potencia entera no negativa.Por ejemplo, 3 x 2 y 5 es un término.Los polinomios son un suma de uno ovarios términos. Monomio se entiendecomo sinónimo de término.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Término general–Transitiva, propiedad151Término general En un polinomio o en unaecuación, el término general se representapor medio de una expresión algebraicaque indique la forma que tiene cada unode sus términos.Por ejemplo, en un polinomio, el términogeneral es a i x i . Esta expresión indica quehay un coeficiente a i que multiplica a lai−ésima potencia del número x.Término irracional Término que tiene unexponente irracional en alguno de susfactores.Por ejemplo, el término 3 x √2 , es untérmino irracional.TeseladoTetraedro Sólido geométrico cuyas caras soncuatro triángulos equiláteros:Terna pitagórica Es una terna de números(a, b, c) que cumplen con:a 2 + b 2 = c 2Por ejemplo, (3, 4, 5), (5, 12, 13) y(20, 21, 29) satisfacen la condición, portanto, son tercias pitagóricas.Esto quiere decir que si construimos untriángulo con medidas iguales a cadauno de los valores de la terna pitagórica,el triángulo resultante será un triángulorectángulo.TetraedroTonelada Unidad de peso equivalente a 1 000kilogramos.ToroSuperficie curva cerrada que tiene unhoyo en medio, con la forma de una dona.3Teselado Cobertura del plano por polígonosde manera que cada punto delplano esté cubierto por solamente unpolígono y que dos polígonos se toquensolamente en sus lados.54ToroTransitiva, propiedad Propiedad que consisteen que si a ∼ b, y también b ∼ c, entonces,a ∼ c.Por ejemplo, la igualdad presenta lapropiedad transitiva, pues si a = b, ytambién b = c, entonces, a = c.Vea la definición de igualdad para verotras propiedades de la igualdad.Twww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

152Translación–TriánguloTranslación Movimiento de un objetogeométrico de manera que cada uno desus puntos se mueve en la misma dirección,la misma distancia, sin rotación,reflexión o cambio en su tamaño.En la siguiente figura, el triángulo △ABCse ha trasladado hacia la derecha paraobtener el triangulo congruente △A ′ B ′ C ′ :Trapecio isósceles Trapecio que tiene suslados no paralelos de la misma medida.Trapecio isóscelesCABC ′A ′ B ′Trapezoide Cuadrilátero sin lados (opuestos)paralelos.Transportador Instrumento utilizado paramedir ángulos.T1601701801501101201301401009080Transportador70605040Trapecio Cuadrilátero con un par de ladosparalelos.hbBEl lado paralelo con mayor longitud sellama base mayor (B) y el lado paralelocon menor longitud se llama base menor(b). La altura del trapecio (h) es la distanciaentre las dos bases.El área del trapecio se calcula con lasiguiente fórmula:A =(b + B) · h2y su perímetro sumando las longitudes desus lados.3020100TrapezoideTrascendental, número Número irracionalque no puede ser raíz de una ecuaciónpolinomial con coeficientes racionales.Por ejemplo, el número e es un númerotrascendental.Trayectoria Camino o ruta que sigue uncuerpo en movimiento.Triada Un trio ordenado de valores.Por ejemplo, (2, 3, 4) es una triada.Triangular (1.) Caracterizado por el triángulo.(2.) Dividir una región del plano entriángulos para facilitar el cálculo de suárea.Triángulo Polígono de tres lados.La siguiente figura es un triángulo conbase b, altura h y lados a y c:chbawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Triángulo acutángulo–Triángulo obtusángulo153P = Perímetro = a + b + caA = Área = bh 2bUn triángulo se clasifica de acuerdo a lamedida de sus lados como:✓ Escaleno: si todos sus lados tienendistinta medida.✓ Isósceles: si dos de sus lados tienenla misma medida.✓ Equilátero: si sus tres lados tienen lamisma medida.Y de acuerdo a sus ángulos como:✓ Acutángulo:son agudos.si todos sus ángulos✓ Rectángulo: si tiene un ángulo recto.✓ Obtusángulo:obtuso.si tiene un ánguloLa suma de los ángulos internos de untriángulo es igual a 180 ◦ .Debido a esto, un triángulo no puedetener dos ángulos rectos, mucho menosdos ángulos obtusos.Triángulo acutángulo Un triángulo esacutángulo si todos sus ángulos son agudos.cSe cumplen las siguientes tres desigualdades:a + b > ca + c > bb + c > aque es lo que dice el principio.Triángulo equilátero Un triángulo esequilátero si sus tres lados tienen lamisma medida.T. equiláteroTriángulo escaleno Un triángulo es escalenosi todos sus lados tienen distinta medida.T. escalenoT. acutánguloTriángulo aritmético Arreglo triangular denúmeros que se utiliza para calcularlos coeficientes del binomio (a + b) n .También se conoce como el Triángulo dePascal.Vea la definición de Triángulo de Pascal.Triángulo, desigualdad de Para todotriángulo que se encuentra en un plano,la suma de las longitudes de cualesquierados lados es mayor al tercer lado.Por ejemplo, en el triángulo:Triángulo isósceles Un triángulo es isóscelessi dos de sus lados tienen la mismamedida.T. isóscelesTriángulo obtusángulo Un triángulo es obtusángulosi tiene un ángulo obtuso.T. obtusánguloTwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

154Triángulo rectángulo–TrigonometríaTriángulo rectángulo Un triángulo esrectángulo si tiene un ángulo recto.T. rectánguloTriángulo de Pascal Triángulo que sirve paracalcular los coeficientes de la enésimapotencia de un binomio.El siguiente diagrama indica cómo calcularlo:Tricotomía Propiedad de los números reales.Dados dos números reales a, b cualesquiera,se satisface una y solamente unade las siguiente condiciones:i. a < bii. a = biii. a > bTridecágonoPolígono de 13 lados.11 +11 + 2 +1 3 311T1 4 6 41 5 10 10 5Suma los dos números que están indicadospara obtener el que está en medio deellos en el siguiente renglón.Para calcular: (x + y) 5 calculamos losprimeros 6 renglones del triángulo dePascal y escribimos los coeficientes, ydespués las literales con los exponentesque le corresponden:(x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3+5xy 4 + y 5Observa que los exponentes de x vandecreciendo, empezando desde 5 yterminando en 0, los de y van creciendo,empezando desde 0 y terminando en 5.Observa también que la suma de losexponentes de las literales de cadatérmino es 5.Triángulo pitagórico Triángulo rectángulocon longitudes de lados enteros.11TridecágonoTrigonometría Rama de la matemática quese encarga del estudio de los triángulos,las proporciones entre sus lados yángulos, las funciones trigonométricas,sus propiedades y sus aplicaciones.Las funciones trigonométricas son lassiguientes:✓ seno (sin)✓ coseno (cos)✓ tangente (tan)✓ secante (sec)✓ cosecante (csc)✓ cotangente (cot)Las funciones trigonométricas inversasson:✓ arcoseno (arcsin)✓ arcocoseno (arccos)✓ arcotangente (arctan)www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Trillón–Truncar155Trillón En Español, trillón es el númeroformado por un 1 seguido de 18 ceros. Esdecir, un trillón es igual a un millón debillones.En Estados Unidos y en Canadá, untrillón (En Inglés) es el número formadopor un 1 seguido de 12 ceros. Es decir, enestos países un trillón equivale a un billón(10 12 ). Algo curioso es que en Inglaterra,que también usan el idioma Inglés, eltrillón para ellos es 10 18 , al igual que paranosotros.Trinomio Polinomio que tiene 3 términos.Por ejemplo,1 + x 5 − x 11Observa que un trinomio no debe sernecesariamente de grado dos.Trisección del ángulo Problema que consisteen la construcción de un ángulo conmedida igual a un tercio de un ángulodado.Este problema no se puede resolver utilizandosolamente regla y compás.TrivialMuy fácil de resolver o sencillo.Truncar Aproximación de a un valor omitiendodecimales a partir de uno específico.Por ejemplo, al truncar el valor de π adiezmilésimos obtenemos: π = 3.1415.Observa que se han omitido los dígitosdecimales después de los diezmilésimos.Twww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

156TLibro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxUEfrain Soto ApolinarÚltimo Teorema de Fermat Uno de losproblemas que ocasionó un gran avanceen las matemáticas. El teorema dice: noexisten números enteros x, y, z diferentesde cero que satisfagan:para n > 2.x n + y n = z nUndécimo Número ordinal correspondienteal lugar número once.Por ejemplo, en un maratón, el corredorque llega en el lugar número once, tieneel undécimo lugar.Frecuentemente en el lenguaje coloquialse dice (incorrectamente) onceavo refiriéndoseal número ordinal undécimo.Onceavo es una fracción, no un númeroordinal.Decimoprimero es sinónimo deundécimo.Unicidad Condición de ser única.Cuando se dice que se requiere demostrar la unicidad de una solución,significa que debemos probar que no existenotras soluciones diferentes a la dada.UnidadEl número 1 se llama unidad.Unidad cúbica Unidad de volumen formadapor un cubo con aristas de medida iguala la unidad.Unidad cuadrática Unidad de área formadapor un cuadrado con lados de medidaigual a la unidad.Unidad de medida Cantidad establecida pararealizar mediciones de alguna naturalezafísica.Por ejemplo, el kilogramo es la unidadde medida establecida por el SistemaInternacional de Medidas para la masa.Unidad imaginaria El número i que tiene lapropiedad de que: i 2 = −1, se llamaunidad imaginaria.Unión La unión de los conjuntos A y B es elconjunto que está formado por todos loselementos que están en A como los queestán en B.El siguiente diagrama de Venn muestra launión de los conjuntos A y B:ABA ∪ BUnitario, cubo Cubo con aristas de medidaigual a la unidad.Unitario, vectorla unidad.Vector con magnitud igual a

158Universo–Uno a uno, funciónUniverso El conjunto que contiene todos loselementos que son relevantes para unadiscusión o en la solución de un problemaparticular.El universo se denota por U.Por ejemplo, si se está resolviendo unproblema relacionado con los alumnos deuna escuela, el universo es el conjunto detodos los alumnos de la escuela.UnoMenor número natural, que se denotapor 1.Este número tiene la propiedad de quecualquier número x multiplicado por él,da el mismo número x.Uno a uno, función Sinónimo de función inyectiva.Vea la definición de Función InyectivaUwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

aprendematematicas.org.mxVEfrain Soto ApolinarVacuidad Condición de estar vacío.Cuando se demuestra algo referente alconjunto vacío, que se sigue por el hechode estar vacío, se dice que se demostrópor vacuidad.Por ejemplo, el conjunto ∅ es subconjuntode cualquier otro conjunto A, porvacuidad, pues no hay algún elementodel conjunto vacío que no esté en elconjunto A.Vea la definición de Subconjunto.Valor absoluto El valor absoluto de unnúmero x, denotado por |x| se definecomo su valor numérico sin considerarsu signo.Por ejemplo, el valor absoluto de −18 es:| − 18| = 18, y el valor absoluto de 3 es:|3| = 3.Geométricamente el valor absolutorepresenta la distancia del origen de larecta numérica al punto que le correspondeel número:Vara| − 3| |2|−3 −2 −1 0 1 2 3Unidad de distancia usada en el sistemaEspañol, equivalente a 0.84 metros.Una vara es equivalente a 2.76 piés.Vara cuadrada Unidad de superficie usada enel sistema Español, equivalente a 0.7 m 2 .xVariable Una cantidad que cambia de valor.En Matemáticas las cantidades variablesse representan por medio de literales,generalmente las últimas del abecedario.En la función y = f (x), la variableindependiente es la variable en la cualsustituimos los valores, generalmente x.Por otra parte, la variable dependiente esel valor que la función toma, usualmentey. En matemáticas las variables se denotanusando las últimas letras del alfabeto:t, u, v, x, y, z, etc.Variable cualitativa En estadística, una variablees cualitativa si solamente indicaalguna cualidad sin indicar un número.Por ejemplo, cuando se indica un gradode afectación de un huracán a un domicilio,en la encuesta se podría incluir unaescala ordinal: nulo, leve, moderado,grave, pérdida total.También es posible que se incluya unaescala nominal para medir otro aspecto,como el tipo de construcción: barro,madera, concreto.Variable estadística Una característica de unapoblación que puede tomar diferentesvalores.Por ejemplo, el peso promedio de losadultos de un país es de interés paraconocer los niveles de salud de estapoblación.Variación Cambio que sufre una variable.Usualmente se denota anteponiendo a la

160Varianza–VérticeVvariable el símbolo ∆. Así, la variaciónque sufre la variable x se denota como ∆xy se lee: delta x. La variación que sufrióuna variable cuando cambió del valor x 1al valor x 2 es: ∆x = x 2 − x 1 .Por ejemplo, si x cambió de x 1 = 3 a x 2 =5, la variación de x es: ∆x = 5 − 3 = 2.A la variación también se le llama cambioo incremento.Varianza La varianza mide la dispersión delos valores que presenta la variable x. Secalcula como el promedio de las desviacionescuadradas respecto de la media.La varianza poblacional σ 2 se calculacon:n∑ (x i − x) 2σ 2 i=1=ndonde x es la media aritmética de los ndatos {x 1 , x 2 , · · · , x n }.La varianza de una muestra s 2 se calculacon:n∑ (x i − x) 2s 2 i=1=n − 1donde n es el tamaño de la muestra.VectorUna diada de valores ordenados.⃗v = (v x , v y )Geométricamente el vector se representacon una flecha que va del origen al puntoindicado por sus coordenadas:v yyθ⃗v(v x , v y )El punto inicial del vector está en elorigen y el punto final está en lascoordenadas (v x , x y ). La longitud del vectorse denomina como su magnitud o suv xxmódulo, denotada por ‖⃗v‖, y se calculaaplicando el teorema de Pitágoras:‖⃗v‖ =√v 2 x + v 2 yLa dirección del vector se puede definirpara cualquier vector no nulo, como elángulo que éste forma con el eje horizontaly se calcula con:( )vyθ = arctanv xEl vector nulo⃗0 = (0, 0) no tiene definidauna dirección y su magnitud es cero.Algunos autores definen al vector comoun segmento de recta dirigido.Vector libre Vector cuyo punto inicial puedeestar en cualquier punto.Vector tangente Vector que tiene la mismadirección que una recta tangente a unacurva y que tiene su punto inicial en elpunto de tangencia de la recta tangentecon la curva.Vector unitariola unidad.Vector con magnitud igual aVectorial Referente a vectores.Por ejemplo, cuando en física se hablaa un campo vectorial se refieren a unconjunto de vectores que sirven como ladescripción de la magnitud de algunacantidad variable que se mide para explicaralgún fenónemo.Velocidad Vector cuya magnitud es igual a larapidez de un objeto y la dirección indicahacia dónde se realiza el movimiento.Vea la definición de rapidez.Vértice Punto característico de una figurageométrica donde se intersectan doslados o varias (dos o más) aristas.Algunas figuras que tienen vértices sonlos polígonos, algunas de las cónicas(elipse, parábola e hipérbola), los sólidos,etc.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Vértices consecutivos–Volumen161Vértices consecutivos En un polígono, dosvértices son consecutivos si son extremosde un mismo lado.En la siguiente figura, los vértices A y Bson consecutivos.BAVolumen Espacio que ocupa un cuerpo. Susunidades se miden en litros, o unidadesde longitud cúbicas, como metro cúbico(m 3 ).Vwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

162Lista de símbolos matemáticosLa siguiente lista contiene los símbolos matemáticos que más frecuentemente se utilizan en lasmatemáticas de primaria y secundaria.✓ + → suma✓ − → resta, diferencia✓ × → multiplicación✓ ÷ → división✓ / → división✓ ≡ → equivalente a✓ ≡ → por definición✓ ≡ → congruente con✓ = → igual a✓ → desigual a✓ > → mayor a✓ < → menor a✓ ≥ → mayor o igual a✓ ≤ → menor o igual a✓ ≫ → mucho mayor a✓ ≪ → mucho menor a✓ ≈ → aproximadamente igual a✓ ∝ → proporcional✓ % → porciento✓ ± → más, menos✓ √ → raíz cuadrada✓ √ 3 → raíz cúbica✓ √ n → raíz enésima✓ ∞ → infinito✓ | → divisible por✓ ∤ → no es divisible por✓ ∴ → por lo tanto✓ ∵ → porque✓ ∀ → para toda✓ ∃ → existe✓ ∃! → existe un único✓ ✓∃ → no existe✓ j → tal que✓ : → tal que✓ ⇒ → implica, se sigue✓ ⇔ → si y solo si✓ N → números naturales✓ Z → números enteros✓ Q → números racionales✓ Q ′ → números irracionales✓ R → números reales✓ C → números complejos✓ ∈ → pertenece✓ → no pertenece✓ ∅ → conjunto vacío✓ ⊂ → está incluido✓ ⊃ → incluye✓ ✚⊂ → no está incluido✓ ✚⊃ → no incluye✓ ⊆ → incluido estrictamente✓ ∪ → unión✓ ∩ → intersección✓ U → universo✓ ν → cardinalidadwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

163✓ ∨ → o (disyunción)✓ ∧ → y (conjunción)✓ ↦→ → se mapea a✓ mod → módulo✓ lim → límite✓ max → máximo✓ min → mínimo✓ ∑ → sumatoria✓ log a→ logaritmo en base a✓ log → logaritmo vulgar✓ ln → logaritmo natural✓ det → determinante✓ ∆ → incremento✓ δ → desviación✓ d → diferencia✓ r → razón✓ r → radio✓ a i → i−ésimo término✓ S n → serie (primeros n términos)✓ x → media aritmética, promedio✓ ⊥ → perpendicular✓ ‖ → paralelo✓ ∼ → es semejante a✓ → no es semejante a✓ ⃗u → vector (también u)✓ ‖⃗u‖ → magnitud de ⃗u⌢✓ AB → arco AB✓ ◦ → grados sexagesimales✓ ′ → minutos✓ ′′ → segundos✓ ◦ C → grados centígrados✓ ◦ F → grados Fahrenheit✓ ∠ABC → ángulo ABC✓ ∡α → ángulo α✓ △ABC → triángulo ABC✓ C(n, r) → combinaciones de n en r✓ P(n, r) → permutaciones de n en r✓( ) nr→ combinaciones de n en r✓ σ → desviación estándar✓ σ 2 → varianza✓ π → 3.141592654 · · ·www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

164Libro de distribución gratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

165Referencias✓ Anfossi, A.Trigonometría rectilíneaEd. Progreso S.A.México, 1963. 207 pp.✓ Birkhoff, Garret; Mac Lane, Saunders.A brief survey of modern algebraEd. The Mac Millan CompanyEE.UU. 1953. 276 pp.✓ Boyer, CarlA History of MathematicsEd. John Wiley & SonsEE.UU. 1991. 715 pp.✓ Brown, Richard G.; et. al.Algebra: Structure and Method (2 tomos)Ed. Houghton Mifflin Co.EE.UU. 1994. 736 pp. (tomo 1) & 888 pp.✓ Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas.Análisis numéricoGrupo Editorial IberoaméricaMéxico, 1985. 732 pp.✓ Collins, William, et. al.Algebra: Integration, Applications, Connections(2 tomos)McGraw HillEE.UU. 1998. 862 pp (tomo 1)& 1011 pp.(tomo 2)✓ Dossey, John A.; et. al.Secondary Math: An integrated ApproachEd. Adison WesleyEE.UU. 1996. 935 pp.✓ Christian FeuersängerManual for Package PgfPlotsLATEX 2ε documentationAlemania, 2009. 133 pp.✓ Grossman, Stanley I.Álgebra linealGrupo Editorial IberoaméricaMéxico, 1983. 399 pp.✓ Larson, Roland E.; Hostetler, Robert P.Intermediate AlgebraEd. D.C. Heath and CompanyEE.uu. 1992. 726 pp.✓ Soto A., EfraínMatemáticas preuniversitariashttp://www.aprendematematicas.org.mx/México. 2008 – 2010.✓ Soto A., EfraínEnseñanza efectiva de las matemáticashttp://www.aprendematematicas.org.mx/México. 2008. 263 pp.✓ McElroy, TuckerA to Z of mathematiciansFacts on File, Inc.EE.UU. 2005. 308 pp.✓ Walpole, Ronald E.; Myers, Raymond H.;Myers, Sharon L.; Ye, KeyingProbability & Statistics for Engineers & Scientists,8th EditionEd. Prentice Hall2007, 848 pp.✓ Wentworth, George; Smith, David E.GeometríaGinn & Co.EE.UU. 1915. 469 pp.✓ Soong, T. T.Fundamentals of Probbility and Statistics forEngineersJohn Wiley & SonsInglaterra. 2004. 391 pp.✓ Stillwell, JohnMathematics and its HistoryEd. SpringerEE.UU. 2010. 660 pp.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

166Agradecimientos a revisoresLas siguientes personas (que aparecen en orden alfabético) han apoyado de manera voluntariaen la revisión de este diccionario.Se agradece infinitamente su colaboración.✓ Aedo, María Elena (México).✓ Arroyo H., Evangelina (EE.UU.)✓ Brito, Franco (Venezuela).✓ Castillo, Mario (México).✓ Cuiza, S., Pánfilo (República de Bolivia).✓ Gutierrez, Henry (EE.UU.)✓ Miraya, A., Luis Alberto (Perú).✓ Motilla, Guillermo (México).✓ Romero, Jorge (México).✓ Sobrevilla S., Ana (México).✓ Sobrevilla T., Ana I. (México).✓ Torres, J. Orlando (Venezuela).✓ Túnez S., Noelia (España).✓ Virueña, S., Eduardo (México).Los revisores han colaborado con sugerencias de conceptos por agregar, correcciones de todotipo (ortográficas, gramaticales, de diseño, etc.), corrección en las definiciones, etc.Sin su colaboración, este material no tendría la calidad que ahora tiene.Estimado lector, si usted encuentra un error o tiene alguna sugerencia, por favor, envíela con sunombre completo a la siguiente dirección de correo electrónico:efrain@aprendematematicas.org.mxUsted también aparecerá en esta lista de revisores y colaboradores.Gracias por su apoyo en nombre de todos los profesores y estudiantes que actualmente utilizaneste material de distribución gratuita.Efraín Soto Apolinar.(Autor)www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

Créditos 167CréditosDebo agradecer el precioso apoyo que todo este tiempo me ha estado brindando mi esposa, Ana Gloria.Sin su comprensión, ánimo y entusiasmo hubiera tardado cien veces más en elaborar este material.Autor: Efraín Soto ApolinarProductor general: Efraín Soto ApolinarDirección y coordinación editorial: Efraín Soto ApolinarEdición: Efraín Soto ApolinarComposición tipográfica: Efraín Soto ApolinarDiseño de portada: Efraín Soto ApolinarDiseño de figuras: Efraín Soto ApolinarRevisión técnica: Vea la sección Agradecimientos a revisores.Año de edición: 2 009Año de publicación: 2 010Última revisión: 20 de julio de 2015.Última modificación: 20 de julio de 2015.Total de figuras: 338.Total de definiciones: 1031.Software utilizado: En la edición, diseño y composición tipográfica de este material se han utilizado lossiguientes programas:1 LATEX 2ε Tipografía del texto, ecuaciones y diagramas.2 TikZ Diseño de figuras, encabezados y diagramas.3 pgfPlots Gráficas y diagramas.4 TEXnicCenter Edición del código fuente LATEX 2ε.Apreciado lector, agradezco sus comentarios, sugerencias y correcciones a la cuenta de correo electrónico:efrain@aprendematematicas.org.mxUsted puede descargar este Diccionario Ilustrado de Conceptos Matemáticos de manera gratuita delsiguiente sitio de Internet:http://www.aprendematematicas.org.mxGracias por respetar los términos de uso de este material.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material