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38. Triángulos que están en bases iguales y contenidos entre paralelas, son iguales entre sí.<br />
39. Triángulos iguales que están sobre la mismabase i en el mismo lado, están también entre las mismas paralelas.<br />
40. Triángulos iguales que están sobre bases iguales y en el mismo lado, están contenidos también entre las mismas<br />
paralelas.<br />
41. Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el<br />
paralelogramo es el doble del triángulo.<br />
42. Construir en un ángulo rectilíneo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado.<br />
43. En cualquier paralelogramo los complementos de los paralelogramos situados en torno a la diagonal son iguales<br />
entre sí.<br />
44. Dado un segmento construir con un ángulo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado.<br />
45. Construir un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada con un ángulo rectilíneo dado.<br />
46. Construir un cuadrado sobre un segmento dado.<br />
47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de<br />
los lados que comprenden el ángulo recto.<br />
48. Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes,<br />
el ángulo comprendido por esos dos lados restantes del triángulo es recto.<br />
Proposición 1<br />
Construir un triángulo equilátero sobre una recta dada.<br />
Sea AB la línea recta dada. Se desea construir un triángulo equilátero<br />
sobre AB. Con centro en A y radio AB se traza el círculo BCD (postulado<br />
3) y también se traza el círculo ACE con centro B y radio BA. Sean CA y<br />
CB las líneas trazadas desde el punto C donde se cortan las<br />
circunferencias a los puntos A y B (postulado 1).<br />
Como el punto A es el centro del círculo CDB, AC es igual a AB<br />
(definición 15). Como el punto B es el centro del círculo ACE, BC es igual<br />
a AB. Pero dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí (noción<br />
común 1), por tanto AC es igual a CB. De este modo, las tres líneas rectas<br />
AB, BC y CA son iguales entre sí.<br />
Entonces el triángulo ABC es equilátero y se ha construido sobre la recta AB. [QEF]<br />
Proposición 2<br />
Trazar una línea recta igual a otra línea recta dada en un punto dado.<br />
Sea A el punto dado y BC la recta dada y se requiere trazar una línea recta que pase por A y sea igual a BC. Desde el punto A, se<br />
construye la línea AB [postulado 1] y sobre él constrúyase el triángulo equilátero DAB [I.1]. Extiéndase las líneas DA y DB hasta E y<br />
F, respectivamente. [postulado 2]<br />
Con centro en B y distancia BC, constrúyase el círculo CGH donde G es su intersección con la línea recta DF. [postulado 3] Con<br />
centro en D y radio DG, constrúyase el círculo GKL donde L es su intersección con la línea recta DE. Entonces AL es igual a BC.