Practico 4: Teoría Intermedia de la demanda

Práctico n°4
Docente: Osvaldo Pino
Ayudante: Pablo Mardones
PARTE 1: Conceptos y teórico
1) ¿Qué es el óptimo del consumidor (e)?
El óptimo del consumidor es la combinación de dos bienes que, con una restricción
presupuestaria dada, permite lograr la mayor satisfacción del consumidor.
En ese punto (e), se igualan las pendientes de la
recta presupuestaria y la curva de indiferencia. Es
decir:
Px
Py = Umg x
Umg y
Y
q y
q x
e U 0
M
X
2) Define:
a) Bien Normal: Es todo bien o servicio que aumenta su demanda a medida
que aumenta el ingreso.
b) Bien inferior: Es todo bien o servicio que disminuye su demanda a medida
que aumenta el ingreso.
c) Efecto ingreso (renta): Componente del efecto total de la variación de un
precio resultante de la variación asociada del poder adquisitivo real.
d) Efecto precio (sustitución): Componente del efecto total de la variación de
un precio resultante de la variación asociada del atractivo relativo de otros
bienes.
3) Defina y grafique la Curva de Ingreso-Consumo y la Curva de Engel.
La Curva de Ingreso-Consumo es la curva que resulta de unir los puntos de
equilibrio del consumidor que se obtienen cuando se varía solamente su
ingreso.
La Curva de Engel representa la relación existente entre la cantidad
demandada de un bien y el ingreso del consumidor; es decir, la variación de la
cantidad demandada al cambiar la renta. Cuando el bien es normal la

pendiente será positiva en cambio si el bien es inferior su pendiente será
negativa.
4) Defina y grafique la Curva de Precio-Consumo y la Curva de Demanda del
Consumidor.
La Curva de Precio-Consumo para un bien X, consiste en la unión de los puntos
de equilibrio obtenidos cuando solamente se varía el precio de X.
La Curva de Demanda del Consumidor indica la cantidad de un bien o artículo X
que el consumidor compraría para diferentes precios de X, ceteris paribus.

5) Explique la medición del efecto ingreso y efecto sustitución según:
Hicks: Según Hicks para la medición de estos efectos se debía realizar
una compensación monetaria de manera de retornar al consumidor a su
nivel de utilidad original U0.
Slutzky: Según Slutzky para la medición de estos efectos se debía
realizar una compensación monetaria de manera de retornar al
consumidor a su canasta inicial C0.
6) Derive geométricamente (gráfico) las demanda de Marshall: (habrá un
documento con más detalle sobre la derivación geométrica de Hicks y Slutzky)
7) ¿Qué es el Langraniano?
Es la utilidad marginal del dinero. Es decir, la tasa de cambio de la función
objetivo cuando varían los elementos de la restricción.
λ = dU
dM
8) Nombre las propiedades de la función de demanda
Homogeneidad de grado cero en precio y renta.
La suma de las elasticidades debe ser nula.
La suma ponderada de las elasticidades renta debe ser igual a la 1.
La ecuación de Slutzky.
Simetría de los efectos de sustitución cruzados

Parte 2: Ejercicios.
1) Las preferencias de un consumidor están representadas por la siguiente función
de utilidad: U (x,y) = 6xy 2 . Además, este posee una renta de $720 y los precios de
los bienes x e y son P x =8 y P y = 4.
a) Obtenga la función de demanda marshalliana de ambos bienes usando
sistema de ecuaciones (sustitución).
Lo primero es recordar que en la demanda de Marshall se busca la máxima
utilidad sujeta al ingreso. En este caso:
Para ocupar este método tenemos que recordar que en el equilibrio del
consumidor se cumple
p x
= Umg x
p y Umg y
Por lo que tenemos que obtener la utilidad marginal de x y la utilidad marginal
de y
Umg x = 6y 2 ∗ (x)´ Umg y = 6x ∗ (y 2 )´
Umg x = 6y 2
Umg y = 6x ∗ (2y)
Una vez obtenido las utilidades marginales, la reemplazamos en el equilibrio del
consumidor, quedando:
p x
= 6y2
p y 12xy
Simplificando:
p x
= y p y 2x
Multiplicando por 2x y dividiendo por p y
2xp x = yp y (1)
Umg y = 12xy

Despejando xp x
xp x = yp y
2
Con la ayuda de la ecuación (1) encontraremos la demanda marshalliana del Bien
X, para eso hay que utilizar la ecuación presupuestaria.
Con la ecuación (1) reemplazamos yp y
Despejamos x
(2)
m = xp x + yp y
m = xp x + 2xp x
m = 3xp x
x = m
3p x
Con la ayuda de la ecuación (2) encontraremos la demanda marshalliana del Bien Y,
para eso hay que utilizar la ecuación presupuestaria.
Con la ecuación (2) reemplazamos xp x
m = xp x + yp y
m = yp y
2 + yp y
Multiplicamos por 2 con el fin de eliminar el denominador.
2m = yp y + 2yp y
2m = 3yp y
DEMANDA MARSHALL DEL BIEN X
Despejamos y
y = 2m
3p y
DEMANDA MARSHALL DEL BIEN Y

b) Obtenga la función de demanda marshalliana de ambos bienes
multiplicadores de Lagrange.
Los multiplicadores de Lagrange se utiliza cuando se quiere optimizar (maximizar
o minimizar) una función, la cual llamaremos función objetivo, sujeto a una
restricción.
L = función objetivo + λ(restricción = 0)
Como queremos obtener la demanda marshalliana, lo que buscamos es la máxima
utilidad sujeta al ingreso. En este caso:
Reemplazando:
L = 6xy 2 + λ(m − xp x − yp y )
L = 6xy 2 + λm − λxp x − λyp y
Para comenzar a resolver con este método, hay que obtener la derivada parcial de L
con respecto a cada bien, es este caso son dos bienes (X e Y) y la derivada parcial con
respecto a λ.
dL
F1:
dx = 6y2 ∗ (x) ′ + 0 − λp x ∗ (x)´ + 0 = 6y 2 − λp x
dL
F2:
dy = 6x ∗ (y2 )´ + 0 + 0 − λp y ∗ (y)´ = 12xy − λp y
F3:
dL
dλ = 0 + m(λ)´ − xp x(λ)´ − yp y (λ)´ = m − xp x − yp y
Una vez encontradas las derivadas parciales, realizamos los siguientes pasos:
1. Igualar cada derivada parcial a 0, ya que estamos hablando de un máximo o
minimo.
2. Despejar λ de F1 y F2.

3. Igual los λ y simplificar.
Con la ayuda de la ecuación (1) encontraremos la demanda marshalliana del Bien X,
para eso ocuparemos F3:
Con la ecuación (1) reemplazamos yp y
Despejamos x
m − xp x − yp y = 0
m − xp x − 2xp x = 0
m − 3xp x = 0
m = 3xp x
x = m DEMANDA MARSHALL DEL BIEN X
3p x
Para obtener la demanda marshalliana del bien y, despejamos xp x de la ecuación
(1)
xp x = yp y
(2)
2
Con la nueva ecuación (2) y F3, encontraremos la demanda del bien y
Con la ecuación (2) reemplazamos xp x
m − xp x − yp y = 0
m − yp y
2 − yp y = 0

Multiplicando por 2 con la finalidad de eliminar el denominador
2m − 2yp y − yp y = 0
Despejamos y
2m − 3yp y = 0
2m = 3yp y
y = 2m
3p y
c) Encuentre la función indirecta de utilidad.
Para encontrar la función indirecta de utilidad tenemos que reemplazar los
valores de x e y presentes en la función de utilidad por las demandas del Bien
x y Bien y. Es decir:
V = U(x, y)
V = 6x ∗ y 2
Reemplazando x por la demanda marshalliana del Bien x y
reemplazando y por la demanda marshalliana del Bien y;
obtenemos:
V = 6 ∗ ( m ) ∗ ( 2m
2
)
3p x
3p y
V = 6 ∗ m
3p x
∗ 4m2
9p y
2
DEMANDA MARSHALL DEL BIEN Y
V =
V =
24m 3
27 ∗ p x
∗ (p 2 y
)
8m 3
9 ∗ p x
∗ (p 2 y
)

d) Calcule las cantidades de equilibrio del consumidor y obtenga el
nivel de utilidad.
Para obtener las cantidades del equilibrio del consumidor solo
debemos reemplazar los valores del ingreso y precio en la funciones
de demanda marshalliana.
BIEN X
m
3p x
= x
BIEN Y
2m
3p y
= y
720
3 ∗ 8 = x 2 ∗ 720
3 ∗ 4 = y
720
24 = x
1440
12 = y
Ahora para obtener el nivel de utilidad hay dos opciones, la primera
reemplazar las cantidades de euilibrio en la función de utilidad;
mientrás que la segunda es la de reemplazar el ingreso y los precios
en la función indirecta de utilidad.
*OPCIÓN 1:
*OPCIÓN 2:
30 = x
U(x, y) = 6x ∗ y 2
U(x, y) = 6(30) ∗ (120) 2
U(x, y) = (180) ∗ (14400)
U(x, y) = 2592000
120 = y

8m 3
V =
9 ∗ p x
∗ (p 2 y
)
V = 8(720)3
9 ∗ (8) ∗ (4 2 )
Simplicamos por 8
V = 8(720)3
9 ∗ (8) ∗ (4 2 )
V = 373248000
9 ∗ (16)
V = 373248000
144
V = U(x, y) = 2592000

e) Suponiendo que solo tengamos la función indirecta de la utilidad.
Aplicar la Identidad de Roy para obtener las demandas del bien x y
bien y.
Recordar que la función indirecta de la utilidad la obtuvimos en el
item c)
V =
8m 3
9 ∗ p x
∗ (p y 2 )
Para obtener las funciones de demanda, necesitamos aplicar la
identidad de Roy. Para eso necesitamos la derivada parcial de V con
respecto a cada precio y la dervada parcial de V con respecto al
ingreso (m). Primero derivaremos con respecto al precio de x.
dV
8m 3
= (
dp x 9 ∗ p x
∗ (p y2
) ) ′
Para resolverlo tenemos que considerar las demás variables como
constante , excepto p x .
Derivando
dV
dp x
= 8m3
9(p y 2 ) ∗ ( 1 p x
) ´
dV
= 8m3
dp x 9(p 2 y
) ∗ (p −1
)´
x
dV
= 8m3
dp x 9(p 2 y
) ∗ −1 ∗ p −2
x

dV
dp x
=
−8m 3
9 ∗ (p y2
) ∗ (p x2
)
1
A continuación derivaremos con respecto al precio de y
dV
8m 3
= (
dp y 9 ∗ p x
∗ (p y2
) ) ′
Para resolverlo tenemos que considerar las demás variables como
constante, excepto p x .
Derivamos
dV
dp y
= 8m3
9 ∗ p x
∗ ( 1 p y
2 ) ´
dV
dp y
= 8m3
9 ∗ p x
∗ (p y −2 )´
dV
dp y
= 8m3
9 ∗ p x
∗ −2 ∗ p y
−3
dV
dp y
=
−16m3
9 ∗ p x
∗ (p y3
)
2
A continuación derivaremos con respecto al ingreso.
dV
dm = ( 8m 3
9 ∗ p x
∗ (p y2
) ) ′
Para resolverlo tenemos que considerar las demás variables como
constante, excepto m.

Derivamos
Simplificamos
dV
dm = 8
9 ∗ p x
∗ (p y 2 ) ∗ (m3 )´
dV
dm = 8
9 ∗ p x
∗ (p y 2 ) ∗ 3 ∗ m2
dV
dm = 8m 2
3 ∗ p x
∗ (p y 2 )
Una vez obtenidas las derivadas parciales aplicamos la siguiente
formula.
Demanda de un bien = −
dV⁄
dpbien
dV⁄
dm
En caso de la demanda del bien X, usaremos la ecuaciones
Y
3
3
Reemplazando
Demanda del bien X = −
Demanda del bien X = −
dV⁄
dpx
dV⁄
dm
−8m 3 ⁄
9 ∗ (p y2
) ∗ (p x2
)
8m 2 ⁄ 3 ∗ p x
∗ (p 2 y
)
Utilizando división de fracciones (el menos de la formula se anula
con el menos proveniente de dV
dp x
3
1

Simplificando
8m 3
Demanda del bien X =
9 ∗ (p y2
) ∗ (p x2
) ∗ 3 ∗ p x ∗ (p y
8m 2
2 )
Obteniendo
Demanda del bien X = 3m
9p x
Demanda Marshall del bien X = m
3p x
En el caso de la demanda del bien y, ocuparemos las ecuaciones 2
Y 3
3
dV
⁄ dpy
Demanda del bien Y = −
dV⁄
dm
Reemplazando
−16m 3 ⁄
9 ∗ p x
∗ (p y3
)
Demanda del bien Y = −
8m 2 ⁄ 3 ∗ p x
∗ (p 2 y
)
Utilizando división de fracciones (el menos de la formula se anula
con el menos proveniente de dV
dp y

Simplificamos
16m 3
Demanda del bien Y =
9 ∗ p x
∗ (p y3
) ∗ 3 ∗ p x ∗ (p y
8m 2
2 )
Obteniendo
Demanda del bien Y = 48m
72p y
Demanda Marshall del bien Y = 2m
3p y
f) Obtenga la función de demanda de Hicks de ambos bienes usando
multiplicadores de Lagrange.
Como lo mencionamos en b), los multiplicadores de Lagrange se utiliza cuando se
quiere optimizar (maximizar o minimizar) una función, la cual llamaremos
función objetivo, sujeto a una restricción.
L = función objetivo + λ(restricción = 0)
Como queremos obtener la demanda hickssiana, es decir, que buscamos es el
mínimo ingreso sujeta a la utilidad original. En este caso:
L = xp x + yp y + λ(U 0 − U(x, y))
L = xp x + yp y + λ(U 0 − 6xy 2 )
L = xp x + yp y + λU 0 − λ6xy 2
Para comenzar a resolver con este método, hay que obtener la derivada
parcial de L con respecto a cada bien, es este caso son dos bienes (X e Y) y la
derivada parcial con respecto a λ.

F1: dL
dx = p x ∗ (x) ′ + 0 + 0 − λ6y 2 ∗ (x)´ = p x − λ6y 2
F2: dL
dy = 0 + p y ∗ (y)´ + 0 − λ6x ∗ (y 2 )´ = p y − λ12xy
F3: dL
dλ = 0 + 0 + U 0 ∗ (λ)´ − 6xy 2 ∗ (λ)´ = U 0 − 6xy 2
Una vez encontradas las derivadas parciales, realizamos los siguientes pasos:
1. Igualar cada derivada parcial a 0, ya que estamos hablando de un máximo o
minimo.
2. Despejar λ de F1 y F2.
3. Igual los λ y simplificar.
-
Con la ayuda de la ecuación (1) encontraremos la demanda hicksiana del Bien X,
para eso ocuparemos F3:
U 0 − 6xy 2 = 0
Con la ecuación (1) reemplazamos y
U 0 − 6x ∗ ( 2xp 2
x
) = 0
p y

Elevamos a 2 la ecuación (1)
U 0 − 6x ∗ 4x2 p x
2
p y
2
= 0
Multiplicamos por p y
2
, con el fin de eliminar el denominador
p 2 y ∗ U 0 − 6x ∗ 4x 2 p 2 x = 0
p 2 y ∗ U 0 − 24x 3 p 2 x = 0
El 6x 3 2
p x lo movemos al otro lado de la igualdad sumando
p 2 y ∗ U 0 = 24x 3 2
p x
Despejamos x
p y 2 ∗ U 0
24p x
2
= x3
Aplicamos raíz cúbica
3
√ U 2
0p y
= x
24p2
x
DEMANDA DE HICKS DEL BIEN X
Para obtener la demanda hicksiana del bien y, despejamos x de la ecuación (1)
x = yp y
2p x
(2)
Con la nueva ecuación (2) y F3, encontraremos la demanda del bien y
U 0 − 6xy 2 = 0
Con la ecuación (2) reemplazamos x
Simplificamos el 6 con el 2
U 0 − 6 ∗ ( yp y
2p x
) ∗ y 2 = 0
U 0 − ( 6y3 p y
2p x
) = 0

U 0 − ( 3y3 p y
p x
) = 0
Multiplicamos por p x , con el fin de elimina el denominador
p x ∗ U 0 − 3y 3 p y = 0
Desplazamos el 3y 3 p y al otro lado como suma
Despejamos y
Aplicamos raíz cúbica
U 0 ∗ p x = 3y 3 p y
U 0 ∗ p x
3p y
= y 3
3
√ U 0 ∗ p x
3p y
= y
DEMANDA DE HICKS DEL BIEN Y
g) Encontrar la función del gasto
Para encontrar la función del gasto tenemos que reemplazar los valores de x e
y presentes en la ecuación presupuestaria por las demandas hicksianas del
Bien x y Bien y. Es decir:
e = m
e = xp x + yp y
Reemplazando x por la demanda hicksiana del Bien x y
reemplazando y por la demanda hicksiana del Bien y; obtenemos:
e = √ U 2
3 0p y
24p2
x
3
∗ p x + √ U 0p x
3p y
∗ p y
Ahora tenemos que ingresar p x y p y dentro de la raíz, para eso
debemos elevarlo al índice (n° pequeño que acompaña a la raíz), en
este caso a 3.

e = √ U 0p 2 y
p3
3
x
+ √ U 0p x
p3
3
y
24p2
x
3p y
Simplificamos
e = √ U 0p 2 y
p3
3
x
24p2
x
+ √ U 0p x
p3
3
y
3p y
2
Quedando
3
e = √ U 0p 2 y
p x
24
Podemos decomponer el 24 en (8*3)
3
e = √ U 0p 2 y
p x
8 ∗ 3
3
+ √ U 0p x
p2
y
3
3
+ √ U 0p x
p2
y
3
3
Y √8
es 2, aunque cuidado porque el 8 esta en el denominador, por
lo que se origina el 1 2
e = 1 2 √U 3
0p 2 y
p x
3
3
+ 1√ U 0p x
p2
y
3
3
Factorizamos por √ U 0p 2 y p x
3
e = ( 1 3
2 + 1) ∗ √ U 0p 2 y
p x
3
e = 3 2 √U 3
0p 2 y
p x
3

h) Suponiendo que solo tengamos la función del gasto. Obtener la
demanda de Hicks los bienes X e Y, para eso utilizar el lema de
Shephard.
Para aplicar el lema de Shephard necesitamos la función del gasto
calculada anteriormente, que en esta ocasión la raíz la pasaremos a
exponente.
e = 3 2 √U 3
0p 2 y
p x
3
e = 3 0p 2
2 (U y
p x
)
3
Una vez transformada nuestra función del gasto, aplicaremos la
siguiente fórmula.
1⁄
3
Esto nos da a conocer que necesitamos la derivada parcial de la
función del gasto con respecto al precio del bien que deseamos
sacar. En el caso de la demanda de Hicks del bien X sería:
X = de
dp x
Considerando las demás variables como constante, quedaría:
X = 3 2
2 ∗ (U 0 ∗ p y
)
3
1⁄
3
1
∗ (p ⁄ 3
x )´

Derivamos
X = 3 2
2 ∗ (U 0 ∗ p y
)
3
1⁄
3
∗ 1 3 ∗ (p −2 ⁄ 3
x )
−2
Transformamos a p ⁄ 3
x en fracción y simplificamos el 3
X = 1 2 ∗ (U 0 ∗ p y
2
Ahora tenemos que igualar los exponente para poder agruparlos, es
por eso que ocuparemos la propiedad de potencia de una potencia (
(2 2 ) 2 ), en este caso debemos encontrar un n° (llamaremos u) que
multiplicado por 1 3 sea igual a 2 3
3
1⁄
3
)
∗ ( 1
2⁄ 3
p )
x
Dividiendo por 3
u ∗ 1 3 = 2 3
u = 2
Transformamos X, utilizando la propiedad potencia de una potencia
X = 1 2
2 ∗ (U 0 ∗ p y
) ∗ ( 1 1⁄
3
3
2
p ) x
Utilizando multiplicación de potencias de igual exponente y distinta
base
1⁄
3
X = 1 2 1⁄
3
2 ∗ (U 0 ∗ p y
2
3p ) x
Transformando el exponente a raíz

Metemos el 1 dentro de la raíz
2
X = 1 2 ∗ 3
2
√(U 0 ∗ p y
2
3p )
x
3
X = √( U 2
0 ∗ p y
2
8 ∗ 3p )
x
3
X = √( U 2
0 ∗ p y
2
24p )
x
DEMANDA DE HICKS DEL BIEN X
Ahora buscaremos la demanda de Hicks del bien Y
Y = de
dp y
Considerando las demás variables como constante, quedaría:
Y = 3 1⁄
3
2 ∗ (U 0 ∗ p x
) ∗ ((p 2
3
y ) 1⁄ 3 )´
Utilizando la propiedad de potencia de una potencia
Y = 3 1⁄
3
2 ∗ (U 0 ∗ p x
2
) ∗ (p ⁄ 3
3
y )´
Derivamos
Y = 3 1⁄
3
2 ∗ (U 0 ∗ p x
) ∗ 2 3 3 ∗ (p −1 ⁄ 3
y )
Simplificamos el 3 2 con el 2 3
−1⁄
3
Transformamos p y
Y = ( U 1⁄
3
0 ∗ p x
−1
) ∗ (p ⁄ 3
3
y )
Y = ( U 1⁄
3
0 ∗ p x
) ∗ ( 1 1⁄
3
)
3
p y

Usamos la propiedad de multiplicación de potencias de igual
exponente y distinta base.
Y = ( U 1⁄
3
0 ∗ p x
)
3p y
Transformamos el exponente en raíz
3
Y = √ U 0 ∗ p x
3p y
DEMANDA DE HICKS DEL BIEN Y
i) Pasa de demanda marshalliana a la demanda hicksiana solo para el
Bien X
Para pasar de la demanda marshalliana a la hicksiana, se necesita:
Demanda marshallianas de cada bien, en este caso solo nos
pregunta el del bien X.
x = m
3p x
La función de gasto.
e = 3 3
2 √U 0p 2 y p x
3
= 3 2 (U 0p 2 1⁄
3
y p x
)
3
Lo que se debe hacer es reemplazar m (ingreso) por la e (función
del gasto)

3
X =
2 ∗ 3
√U 0 ∗ p 2 y ∗ p x
3
3p x
Utilizando división de fracciones
X = 3 3
2 ∗ √ U 0 ∗ p 2 y ∗ p x
3
∗ 1
3p x
Simplificando el 3
3
X = √ U 0 ∗ p 2 y ∗ p x
3
∗ 1
2p x
Ahora debemos meter el 2p x dentro de la raíz, para eso debemos
elevarlo al índice (n° pequeño que acompaña a la raíz), en este caso
3
Simplificamos
3
X = √ U 0 ∗ p 2 y ∗ p x
3
3 ∗ 8 ∗ p x
3
X = √ U 0 ∗ p 2 y ∗ p x
3 2
24p x
3
X = √ U 2
0 ∗ p y
2
24p x
DEMANDA DE HICKS DEL BIEN X
j) Pasa de demanda marshalliana a la demanda hicksiana solo para el
Bien X.

Para pasar de la demanda hicksiana a la marshalliana, se necesita:
Demanda hicksiana de cada bien, en este caso solo nos
pregunta el del bien X.
3
X = √ U 2
0 ∗ p y
2
24p x
La función indirecta de la utilidad.
V =
8m 3
9 ∗ p x
∗ (p y 2 )
Lo que se debe hacer es reemplazar U 0 (utilidad original) por la V
(función indirecta de utilidad)
Simplificamos p y
2
X =
3
8m3
2
√( 9p x p ) ∗ p y 2
y
2
24 ∗ p x
3
X = √ (8m3 )
9p x
2
24 ∗ p x
Utilizando división de fracciones
3
X = √ 8m3 1
∗
9p
2
x 24 ∗ p x
Multiplicamos
3
m3
X = √
3
27 ∗ p x

Utilizando la propiedad de multiplicación y división de raíces
X =
3
√27
3
√m 3
3 3
∗ √p x
Notamos que todas las raíces son exactas, por lo que:
X = m
3p x
DEMANDA DE MARSHALL DEL BIEN X