pdf-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Solmu 3/2008 31
Ratkaisemalla tämä y 1 :n suhteen saadaan
Tämä voidaan kirjoittaa
y 1 = my′′
ρπr 2 + y − mg
ρπr 2 .
y 1 = by ′′ + y − c
yksinkertaisuuden vuoksi. Tässä b ja c ovat tunnettuja
vakioita. Tämä on tuloksemme. Veden taso riippuu
kohon aseman toisesta derivaatasta ja itse kohon asemasta.
Kappaleen loppulämpötila voidaan
ennustaa
Lämmönvaihtoa kahden kappaleen välillä voidaan mallintaa
yhtälöllä
dQ
dt = kAT H − T C
L
(ks. [1]). Tässä Q on kappaleen 2 lämpöenergia, k on
lämmönjohtavuus, A on välissä olevan johtavan materiaalin
läpileikkauspinta-ala, T H on kappaleen 1 lämpötila,
T C on kappaleen 2 lämpötila ja L on kappaleiden 1
ja 2 välinen etäisyys. Tämä voidaan kirjoittaa lyhyesti
dQ
dt = a(T 1 − T 2 (t))
missä Q on kappaleen 2 lämpöenergia, a on positiivinen
verrannollisuuskerroin ja T 1 ja T 2 ovat kappaleiden
1 ja 2 lämpötilat. Katso esimerkkiasetelma kuvassa 2.
vesi
T
2
(t)
lämmitin
T
1
Kuva 2. Esimerkkiasetelma.
Lämpöenergia on verrannollinen lämpötilaan
Q − Q 0 = cm(T − T 0 )
missä Q 0 on juuri sulamislämpötilan yläpuolella olevan
kappaleen lämpöenergia, T ja T 0 ovat Celsius-asteikolla
ja T:n sallitaan saavan arvoja joissa kappale on nestefaasissa.
Esimerkiksi vedellä 0 < T < 100 o C. T 0 on
kappaleen sulamislämpötila. Tästä saadaan
Kun muistetaan myös, että
ja
voidaan kirjoittaa
dT 2 (t)
dt
T − T 0 = Q − Q 0
cm .
d(Q − Q 0 )
dt
d(T − T 0 )
dt
= dQ
dt
= dT
dt
= d(T 2(t) − T 0 )
= 1
dt cm · d(Q − Q 0)
dt
= 1 dQ
cm dt = 1
cm a(T 1 − T 2 (t))
= b(T 1 − T 2 (t)), b > 0, b ≠ ∞.
Tämä on differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisu on
Derivoimalla tulos saadaan
Derivoimalla uudestaan saadaan
(12):sta ja (13):sta saadaan
T 2 (t) = T 1 + e −bt · C. (11)
T ′ 2 (t) = −be−bt · C. (12)
T ′′
2 (t) = b2 e −bt · C. (13)
T ′ 2 (t)
−b
Ratkaisemalla b saadaan
= T ′′
2 (t)
b 2 .
b = − T 2 ′′(t)
′′
, T 2
(t) (t) ≠ 0, T 2 ′ (t) ≠ 0.
T ′ 2
(12):stä ja sijoittamalla b saadaan
C =
T ′ 2 (t)
=
T 2 ′′(t)
T ′′
T 2 ′(t) e 2 (t)
T
2 ′ ·t (t)
T ′′
(T ′ 2 (t))2
2 (t)e T ′′
2 (t)
T ′ 2 (t) ·t .
Hetkellä t = 0+ (juuri 0:n jälkeen) C:stä tulee
C t=0+ = (T 2 ′(0+))2
T 2 ′′(0+)
.
(11):stä ja sijoittamalla C t=0+ saadaan (hetkellä t =
0+)
T 1 = T 2 (0+) − (T 2 ′(0+))2
T 2 ′′(0+)
, (14)
T 2 ′ ′′
(0+) ≠ 0, T 2 (0+) ≠ 0.